13 Gravitazione

Capitolo 13
Gravitazione

“Tutti i corpi gravitano gli uni verso gli altri, e questa è la causa per la quale i pianeti si mantengono nelle loro orbite.”
— Isaac Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Libro III, 1687 (parafrasi)

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13.1 Introduzione motivazionale

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Per quasi due millenni, dopo Aristotele, era opinione condivisa che il mondo si dividesse in due: il mondo sublunare, dove i corpi gravi cadono perché “cercano il loro luogo naturale” verso il centro della Terra, e il mondo celeste, dove gli astri si muovono di moto eternamente circolare per una sostanza diversa, la “quintessenza”. Le due fisiche — terrestre e celeste — non parlavano fra loro.

Tra il XVI e il XVII secolo questa frontiera viene smantellata. Tycho Brahe accumula osservazioni astronomiche di accuratezza senza precedenti; Keplero, sul materiale di Tycho, ricava tre leggi empiriche sul moto dei pianeti; Galileo, con il cannocchiale, mostra che la Luna ha montagne e Giove ha satelliti (e quindi i corpi celesti sono “come la Terra”). Sarà però Newton, nel 1687, a fornire la sintesi: una unica legge, la legge di gravitazione universale, descrive sia la caduta della mela sia il moto della Luna, sia le orbite dei pianeti sia le maree. La fisica “terrestre” e quella “celeste” diventano un’unica fisica: il cosmo è, fisicamente, omogeneo.

In questo capitolo: la legge di Newton, le leggi di Keplero come sua conseguenza, e la trattazione energetica delle orbite (con il concetto fondamentale di velocità di fuga). Vedremo che la stessa legge che fa cadere un sasso governa il moto dei satelliti artificiali e dei sistemi binari di stelle a milioni di anni-luce.

13.2 La legge di gravitazione universale

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13.2.1 Legge di gravitazione universale di Newton

Newton afferma che fra due qualunque corpi materiali esiste una forza di attrazione, diretta lungo la retta che li congiunge, di modulo proporzionale alle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa.

Legge 13.1 — Legge di gravitazione universale

Legge di gravitazione universale Due corpi puntiformi di massa \(m_1\) e \(m_2\), separati da una distanza \(r\), si attraggono con una forza il cui modulo vale:

\[ F = G \,\dfrac {m_1\,m_2}{r^2} \label {eq:13-gravitazione-universale} \]

Unità SI: \([F]={\mathrm{N} }\), \([G ]={\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\), \([m]={\mathrm{kg} }\), \([r]={\mathrm{m} }\).

La forza è diretta lungo la retta congiungente i due corpi ed è attrattiva. Nella forma vettoriale, la forza esercitata dal corpo \(1\) sul corpo \(2\) è

\[ \vec {F}_{1 \to 2} = -\,G \,\dfrac {m_1\,m_2}{r^2}\,\hat {r}_{1\to 2}, \]

dove \(\hat {r}_{1\to 2}\) è il versore diretto da \(1\) verso \(2\) e il segno meno indica attrazione.

[Picture] — Figura 13.1: Due corpi di massa \(m_1\) e \(m_2\) a distanza \(r\) si attraggono con forze uguali in modulo e opposte in verso (terzo principio): \(\vec {F}_{1\to 2} = -\vec {F}_{2\to 1}\).

Alcune osservazioni importanti.

La forza è una coppia azione-reazione (terzo principio): \(\vec {F}_{1\to 2} = -\vec {F}_{2\to 1}\). Lo stesso modulo, lo stesso verso opposto.
La dipendenza dalla distanza è \(1/r^2\): raddoppiando la distanza, la forza si riduce a un quarto.
La legge si applica a corpi puntiformi; per corpi estesi con simmetria sferica (come pianeti e stelle) si dimostra (teorema dei gusci sferici di Newton) che ci si può comportare come se tutta la massa fosse concentrata nel centro, e quindi la legge si applica con \(r\) = distanza fra i centri.
L’aggettivo universale è cruciale: la stessa legge vale per la caduta di una mela, il moto della Luna, le orbite dei pianeti, l’interazione fra galassie.

13.2.2 La costante G e la misura di Cavendish

Newton sapeva, fin dalla pubblicazione dei Principia, che la costante \(G \) doveva avere un valore numerico ben definito, ma non fu in grado di misurarla: la gravitazione fra masse di laboratorio è così debole da risultare quasi inosservabile. La prima misura diretta venne realizzata nel 1798 da Henry Cavendish, oltre un secolo dopo Newton.

