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“Strappò al cielo il fulmine, e ai tiranni lo scettro.”
— Anne-Robert-Jacques Turgot, motto in onore di Benjamin Franklin, 1778
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Già nell’antichità Talete (VI sec. a.C.) osservò che una bacchetta di elettron (in greco antico: ambra) sfregata con un panno attirava piccoli oggetti leggeri (pagliuzze, capelli). Dalla parola greca per ambra deriva il nostro termine elettricità. Per duemila anni il fenomeno è rimasto una curiosità da salotto, finché, nel XVIII secolo, le scariche delle bottiglie di Leida, gli esperimenti di Benjamin Franklin con i fulmini e l’invenzione della pila di Volta non hanno trasformato l’elettricità nel motore della seconda rivoluzione industriale.
In questo capitolo affrontiamo lo studio dei fenomeni elettrici in condizione statica: cariche elettriche ferme nello spazio. Pur essendo un caso particolare, l’elettrostatica contiene tutti i concetti chiave dell’elettromagnetismo: la carica elettrica come grandezza fondamentale, la legge di Coulomb che ne regola le interazioni, il campo elettrico come strumento per descrivere l’azione a distanza, il teorema di Gauss che lega flusso e carica, il potenziale elettrico come energia per unità di carica.
Sono i fondamenti su cui costruiremo, nei prossimi capitoli, lo studio delle correnti, del magnetismo, dell’induzione e delle onde elettromagnetiche.
L’esperienza quotidiana mostra che dopo aver sfregato una penna di plastica sui capelli, questa è capace di attirare piccoli pezzettini di carta. La penna ha acquistato una nuova proprietà fisica: si dice che è elettricamente carica.
Esperimenti sistematici, condotti soprattutto da Charles François de Cisternay du Fay (1733) e da Franklin (1747), portarono a tre risultati fondamentali.
La scoperta dell’elettrone (Thomson, 1897) e la misura della sua carica (Millikan, 1909), che abbiamo visto nel capitolo 21, hanno mostrato che la carica elettrica è quantizzata: tutte le cariche osservate in natura (su corpi macroscopici, su particelle libere) sono multipli interi della carica elementare:
Unità SI: \([e]={\mathrm{C} }\). Carica del protone \(+e\); carica dell’elettrone \(-e\).
Il coulomb (\(\mathrm {\mathrm{C} }\)) è l’unità SI di carica; \(1\,{\mathrm{C} }\) corrisponde a circa \(6.24\times 10^{18}\) cariche elementari. È un’unità grande: una pila stilo eroga \(\sim 1\,{\mathrm{C} }\) ogni mezz’ora di funzionamento.
Attenzione!
Conservazione \(\neq \) creazione/distruzione locale La conservazione totale non vieta che cariche di segno opposto possano essere create o distrutte simultaneamente in un dato punto. Negli acceleratori di particelle, per esempio, l’urto fra una particella e la sua antiparticella può annichilare entrambe in fotoni; viceversa, da fotoni di sufficiente energia si possono produrre coppie particella-antiparticella. In ogni caso, la carica totale si conserva.
A seconda di come la carica si distribuisce in essi, i materiali si classificano in tre grandi categorie.
In un conduttore in equilibrio elettrostatico, le cariche libere si ridistribuiscono fino a quando il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo: se così non fosse, le cariche continuerebbero a muoversi sotto l’azione del campo. Una conseguenza importante: in un conduttore in equilibrio, l’eccesso di carica si distribuisce sulla superficie esterna, non all’interno.
Esistono tre meccanismi principali per “caricare” un corpo inizialmente neutro.
Strofinio. Sfregando due materiali diversi (per esempio plastica e lana), elettroni vengono trasferiti dal materiale meno avido di elettroni (la lana) a quello più avido (la plastica). Si ottiene così la plastica caricata negativamente e la lana positivamente. Quale materiale acquisti elettroni dipende dalla cosiddetta serie triboelettrica (vetro \(>\) capelli \(>\) seta \(>\) lana \(>\) plastica \(>\) gomma, ecc.).
