23 Astrofisica e cosmologia

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Capitolo 23
Astrofisica e cosmologia

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“Siamo fatti di polvere di stelle.”
— Carl Sagan, Cosmos, 1980

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23.1 Introduzione motivazionale

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Gli oggetti più lontani dell’universo si trovano a miliardi di anni-luce da noi: la luce che ne riceviamo è partita quando le stelle e le galassie erano molto giovani. Eppure, sorprendentemente, ne possiamo dire qualcosa di preciso. La fisica che descrive il moto di una mela che cade e quella dei pianeti (cap. 13), gli atomi e le loro transizioni (cap. 22), la radiazione di corpo nero (cap. 21) e la relatività (cap. 19) sono tutte ciò che serve per leggere l’universo: la sua struttura, la sua storia, il suo futuro probabile.

In questo capitolo conclusivo della fisica moderna vediamo due grandi temi.

Astrofisica stellare: come è fatta una stella all’interno, perché brilla, come evolve dalla nascita alla morte. Vedremo che la nostra stessa esistenza dipende dalla nucleosintesi avvenuta in stelle scomparse miliardi di anni fa.
Cosmologia: l’universo nel suo complesso. La sua espansione (legge di Hubble), la sua origine (Big Bang circa \(13.8\) miliardi di anni fa), e la radiazione cosmica di fondo, fossile della sua infanzia.

A entrambi i temi ci avviciniamo a livello introduttivo: gli ordini di grandezza, le idee chiave, gli esperimenti decisivi.

23.2 Struttura ed evoluzione delle stelle

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23.2.1 Struttura interna di una stella

Una stella è un’enorme sfera autogravitante di gas (prevalentemente idrogeno ed elio), tenuta in equilibrio dalla competizione fra due effetti opposti.

La gravità, che tende a far collassare la stella su se stessa.
La pressione interna, che tende a far espandere il gas verso l’esterno.

Definizione 23.1 — Equilibrio idrostatico stellare

Equilibrio idrostatico stellare In ogni strato di una stella in equilibrio, il gradiente di pressione verso l’interno bilancia esattamente il peso del materiale soprastante. Approssimativamente, in un guscio sottile di raggio \(r\):

\[ \dfrac {\Delta p}{\Delta r} = -\rho (r)\,g(r) \label {eq:23-equilibrio-idrostatico} \]

Unità SI: \([\Delta p/\Delta r]={\mathrm{Pa} / \mathrm{m} }\), \([\rho ]={\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} }\), \([g]={\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\).

\(g(r)\) è la gravità prodotta dalla massa \(M(r)\) contenuta entro \(r\).

Le stelle hanno una struttura “stratificata”:

Nucleo: regione centrale (raggio circa \(0.2\)–\(0.3 R_{\star }\)), in cui temperatura e densità sono massime (\(T \sim 1.5\times 10^{7}\,{\mathrm{K} }\) e \(\rho \sim 1.5\times 10^{5}\,{\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} }\) nel Sole). È qui che avvengono le reazioni di fusione nucleare che alimentano la stella.
Zona radiativa: l’energia prodotta nel nucleo si propaga verso l’esterno per diffusione di fotoni (cammino casuale fra le particelle); è lentissima — un fotone impiega \(\sim 1\times 10^{5}\) anni a uscire dal Sole, contro i soli \(8\) minuti per attraversare la distanza Terra-Sole.
Zona convettiva: negli strati esterni di stelle come il Sole, il trasporto avviene per moti convettivi del gas (analoghi al ribollire dell’acqua in pentola).
Fotosfera: il sottile strato (poche centinaia di chilometri) da cui la stella emette quasi tutta la luce visibile. La sua temperatura definisce la temperatura efficace della stella.
Cromosfera e corona: atmosfera esterna tenue ma sorprendentemente calda (oltre \(e6\,{\mathrm{K} }\) nella corona solare), visibile durante le eclissi totali.

Per una stella in equilibrio idrostatico e in equilibrio termico, la luminosità \(L\) (energia emessa al secondo) dipende essenzialmente dalla massa: \(L \propto M^{\alpha }\) con \(\alpha \approx 3\)–\(4\) in sequenza principale. Una stella di massa doppia di quella solare brilla circa \(10\) volte di più.

23.2.2 Reazioni nucleari nelle stelle e nucleosintesi

Già nel 1920 Eddington intuì che la fusione nucleare poteva spiegare l’enorme energia emessa dal Sole. Le reazioni che trasformano idrogeno in elio sono di due famiglie principali.

