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Capitolo 75
Circonferenza nel piano cartesiano

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Cerchio è una figura piana compresa da una sola linea tale che tutte le rette, condotte da un punto interno alla figura su questa linea, sono uguali tra loro.”

— Euclide, Elementi, libro I, definizione 15 (iii sec. a.C.)

____________________________________________________________________________________

75.1 Introduzione motivazionale

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La circonferenza è probabilmente la curva più semplice e antica della matematica: per Euclide è la prima figura non rettilinea definita negli Elementi. La sua definizione classica — luogo dei punti equidistanti da un centro (56) — si traduce in geometria analitica in un’equazione di secondo grado straordinariamente compatta:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2. \]

Tre soli parametri — il centro \((x_0, y_0)\) e il raggio \(r\) — la determinano completamente.

Le applicazioni sono ovunque: dal moto circolare uniforme in cinematica, alla descrizione delle orbite (in prima approssimazione), alla progettazione meccanica di ingranaggi, fino al GPS (che si basa sull’intersezione di tre circonferenze, o meglio sfere). In matematica scolastica la circonferenza è anche un caso particolare di conica — un’ellisse con i due fuochi coincidenti — e in questo capitolo getteremo le basi su cui si appoggeranno ellisse (76) e iperbole (77).

In questo capitolo:

75.2 Equazione della circonferenza

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Teorema 75.1 — Equazione canonica della circonferenza

La circonferenza di centro \(C(x_0, y_0)\) e raggio \(r > 0\) è il luogo dei punti \(P(x, y)\) tali che \(\overline {PC} = r\), e ha equazione

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2. \]
\[ \boxed {\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2.\ } \]

Dimostrazione. La condizione \(\overline {PC} = r\) in coordinate, usando la formula della distanza tra due punti (69):

\[ \sqrt {(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r. \]

Elevando al quadrato (entrambi i membri sono \(\geq 0\)):

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2. \]

[Picture]

Figura 75.1: Circonferenza di centro \(C(x_0, y_0)\) e raggio \(r\). Ogni suo punto \(P\) è equidistante dal centro: \(\overline {PC} = r\).

Forma sviluppata

Sviluppando i quadrati nell’equazione canonica:

\[ x^2 - 2 x_0 x + x_0^2 + y^2 - 2 y_0 y + y_0^2 - r^2 = 0, \]

otteniamo la forma generale:

\[ x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0, \]

con

\[ \alpha = -2 x_0,\qquad \beta = -2 y_0,\qquad \gamma = x_0^2 + y_0^2 - r^2. \]

Teorema 75.2 — Centro e raggio dalla forma sviluppata

Data l’equazione \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\):

La circonferenza esiste (è reale) se e solo se l’argomento della radice è positivo.

\[ C = \!\left (-\frac {\alpha }{2}, -\frac {\beta }{2}\right ),\qquad r = \sqrt {\frac {\alpha ^2 + \beta ^2}{4} - \gamma }. \]

Nota  — Casi degeneri

Sia \(\rho := (\alpha /2)^2 + (\beta /2)^2 - \gamma \). Allora:

Attenzione!  — Caratterizzazione algebrica

Un’equazione di secondo grado in \(x, y\) rappresenta una circonferenza se e solo se:

Se i coefficienti di \(x^2\) e \(y^2\) sono diversi (entrambi non nulli) e dello stesso segno, si tratta di un’ellisse (76); se di segno opposto, di un’iperbole (77); se uno è zero, di una parabola (74).

Esempio 75.1 — Dalla forma sviluppata a centro e raggio

\(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\). Allora \(\alpha = -4\), \(\beta = 6\), \(\gamma = -3\).

\[ C = (-(-4)/2, -6/2) = (2, -3),\qquad r = \sqrt {4 + 9 + 3} = \sqrt {16} = 4. \]

Esempio 75.2 — Riconoscimento di una falsa circonferenza

\(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 10 = 0\). Allora \(\rho = 1 + 4 - 10 = -5 < 0\).

Non rappresenta alcun luogo reale (“circonferenza immaginaria”).

75.3 Determinazione di una circonferenza da condizioni

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L’equazione \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\) contiene tre parametri indipendenti (\(\alpha , \beta , \gamma \)). Quindi servono tre condizioni indipendenti per determinare univocamente una circonferenza.