Contatto. Toccando un corpo conduttore neutro con un corpo carico, parte della carica si trasferisce per ridistribuzione, fino a che entrambi raggiungono lo stesso potenziale. Se i due corpi sono identici (per esempio due sfere uguali), la carica iniziale si suddivide in parti uguali.
Induzione. Avvicinando un corpo carico a un conduttore neutro, senza toccarlo, le cariche libere del conduttore si ridistribuiscono: le cariche di segno opposto sono attratte verso il corpo, quelle di segno uguale respinte. Il conduttore resta complessivamente neutro, ma è “polarizzato”. Se a questo punto lo si collega a terra (o lo si tocca con un dito), una parte di queste cariche fluirà a terra: rimuovendo poi la connessione e poi il corpo inducente, il conduttore resterà con una carica netta di segno opposto a quella del corpo inducente.
Polarizzazione (nei dielettrici). In un dielettrico le cariche sono legate: non possono migrare in massa come nei conduttori. Possono però spostarsi leggermente rispetto alla loro posizione di equilibrio, formando dipoli indotti. Il materiale resta complessivamente neutro, ma si comporta in modo differente nei confronti dei campi esterni (le bottiglie di plastica vengono attratte da una bacchetta carica anche senza contatto: è polarizzazione).
Charles-Augustin de Coulomb, nel 1785, condusse una serie di misure quantitative dell’interazione fra cariche elettriche usando una bilancia di torsione (uno strumento simile a quello che Cavendish avrebbe usato pochi anni dopo per la gravitazione, cap. 13). La legge che ne ricavò è straordinariamente analoga a quella di Newton per la gravitazione.
Legge 14.1 — Legge di Coulomb
Due cariche puntiformi \(q_1\) e \(q_2\), poste a distanza \(r\), si esercitano reciprocamente una forza di modulo:
Unità SI: \([F_C ]={\mathrm{N} }\), \([q]={\mathrm{C} }\), \([r]={\mathrm{m} }\), \([k_e ]={\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{C} ^{2} }\).
In forma vettoriale, la forza esercitata da \(q_1\) su \(q_2\) vale:
dove \(\hat {r}_{1\to 2}\) è il versore da \(1\) verso \(2\). Il segno del prodotto \(q_1\,q_2\) determina automaticamente il verso: positivo (cariche concordi) significa forza nel verso \(\hat {r}_{1\to 2}\) (repulsione); negativo (discordi), nel verso opposto (attrazione).
Sovrapposizione. Se sono presenti più cariche puntiformi \(q_1, q_2, \ldots , q_N\), la forza totale su una carica di prova \(q\) è la somma vettoriale delle forze esercitate da ciascuna carica singolarmente (principio di sovrapposizione):
La sovrapposizione è una proprietà fondamentale dell’elettromagnetismo e ne semplifica enormemente l’analisi.
La costante \(k_e \) è legata a una costante più fondamentale, chiamata permettività del vuoto:
Unità SI: \([k_e ]\approx 8.99\times 10^{9}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{C} ^{2} }\); \([\varepsilon_0 ]={\mathrm{F} / \mathrm{m} }={\mathrm{C} ^{2} / \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2} }\).
Le unità di \(\varepsilon_0 \) in \({\mathrm{F} / \mathrm{m} }\) (farad al metro) diventeranno trasparenti nel cap. 15 (corrente elettrica e condensatori). Numericamente, \(k_e \approx 9\times 10^{9}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{C} ^{2} }\): un valore molto grande, e questo si traduce nel fatto che la forza elettrica è una forza intensa, anche per cariche modeste.