Definizione 13.1 — Costante di gravitazione universale

Costante di gravitazione universale La costante di gravitazione universale ha valore:

\[ G = 6.674\times 10^{-11}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} } \label {eq:13-G} \]

Unità SI: \([G ]={\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\).

L’esperimento di Cavendish utilizzava una bilancia di torsione: due sferette di piombo erano fissate alle estremità di un manubrio orizzontale sospeso a un sottile filo di torsione; avvicinando due grosse masse, anch’esse di piombo, alle sferette, la lieve forza gravitazionale provocava una rotazione del manubrio, che si poteva misurare osservando la deflessione di un fascio di luce riflesso da uno specchietto solidale al filo. Conoscendo la costante di torsione del filo (calibrata a parte) si risaliva alla forza, e quindi a \(G \).

La costante \(G \) è la meno conosciuta fra tutte le costanti fondamentali della fisica: a oggi è nota con un errore relativo di circa \(2\times 10^{-5}\), contro errori di \(1\times 10^{-10}\) o migliori per la maggior parte delle altre. Misurarla con precisione resta una delle sfide sperimentali aperte della fisica contemporanea.

13.2.3 Forza-peso come caso particolare

Consideriamo un corpo di massa \(m\) posto alla superficie della Terra (massa \(M_{\oplus }\), raggio \(R_{\oplus }\)). La forza gravitazionale che la Terra esercita su di esso vale:

\[ F = G \,\dfrac {M_{\oplus }\,m}{R_{\oplus }^2}. \]

Confrontando con la forma locale del peso, \(\vec{F}_{\!P} = m\,g \), si ottiene immediatamente:

\[ g = G \,\dfrac {M_{\oplus }}{R_{\oplus }^2} \label {eq:13-g-superficie} \]

Unità SI: \([g ]={\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\), \([G ]={\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\), \([M_{\oplus }]={\mathrm{kg} }\), \([R_{\oplus }]={\mathrm{m} }\).

Sostituendo i valori \(G = 6.674\times 10^{-11}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\), \(M_{\oplus } = 5.972\times 10^{24}\,{\mathrm{kg} }\), \(R_{\oplus } = 6.371\times 10^{6}\,{\mathrm{m} }\), si trova \(g \approx 9.82\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\), in ottimo accordo con il valore standard \(9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\).

A quota \(h\) sopra la superficie, la distanza dal centro della Terra è \(r = R_{\oplus } + h\), e la gravità locale vale

\[ g (h) = G \,\dfrac {M_{\oplus }}{(R_{\oplus } + h)^2} \approx g _0 \,\Big (1 - 2\,\dfrac {h}{R_{\oplus }}\Big ) \;\text { per } h \ll R_{\oplus }. \]

Per una quota di \(10\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\), \(h/R_{\oplus } \approx 1.6\times 10^{-3}\): \(g \) diminuisce dello \(0.3\,{\% }\), variazione spesso trascurabile.

Attenzione!

Massa inerziale e massa gravitazionale Nella formula \(\vec{F}_{\!P} = m\,g \) la massa \(m\) compare due volte: una nella legge di Newton come massa inerziale (resistenza all’accelerazione) e una nella legge di gravità come massa gravitazionale (sorgente del campo). Tutti gli esperimenti finora condotti — da Galileo con le sfere sul piano inclinato fino agli esperimenti satellitari odierni — mostrano che le due masse coincidono. Questo principio di equivalenza è alla base della relatività generale di Einstein.

13.3 Le leggi di Keplero

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Tra il 1609 e il 1619 Giovanni Keplero, analizzando le osservazioni accuratissime di Tycho Brahe, formula tre leggi empiriche che descrivono il moto dei pianeti del Sistema Solare. Newton, mezzo secolo dopo, dimostrerà che esse sono conseguenze matematiche della legge di gravitazione universale.

13.3.1 Prima legge di Keplero (orbite ellittiche)

Legge 13.2 — Prima legge di Keplero

Prima legge di Keplero Ogni pianeta percorre un’orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.

