15 Corrente elettrica e circuiti

Capitolo 15
Corrente elettrica e circuiti

“Vi presento un apparecchio capace di produrre, senza fine, gli stessi effetti dell’elettricità.”
— Alessandro Volta, lettera a Sir Joseph Banks, Royal Society, 20 marzo 1800

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15.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente abbiamo studiato l’elettrostatica: cariche elettriche ferme nello spazio. Ora le mettiamo in moto: nasce la corrente elettrica, il flusso ordinato di cariche che, in poco più di due secoli, ha trasformato radicalmente la civiltà umana.

La data di svolta è il 1800, quando Alessandro Volta annunciò alla Royal Society di Londra la costruzione della pila: il primo dispositivo capace di mantenere una differenza di potenziale costante e quindi di produrre una corrente continua. Prima della pila, l’elettricità era una curiosità da laboratorio (scariche istantanee, scintille); dopo, divenne uno strumento.

In questo capitolo affrontiamo i concetti fondamentali della corrente nei circuiti: la definizione di intensità di corrente, la forza elettromotrice di un generatore, le leggi di Ohm che legano corrente, tensione e resistenza, le regole per combinare resistori in serie o in parallelo, la potenza dissipata per effetto Joule. Sono i mattoni con cui si analizza ogni circuito elettrico — dai più semplici (un filo, una pila, una lampadina) ai più complessi (calcolatori, elettrodomestici, reti di distribuzione nazionale).

15.2 La corrente elettrica

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15.2.1 Definizione di intensità di corrente

Corrente elettrica è il flusso ordinato di cariche elettriche attraverso una sezione di un conduttore. Per quantificarla, si misura quanta carica \(\Delta q\) attraversa una sezione del conduttore nell’intervallo di tempo \(\Delta t\).

Definizione 15.1 — Intensità di corrente

Intensità di corrente L’intensità di corrente è il rapporto fra la carica che attraversa una sezione del conduttore e il tempo impiegato:

\[ i = \dfrac {\Delta q}{\Delta t} \label {eq:15-intensita-corrente} \]

Unità SI: \([i]={\mathrm{A} }\); \(1\,{\mathrm{A} } = 1\,{\mathrm{C} / \mathrm{s} }\); \([\Delta q]={\mathrm{C} }\), \([\Delta t]={\mathrm{s} }\).

L’unità SI è l’ampere (\(\mathrm {\mathrm{A} }\)), in onore di André-Marie Ampère. Per correnti variabili nel tempo si scrive in forma differenziale: \(i(t) = \mathrm {d}q/\mathrm {d}t\).

Valori tipici di correnti:

Pulsazione nervosa: \(\sim e-9\,{\mathrm{A} }\) (un nanoampere).
Carica di un cellulare: \(\sim 1\,{\mathrm{A} }\).
Avviamento di un’automobile: \(\sim 100\,{\mathrm{A} }\).
Fulmine: \(\sim e4\)–\(e5\,{\mathrm{A} }\) (per millisecondi).

Verso convenzionale della corrente. Nei conduttori metallici, i portatori di carica liberi sono gli elettroni, che hanno carica negativa. Quando una pila spinge elettroni in un filo, gli elettroni si muovono dal polo negativo verso il polo positivo (esternamente alla pila). Per convenzione storica, però, il verso della corrente è quello in cui fluirebbero le cariche positive: cioè dal polo \(+\) al polo \(-\) all’esterno della pila. È una convenzione che precede la scoperta dell’elettrone (Franklin, ca. 1750) e si è cristallizzata nell’uso. In pratica:

Verso convenzionale: dal \(+\) al \(-\) del generatore (esterno).
Verso reale del moto degli elettroni: opposto.

La differenza non ha conseguenze pratiche sulle leggi che vedremo: le formule sono coerenti, purché si rispetti la convenzione adottata.

Velocità di deriva. Gli elettroni in un filo non si muovono velocemente come si potrebbe pensare. In un filo di rame con \(i = 1\,{\mathrm{A} }\), la velocità di deriva media degli elettroni è \(\sim 1\times 10^{-4}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\): un decimo di millimetro al secondo. Ciò che “viaggia veloce” (alla velocità della luce, o quasi) non è il singolo elettrone, ma il segnale elettrico: la perturbazione del campo che mette in moto tutti gli elettroni del filo praticamente in simultanea.

