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“Ho osservato che la corrente di una pila, passando attraverso un filo metallico, devia l’ago di una
bussola posta nelle vicinanze.”
— Hans Christian Ørsted, comunicazione del 21 luglio 1820
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I fenomeni magnetici sono noti dall’antichità: il termine “magnete” deriva dalla città di Magnesia (Asia Minore), dove si trovava un minerale di ferro (la magnetite, \(\mathrm {Fe_3O_4}\)) capace di attirare la limatura di ferro. Già nel XII secolo i Cinesi avevano costruito bussole basate sull’orientamento spontaneo di aghi di magnetite, fondamentali per la navigazione che avrebbe poi cambiato la storia.
Per quasi due millenni si pensò che elettricità e magnetismo fossero fenomeni indipendenti. Nel 1820 Hans Christian Ørsted scoprì casualmente che un filo percorso da corrente devia l’ago di una bussola posta nelle vicinanze: per la prima volta, un fenomeno elettrico produceva un effetto magnetico. Da quell’osservazione fortuita scaturì, nel giro di pochi decenni, l’unificazione di elettricità e magnetismo nelle quattro equazioni di Maxwell (cap. 18), una delle più grandi sintesi della fisica.
In questo capitolo introduciamo il campo magnetico \(\vec{B} \), ne studiamo le sorgenti (cariche in moto, correnti elettriche) e gli effetti (forza di Lorentz su cariche in moto, forza su un filo percorso da corrente). Sono i mattoni con cui costruiremo, nei capitoli successivi, l’induzione elettromagnetica e le onde elettromagnetiche.
Una calamita esercita una forza su altre calamite e su frammenti di ferro. La forza è di natura vettoriale: ha direzione, verso e intensità. Per descriverla introduciamo il campo magnetico \(\vec{B} \), un vettore definito in ogni punto dello spazio.
Definizione 16.1 — Campo magnetico
Il campo magnetico \(\vec{B} \) in un punto dello spazio è un vettore che esprime “come si comporterebbe una carica di prova in moto” in quel punto. Operativamente, dalla forza di Lorentz (paragrafo successivo) si ricava \(\vec{B} \) a partire dalla misura della forza su cariche di test.
Unità SI: tesla (\(\mathrm {\mathrm{T} }\)); \(1\,{\mathrm{T} } = 1\,{\mathrm{N} / \mathrm{A} / \mathrm{m} } = 1\,{\mathrm{V} \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} }\).
L’unità di misura del campo magnetico nel Sistema Internazionale è il tesla (\(\mathrm {\mathrm{T} }\)), in onore di Nikola Tesla. Una unità non-SI ancora molto usata in pratica è il gauss: \(1\,{\mathrm{G}} = e-4\,{\mathrm{T} }\) (G = gauss).
Valori tipici di campi magnetici:
Le sorgenti del campo magnetico, come vedremo, sono due:
Le due sorgenti, apparentemente diverse, sono in realtà equivalenti: anche il magnetismo dei materiali è prodotto da correnti microscopiche (gli elettroni in moto attorno ai nuclei e gli spin elettronici). È una conclusione di Ampère.
Come per il campo elettrico (cap. 14), il campo magnetico si rappresenta visivamente tramite linee di campo:
Per un magnete, le linee escono dal polo Nord ed entrano nel polo Sud. Esternamente al magnete: da N a S; ma internamente al magnete continuano da S a N, in modo che ogni linea sia chiusa su se stessa.
Visualizzazione sperimentale. Le linee di campo si possono visualizzare in laboratorio spargendo limatura di ferro su un foglio di carta posto sopra un magnete. Ogni granello di limatura, diventando un mini-magnete temporaneo, si allinea con il campo locale, e l’insieme disegna le linee di campo.
C’è una differenza profonda fra campo elettrico e campo magnetico: in elettrostatica, le linee di \(\vec {E}\) partono dalle cariche positive e terminano nelle negative (le “sorgenti” del campo). Nel caso magnetico, non esistono cariche magnetiche isolate: ogni magnete ha sempre due poli, N e S; spezzando un magnete in due, si ottengono due magneti più piccoli, ciascuno ancora con N e S; e così via, all’infinito.