Cariche in un mezzo dielettrico. Quando le cariche sono immerse in un mezzo dielettrico (acqua, olio, gas, ecc.), la forza è ridotta rispetto a quella nel vuoto. Si introduce la costante dielettrica relativa \(\varepsilon _r\) del mezzo, definita dal rapporto:
dove \(\varepsilon \) è la permettività del mezzo. La legge di Coulomb nel mezzo diventa:
Valori tipici a temperatura ambiente:
L’alto \(\varepsilon _r\) dell’acqua è il motivo per cui i sali (per esempio NaCl) si dissolvono facilmente: la forza elettrica fra ioni Na\(^+\) e Cl\(^-\) è ridotta di un fattore \(80\) rispetto al vuoto, permettendo agli ioni di separarsi e diffondere.
La legge di Coulomb \(F_C \propto q_1 q_2/r^2\) e la legge di gravitazione universale \(F_g \propto m_1 m_2/r^2\) (cap. 13) hanno la stessa struttura matematica. Ma quanto sono intense queste forze, in confronto?
Consideriamo due elettroni. La forza di Coulomb (repulsiva, cariche concordi) e la forza gravitazionale (attrattiva) hanno modulo:
Il rapporto, indipendente da \(r\):
La forza di Coulomb fra due elettroni è circa \(4\times 10^{42}\) volte più intensa della loro mutua attrazione gravitazionale. Eppure, su grande scala, è la gravità a dominare: stelle, galassie, sistemi planetari. Il motivo è che la materia macroscopica è quasi sempre elettricamente neutra (numero quasi uguale di protoni ed elettroni): le enormi forze coulombiane si bilanciano fra loro, mentre la massa — sempre positiva — si somma sempre. La gravità “vince” su grande scala non perché sia intensa, ma perché non si cancella.
Nella legge di Coulomb (e in quella di Newton per la gravità), due cariche poste a distanza \(r\) esercitano una forza l’una sull’altra istantaneamente, senza alcun “intermediario”. È l’azione a distanza: una nozione che già al tempo di Newton suscitò perplessità (lo stesso Newton, in una lettera a Bentley, la definì “così grande assurdità che credo nessuna persona con competenza in materia di filosofia naturale possa accettarla”).
L’idea di campo fu sviluppata nel XIX secolo da Michael Faraday e James Clerk Maxwell come superamento del concetto di azione a distanza. Anziché immaginare una forza che “viaggia istantaneamente” fra due cariche, si pensa la sorgente come modifichi lo spazio circostante: ogni punto dello spazio è caratterizzato da un campo, una grandezza fisica (vettoriale, in questo caso) che descrive “come si comporterebbe una carica di prova” posta in quel punto. Quando un’altra carica entra nel campo, sente la forza generata dal campo locale.
Questo cambio di prospettiva ha due vantaggi:
Definizione 14.1 — Campo elettrico
In un punto \(P\) dello spazio, si pone una piccola carica di prova \(q_{\mathrm {pr}}\) (assumiamo positiva) e si misura la forza \(\vec {F}\) che essa subisce. Il campo elettrico in \(P\) è il rapporto fra forza e carica di prova:
Unità SI: \([\vec{E} ]={\mathrm{N} / \mathrm{C} }\); equivalentemente \({\mathrm{V} / \mathrm{m} }\) (cfr. paragrafo sul potenziale).
La carica di prova deve essere “piccola” nel senso che non perturbi sensibilmente la distribuzione di cariche sorgente. In linea di principio, si prende il limite \(q_{\mathrm {pr}} \to 0\).
Campo di una carica puntiforme. Una carica \(Q\) puntiforme genera, a distanza \(r\), una forza su una carica di prova \(q_{\mathrm {pr}}\) (legge di Coulomb): \(\vec {F} = k_e \,Q q_{\mathrm {pr}}/r^2\,\hat {r}\). Il campo corrispondente è:
Unità SI: \([\vec{E} ]={\mathrm{V} / \mathrm{m} }\); \([Q]={\mathrm{C} }\), \([r]={\mathrm{m} }\); \(\hat {r}\) versore radiale.
Il verso è radiale: uscente dalla carica se \(Q > 0\), entrante se \(Q < 0\).