15.2.2 Forza elettromotrice

Perché in un filo ci sia corrente, qualcosa deve “spingere” le cariche. Questa funzione è svolta da un generatore (pila, batteria, dinamo, cella solare): un dispositivo che mantiene una differenza di potenziale costante ai suoi capi, compiendo lavoro su ogni carica che lo attraversa.

Definizione 15.2 — Forza elettromotrice (f.e.m.)

Forza elettromotrice (f.e.m.) La forza elettromotrice \(\varepsilon \) di un generatore è il lavoro fatto dal generatore per spostare l’unità di carica dal polo negativo al polo positivo all’interno del generatore:

\[ \varepsilon = \dfrac {W}{q} \label {eq:15-fem} \]

Unità SI: \([\varepsilon ]={\mathrm{V} }\); \(1\,{\mathrm{V} }=1\,{\mathrm{J} / \mathrm{C} }\).

Nonostante il nome storico, \(\varepsilon \) non è una forza nel senso meccanico: ha dimensioni di energia per unità di carica, cioè volt.

Attenzione!

Nome fuorviante Il nome “forza elettromotrice” (electromotive force in inglese, EMF) è un retaggio storico di quando il concetto era ancora confuso. Oggi si preferisce talvolta chiamarla semplicemente “tensione del generatore” o “f.e.m.”.

Tipi di generatori. Diverse tecnologie convertono energie diverse in lavoro elettrico:

Pila/batteria: energia chimica (Volta, 1800; oggi pile alcaline, ioni di litio, ecc.).
Dinamo/alternatore: energia meccanica via induzione (cap. 17).
Cella fotovoltaica: energia della luce solare via effetto fotoelettrico (cap. 21) in semiconduttori.
Termopila: differenza di temperatura (effetto Seebeck).
Cella a combustibile: energia chimica diretta (es. idrogeno).

Resistenza interna. Un generatore reale ha sempre una piccola resistenza interna \(r\). Quando eroga una corrente \(i\), la d.d.p. ai suoi morsetti vale \(V_{\mathrm {morsetti}} = \varepsilon - r\,i\), leggermente inferiore a \(\varepsilon \). È il motivo per cui una batteria scarica “fa fatica” a sostenere correnti elevate (la sua \(r\) è cresciuta).

15.2.3 Differenza di potenziale e circuiti

Un circuito elettrico è un percorso chiuso in cui le cariche possono fluire. Gli elementi tipici sono:

Generatore: fornisce energia alle cariche.
Conduttori (fili): collegano i componenti, con resistenza generalmente trascurabile.
Utilizzatori (resistori, lampade, motori, ecc.): consumano energia.
Eventuali interruttori, misuratori (amperometri, voltmetri), condensatori, ecc.

[Picture] — Figura 15.1: Schema di un circuito elettrico semplice: una pila (generatore, a sinistra) collegata tramite fili conduttori a un resistore \(R\) (a destra). Il verso convenzionale della corrente (freccia verde) va dal polo \(+\) al polo \(-\) all’esterno della pila; il moto reale degli elettroni (freccia grigia tratteggiata) avviene nel verso opposto.

In un circuito chiuso, la somma algebrica delle d.d.p. lungo un percorso chiuso deve essere zero (è una formulazione del primo principio di Kirchhoff, equivalente alla conservazione dell’energia per la carica): ogni guadagno di energia che la carica prende dal generatore (\(+\varepsilon \)) è bilanciato da quanto cede agli utilizzatori (\(-iR\), ecc.).

Attenzione!

Senza percorso chiuso, niente corrente Se il circuito è interrotto (interruttore aperto, filo rotto), la corrente non può scorrere: per la conservazione della carica, le cariche non possono accumularsi indefinitamente in un punto del filo. Aprire l’interruttore della luce significa creare un’apertura nel circuito che blocca il flusso. È una verifica immediata che la corrente è un fenomeno di flusso, non di accumulo.

15.3 Le leggi di Ohm

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15.3.1 Prima legge di Ohm

Nel 1827 Georg Simon Ohm pubblicò una serie di esperimenti sui conduttori metallici. Misurando, per un dato conduttore, la d.d.p. \(\Delta V\) applicata ai suoi capi e l’intensità di corrente \(i\) che vi fluiva, trovò che il rapporto \(\Delta V/i\) era costante.