Legge 16.1 — Assenza di monopoli magnetici
Non esistono “monopoli magnetici” (cariche magnetiche isolate). Di conseguenza, le linee di \(\vec{B} \) sono chiuse su se stesse, e il flusso di \(\vec{B} \) attraverso una qualunque superficie chiusa è zero:
Unità SI: \([\Phi (\vec{B} )] = {\mathrm{T} \mathrm{m}^{2} } = {\mathrm{Wb} }\); il flusso si misura in weber (\(\mathrm {\mathrm{Wb} }\)).
Questa equazione è una delle equazioni di Maxwell (cap. 18). È strettamente analoga al teorema di Gauss per il campo elettrico (cap. 14), ma con \(Q_{\mathrm {int}} = 0\) sempre: in altre parole, in elettromagnetismo classico le sorgenti del campo magnetico non sono “cariche” ma correnti.
Attenzione!
La ricerca dei monopoli magnetici Dirac (1931) dimostrò che l’esistenza di anche un solo monopolo magnetico nell’universo spiegherebbe la quantizzazione della carica elettrica. Per questo motivo i monopoli sono stati cercati con grande impegno sperimentale, anche di recente (esperimenti MoEDAL a LHC). A oggi, non ne è mai stato trovato uno. Resta uno dei misteri più intriganti della fisica fondamentale.
L’osservazione di Ørsted (1820) mostrò che una corrente elettrica genera un campo magnetico. Più in generale, ogni carica elettrica in moto è sorgente di campo magnetico. Una carica \(q\) che si muove con velocità \(\vec {v}\) genera, a distanza \(r\), un campo:
Unità SI: \([\vec{B} ]={\mathrm{T} }\); \([\mu_0 ]={\mathrm{T} \mathrm{m} / \mathrm{A} }\), \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \approx 1.257\times 10^{-6}\,{\mathrm{T} \mathrm{m} / \mathrm{A} }\).
dove \(\mu_0 \) è la permeabilità magnetica del vuoto e \(\hat {r}\) il versore dalla sorgente al punto di osservazione. Il campo è perpendicolare sia a \(\vec {v}\) sia al vettore posizione, con modulo \(B = (\mu_0 /4\pi )\,q v \sin \alpha / r^2\), dove \(\alpha \) è l’angolo fra \(\vec {v}\) e \(\hat {r}\).
In pratica, è la versione (più generale) per una particella isolata della famosa legge di Biot-Savart, che vedremo subito sotto per le correnti stazionarie.
Regola della mano destra (per ricordare il verso del campo di una corrente): se il pollice della mano destra punta nel verso della corrente convenzionale (o nel verso della velocità della carica positiva), le dita arrotolate indicano il verso delle linee di campo magnetico circolari attorno al filo.
Per una corrente elettrica \(I\) in un filo, ciascun tratto infinitesimo \(\mathrm {d}\vec {\ell }\) del filo contribuisce al campo magnetico in un punto \(P\) a distanza \(r\) con un infinitesimo:
È la legge di Biot-Savart (1820), il fondamento per calcolare \(\vec{B} \) in ogni geometria di conduttori percorsi da corrente. Integrando su tutto il filo si ricava il campo totale.
Tre casi notevoli, di uso costante in pratica.
Filo rettilineo infinito. Per un filo rettilineo molto lungo percorso dalla corrente \(I\), il campo a distanza perpendicolare \(r\) dal filo vale:
Unità SI: \([B]={\mathrm{T} }\); \([I]={\mathrm{A} }\), \([r]={\mathrm{m} }\).
Le linee di campo sono cerchi concentrici attorno al filo, in piani perpendicolari al filo stesso; il verso si determina con la regola della mano destra.
Spira circolare. Per una spira circolare di raggio \(R\) percorsa dalla corrente \(I\), il campo magnetico al centro della spira vale:
Unità SI: \([B]={\mathrm{T} }\); \([I]={\mathrm{A} }\), \([R]={\mathrm{m} }\).
Il vettore \(\vec{B} \) è perpendicolare al piano della spira, e il verso è dato dalla mano destra: se le dita seguono il verso della corrente, il pollice indica il verso di \(\vec{B} \).
Solenoide. Un solenoide è un filo avvolto fittamente in molte spire ravvicinate, in modo da formare una specie di tubo. Se \(n\) è il numero di spire per unità di lunghezza e \(I\) la corrente, all’interno del solenoide (in approssimazione di solenoide “lungo”) il campo è uniforme, parallelo all’asse:
Unità SI: \([B]={\mathrm{T} }\); \([n]={/ \mathrm{m} }\) (spire al metro); \([I]={\mathrm{A} }\).