Sovrapposizione. Anche per il campo vale il principio di sovrapposizione: il campo totale prodotto da più cariche è la somma vettoriale dei campi prodotti da ciascuna:
La nozione di campo si applica identica alla gravità. Il campo gravitazionale in un punto è la forza per unità di massa che agirebbe su una massa di prova:
Unità SI: \([\vec {g}]={\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\) (oppure \({\mathrm{N} / \mathrm{kg} }\)); \([m]={\mathrm{kg} }\).
Vicino alla superficie terrestre, \(\vec {g}\) è (approssimativamente) uniforme, diretto verso il centro della Terra, con modulo \(g \approx 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\). È lo stesso valore che incontriamo come “accelerazione di gravità”: non è una coincidenza — la forza che agisce su una massa \(m\) vale \(\vec {F} = m\vec {g}\), e dal secondo principio \(\vec {a} = \vec {F}/m = \vec {g}\), quindi il campo gravitazionale coincide numericamente con l’accelerazione gravitazionale.
Per una massa puntiforme \(M\), il campo gravitazionale è \(\vec {g}(r) = -G M/r^2\,\hat {r}\): il segno meno indica che è sempre attrattivo (verso la sorgente). Differenza significativa rispetto a \(\vec{E} \): il campo gravitazionale è sempre attrattivo, mentre quello elettrico può essere attrattivo o repulsivo a seconda del segno della carica.
Un campo vettoriale come \(\vec{E} \) può essere rappresentato visivamente con le linee di campo: curve orientate definite dalle due proprietà:
Convenzioni:
Altri esempi visivi noti:
Prima di enunciare il teorema, introduciamo il concetto di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. È una grandezza che, intuitivamente, conta “quante linee di campo attraversano la superficie”.
Definizione 14.2 — Flusso (caso uniforme)
Per un campo \(\vec{E} \) uniforme e una superficie piana di area \(A\) con normale \(\hat {n}\) formante un angolo \(\theta \) con il campo:
Unità SI: \([\Phi ]={\mathrm{V} \mathrm{m} }\) (oppure \({\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{C} }\)); \([A]={\mathrm{m}^{2} }\).
Per una superficie non piana e/o un campo non uniforme, si suddivide la superficie in elementi \(\mathrm {d}\vec {A}\) infinitesimi e si integra:
Per superfici chiuse (sfere, cubi, palloni che racchiudono una regione), la convenzione è che \(\hat {n}\) punti verso l’esterno. Il flusso uscente è positivo, quello entrante negativo.
Legge 14.2 — Teorema di Gauss per il campo elettrico
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi è proporzionale alla carica netta interna alla superficie:
Unità SI: \([\Phi ]={\mathrm{V} \mathrm{m} }\); \([Q]={\mathrm{C} }\); \([\varepsilon_0 ]={\mathrm{F} / \mathrm{m} }\).
Il teorema di Gauss è equivalente alla legge di Coulomb: una formulazione integrale dello stesso fatto fisico. Tuttavia, in situazioni con sufficiente simmetria, il teorema permette di calcolare il campo elettrico molto più rapidamente, scegliendo opportunamente la superficie gaussiana.
Cenno di verifica per la carica puntiforme. Per una carica puntiforme \(Q\), scegliamo come gaussiana una sfera di raggio \(r\) centrata su \(Q\). Per simmetria, \(\vec{E} \) è radiale e ha modulo uniforme sulla sfera; inoltre \(\vec{E} \) è parallela a \(\mathrm {d}\vec {A}\) (entrambi radiali). Quindi:
da cui \(E = Q/(4\pi \varepsilon_0 r^2) = k_e Q/r^2\): si riottiene la legge di Coulomb.
Esiste un analogo gravitazionale del teorema di Gauss. Per il campo gravitazionale \(\vec {g}\), sempre attrattivo, vale:
Unità SI: \([\Phi ]={\mathrm{m} ^{3} / \mathrm{s} ^{2} }\); \([G ]={\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{kg} ^{2} }\); \([M]={\mathrm{kg} }\).