Catena protone-protone (pp). Nelle stelle di massa modesta (come il Sole, \(M_{\odot }\)), la fusione avviene attraverso una catena di reazioni che converte quattro protoni in un nucleo di elio-4:

\[ 4\,\mathrm {p} \to {}^4\mathrm {He} + 2\,e^+ + 2\,\nu _e + 2\,\gamma . \]

L’energia totale liberata per ogni nucleo di elio formato è \(\sim 26.7\,{\mathrm{MeV}}\). In particolare, in una catena pp1 (la più frequente nel Sole) si hanno tre stadi successivi: \(\mathrm {p+p} \to {}^2\mathrm {H} + e^+ + \nu _e\); \(^2\mathrm {H} + \mathrm {p} \to {}^3\mathrm {He} + \gamma \); \(^3\mathrm {He} + ^3\mathrm {He} \to {}^4\mathrm {He} + 2\mathrm {p}\).

Ciclo CNO. Nelle stelle più massive (e a temperature più alte), il carbonio, l’azoto e l’ossigeno fungono da catalizzatori per la stessa reazione netta (\(4\mathrm {p} \to {}^4\mathrm {He}\)), aumentandone sensibilmente l’efficienza. Il ciclo CNO è dominante in stelle di massa \(\gtrsim 1.3\,M_{\odot }\).

Nucleosintesi stellare. Nelle fasi tardive della vita di una stella massiccia, fusioni successive producono elementi via via più pesanti: \(^4\mathrm {He} \to {}^{12}\mathrm {C}\) (processo \(3\alpha \)), poi ossigeno, neon, magnesio, silicio, fino al ferro (\(^{56}\mathrm {Fe}\)). Oltre il ferro, la fusione non libera energia (siamo già al picco della curva di legame, cap. 22). Gli elementi più pesanti del ferro vengono prodotti in eventi catastrofici: supernovae (esplosioni di stelle massive che terminano la loro vita) e fusioni di stelle di neutroni, dove le condizioni estreme permettono la cattura rapida di neutroni (processo r).

In sintesi: l’oro che indossi, il carbonio del tuo corpo, l’ossigeno che respiri, sono tutti prodotti in stelle morte miliardi di anni prima della nascita del Sole. “Siamo polvere di stelle” non è una metafora poetica, è un dato di fatto scientifico.

23.2.3 Diagramma di Hertzsprung-Russell ed evoluzione stellare

Tra il 1911 e il 1913, Ejnar Hertzsprung e Henry Norris Russell, indipendentemente, scoprirono un diagramma che ordina le stelle in funzione di due loro proprietà: la luminosità (potenza emessa, sull’asse \(y\)) e la temperatura efficace (legata al colore, sull’asse \(x\), decrescente verso destra). Il risultato, oggi noto come diagramma H-R, è una mappa fondamentale per la classificazione e lo studio dell’evoluzione stellare.

[Picture] — Figura 23.1: Diagramma di Hertzsprung-Russell (schema). Luminosità in scala logaritmica vs temperatura efficace. La maggior parte delle stelle si dispone lungo la sequenza principale, una banda diagonale; in alto a destra le giganti rosse, in basso a sinistra le nane bianche. Il Sole è una tipica stella di sequenza principale di classe G.

Le stelle non si distribuiscono casualmente nel diagramma H-R: la maggior parte sta lungo una banda diagonale, la sequenza principale, dove le stelle bruciano idrogeno nel nucleo. La massa ne determina la posizione: stelle massive sono in alto a sinistra (calde, luminose), stelle piccole in basso a destra (fredde, deboli). A parte la sequenza principale, le stelle si concentrano anche in:

Giganti rosse: stelle che hanno esaurito l’idrogeno nel nucleo e si sono espanse, raffreddandosi all’esterno.
Nane bianche: residui ultracompatti delle stelle di massa modesta dopo l’esaurimento del combustibile nucleare.

Evoluzione stellare in sintesi. La vita di una stella dipende dalla sua massa iniziale.

Stelle di massa piccola/media (come il Sole): formazione da nube di gas → sequenza principale per miliardi di anni → gigante rossa (espansione, raffreddamento esterno) → espulsione degli strati esterni (nebulosa planetaria) → nana bianca (residuo). Tempo totale: \(\sim e10\) anni.
Stelle massive (\(M \gtrsim 8\,M_{\odot }\)): vita molto più rapida (\(\sim e6\)–\(e7\) anni), fasi tardive di nucleosintesi fino al ferro, esplosione finale come supernova (tipo II). I residui sono stelle di neutroni o buchi neri, a seconda della massa.