L’ellisse è la curva luogo dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi (i fuochi) è costante. Per un’orbita planetaria:

il semiasse maggiore \(a\) è la metà del diametro massimo dell’orbita;
l’eccentricità \(e\) (\(0 \leq e < 1\)) misura quanto l’ellisse si discosta da un cerchio: \(e = 0\) corrisponde a un cerchio perfetto, \(e \to 1\) a un’ellisse molto allungata;
il perielio (più vicino al Sole) è a distanza \(r_{\mathrm {p}} = a(1 - e)\);
l’afelio (più lontano dal Sole) è a distanza \(r_{\mathrm {a}} = a(1 + e)\).

Il modello copernicano precedente assumeva orbite circolari: la correzione di Keplero (in cui occorre un’ellisse, non un cerchio) è piccola nei numeri (eccentricità delle orbite planetarie quasi tutte \(\lesssim 0.1\)) ma è qualitativamente cruciale, e si misura nettamente sulle orbite più eccentriche, come quella di Mercurio (\(e \approx 0.21\)) o di alcune comete.

13.3.2 Seconda legge di Keplero (legge delle aree)

Legge 13.3 — Seconda legge di Keplero (legge delle aree)

Seconda legge di Keplero (legge delle aree) La linea congiungente il Sole con un pianeta (raggio vettore) spazza aree uguali in tempi uguali.

In termini moderni: la velocità areolare è costante. Detta \(\Delta A\) l’area spazzata in un intervallo \(\Delta t\):

\[ \dfrac {\Delta A}{\Delta t} = \text {costante} \label {eq:13-keplero-II} \]

Unità SI: \([\Delta A / \Delta t] = {\mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} }\).

La conseguenza geometrica e fisica è immediata: il pianeta deve muoversi più velocemente al perielio (vicino al Sole, raggio vettore corto, dunque per spazzare la stessa area in \(\Delta t\) deve percorrere un arco lungo) e più lentamente all’afelio.

Dimostrazione (legame con il momento angolare). L’area spazzata in \(\Delta t\) vale approssimativamente \(\Delta A = \tfrac {1}{2}\,r\,v_{\perp }\,\Delta t\), dove \(v_{\perp }\) è la componente di velocità perpendicolare al raggio vettore. Allora \(\Delta A/\Delta t = \tfrac {1}{2}\,r\,v_{\perp } = L/(2m)\), dove \(L = m\,r\,v_{\perp }\) è il momento angolare del pianeta rispetto al Sole. La forza di gravitazione è centrale (diretta lungo il raggio vettore), quindi non esercita momento sul pianeta: il momento angolare \(L\) si conserva, e con esso la velocità areolare.

La seconda legge di Keplero è perciò equivalente alla conservazione del momento angolare del pianeta nel campo centrale del Sole.

13.3.3 Terza legge di Keplero (periodi e raggi)

Legge 13.4 — Terza legge di Keplero

Terza legge di Keplero Il quadrato del periodo orbitale \(T\) di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore \(a\) della sua orbita:

\[ T^2 = k\,a^3 \qquad \text {con}\qquad k = \dfrac {4\pi ^2}{G \,M} \label {eq:13-keplero-III} \]

Unità SI: \([T]={\mathrm{s} }\), \([a]={\mathrm{m} }\), \([k]={\mathrm{s} ^{2} / \mathrm{m}^{3} }\), \([M]={\mathrm{kg} }\).

La costante \(k\) non dipende dal pianeta, ma solo dalla massa \(M\) del corpo centrale (qui il Sole).

Derivazione per orbite circolari. Per un’orbita circolare di raggio \(r\), percorsa con velocità uniforme \(v\), la forza gravitazionale fornisce l’accelerazione centripeta:

\[ G \,\dfrac {M\,m}{r^2} = m\,\dfrac {v^2}{r} \;\Longrightarrow \; v^2 = \dfrac {G \,M}{r}. \]

Il periodo è \(T = 2\pi r / v\), da cui

\[ T^2 = \dfrac {4\pi ^2\,r^2}{v^2} = \dfrac {4\pi ^2}{G \,M}\,r^3. \]

Per un’orbita ellittica si dimostra (in modo più tecnico) che la stessa relazione vale con \(r\) sostituito dal semiasse maggiore \(a\).

La terza legge è una formula potente: misurando periodo e semiasse di un’orbita (per esempio di un satellite attorno a un pianeta) si determina la massa del corpo centrale. È così che si misurano le masse del Sole, dei pianeti che hanno satelliti, delle stelle in sistemi binari, persino il buco nero supermassivo al centro della nostra galassia.