Il segno meno è caratteristico: il campo gravitazionale è entrante (verso le masse), mentre quello elettrico esce dalle cariche positive. È il riflesso del fatto che la gravità è sempre attrattiva.
Da Gauss gravitazionale discende, fra l’altro, il teorema del guscio di Newton (cap. 13): il campo gravitazionale fuori da una distribuzione sferica di massa è lo stesso che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro.
Il teorema di Gauss esprime il suo pieno potenziale quando la distribuzione di carica ha una qualche simmetria. Tre casi paradigmatici:
Simmetria sferica. Per una distribuzione sferica di carica \(Q\) (per esempio una sfera uniformemente carica, una carica puntiforme), il campo esterno è quello di una carica puntiforme equivalente al centro:
Dentro la distribuzione, il risultato dipende dalla distribuzione specifica. Per una sfera uniformemente carica, il campo cresce linearmente con \(r\) (zero al centro, massimo alla superficie).
Simmetria cilindrica (filo infinito carico). Un filo rettilineo infinito con densità di carica lineare \(\lambda \) (coulomb/metro) ha un campo radiale (perpendicolare al filo). Si sceglie come gaussiana un cilindro di raggio \(r\) e lunghezza \(L\) coassiale al filo; il flusso uscente è solo dalla superficie laterale (\(\vec{E} \) è perpendicolare alle basi del cilindro): \(\Phi = E\cdot 2\pi r L = \lambda L/\varepsilon_0 \). Si ricava:
Unità SI: \([E]={\mathrm{V} / \mathrm{m} }\); \([\lambda ]={\mathrm{C} / \mathrm{m} }\).
Il campo decresce come \(1/r\) (e non come \(1/r^2\)): è un risultato specifico della geometria cilindrica.
Simmetria piana (lastra infinita carica). Una lastra piana infinita con densità superficiale di carica \(\sigma \) (coulomb/metro\(^2\)) genera un campo uniforme, perpendicolare alla lastra e con modulo:
Unità SI: \([E]={\mathrm{V} / \mathrm{m} }\); \([\sigma ]={\mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} }\).
Sorprendentemente, il campo non dipende dalla distanza dalla lastra (purché la lastra sia infinita): è una caratteristica della simmetria piana. Per due lastre parallele cariche di segno opposto (condensatore piano), i campi si sommano nello spazio fra le lastre e si annullano all’esterno: il campo interno vale \(\sigma /\varepsilon_0 \).
La forza di Coulomb, come la gravitazionale, è conservativa: il lavoro fatto contro la forza per spostare una carica da un punto all’altro dipende solo dalle posizioni iniziale e finale, non dal percorso. Esiste quindi un’energia potenziale elettrica.
Per due cariche puntiformi \(q_1, q_2\) a distanza \(r\), scegliendo come riferimento \(U(\infty ) = 0\), si trova:
Unità SI: \([U]={\mathrm{J} }\); \([q]={\mathrm{C} }\); \([r]={\mathrm{m} }\).
Notiamo:
Per portare una carica \(q\) dall’infinito a distanza \(r\) da \(Q\), si deve fare un lavoro pari a \(W = U(r) - U(\infty ) = U(r)\). Se le cariche sono concordi, occorre fornire energia (lavoro positivo); se sono opposte, l’avvicinamento avviene spontaneamente (lavoro negativo: si recupera energia).
Analogamente al campo elettrico, definito come forza per unità di carica, definiamo il potenziale elettrico come energia potenziale per unità di carica.
Definizione 14.3 — Potenziale elettrico
L’unità SI del potenziale, il volt (\(\mathrm {\mathrm{V} }\)), è familiare: le pile, le batterie, le prese di casa sono caratterizzate dalla loro tensione (differenza di potenziale).
Per una carica puntiforme \(Q\), il potenziale a distanza \(r\) è (usando \(U = kQq_{\mathrm {pr}}/r\) e \(V = U/q_{\mathrm {pr}}\)):
Unità SI: \([V]={\mathrm{V} }\); \([Q]={\mathrm{C} }\); \([r]={\mathrm{m} }\).