Condizioni tipiche:

Esempio 75.3 — Circonferenza per tre punti

Trovare la circonferenza passante per \(A(0, 0)\), \(B(4, 0)\), \(C(0, 6)\).

Soluzione. Sostituiamo ciascun punto nell’equazione generale:

\[ \begin {cases} 0 + 0 + 0 + 0 + \gamma = 0 \implies \gamma = 0 \\ 16 + 0 + 4\alpha + 0 + \gamma = 0 \implies 4\alpha = -16 \implies \alpha = -4 \\ 0 + 36 + 0 + 6\beta + \gamma = 0 \implies 6\beta = -36 \implies \beta = -6 \end {cases} \]

Equazione: \(x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0\). Centro: \((2, 3)\), raggio: \(\sqrt {4 + 9} = \sqrt {13}\).

(Verifica geometrica: \(A, B, C\) formano un triangolo rettangolo in \(A\) con cateti \(4\) e \(6\). Il circocentro di un triangolo rettangolo è sempre il punto medio dell’ipotenusa: \(M = (2, 3)\) \(\checkmark\). Il raggio è metà ipotenusa: \(\sqrt {16+36}/2 = \sqrt {52}/2 = \sqrt {13}\) \(\checkmark\).)

Esempio 75.4 — Circonferenza con centro su una retta

Trovare la circonferenza passante per \(A(1, 0)\) e \(B(5, 0)\) con centro sulla retta \(y = x\).

Soluzione. Il centro è equidistante da \(A\) e \(B\), quindi sta sull’asse di \(\overline {AB}\). Punto medio di \(AB\): \((3, 0)\), e \(AB\) è orizzontale, quindi l’asse è la retta verticale \(x = 3\).

Il centro \(C\) è all’intersezione di \(x = 3\) con \(y = x\): \(C(3, 3)\). Raggio: \(\overline {CA} = \sqrt {4 + 9} = \sqrt {13}\).

Equazione: \((x-3)^2 + (y-3)^2 = 13\), ovvero \(x^2 + y^2 - 6x - 6y + 5 = 0\).

75.4 Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza

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A differenza della parabola, per la circonferenza esiste un criterio geometrico semplice per stabilire la posizione di una retta: basta confrontare la distanza del centro dalla retta con il raggio.

Teorema 75.3 — Posizioni reciproche retta-circonferenza

Sia \(\gamma \) una circonferenza di centro \(C\) e raggio \(r\), e sia \(\ell \) una retta. Detta \(d = d(C, \ell )\) la distanza del centro dalla retta (72):

\[ \begin {array}{c|l} d < r & \ell \ \text {è \emph {secante}}: 2 punti di intersezione \\ d = r & \ell \ \text {è \emph {tangente}}: 1 punto di tangenza \\ d > r & \ell \ \text {è \emph {esterna}}: 0 intersezioni \end {array} \]

Dimostrazione (idea). Il piede \(H\) della perpendicolare da \(C\) a \(\ell \) è il punto della retta più vicino al centro. Se \(\overline {CH} < r\), allora \(H\) è interno al cerchio, quindi la retta entra e esce, intersecando la circonferenza in \(2\) punti. Se \(\overline {CH} = r\), allora \(H\) è sulla circonferenza ed è l’unico punto di intersezione. Se \(\overline {CH} > r\), tutti i punti di \(\ell \) sono fuori dal cerchio.

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Figura 75.2: Posizioni di tre rette rispetto alla circonferenza: secante (verde, \(d < r\), due intersezioni); tangente (arancio, \(d = r\), una sola intersezione); esterna (rosso, \(d > r\), nessuna intersezione).

Nota  — Metodo algebrico equivalente

Anche per la circonferenza si può sostituire l’equazione della retta in quella della circonferenza, ottenendo un’equazione di \(2°\) grado con discriminante \(\Delta '\):

\[ \Delta ' > 0\ (\text {secante}), \quad \Delta ' = 0\ (\text {tangente}), \quad \Delta ' < 0\ (\text {esterna}). \]

I due criteri (\(d\) vs \(r\) e \(\Delta '\)) sono naturalmente equivalenti, ma il primo è di solito più rapido.