Legge 15.1 — Prima legge di Ohm

Prima legge di Ohm Per un conduttore ohmico (metallico, a temperatura costante), la d.d.p. applicata e la corrente sono direttamente proporzionali:

\[ \Delta V = R\,i \label {eq:15-ohm-prima} \]

Unità SI: \([\Delta V]={\mathrm{V} }\), \([R]={\Omega }\), \([i]={\mathrm{A} }\); \(1\,{\Omega } = 1\,{\mathrm{V} / \mathrm{A} }\).

La costante \(R\) è la resistenza elettrica del conduttore.

L’unità di misura della resistenza nel SI è l’ohm (\(\mathrm {\Omega }\)), in onore di Ohm. Conduttori di buona qualità (resistenza bassa) lasciano fluire corrente alta a parità di tensione; conduttori cattivi (alta resistenza) la limitano.

Conduttori ohmici e non ohmici. La prima legge di Ohm vale solo per i conduttori ohmici: metalli puri a temperatura costante, alcuni elettroliti. Esistono moltissimi conduttori non ohmici, per i quali la relazione \(\Delta V\)–\(i\) non è lineare: il diodo (lascia passare corrente solo in un verso), i semiconduttori in generale, le lampadine a incandescenza (il filamento si scalda e cambia resistenza con la temperatura), i transistor, ecc.

15.3.2 Resistenza elettrica e seconda legge di Ohm

La resistenza di un filo dipende dalla sua geometria (lunghezza e sezione) e dal suo materiale. Ohm stesso, e poi altri, trovarono sperimentalmente la dipendenza esatta.

Legge 15.2 — Seconda legge di Ohm

Seconda legge di Ohm La resistenza di un conduttore omogeneo di lunghezza \(L\) e sezione trasversale \(A\) vale:

\[ R = \rho \,\dfrac {L}{A} \label {eq:15-ohm-seconda} \]

Unità SI: \([R]={\Omega }\), \([L]={\mathrm{m} }\), \([A]={\mathrm{m}^{2} }\), \([\rho ]={\Omega \mathrm{m} }\).

La costante \(\rho \), detta resistività, è una caratteristica del materiale e dipende dalla sua temperatura.

Valori tipici di resistività a temperatura ambiente (\(\sim 20\,{^\circ\text{C} }\)):

Argento: \(\rho \approx 1.59\times 10^{-8}\,{\Omega \mathrm{m} }\) (il miglior conduttore metallico).
Rame: \(\rho \approx 1.68\times 10^{-8}\,{\Omega \mathrm{m} }\).
Alluminio: \(\rho \approx 2.65\times 10^{-8}\,{\Omega \mathrm{m} }\).
Ferro: \(\rho \approx 9.7\times 10^{-8}\,{\Omega \mathrm{m} }\).
Costantana (lega Cu-Ni, usata nei resistori): \(\rho \approx 5\times 10^{-7}\,{\Omega \mathrm{m} }\).
Silicio puro (semiconduttore): \(\rho \approx 2.3\times 10^{3}\,{\Omega \mathrm{m} }\).
Vetro: \(\rho \sim e10\)–\(e14\,{\Omega \mathrm{m} }\).
Aria secca: \(\rho \sim e16\,{\Omega \mathrm{m} }\).

Il range è enorme: oltre venti ordini di grandezza fra conduttori e isolanti.

Dipendenza dalla temperatura. Per la maggior parte dei metalli, la resistività cresce linearmente con la temperatura, secondo:

\[ \rho (T) = \rho _0\,(1 + \alpha \,\Delta T), \]

dove \(\rho _0\) è la resistività a una temperatura di riferimento (di solito \(20\,{^\circ\text{C} }\)), \(\Delta T\) è la variazione di temperatura, e \(\alpha \) è il coefficiente di temperatura, con valori tipici \(\sim e-3\,{/ \mathrm{K} }\) per i metalli puri.

Conseguenza: un filo metallico che si scalda (per effetto Joule, vedi sotto) aumenta la sua resistenza, riducendo la corrente. È un meccanismo di autoregolazione utilizzato, ad esempio, nelle lampadine a incandescenza.

Per i semiconduttori, \(\rho \) diminuisce con la temperatura (più portatori di carica diventano disponibili termicamente). Per i superconduttori (alcuni metalli sotto una temperatura critica), \(\rho \) diventa esattamente zero: corrente senza dissipazione.