Il Sole, con i suoi \(\sim 4.6\) miliardi di anni, è a metà della sua vita prevista in sequenza principale: si trasformerà in gigante rossa fra circa \(5\) miliardi di anni, ingolfando Mercurio, Venere e probabilmente la Terra.

23.3 Modelli cosmologici

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Dalla scala stellare passiamo a quella dell’intero universo. La cosmologia è lo studio dell’universo come un singolo oggetto fisico — la sua origine, la sua struttura su grande scala, il suo futuro.

23.3.1 Espansione dell’universo e legge di Hubble

Per molti secoli si era ritenuto l’universo statico, eterno e immutabile su scale temporali umane. Anche Einstein, costruita la relatività generale, modificò le sue equazioni inserendo una costante cosmologica apposta per avere una soluzione statica.

Nel 1929 Edwin Hubble pubblicò le osservazioni che demoliranno definitivamente l’ipotesi statica. Misurando le distanze di galassie lontane (usando le “candele standard” delle stelle cefeidi) e le loro velocità radiali (dal redshift dello spettro), Hubble scoprì una relazione lineare:

Legge 23.1 — Legge di Hubble (1929)

Legge di Hubble (1929) La velocità di allontanamento \(v\) di una galassia è proporzionale alla sua distanza \(d\):

\[ v = H_0\,d \label {eq:23-hubble} \]

Unità SI: \([v]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), \([d]={\mathrm{m} }\), \([H_0]={/ \mathrm{s} }\); valore attuale stimato \(H_0 \approx 70\,{\mathrm{\mathrm{k}} \mathrm{\mathrm{m}} / \mathrm{\mathrm{s}} / \mathrm{Mpc}}\), dove \(1\,{\mathrm{Mpc}} \approx 3.09\times 10^{22}\,{\mathrm{m} }\).

\(H_0\) è la costante di Hubble. Tutte le galassie distanti si allontanano da noi, con velocità tanto maggiore quanto maggiore è la distanza. Non è che noi siamo al centro di qualcosa: la stessa cosa sarebbe vista da qualunque altra galassia. L’universo si sta espandendo: lo spazio stesso si dilata, e le galassie ne sono “trasportate” come puntini su un palloncino che si gonfia.

Redshift cosmologico. La velocità di allontanamento si misura dallo spostamento verso il rosso (\(z\)) delle righe spettrali della galassia: \(\lambda _{\mathrm {osservato}} = (1+z)\,\lambda _{\mathrm {emesso}}\). Per piccole velocità, \(z \approx v/c\). Per galassie molto lontane \(z\) può raggiungere e superare \(1\) (regime relativistico generale).

Età dell’universo. Invertendo la legge di Hubble, \(1/H_0\) ha le dimensioni di un tempo: fornisce una stima di prima approssimazione dell’età dell’universo. Con \(H_0 \approx 70\,{\mathrm{\mathrm{k}} \mathrm{\mathrm{m}} / \mathrm{\mathrm{s}} / \mathrm{Mpc}}\), si ottiene \(1/H_0 \approx 14\) miliardi di anni. Considerando che il tasso di espansione non è stato costante (ora sappiamo che l’espansione accelera, attribuita a una misteriosa “energia oscura”), una determinazione più accurata fornisce \(t_{\mathrm {univ}} \approx 13.8\) miliardi di anni.

23.3.2 Modello del Big Bang

Se l’universo si sta espandendo oggi, allora era più compatto ieri, ancor più ieri l’altro, ecc. Estrapolando all’indietro, si arriva a un istante in cui tutta la materia (e il tempo stesso) erano concentrati in uno stato di densità e temperatura estremamente elevate. È l’idea del Big Bang, formulata in modo quantitativo da Georges Lemaître nel 1931 (proponeva inizialmente un “atomo primigenio”).

Il modello del Big Bang ha tre conferme osservative fondamentali:

1.: La legge di Hubble (visto sopra).
2.: L’abbondanza degli elementi leggeri.
3.: La radiazione cosmica di fondo a microonde (CMB), di cui parleremo nel paragrafo successivo.

Cronologia schematica.