13.4 Energia nel campo gravitazionale

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13.4.1 Energia potenziale gravitazionale

Per un corpo che si muove nel campo gravitazionale di una massa \(M\), la forza è conservativa e si può associare a essa una energia potenziale gravitazionale \(U(r)\). Si definisce fissando come riferimento \(U(\infty ) = 0\), cioè energia potenziale nulla a distanza infinita.

Legge 13.5 — Energia potenziale gravitazionale

Energia potenziale gravitazionale L’energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa \(m\) a distanza \(r\) da un corpo di massa \(M\) vale:

\[ U(r) = -\,G \,\dfrac {M\,m}{r} \label {eq:13-U-gravitazionale} \]

Unità SI: \([U]={\mathrm{J} }\), \([G ]={\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\), \([M]=[m]={\mathrm{kg} }\), \([r]={\mathrm{m} }\).

Alcune osservazioni:

\(U(r)\) è sempre negativa: avvicinandosi alla massa \(M\), \(U\) diminuisce (verso \(-\infty \)); allontanandosi, \(U\) aumenta (verso \(0\)). Il segno negativo riflette il fatto che la forza è attrattiva: per allontanare il corpo bisogna spendere lavoro.
Il riferimento \(U(\infty ) = 0\) è una scelta convenzionale. Solo le differenze di energia potenziale hanno significato fisico.
In prossimità della superficie terrestre, scegliendo come riferimento la superficie stessa (\(h = 0\)) e sviluppando \(U\) in serie per piccoli \(h\), si ritrova \(E_{p} = m\,g \,h\) (formula locale già usata nei capitoli precedenti).

Recupero della formula locale. A quota \(h\) sopra la superficie terrestre, \(r = R_{\oplus } + h\), da cui

\[ U(R_{\oplus } + h) - U(R_{\oplus }) = -\,G \,\dfrac {M_{\oplus }\,m}{R_{\oplus }+h} + G \,\dfrac {M_{\oplus }\,m}{R_{\oplus }} \approx G \,\dfrac {M_{\oplus }\,m}{R_{\oplus }^2}\,h = m\,g \,h, \]

avendo usato \(g = G \,M_{\oplus }/R_{\oplus }^2\) e sviluppato \(1/(R_{\oplus } + h)\) al primo ordine in \(h/R_{\oplus }\).

13.4.2 Energia totale e tipi di orbita

L’energia meccanica totale di un corpo di massa \(m\) nel campo gravitazionale di un corpo di massa \(M\) è

\[ E = E_k + U = \tfrac {1}{2}\,m\,v^2 - G \,\dfrac {M\,m}{r}. \]

Essendo \(U\) una funzione che vale \(0\) all’infinito e \(-\infty \) al centro, il segno di \(E\) classifica completamente il moto in tre categorie.

\(E < 0\) — orbita chiusa (ellittica). Il corpo non riesce ad allontanarsi indefinitamente perché non ha abbastanza energia cinetica per “salire” fino a \(U = 0\): rimane legato e percorre una traiettoria chiusa. Per un’orbita circolare di raggio \(r\) si dimostra \(E = -G M m/(2r)\).
\(E = 0\) — orbita parabolica (limite). Il corpo si allontana indefinitamente, con velocità che tende a zero all’infinito. È il caso limite fra orbita chiusa e di fuga.
\(E > 0\) — orbita iperbolica (di fuga). Il corpo ha energia in eccesso: si allontana raggiungendo l’infinito con velocità residua \(v_\infty = \sqrt {2E/m}\). È il regime dei viaggi interplanetari (con assistenza gravitazionale per i sorvoli di pianeti).

In termini di geometria: la forma dell’orbita di una massa nel campo di un’altra è una sezione conica (ellisse, parabola, iperbole), e il segno dell’energia ne classifica il tipo. Questo risultato è uno dei trionfi del programma di Newton.

13.4.3 Velocità di fuga

Quale è la velocità minima con cui un corpo deve essere lanciato dalla superficie di un pianeta (massa \(M\), raggio \(R\)) per non ricadere e raggiungere l’infinito? L’orbita-limite è quella parabolica, con \(E = 0\). Scrivendo \(E = 0\) in superficie:

\[ \tfrac {1}{2}\,m\,v_{\mathrm {fuga}}^2 - G \,\dfrac {M\,m}{R} = 0 \;\Longrightarrow \; v_{\mathrm {fuga}} = \sqrt {\dfrac {2\,G \,M}{R}}. \]

Legge 13.6 — Velocità di fuga

Velocità di fuga La velocità di fuga dalla superficie di un corpo celeste di massa \(M\) e raggio \(R\) vale:

\[ v_{\mathrm {fuga}} = \sqrt {\dfrac {2\,G \,M}{R}} \label {eq:13-velocita-fuga} \]

Unità SI: \([v_{\mathrm {fuga}}]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), \([G ]={\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\), \([M]={\mathrm{kg} }\), \([R]={\mathrm{m} }\).