15.3.3 Resistori in serie e in parallelo

In un circuito reale ci sono spesso più resistori. Due configurazioni fondamentali, da cui si possono comporre tutte le altre.

Resistori in serie. Due resistori sono in serie quando sono attraversati dalla stessa corrente (sono collegati uno dopo l’altro, in fila). La d.d.p. totale è la somma delle d.d.p. sui due:

\[ \Delta V_{\mathrm {tot}} = \Delta V_1 + \Delta V_2 = R_1 i + R_2 i = (R_1 + R_2)\,i. \]

La resistenza equivalente è dunque la somma:

\[ R_{\mathrm {eq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_N \quad \text {(serie)} \label {eq:15-serie} \]

Unità SI: \([R]={\Omega }\).

La resistenza equivalente in serie è sempre maggiore di ciascuna delle componenti.

Resistori in parallelo. Due resistori sono in parallelo quando ai loro capi c’è la stessa d.d.p. (sono collegati ai medesimi due punti). La corrente totale si divide fra i due rami:

\[ i_{\mathrm {tot}} = i_1 + i_2 = \dfrac {\Delta V}{R_1} + \dfrac {\Delta V}{R_2} = \Delta V\,\bigg (\dfrac {1}{R_1} + \dfrac {1}{R_2}\bigg ). \]

Dunque:

\[ \dfrac {1}{R_{\mathrm {eq}}} = \dfrac {1}{R_1} + \dfrac {1}{R_2} + \cdots + \dfrac {1}{R_N} \quad \text {(parallelo)} \label {eq:15-parallelo} \]

Unità SI: \([R]={\Omega }\), \([1/R]={\mathrm{S} }\).

La resistenza equivalente in parallelo è sempre minore di ciascuna delle componenti (aggiungere un secondo cammino in parallelo facilita il flusso della corrente).

Esempi numerici.

Due resistori da \(10\,{\Omega }\) in serie: \(R_{\mathrm {eq}} = 20\,{\Omega }\).
Gli stessi in parallelo: \(1/R_{\mathrm {eq}} = 1/10 + 1/10 = 2/10\), da cui \(R_{\mathrm {eq}} = 5\,{\Omega }\).

In generale, ogni rete di resistori si può ridurre, ripetendo combinazioni di serie e parallelo, a una resistenza equivalente unica.

15.3.4 Effetto Joule e potenza dissipata

Quando una corrente attraversa un resistore, parte dell’energia fornita dal generatore viene convertita in calore per via degli urti degli elettroni con gli atomi del reticolo cristallino. È l’effetto Joule, e l’energia dissipata per unità di tempo (potenza) si calcola facilmente.

Una carica \(\Delta q\) che attraversa il resistore subisce una caduta di potenziale \(\Delta V\), perdendo energia \(\Delta W = \Delta q\cdot \Delta V\). La potenza dissipata è \(P = \Delta W/\Delta t = (\Delta q/\Delta t)\,\Delta V = i\,\Delta V\). Usando la prima legge di Ohm \(\Delta V = R i\), si possono scrivere tre forme equivalenti:

Legge 15.3 — Potenza dissipata per effetto Joule

Potenza dissipata per effetto Joule

\[ P = \Delta V \cdot i = R\,i^2 = \dfrac {(\Delta V)^2}{R} \label {eq:15-joule} \]

Unità SI: \([P]={\mathrm{W} }\); \([\Delta V]={\mathrm{V} }\), \([i]={\mathrm{A} }\), \([R]={\Omega }\).

L’energia dissipata in un intervallo \(\Delta t\) vale \(E = P \cdot \Delta t\); si misura in joule (o, in pratica, in kilowatt-ora, \(1\,{\mathrm{kWh}} = 3.6\times 10^{6}\,{\mathrm{J} }\), l’unità usata nelle bollette elettriche).

Applicazioni dell’effetto Joule.

Lampada a incandescenza: un filamento di tungsteno diventa incandescente e irradia luce (oggi sostituite da LED, più efficienti).
Resistenze di riscaldamento: stufette elettriche, scaldabagni, asciugacapelli, forni elettrici, ferri da stiro. Tutti convertono energia elettrica in calore.
Fusibili: per proteggere i circuiti da sovracorrenti, si interpone un filo sottile a basso punto di fusione. Se la corrente supera la soglia, il filo si fonde per effetto Joule, interrompendo il circuito.