Il potenziale è scalare (contrariamente al campo, che è vettoriale): è una semplificazione importante.
Sovrapposizione. Anche per il potenziale vale il principio di sovrapposizione: il potenziale totale di \(N\) cariche puntiformi è la somma algebrica (non vettoriale!) dei potenziali individuali:
Differenza di potenziale. In pratica, ciò che si misura non è il potenziale “assoluto”, ma la differenza di potenziale (d.d.p., o tensione) fra due punti:
È la d.d.p. a mettere in moto le cariche: in un circuito, una pila fornisce una d.d.p. ai suoi capi che provoca lo scorrere della corrente (cap. 15).
Relazione fra \(\vec{E} \) e \(V\). Campo e potenziale non sono indipendenti: in una dimensione, \(E_x = -\mathrm {d}V/\mathrm {d}x\). In tre dimensioni, \(\vec{E} = -\nabla V\) (gradiente). Il campo punta nella direzione di massima discesa del potenziale. Una carica positiva, abbandonata in un campo elettrico, si muove “verso potenziali decrescenti”; una carica negativa, “verso potenziali crescenti”.
Le superfici equipotenziali sono il luogo geometrico dei punti dello spazio in cui \(V\) assume lo stesso valore.
Proprietà fondamentali:
Esempio 14.1
Forza fra protone ed elettrone in un atomo di idrogeno Nell’atomo di idrogeno (modello di Bohr), l’elettrone si trova a distanza \(r = a_0 \approx 5.29\times 10^{-11}\,{\mathrm{m} }\) dal protone. Calcoliamo la forza coulombiana.
Calcolo.
È circa \(e-7\,{\mathrm{N} }\): piccolissima in termini macroscopici, ma rapportata alla massa dell’elettrone (\(m_e \approx 9.11\times 10^{-31}\,{\mathrm{kg} }\)) genera un’accelerazione \(a = F/m_e \approx 9\times 10^{22}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\), enorme.
Esempio 14.2
Campo a metà strada fra due cariche Due cariche \(q_1 = +2.0\,{\mu \mathrm{C} }\) e \(q_2 = -2.0\,{\mu \mathrm{C} }\) si trovano a distanza \(d = 20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcoliamo il campo elettrico nel punto medio fra di loro.
Soluzione. Nel punto medio, \(r_1 = r_2 = d/2 = 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Il campo dovuto a \(q_1\) (positiva) punta lontano da \(q_1\), cioè verso \(q_2\). Il campo dovuto a \(q_2\) (negativa) punta verso \(q_2\), sempre nello stesso verso. I due contributi si sommano:
\(E_{\mathrm {tot}} = E_1 + E_2 = 3.60\times 10^{6}\,{\mathrm{V} / \mathrm{m} }\), diretto da \(q_1\) verso \(q_2\).
Esempio 14.3
Filo carico infinito Un filo rettilineo di lunghezza enorme è uniformemente carico con densità lineare \(\lambda = 1.0\times 10^{-6}\,{\mathrm{C} / \mathrm{m} }\). Calcoliamo il campo elettrico a distanza \(r = 5.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dal filo.
Soluzione.
Esempio 14.4
Potenziale di due cariche Due cariche \(q_1 = +3.0\,{\mu \mathrm{C} }\) e \(q_2 = +5.0\,{\mu \mathrm{C} }\) si trovano nei punti \(P_1 = (0,0)\) e \(P_2 = (4.0\,{}, 0)\,{\mathrm{m} }\). Calcoliamo il potenziale nel punto \(P = (0, 3.0\,{\mathrm{m} })\).
Distanze. \(r_1 = 3.0\,{\mathrm{m} }\); \(r_2 = \sqrt {4.0^2 + 3.0^2}\,{\mathrm{m} } = 5.0\,{\mathrm{m} }\).
Potenziale (somma algebrica).
Esempio 14.5
Energia di ionizzazione dell’idrogeno Stimiamo, classicamente, l’energia necessaria per ionizzare l’atomo di idrogeno (portare l’elettrone da \(r = a_0\) a \(r \to \infty \)).