Sostituendo i dati terrestri: \(v_{\mathrm {fuga},\oplus } = \sqrt {2\,G \,M_{\oplus }/R_{\oplus }} \approx 1.12\times 10^{4}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \approx 11.2\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\). È la velocità con cui sono partiti, dopo la fase di propulsione, i veicoli delle missioni Apollo per la Luna e Pioneer e Voyager per gli esterni del Sistema Solare.

Notiamo due aspetti.

\(v_{\mathrm {fuga}}\) non dipende dalla massa del corpo che fugge: una palla da tennis o un’astronave, ai fini della sola gravità, devono avere la stessa velocità di lancio per sfuggire (nell’atmosfera reale, l’attrito complica le cose: questo è uno dei motivi per cui i razzi accelerano gradualmente salendo verso l’alto, dove l’aria è più rarefatta).
\(v_{\mathrm {fuga}}\) non dipende dalla direzione di lancio (sopra l’atmosfera): qualunque direzione purché non punti contro il pianeta porta all’infinito, se la velocità modulo è almeno \(v_{\mathrm {fuga}}\).

Attenzione!

Raggio di Schwarzschild (cenno) Se in un corpo di massa \(M\) tutta la massa è confinata in una sfera di raggio \(R\) tale che \(v_{\mathrm {fuga}} = c \) (la velocità della luce), neppure la luce riesce a sfuggire. Risolvendo \(\sqrt {2 G M / R} = c \) si ottiene il raggio di Schwarzschild \(R_{\mathrm {S}} = 2 G M / c ^2\). Per una massa pari al Sole, \(R_{\mathrm {S}} \approx 3\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\): se tutta la massa solare fosse compressa in una sfera di tale raggio, nessuna luce uscirebbe. Sono i buchi neri. La derivazione corretta richiede però la relatività generale; quella appena vista fornisce, per coincidenza numerica, il valore esatto.

13.5 Esempi svolti

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Esempio 13.1

Forza fra due corpi terrestri Due persone di massa \(70\,{\mathrm{kg} }\) sono a \(1.0\,{\mathrm{m} }\) di distanza. Quanto vale la forza di attrazione gravitazionale fra loro?

Calcolo.

\[ F = G \,\dfrac {m_1\,m_2}{r^2} = 6.674\times 10^{-11}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} } \cdot \dfrac {(70\,{\mathrm{kg} })^2}{(1.0\,{\mathrm{m} })^2} \approx 3.27\times 10^{-7}\,{\mathrm{N} }. \]

Una forza di circa \(0.3\,{\mu \mathrm{N} }\): del tutto trascurabile rispetto alle altre forze in gioco (attrito, contatto, ecc.). Per questo nei problemi terrestri usuali la gravità reciproca fra oggetti si trascura.

Esempio 13.2

Calcolo della massa del Sole La Terra orbita attorno al Sole con periodo \(T = 365.25\,{\mathrm{day}}\) e semiasse maggiore \(a = 1.496\times 10^{11}\,{\mathrm{m} }\) (la “unità astronomica”). Usando la terza legge di Keplero, calcoliamo la massa del Sole.

Impostazione.

\[ T^2 = \dfrac {4\pi ^2}{G \,M_{\odot }}\,a^3 \;\Longrightarrow \; M_{\odot } = \dfrac {4\pi ^2\,a^3}{G \,T^2}. \]

Conversione del periodo.

\[ T = 365.25\,{\mathrm{day}}\cdot 86400\,{\mathrm{\mathrm{s}} / \mathrm{day}} \approx 3.156\times 10^{7}\,{\mathrm{s} }. \]

Sostituzione numerica.

\begin{align*} M_{\odot } &= \dfrac {4\pi ^2\cdot (1.496\times 10^{11}\,{\mathrm{m} })^3} {6.674\times 10^{-11}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} } \cdot (3.156\times 10^{7}\,{\mathrm{s} })^2} \\[2pt] &\approx 1.99\times 10^{30}\,{\mathrm{kg} }. \end{align*}

In ottimo accordo con il valore tabulato \(M_{\odot } \approx 1.99\times 10^{30}\,{\mathrm{kg} }\).