\(t = 0\): singolarità iniziale (un istante di densità e temperatura formalmente infinite; le leggi note della fisica non si applicano).
\(t \sim e-43\,{\mathrm{s} }\) (tempo di Planck): il limite oltre cui la gravità quantistica diventa essenziale; prima di questo istante non sappiamo dire nulla.
\(t \sim e-32\,{\mathrm{s} }\): epoca di inflazione, un’espansione esponenziale dell’universo che spiega l’omogeneità e la geometria piatta.
\(t \sim e-6\,{\mathrm{s} }\): formazione di protoni e neutroni dai quark (quark-confinamento).
\(t \sim 1\,{\mathrm{s} }\) – \(3\,{\mathrm{min} }\): nucleosintesi primordiale. Le reazioni nucleari producono i nuclei leggeri: idrogeno, deuterio, elio-3, elio-4, litio-7. Le abbondanze previste sono in eccellente accordo con quelle misurate (un terzo pilastro del modello).
\(t \sim 380000\) anni: l’universo si è raffreddato abbastanza (\(T \sim 3000\,{\mathrm{K} }\)) perché elettroni e protoni si combinino in atomi neutri di idrogeno (ricombinazione). I fotoni, che fino ad allora rimbalzavano continuamente sulle cariche libere, si trovano improvvisamente liberi di propagarsi: nasce la radiazione cosmica di fondo.
\(t \sim e8\) anni: formazione delle prime stelle (“epoca della reionizzazione”).
\(t \sim e9\) anni: prime galassie.
\(t \sim 4.6\cdot e9\) anni: formazione del Sistema Solare.
\(t \sim 1.38\times 10^{10}\) anni: oggi.

Attenzione!

Cosa il Big Bang non è Il Big Bang non è “un’esplosione in un punto dello spazio”: non c’era spazio esterno in cui esplodere. È l’espansione dello spazio stesso, che cominciò ad accadere ovunque contemporaneamente. La domanda “dov’è avvenuto il Big Bang?” è mal posta: il Big Bang è avvenuto ovunque.

23.3.3 Radiazione cosmica di fondo

La radiazione cosmica di fondo a microonde (CMB, Cosmic Microwave Background) fu predetta teoricamente da Alpher e Herman nel 1948 come “eco fossile” del Big Bang: i fotoni liberati all’epoca della ricombinazione, espandendosi con l’universo, avrebbero oggi una lunghezza d’onda nelle microonde (e una temperatura di qualche kelvin).

La conferma sperimentale arrivò per caso. Nel 1964, Arno Penzias e Robert Wilson, lavorando per i Bell Labs su un’antenna a microonde, misurarono un rumore di fondo che non riuscivano a eliminare: sembrava arrivare da tutte le direzioni del cielo, isotropicamente, con una temperatura equivalente di \(\sim 3\,{\mathrm{K} }\). Era il fossile che cercavano: la CMB. Nobel per la fisica nel 1978.

Legge 23.2 — Radiazione cosmica di fondo (CMB)

Radiazione cosmica di fondo (CMB)

Distribuzione spettrale: corpo nero quasi perfetto, a temperatura \(T_{\mathrm {CMB}} \approx 2.725\,{\mathrm{K} }\).
Isotropia: temperatura uniforme in ogni direzione del cielo a meglio di una parte su \(e5\).
Anisotropie: piccolissime fluttuazioni (\(\Delta T/T \sim e-5\)) sono il seme della successiva formazione di galassie e strutture cosmiche.

Le anisotropie della CMB sono state misurate con sempre maggiore precisione da satelliti come COBE (anni ’90), WMAP (anni 2000) e Planck (2009–2013). Da queste misure si ricavano vincoli precisi sui parametri cosmologici, in particolare:

Età dell’universo: \(13.8\) miliardi di anni.
Composizione: \(\sim 5\,{\% }\) materia ordinaria (atomi), \(\sim 27\,{\% }\) materia oscura, \(\sim 68\,{\% }\) energia oscura.
Geometria spaziale: piatta entro l’errore di misura.

L’esistenza di materia oscura ed energia oscura — ben oltre il \(90\,{\% }\) del contenuto energetico dell’universo — è una delle frontiere aperte della fisica contemporanea: di esse sappiamo gli effetti gravitazionali, ma non la natura microscopica. Una nuova fisica fondamentale potrebbe essere a un solo passo da noi.

23.4 Esempi svolti

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Esempio 23.1

Luminosità del Sole La costante solare (potenza per unità di superficie a livello dell’orbita terrestre) vale \(S_0 \approx 1361\,{\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} }\). La distanza Terra-Sole è \(d_{\oplus } \approx 1.496\times 10^{11}\,{\mathrm{m} }\). Calcoliamo la luminosità totale del Sole.