All’esterno del solenoide (lontano dai bordi), il campo è trascurabile. È il principio degli elettromagneti: avvolgere molte spire attorno a un nucleo di ferro permette di ottenere campi intensi e uniformi su volumi estesi, e di accenderli e spegnerli a piacere variando la corrente.
Il campo magnetico esercita una forza sulle cariche elettriche solo se queste sono in moto. Su una carica \(q\) ferma, \(B\) non agisce.
Legge 16.2 — Forza di Lorentz
La forza esercitata da un campo magnetico \(\vec{B} \) su una carica \(q\) con velocità \(\vec {v}\) è:
Unità SI: \([F]={\mathrm{N} }\); \([q]={\mathrm{C} }\), \([v]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), \([B]={\mathrm{T} }\).
Caratteristiche essenziali:
Una carica che entra in un campo magnetico uniforme con velocità \(\vec {v}\) perpendicolare a \(\vec{B} \) subisce una forza di modulo costante (\(F = qvB\)), sempre perpendicolare a \(\vec {v}\). È l’identica situazione del moto circolare uniforme: la forza trasversale “curva” la traiettoria senza accelerare la particella.
Imponendo l’equilibrio fra Lorentz e forza centripeta:
Legge 16.3 — Raggio della traiettoria circolare
Il periodo del moto circolare (chiamato anche periodo ciclotronico) è
indipendente dalla velocità della particella: tutte le cariche di stessa massa e stessa carica girano nello stesso tempo, qualunque sia la loro \(v\) (purché non relativistica). È il principio del ciclotrone, il primo grande acceleratore di particelle (Lawrence, 1932).
Se \(\vec {v}\) ha una componente parallela e una perpendicolare a \(\vec{B} \), la componente parallela non risente di alcuna forza, e la componente perpendicolare segue il moto circolare. La traiettoria risultante è una elica cilindrica attorno alle linee di campo. È il motivo per cui le particelle cariche del Sole, intrappolate nel campo magnetico terrestre, descrivono spirali attorno alle linee di campo prima di raggiungere i poli e produrre le aurore polari.
Applicazioni: selettori di velocità e spettrometri di massa. Combinando un campo elettrico e uno magnetico opportunamente disposti, si possono costruire selettori di velocità: passano indenni solo le particelle con \(v = E/B\), indipendentemente da massa e carica. Più sofisticati, gli spettrometri di massa sfruttano \(r = mv/(qB)\) per separare ioni di masse diverse in un campo \(B\) noto: misurando \(r\) si risale a \(m/q\). È lo strumento principe della chimica analitica e della fisica nucleare.
Se in un filo scorre una corrente \(I\), ognuna delle cariche libere nel filo è soggetta alla forza di Lorentz. Sommando i contributi su un tratto \(\vec {L}\) di filo immerso in un campo magnetico \(\vec{B} \) (uniforme):
Legge 16.4 — Forza magnetica su un conduttore
Unità SI: \([F]={\mathrm{N} }\); \([I]={\mathrm{A} }\), \([L]={\mathrm{m} }\), \([B]={\mathrm{T} }\).
Per filo qualsiasi e/o campo non uniforme, in forma infinitesima: \(\mathrm {d}\vec {F} = I\,\mathrm {d}\vec {\ell } \times \vec{B} \).
Motori elettrici. Una bobina percorsa da corrente immersa in un campo magnetico subisce una coppia (momento di forza) che tende a farla ruotare. È il principio di funzionamento di tutti i motori elettrici. Cambiando periodicamente il verso della corrente (con un commutatore nei motori a corrente continua, o con corrente alternata negli altri), si mantiene la rotazione continua. Senza la forza \(\vec {F} = I\vec {L}\times \vec{B} \), non esisterebbero motori elettrici, e con essi la metà delle macchine moderne.
Definizione operativa dell’ampere. Prima della ridefinizione del 2019, l’ampere era definito proprio tramite la forza magnetica fra due fili paralleli percorsi da corrente: “\(1\,{\mathrm{A} }\) è la corrente che, scorrendo in due fili rettilinei e paralleli posti a \(1\,{\mathrm{m} }\) di distanza, produce una forza di \(2\times 10^{-7}\,{\mathrm{N} }\) per metro di filo”. Oggi l’ampere è definito a partire dalla carica elementare \(e\), ma il legame con la forza magnetica resta uno strumento di misura fondamentale.