75.5 Tangente a una circonferenza

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Tangente in un punto della circonferenza

Teorema 75.4 — Tangente in un punto della circonferenza

La tangente alla circonferenza \(\gamma : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\) nel punto \(T(x_T, y_T) \in \gamma \) ha equazione

\[ (x_T - x_0)(x - x_0) + (y_T - y_0)(y - y_0) = r^2. \]

Dimostrazione. La tangente in \(T\) è perpendicolare al raggio \(\overline {CT}\) (proprietà classica della circonferenza). Il vettore \(\overrightarrow {CT} = (x_T - x_0, y_T - y_0)\) è normale alla tangente. Quindi la tangente passa per \(T\) con direzione perpendicolare a \(\overrightarrow {CT}\): usando la condizione di perpendicolarità in forma vettoriale, \(\overrightarrow {CT} \cdot \overrightarrow {TP} = 0\), dove \(P(x, y)\) è un punto generico della tangente. Esplicitando:

\[ (x_T - x_0)(x - x_T) + (y_T - y_0)(y - y_T) = 0, \]

che, sviluppato usando \((x_T - x_0)^2 + (y_T - y_0)^2 = r^2\), dà l’equazione dell’enunciato.

Nota  — Formula di sdoppiamento

La forma \((x_T - x_0)(x - x_0) + (y_T - y_0)(y - y_0) = r^2\) è la cosiddetta formula di sdoppiamento: si ottiene dall’equazione canonica della circonferenza sostituendo \((x - x_0)^2 \to (x - x_0)(x_T - x_0)\) e \((y - y_0)^2 \to (y - y_0)(y_T - y_0)\).

Per la forma sviluppata \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\), la tangente in \(T(x_T, y_T)\) è:

\[ x x_T + y y_T + \alpha \,\frac {x + x_T}{2} + \beta \,\frac {y + y_T}{2} + \gamma = 0. \]

Tangenti da un punto esterno

Da un punto \(P_0\) esterno alla circonferenza si possono condurre due tangenti. I metodi principali:

Metodo 1 — Distanza dal centro. Si scrive la retta generica per \(P_0\) con coefficiente angolare \(m\) incognito:

\[ y - y_0 = m(x - x_0),\qquad \text {cioè}\qquad mx - y + (y_0 - m x_0) = 0. \]

Si impone \(d(C, \text {retta}) = r\):

\[ \frac {|m x_C - y_C + y_0 - m x_0|}{\sqrt {m^2 + 1}} = r. \]

Quadrando e semplificando si ottiene un’equazione di secondo grado in \(m\) — le due soluzioni sono i due coefficienti angolari delle due tangenti.

Metodo 2 — \(\Delta ' = 0\). Si sostituisce la retta \(y - y_0 = m(x - x_0)\) nell’equazione della circonferenza, e si impone \(\Delta ' = 0\) sull’equazione di secondo grado risultante.

Esempio 75.5 — Tangente in un punto della circonferenza

Tangente alla circonferenza \(x^2 + y^2 = 25\) nel punto \(T(3, 4)\) (che vi appartiene: \(9 + 16 = 25\) \(\checkmark\)).

Soluzione. Forma di sdoppiamento (centro origine, \(r^2 = 25\)):

\[ 3 x + 4 y = 25. \]

Esempio 75.6 — Tangenti da un punto esterno

Trovare le tangenti alla circonferenza \(x^2 + y^2 = 4\) dal punto \(P(3, 0)\).

Soluzione. Retta per \(P\): \(y = m(x - 3)\), cioè \(mx - y - 3m = 0\). Imponiamo \(d(O, \text {retta}) = 2\):

\[ \frac {|m\cdot 0 - 0 - 3m|}{\sqrt {m^2 + 1}} = 2 \implies \frac {3|m|}{\sqrt {m^2+1}} = 2 \implies 9 m^2 = 4(m^2 + 1) \implies m^2 = \frac {4}{5}. \]

Quindi \(m = \pm \tfrac {2}{\sqrt {5}} = \pm \tfrac {2\sqrt {5}}{5}\).

Le due tangenti: \(y = \tfrac {2\sqrt {5}}{5}(x - 3)\) e \(y = -\tfrac {2\sqrt {5}}{5}(x - 3)\).