Perdite di linea. Nelle reti di distribuzione elettrica, le perdite per effetto Joule sono proporzionali a \(i^2 R\) (con \(R\) la resistenza dei fili). Per ridurle, l’energia si trasporta a alta tensione e bassa corrente (a parità di potenza \(P = V i\)): è il motivo per cui le linee di alta tensione viaggiano a centinaia di \({\mathrm{k} \mathrm{V} }\). Trasformatori (cap. 17) abbassano la tensione a livelli pratici per l’uso domestico.

15.4 Esempi svolti

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Esempio 15.1

Carica trasportata da un asciugacapelli Un asciugacapelli funziona alla tensione di rete \(V = 230\,{\mathrm{V} }\) con potenza \(P = 1500\,{\mathrm{W} }\) per \(\Delta t = 5\,{\mathrm{min} }\). Quanta corrente assorbe e quanta carica totale fluisce attraverso il suo cavo?

Corrente.

\[ i = \dfrac {P}{V} = \dfrac {1500\,{\mathrm{W} }}{230\,{\mathrm{V} }} \approx 6.52\,{\mathrm{A} }. \]

Carica. \(\Delta t = 300\,{\mathrm{s} }\), dunque

\[ \Delta q = i\cdot \Delta t \approx 6.52\,{\mathrm{A} }\cdot 300\,{\mathrm{s} } \approx 1960\,{\mathrm{C} }. \]

Quasi \(2000\,{\mathrm{C} }\) di carica fluiscono nei \(5\) minuti. Corrisponde a \(\Delta q/e \approx 1.2\times 10^{22}\) elettroni.

Esempio 15.2

Resistenza di un filo di rame Un filo di rame ha lunghezza \(L = 50\,{\mathrm{m} }\) e sezione \(A = 1.0\,{\mathrm{m} \mathrm{m} ^{2} }\). Calcoliamo la sua resistenza (\(\rho _{\mathrm {Cu}} \approx 1.68\times 10^{-8}\,{\Omega \mathrm{m} }\)).

Calcolo. \(A = 1.0\,{\mathrm{m} \mathrm{m} ^{2} } = 1.0\times 10^{-6}\,{\mathrm{m}^{2} }\).

\[ R = \rho \,\dfrac {L}{A} = 1.68\times 10^{-8}\,{\Omega \mathrm{m} }\cdot \dfrac {50\,{\mathrm{m} }}{1.0\times 10^{-6}\,{\mathrm{m}^{2} }} = 0.84\,{\Omega }. \]

Resistenza molto bassa: questo è il motivo per cui il rame è usato universalmente nelle installazioni elettriche.

Esempio 15.3

Resistori in serie e in parallelo Tre resistori di valori \(R_1 = 10\,{\Omega }\), \(R_2 = 20\,{\Omega }\), \(R_3 = 30\,{\Omega }\) sono collegati prima tutti in serie, poi tutti in parallelo. Calcoliamo le resistenze equivalenti.

Serie.

\[ R_{\mathrm {eq,s}} = R_1 + R_2 + R_3 = 60\,{\Omega }. \]

Parallelo.

\[ \dfrac {1}{R_{\mathrm {eq,p}}} = \dfrac {1}{10} + \dfrac {1}{20} + \dfrac {1}{30} = \dfrac {6 + 3 + 2}{60} = \dfrac {11}{60}\,{\Omega ^{-1}}. \]

\[ R_{\mathrm {eq,p}} = \dfrac {60}{11}\,{\Omega } \approx 5.45\,{\Omega }. \]

Il parallelo è inferiore a \(R_1\), la più piccola delle tre, come ci si aspetta.

Esempio 15.4

Potenza dissipata da una lampadina Una lampadina è marcata “\(60\,{\mathrm{W} }, 230\,{\mathrm{V} }\)”. Calcoliamo la corrente che la attraversa, la sua resistenza (quando è in funzione), e l’energia consumata in un’ora di uso.

Corrente. \(P = V\,i\), dunque \(i = P/V = 60/230 \approx 0.261\,{\mathrm{A} }\).

Resistenza. \(P = V^2/R\), dunque \(R = V^2/P = (230)^2/60 \approx 882\,{\Omega }\).