Esempio 16.1
Campo magnetico di un filo Un filo rettilineo trasporta una corrente \(I = 10\,{\mathrm{A} }\). Calcoliamo il campo magnetico a distanza \(r = 5.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dal filo.
Calcolo.
Confrontabile con il campo magnetico terrestre. È il motivo per cui una bussola posta vicino a un cavo elettrico carico può deviare sensibilmente dall’indicare il Nord.
Esempio 16.2
Campo al centro di una spira Una spira circolare di raggio \(R = 2.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) è percorsa dalla corrente \(I = 3.0\,{\mathrm{A} }\). Calcoliamo il campo magnetico al suo centro.
Calcolo.
Esempio 16.3
Solenoide e dimensionamento Si vuole costruire un solenoide capace di generare un campo di \(B = 0.05\,{\mathrm{T} }\) al suo interno, con una corrente massima ammissibile di \(I = 2.0\,{\mathrm{A} }\). Quante spire al metro sono necessarie?
Calcolo. \(B = \mu_0 \,n\,I\), da cui
È una densità realistica, ottenibile avvolgendo filo sottile su un supporto cilindrico.
Esempio 16.4
Raggio della traiettoria di un protone Un protone (\(m_p = 1.67\times 10^{-27}\,{\mathrm{kg} }\), \(q = e\)) entra perpendicolarmente in un campo \(B = 0.50\,{\mathrm{T} }\) con velocità \(v = 1.0\times 10^{6}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Calcoliamo il raggio della traiettoria circolare e il periodo del moto.
Raggio.
Periodo.
Il periodo non dipende da \(v\): i ciclotroni sfruttano questa proprietà per accelerare i protoni con una corrente alternata a frequenza fissa \(f = 1/T\).
Esempio 16.5
Forza su un filo Un filo orizzontale di lunghezza \(L = 30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) è percorso dalla corrente \(I = 5.0\,{\mathrm{A} }\) in un campo magnetico \(B = 0.20\,{\mathrm{T} }\) perpendicolare al filo. Calcoliamo la forza sul filo.
Calcolo. \(\sin \alpha = 1\) (filo \(\perp \) campo).
Direzione: data dalla regola della mano destra (\(\vec {F}\) perpendicolare sia al filo sia a \(\vec{B} \)). È esattamente la forza che mette in rotazione la spira di un motore elettrico.
Esercizio 16.1
Riepilogo
Campo magnetico \(\vec{B} \) — Grandezza vettoriale che descrive l’azione magnetica in ogni punto dello spazio. Unità: tesla (\(1\,{\mathrm{T} } = 1\,{\mathrm{N} / \mathrm{A} / \mathrm{m} }\)). Sorgenti: magneti permanenti e correnti elettriche (Ørsted, 1820; Ampère).
Linee di campo magnetico — Tangenti a \(\vec{B} \), escono dal N ed entrano nel S nei magneti. Sono chiuse su se stesse, a differenza delle linee di \(\vec {E}\) che hanno inizio e fine sulle cariche.
Assenza di monopoli magnetici — Non esistono cariche magnetiche isolate. Flusso di \(\vec{B} \) attraverso una superficie chiusa \(= 0\). È una delle equazioni di Maxwell.
Legge di Biot-Savart — Per un tratto di filo \(\mathrm {d}\vec {\ell }\) percorso da \(I\): \(\mathrm {d}\vec{B} = (\mu_0 /4\pi )\, I\mathrm {d}\vec {\ell }\times \hat {r}/r^2\), con \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,{\mathrm{T} \mathrm{m} / \mathrm{A} }\).
Casi notevoli:
Forza di Lorentz — \(\vec {F} = q\,\vec {v}\times \vec{B} \). Perpendicolare sia a \(\vec {v}\) sia a \(\vec{B} \). Modulo: \(F = qvB\sin \alpha \). Lavoro nullo: \(\vec{B} \) non cambia l’energia cinetica della carica.
Moto in \(\vec{B} \) uniforme — Se \(\vec {v}\perp \vec{B} \): moto circolare uniforme con raggio \(r = mv/(|q|B)\) e periodo \(T = 2\pi m/(|q|B)\) (indipendente da \(v\)). Se \(\vec {v}\) ha componente parallela: moto a elica. Applicazioni: ciclotrone, spettrometro di massa, aurore polari.
Forza su un filo percorso da corrente — \(\vec {F} = I\,\vec {L}\times \vec{B} \). È alla base del funzionamento di tutti i motori elettrici. Definizione storica dell’ampere come forza fra due fili paralleli.
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