Esempio 13.3

Periodo di un satellite geostazionario Un satellite geostazionario ha periodo orbitale uguale a quello di rotazione terrestre, \(T = 86164\,{\mathrm{s} }\) (giorno siderale). Calcoliamo a che altezza sopra l’equatore si trova.

Impostazione. Dalla terza legge, \(r^3 = G \,M_{\oplus }\,T^2/(4\pi ^2)\), e l’altezza sulla superficie è \(h = r - R_{\oplus }\).

Calcolo.

\begin{align*} r^3 &= \dfrac {6.674\times 10^{-11}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\cdot 5.972\times 10^{24}\,{\mathrm{kg} }\cdot (86164\,{\mathrm{s} })^2}{4\pi ^2} \approx 7.54\times 10^{22}\,{\mathrm{m}^{3} }, \\ r &\approx 4.22\times 10^{7}\,{\mathrm{m} }, \\ h &= r - R_{\oplus } \approx 4.22\times 10^{7}\,{\mathrm{m} } - 6.37\times 10^{6}\,{\mathrm{m} } \approx 3.59\times 10^{7}\,{\mathrm{m} } \approx 35\,800\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }. \end{align*}

È la quota a cui sono posizionati i satelliti per le telecomunicazioni (televisione, GPS in parte, meteorologia).

Esempio 13.4

Velocità di fuga dalla Luna La Luna ha massa \(M_{\mathrm {L}} = 7.35\times 10^{22}\,{\mathrm{kg} }\) e raggio \(R_{\mathrm {L}} = 1.737\times 10^{6}\,{\mathrm{m} }\). Calcoliamo la velocità di fuga dalla sua superficie.

Calcolo.

\[ v_{\mathrm {fuga}} = \sqrt {\dfrac {2\,G \,M_{\mathrm {L}}}{R_{\mathrm {L}}}} = \sqrt {\dfrac {2\cdot 6.674\times 10^{-11}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\cdot 7.35\times 10^{22}\,{\mathrm{kg} }}{1.737\times 10^{6}\,{\mathrm{m} }}} \approx 2.38\times 10^{3}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }. \]

Circa \(2.4\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\): cinque volte meno della velocità di fuga terrestre, per via della massa molto minore della Luna. È il motivo per cui i moduli lunari delle missioni Apollo, dopo l’allunaggio, hanno potuto risalire in orbita lunare con propulsori molto modesti.