Energia in un’ora. \(E = P \cdot \Delta t = 60\,{\mathrm{W} }\cdot 3600\,{\mathrm{s} } = 216000\,{\mathrm{J} } = 0.06\,{\mathrm{kWh}}\). Tariffa tipica \(\sim 0.20\,{\text {€}/ \mathrm{kWh}}\) \(\Rightarrow \) costo \(\sim 0.012\,\text {€}\) all’ora.

Esempio 15.5

Pila reale: resistenza interna Una pila ha f.e.m. \(\varepsilon = 12.0\,{\mathrm{V} }\) e resistenza interna \(r = 0.20\,{\Omega }\). Vi si collega ai capi un resistore esterno \(R = 3.0\,{\Omega }\). Calcoliamo la corrente nel circuito e la d.d.p. effettiva ai morsetti della pila.

Corrente. La resistenza totale del circuito è \(R + r\); la f.e.m. alimenta l’intero circuito:

\[ i = \dfrac {\varepsilon }{R + r} = \dfrac {12.0\,{\mathrm{V} }}{3.0\,{\Omega } + 0.20\,{\Omega }} = \dfrac {12.0}{3.20} = 3.75\,{\mathrm{A} }. \]

D.d.p. ai morsetti.

\[ V_{\mathrm {morsetti}} = \varepsilon - r\,i = 12.0\,{\mathrm{V} } - 0.20\,{\Omega }\cdot 3.75\,{\mathrm{A} } = 11.25\,{\mathrm{V} }. \]

La pila “perde” \(0.75\,{\mathrm{V} }\) a causa della propria resistenza interna. La potenza dissipata internamente è \(P_{\mathrm {int}} = r\,i^2 \approx 2.8\,{\mathrm{W} }\), che si traduce nel riscaldamento della pila durante l’uso.

15.5 Esercizi proposti

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Esercizio 15.1

1.: In un filo conduttore passa una corrente costante \(i = 2.0\,{\mathrm{A} }\) per \(\Delta t = 1\,{\mathrm{min} }\). Calcola la carica totale trasportata e il numero di elettroni corrispondente. [\(\Delta q = 120\,{\mathrm{C} }\); \(N \approx 7.5\times 10^{20}\) elettroni]
2.: Un filo di alluminio (\(\rho \approx 2.65\times 10^{-8}\,{\Omega \mathrm{m} }\)) di lunghezza \(L = 100\,{\mathrm{m} }\) ha resistenza \(R = 0.30\,{\Omega }\). Calcola il diametro del filo (sezione circolare). [\(A \approx 8.83\times 10^{-6}\,{\mathrm{m}^{2} }\); \(d \approx 3.35\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\)]
3.: La resistenza di un filo di rame a \(20\,{^\circ\text{C} }\) è \(R_0 = 1.0\,{\Omega }\). Quanto vale a \(120\,{^\circ\text{C} }\), sapendo che \(\alpha \approx 4.0\times 10^{-3}\,{/ \mathrm{K} }\) per il rame? [\(R \approx 1.4\,{\Omega }\), \(\sim 40\%\) in più]
4.: Due resistori, \(R_1 = 50\,{\Omega }\) e \(R_2 = 100\,{\Omega }\), sono collegati in serie a una pila di \(\varepsilon = 9.0\,{\mathrm{V} }\) (con \(r\) trascurabile). Calcola la corrente totale e la caduta di tensione su ciascun resistore. [\(i = 0.060\,{\mathrm{A} }\); \(\Delta V_1 = 3.0\,{\mathrm{V} }\); \(\Delta V_2 = 6.0\,{\mathrm{V} }\)]
5.: Gli stessi due resistori sono ora in parallelo, sempre collegati alla pila di \(9.0\,{\mathrm{V} }\). Calcola la resistenza equivalente e le correnti nei due rami. [\(R_{\mathrm {eq}} \approx 33.3\,{\Omega }\); \(i_1 = 0.18\,{\mathrm{A} }\); \(i_2 = 0.09\,{\mathrm{A} }\)]
6.: Un boiler elettrico ha potenza nominale \(P = 2000\,{\mathrm{W} }\) a \(V = 230\,{\mathrm{V} }\). Calcola la corrente assorbita e la resistenza dell’elemento scaldante. [\(i \approx 8.70\,{\mathrm{A} }\); \(R \approx 26.4\,{\Omega }\)]
7.: Quanta energia consuma un frigorifero da \(150\,{\mathrm{W} }\) attivo per il \(30\,{\% }\) del tempo, in un anno? Quanto costa, con tariffa \(0.25\,{\text {€}/ \mathrm{kWh}}\)? [\(E = 0.150\cdot 0.30\cdot 8760\,{\mathrm{kWh}} \approx 394\,{\mathrm{kWh}}\); costo \(\sim 98.6\,\text {€}\) all’anno]
8.: Una pila con \(\varepsilon = 1.5\,{\mathrm{V} }\) e \(r = 0.5\,{\Omega }\) alimenta un resistore esterno \(R = 2.5\,{\Omega }\). Quale è la corrente e quale percentuale della potenza erogata dalla pila si dissipa internamente? [\(i = 0.50\,{\mathrm{A} }\); \(P_{\mathrm {ext}}/P_{\mathrm {tot}} = R/(R+r) = 83.3\%\); il \(16.7\%\) è perso internamente]
9.: Una rete di distribuzione trasporta una potenza \(P = 1\,{\mathrm{MW}}\) su una linea di resistenza \(R = 2\,{\Omega }\). Confronta le perdite per effetto Joule se la trasmissione avviene a \(V = 220\,{\mathrm{V} }\) (rete domestica) o a \(V = 220\,{\mathrm{k} \mathrm{V} }\) (linea alta tensione). [bassa tensione: \(i = 4545\,{\mathrm{A} }\), perdite \(\sim 41\,{\mathrm{MW}}\) (più della potenza trasportata, assurdo); alta tensione: \(i = 4.55\,{\mathrm{A} }\), perdite \(\sim 41\,{\mathrm{W} }\), trascurabili]
10.: Un fusibile è dimensionato per fondersi a \(i = 10\,{\mathrm{A} }\). Se sopporta in regime una potenza \(P_{\max } = 2.5\,{\mathrm{W} }\), quale è la sua resistenza? [\(R = P/i^2 = 0.025\,{\Omega }\)]