75.6 Fasci di circonferenze

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Date due circonferenze \(\gamma _1\) e \(\gamma _2\) di equazioni \(f_1(x, y) = 0\) e \(f_2(x, y) = 0\), si chiama fascio di circonferenze generato da \(\gamma _1, \gamma _2\) la famiglia di equazioni

\[ \lambda \, f_1(x, y) + \mu \, f_2(x, y) = 0,\qquad (\lambda , \mu ) \neq (0, 0). \]

Al variare dei parametri \((\lambda , \mu )\) (a meno di un fattore comune) si ottengono circonferenze del fascio.

Nota  — Generatrici notevoli del fascio

Teorema 75.5 — Asse radicale e punti base

L’asse radicale \(r\) di un fascio è la retta lungo la quale le due circonferenze “si intersecano” (in senso esteso). I punti base del fascio sono le intersezioni di \(\gamma _1\) e \(\gamma _2\):

Esempio 75.7 — Fascio per due punti dati

Trovare il fascio delle circonferenze passanti per \(A(0, 0)\) e \(B(4, 0)\).

Soluzione. Due circonferenze del fascio: ad esempio, la circonferenza di diametro \(AB\) — centro \((2, 0)\), raggio \(2\), equazione \((x-2)^2 + y^2 = 4\), sviluppata \(x^2 + y^2 - 4x = 0\).

L’altra può essere: la circonferenza che passa anche per \((2, 2)\) — verifica diretta o calcolo: \(x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0\).

Fascio: \(\lambda (x^2 + y^2 - 4x) + \mu (x^2 + y^2 - 4x - 2y) = 0\), cioè

\[ (\lambda + \mu )(x^2 + y^2 - 4x) - 2\mu y = 0. \]

Ponendo \(k = -2\mu /(\lambda + \mu )\) (per \(\lambda + \mu \neq 0\)):

\[ x^2 + y^2 - 4x + k y = 0,\qquad k \in \mathbb{R} . \]

Al variare di \(k\) otteniamo tutte le circonferenze passanti per \(A\) e \(B\). (Esercizio: l’asse radicale è \(y = 0\), retta che passa per \(A\) e \(B\).)

75.7 Esempi svolti

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Esempio 75.8 — Dalla forma sviluppata

\(2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y - 6 = 0\).

Soluzione. Dividiamo per \(2\) per portare i coefficienti di \(x^2\) e \(y^2\) a \(1\):

\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0. \]

Allora \(\alpha = -4, \beta = 6, \gamma = -3\). Centro \((2, -3)\), raggio \(\sqrt {4 + 9 + 3} = 4\).

Esempio 75.9 — Circonferenza tangente all’asse \(x\)

Trovare la circonferenza con centro \(C(3, 5)\) e tangente all’asse \(x\).

Soluzione. Se è tangente all’asse \(x\), il raggio è la distanza del centro dall’asse \(x\), cioè \(|y_C| = 5\).

Equazione: \((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25\), ovvero \(x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0\).

Esempio 75.10 — Circonferenza tangente a una retta in un punto dato

Trovare la circonferenza tangente alla retta \(r: x + y - 4 = 0\) nel punto \(T(2, 2) \in r\) e passante per \(P(0, 0)\).

Soluzione.

Equazione: \((x-1)^2 + (y-1)^2 = 2\), ovvero \(x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0\).

Esempio 75.11 — Intersezione di due circonferenze

Trovare i punti di intersezione di \(\gamma _1: x^2 + y^2 = 4\) e \(\gamma _2: x^2 + y^2 - 4x + 2 = 0\).

Soluzione. Sottraendo membro a membro (\(\gamma _1 - \gamma _2\)) si ottiene l’asse radicale:

\[ 4 - (-4x + 2) = 0 \implies 4x + 2 = 0 \implies x = -\tfrac {1}{2}. \]

Sostituendo \(x = -1/2\) in \(\gamma _1\): \(1/4 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 15/4 \Rightarrow y = \pm \sqrt {15}/2\).

I due punti di intersezione sono \((-1/2, \pm \sqrt {15}/2)\).

(Il metodo della sottrazione — passare per l’asse radicale — è in generale più rapido che risolvere il sistema delle due quadriche.)

Esempio 75.12 — Lunghezza della corda

Calcolare la lunghezza della corda che la retta \(y = 2x + 1\) stacca sulla circonferenza \(x^2 + y^2 = 9\).