13.6 Esercizi proposti

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Esercizio 13.1

1.: Calcola la forza di attrazione gravitazionale fra due sfere omogenee di massa \(1.0\times 10^{3}\,{\mathrm{kg} }\) ciascuna, i cui centri distano \(2.0\,{\mathrm{m} }\). [\(F \approx 1.67\times 10^{-5}\,{\mathrm{N} }\)]
2.: A quale altezza \(h\) sulla superficie terrestre l’accelerazione di gravità si riduce al \(50\,{\% }\) del suo valore in superficie? [\(h = R_{\oplus }\,(\sqrt {2}-1) \approx 2640\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\)]
3.: Marte ha massa \(M = 6.42\times 10^{23}\,{\mathrm{kg} }\) e raggio \(R = 3.39\times 10^{6}\,{\mathrm{m} }\). Calcola l’accelerazione di gravità alla sua superficie. [\(g _{\mathrm {Marte}} \approx 3.72\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\)]
4.: Un pianeta ipotetico orbita attorno al Sole con un semiasse maggiore doppio di quello terrestre (\(a = 2\,{\mathrm{au}}\)). Usando la terza legge di Keplero, calcola il suo periodo in anni. [\(T = 2^{3/2}\,\mathrm {anni} \approx 2.83\,\mathrm {anni}\)]
5.: Un satellite orbita in modo circolare attorno alla Terra a una quota \(h = 400\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) (Stazione Spaziale Internazionale). Calcola velocità orbitale e periodo. [\(v \approx 7.67\times 10^{3}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(T \approx 5560\,{\mathrm{s} } \approx 92.7\,{\mathrm{min} }\)]
6.: Calcola l’energia minima necessaria per sollevare un veicolo di massa \(m = 1500\,{\mathrm{kg} }\) dalla superficie della Terra fino a una quota di \(1000\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) (trascurando l’attrito e il moto di rotazione terrestre). [\(\Delta U \approx 1.26\times 10^{10}\,{\mathrm{J} }\)]
7.: Calcola la velocità di fuga dalla superficie di Giove (\(M_{\mathrm {J}} = 1.898\times 10^{27}\,{\mathrm{kg} }\), \(R_{\mathrm {J}} = 6.99\times 10^{7}\,{\mathrm{m} }\)). [\(v_{\mathrm {fuga}} \approx 6.02\times 10^{4}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \approx 60\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
8.: Un’orbita ellittica attorno alla Terra ha perielio \(r_{\mathrm {p}} = 7.0\times 10^{6}\,{\mathrm{m} }\) e afelio \(r_{\mathrm {a}} = 1.4\times 10^{7}\,{\mathrm{m} }\) (misurati dal centro della Terra). Calcola il semiasse maggiore \(a\) e l’eccentricità \(e\). [\(a = 1.05\times 10^{7}\,{\mathrm{m} }\); \(e \approx 0.333\)]
9.: Un pianeta ha perielio \(r_{\mathrm {p}} = 1.0\times 10^{11}\,{\mathrm{m} }\) e all’afelio si muove a \(v_{\mathrm {a}} = 1.5\times 10^{4}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Sapendo che al perielio la velocità è \(v_{\mathrm {p}} = 3.0\times 10^{4}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), calcola la distanza all’afelio (suggerimento: conservazione del momento angolare). [\(r_{\mathrm {a}} = 2.0\times 10^{11}\,{\mathrm{m} }\)]
10.: Per quale raggio orbitale un satellite attorno alla Terra avrebbe un periodo di \(1.0\,{\mathrm{day}}\) (giorno solare medio, \(86400\,{\mathrm{s} }\))? Confronta con il raggio geostazionario. [\(r \approx 4.22\times 10^{7}\,{\mathrm{m} }\); quasi coincidente con quello geostazionario calcolato in esempio]

13.7 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Legge di gravitazione universale (Newton) — \(F = G \,m_1\,m_2/r^2\), forza sempre attrattiva, diretta lungo la retta congiungente i due corpi. Vale per qualunque coppia di masse, “terrestri” o “celesti”.

Costante di gravitazione universale — \(G = 6.674\times 10^{-11}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\); misurata per la prima volta da Cavendish (1798) con la bilancia di torsione.

Forza-peso — Caso particolare della gravitazione universale sulla superficie di un pianeta: \(\vec{F}_{\!P} = m\,g \) con \(g = G \,M/R^2\). Diminuisce con la quota e dipende leggermente dalla latitudine (rotazione terrestre, schiacciamento del pianeta).

Prima legge di Keplero — Ogni pianeta percorre un’ellisse; il Sole si trova in uno dei due fuochi. Caratterizzazione: semiasse maggiore \(a\), eccentricità \(e\), perielio \(a(1-e)\), afelio \(a(1+e)\).

Seconda legge di Keplero — Il raggio vettore Sole-pianeta spazza aree uguali in tempi uguali (\(\Delta A/\Delta t = \text {cost}\)). Equivale alla conservazione del momento angolare nel campo centrale.

Terza legge di Keplero — \(T^2 = (4\pi ^2/G M)\,a^3\): il rapporto \(T^2/a^3\) è lo stesso per tutti i pianeti del Sistema Solare ed è una misura della massa del corpo centrale.

Energia potenziale gravitazionale — \(U(r) = -G \,M\,m/r\), con riferimento \(U(\infty ) = 0\). Sempre negativa per la forza attrattiva. In prossimità della superficie terrestre \(\Delta U \approx m\,g \,h\).

Energia totale e tipi di orbita — \(E = E_k + U\). Se \(E < 0\) orbita ellittica chiusa; \(E = 0\) orbita parabolica (limite); \(E > 0\) orbita iperbolica di fuga. La geometria dell’orbita è una sezione conica.

Velocità di fuga — \(v_{\mathrm {fuga}} = \sqrt {2\,G \,M/R}\). Sulla Terra \(v_{\mathrm {fuga}} \approx 11.2\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\); sulla Luna \(\approx 2.4\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\); su Giove \(\approx 60\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Non dipende dalla massa del corpo che fugge né dalla direzione di lancio (in assenza di atmosfera).

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