15.6 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Intensità di corrente — \(i = \Delta q/\Delta t\), unità ampere (\(1\,{\mathrm{A} } = 1\,{\mathrm{C} / \mathrm{s} }\)). Verso convenzionale: dal \(+\) al \(-\) esternamente alla pila (opposto al moto reale degli elettroni).

Forza elettromotrice (f.e.m.) — \(\varepsilon = W/q\), è il lavoro per unità di carica compiuto da un generatore. Unità: volt. Pile, batterie, dinamo, fotovoltaico, ecc. Un generatore reale ha una resistenza interna \(r\): \(V_{\mathrm {morsetti}} = \varepsilon - r i\).

Circuiti — Generatore + conduttori + utilizzatori in un percorso chiuso. La somma algebrica delle d.d.p. lungo un percorso chiuso è zero (Kirchhoff).

Prima legge di Ohm — Per conduttori ohmici, \(\Delta V = R i\) con \(R\) la resistenza, unità ohm (\(1\,{\Omega } = 1\,{\mathrm{V} / \mathrm{A} }\)). Conduttori non ohmici: diodi, semiconduttori, lampadine a incandescenza.

Seconda legge di Ohm — \(R = \rho \,L/A\), dove \(\rho \) è la resistività del materiale (in \({\Omega \mathrm{m} }\)). Spazia su \(\sim 20\) ordini di grandezza fra metalli e isolanti. Dipendenza dalla temperatura nei metalli: \(\rho (T) = \rho _0(1 + \alpha \Delta T)\).

Resistori in serie — Stessa corrente, \(R_{\mathrm {eq}} = R_1 + R_2 + \cdots \) (sempre maggiore di ciascuna).

Resistori in parallelo — Stessa d.d.p., \(1/R_{\mathrm {eq}} = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots \) (sempre minore di ciascuna).

Effetto Joule — Energia dissipata in calore per il passaggio di corrente in un resistore. Potenza: \(P = \Delta V\cdot i = R i^2 = (\Delta V)^2/R\). Unità watt. Applicazioni: illuminazione, riscaldamento, fusibili. Nelle reti elettriche, le perdite \(i^2 R\) giustificano la trasmissione ad alta tensione.

Presentazioni— slide NotebookLM (clic per aprire il PDF)

La conduzione nella materia