Energia potenziale a distanza \(a_0\).
Numericamente:
Energia totale (modello di Bohr). Nell’atomo di idrogeno l’elettrone ha anche energia cinetica; il modello di Bohr (cap. 22) mostra che \(E_k = -\tfrac {1}{2}\,U\), quindi \(E_{\mathrm {tot}} = U + E_k = \tfrac {1}{2}\,U \approx -13.6\,{\mathrm{eV}}\). L’energia di ionizzazione è \(E_{\mathrm {ion}} = -E_{\mathrm {tot}} = 13.6\,{\mathrm{eV}}\), in pieno accordo con i dati sperimentali.
Esercizio 14.1
Riepilogo
Carica elettrica — Grandezza fondamentale, quantizzata in multipli interi di \(e \approx 1.602\times 10^{-19}\,{\mathrm{C} }\). Cariche concordi si respingono, discordi si attraggono. La carica totale di un sistema isolato si conserva.
Conduttori e isolanti — Conduttori: cariche libere (metalli). Isolanti (dielettrici): cariche legate. Semiconduttori: intermedi.
Elettrizzazione — Per strofinio (trasferimento di elettroni), contatto, o induzione (polarizzazione senza contatto).
Legge di Coulomb — \(F_C = k_e \,q_1 q_2/r^2\) con \(k_e = 1/(4\pi \varepsilon_0 ) \approx 8.99\times 10^{9}\,{\mathrm{N} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{C} ^{2} }\); \(\varepsilon_0 \approx 8.854\times 10^{-12}\,{\mathrm{F} / \mathrm{m} }\). Vettoriale, attrattiva o repulsiva a seconda dei segni.
Confronto Coulomb-gravità — Stessa struttura \(1/r^2\), ma \(F_C /F_g \sim 10^{36}\)–\(10^{42}\) per particelle elementari. La gravità domina su grande scala solo perché la carica netta macroscopica si cancella mentre la massa si somma.
Campo elettrico — \(\vec{E} = \vec {F}/q\). Unità \({\mathrm{V} / \mathrm{m} }\). Per carica puntiforme, \(\vec{E} (r) = k_e Q/r^2\,\hat {r}\). Principio di sovrapposizione.
Linee di campo — Tangenti al campo, densità proporzionale al modulo. Escono dalle cariche \(+\), entrano nelle \(-\), non si intersecano.
Flusso e teorema di Gauss — \(\Phi (\vec{E} ) = \oint \vec{E} \cdot \mathrm {d}\vec {A} = Q_{\mathrm {int}}/\varepsilon_0 \) attraverso una superficie chiusa. Equivalente alla legge di Coulomb, ma molto comodo per distribuzioni simmetriche.
Applicazioni di Gauss — Simmetria sferica: \(E = kQ/r^2\). Simmetria cilindrica (filo infinito): \(E = \lambda /(2\pi \varepsilon_0 r)\). Simmetria piana (lastra infinita): \(E = \sigma /(2\varepsilon_0 )\), indipendente da \(r\).
Energia potenziale e potenziale — \(U = kq_1 q_2/r\) (con \(U(\infty ) = 0\)); \(V = U/q\) è il potenziale, unità volt (\(1\,{\mathrm{V} } = 1\,{\mathrm{J} / \mathrm{C} }\)). Per carica puntiforme, \(V = kQ/r\). Sovrapposizione scalare.
Differenza di potenziale — \(\Delta V = V_A - V_B\). È la d.d.p. a mettere in moto le cariche in un circuito. Relazione con il campo: \(\vec{E} = -\nabla V\) (in 1D, \(E = -\mathrm {d}V/\mathrm {d}x\)).
Superfici equipotenziali — \(V = \) costante. Sempre \(\perp \) alle linee di campo. Spostarsi lungo una equipotenziale non richiede lavoro. Un conduttore in equilibrio è una equipotenziale.
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