Soluzione. Distanza del centro \(O(0,0)\) dalla retta \(2x - y + 1 = 0\):

\[ d = \frac {|1|}{\sqrt {4+1}} = \frac {1}{\sqrt 5} = \frac {\sqrt {5}}{5}. \]

Per Pitagora, la semicorda è \(\sqrt {r^2 - d^2} = \sqrt {9 - 1/5} = \sqrt {44/5} = 2\sqrt {11/5}\).

Lunghezza della corda: \(2\cdot 2\sqrt {11/5} = 4\sqrt {11/5} = \frac {4\sqrt {55}}{5}\).

75.8 Esercizi proposti

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Esercizio 75.1

1.
Scrivi l’equazione (canonica e sviluppata) della circonferenza di centro \(C\) e raggio \(r\):
  • (a) \(C(0, 0)\), \(r = 5\);
  • (b) \(C(2, -3)\), \(r = 4\);
  • (c) \(C(-1, 4)\), \(r = \sqrt {3}\).
2.
Determina centro e raggio (o riconosci se non è una circonferenza reale):
  • (a) \(x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0\);
  • (b) \(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0\);
  • (c) \(x^2 + y^2 - 2x + 2y + 3 = 0\);
  • (d) \(3x^2 + 3y^2 + 6x - 12 = 0\).
3.
Trova la circonferenza passante per:
  • (a) \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(0, 8)\);
  • (b) \(A(1, 1)\), \(B(5, 1)\), \(C(3, 5)\);
  • (c) \(A(-2, 0)\), \(B(2, 0)\), \(C(0, 4)\).
4.
Trova la circonferenza con centro \(C(2, 3)\) e passante per \(P(-1, -1)\).
5.
Trova la circonferenza con centro sulla retta \(y = 2x\) e passante per \(A(0, 0)\) e \(B(4, 2)\).
6.
Trova la circonferenza tangente all’asse \(y\) e con centro in \(C(4, 3)\).
7.
Studia la posizione della retta \(r\) rispetto alla circonferenza \(\gamma \) e, se secante, trova i punti di intersezione:
  • (a) \(r: y = x + 1\), \(\gamma : x^2 + y^2 = 5\);
  • (b) \(r: y = 2x - 3\), \(\gamma : x^2 + y^2 = 4\);
  • (c) \(r: x + y - 7 = 0\), \(\gamma : x^2 + y^2 = 25\).
8.
Trova la tangente alla circonferenza \(x^2 + y^2 = 25\) nel punto:
  • (a) \(T(3, 4)\);
  • (b) \(T(-4, 3)\);
  • (c) \(T(5, 0)\).
9.
Trova le tangenti alla circonferenza \(x^2 + y^2 = 4\) condotte dal punto \(P(3, 0)\).
10.
Trova le tangenti alla circonferenza \(x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0\) parallele alla retta \(r: y = 2x - 1\).
11.
Calcola la lunghezza della corda staccata dalla retta \(y = x\) sulla circonferenza \(x^2 + y^2 - 4x = 0\).
12.
Trova le intersezioni delle circonferenze \(\gamma _1: x^2 + y^2 - 4 = 0\) e \(\gamma _2: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0\). (Suggerimento: usa l’asse radicale.)
13.
Scrivi l’equazione del fascio di circonferenze passanti per \(A(0, 0)\) e \(B(0, 4)\). Trova la circonferenza del fascio tangente all’asse \(x\).
14.
Trova la circonferenza inscritta nel triangolo \(A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8)\). (Suggerimento: il centro è l’incentro, equidistante dai tre lati — vedi 72.)
15.
(Discussione.) Sotto quali condizioni l’equazione \(\alpha (x^2 + y^2) + \beta x + \gamma y + \delta = 0\) rappresenta una circonferenza reale? Quando rappresenta una retta?
16.
(Sfida — GPS in 2D.) Tre satelliti sono nelle posizioni \(A(0, 0)\), \(B(8, 0)\), \(C(0, 6)\). Un ricevitore percepisce di distare \(r_A = 5\) da \(A\), \(r_B = 5\) da \(B\), \(r_C = 5\) da \(C\). Trova la posizione del ricevitore. (Suggerimento: intersezione di tre circonferenze.)

75.9 Riepilogo del capitolo

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