Impostazione. La luminosità è la potenza emessa, \(L = \) flusso ricevuto \(\times \) superficie della sfera di raggio \(d_{\oplus }\):

\[ L_{\odot } = S_0 \cdot 4\pi \,d_{\oplus }^2. \]

Sostituzione numerica.

\[ L_{\odot } = 1361\,{\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} } \cdot 4\pi \cdot (1.496\times 10^{11}\,{\mathrm{m} })^2 \approx 3.83\times 10^{26}\,{\mathrm{W} }. \]

\(\sim e26\,{\mathrm{W} }\): una luminosità enorme. È il valore convenzionalmente assunto come \(L_{\odot }\).

Esempio 23.2

Massa convertita ogni secondo nel Sole Dalla luminosità precedente e dall’equivalenza massa-energia \(E = m\,c^2\) (cap. 19), calcoliamo la perdita di massa del Sole al secondo.

Soluzione.

\[ \dfrac {\Delta m}{\Delta t} = \dfrac {L_{\odot }}{c^2} = \dfrac {3.83\times 10^{26}\,{\mathrm{W} }}{(3.0\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} })^2} \approx 4.26\times 10^{9}\,{\mathrm{kg} / \mathrm{s} }. \]

Il Sole perde circa \(4\) miliardi di chilogrammi di massa al secondo. È una quantità modesta rispetto alla sua massa totale (\(M_{\odot } \approx 2.0\times 10^{30}\,{\mathrm{kg} }\)): in \(4.6\) miliardi di anni ha perso meno dello \(0.04\,{\% }\) della sua massa iniziale.

Esempio 23.3

Velocità di una galassia alla legge di Hubble Una galassia si trova a \(d = 100\,{\mathrm{Mpc}}\) da noi. Quale è la sua velocità di allontanamento, secondo la legge di Hubble con \(H_0 \approx 70\,{\mathrm{\mathrm{k}} \mathrm{\mathrm{m}} / \mathrm{\mathrm{s}} / \mathrm{Mpc}}\)?

Calcolo.

\[ v = H_0 \cdot d = 70\,\dfrac {{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }}{{\mathrm{Mpc}}} \cdot 100\,{\mathrm{Mpc}} = 7000\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }. \]

È circa il \(2.3\,{\% }\) della velocità della luce. Per distanze molto maggiori, \(v\) può avvicinarsi e superare \(c\) (gli oggetti più lontani vanno trattati con relatività generale: non c’è contraddizione, perché lo spazio stesso si dilata).

Esempio 23.4

Stima dell’età dell’universo Stimiamo l’età dell’universo come \(1/H_0\), assumendo \(H_0 = 70\,{\mathrm{\mathrm{k}} \mathrm{\mathrm{m}} / \mathrm{\mathrm{s}} / \mathrm{Mpc}}\).

Conversione di \(H_0\) in unità SI.

\[ H_0 = 70\,\dfrac {{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }}{{\mathrm{Mpc}}} = 70\cdot \dfrac {e3\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{3.09\times 10^{22}\,{\mathrm{m} }} \approx 2.27\times 10^{-18}\,{/ \mathrm{s} }. \]

Tempo di Hubble.

\[ t_H = \dfrac {1}{H_0} \approx 4.41\times 10^{17}\,{\mathrm{s} } \approx 1.40\times 10^{10}\,\mathrm {anni}. \]

Quattordici miliardi di anni: vicino al valore vero (\(13.8\) miliardi). La correzione fine richiede di tener conto della storia dettagliata dell’espansione (decelerazione iniziale, accelerazione recente).

Esempio 23.5

Lunghezza d’onda al picco della CMB Calcoliamo la lunghezza d’onda al picco di emissione della radiazione cosmica di fondo, \(T_{\mathrm {CMB}} = 2.725\,{\mathrm{K} }\), usando la legge di Wien (cap. 21): \(\lambda _{\max }\,T = b\), con \(b \approx 2.898\times 10^{-3}\,{\mathrm{m} \mathrm{K} }\).

Calcolo.

\[ \lambda _{\max } = \dfrac {b}{T} = \dfrac {2.898\times 10^{-3}\,{\mathrm{m} \mathrm{K} }}{2.725\,{\mathrm{K} }} \approx 1.06\times 10^{-3}\,{\mathrm{m} } \approx 1.06\,{\mathrm{mm}}. \]

È nella regione delle microonde (millimetro): è il motivo per cui Penzias e Wilson la rilevarono per primi con un’antenna progettata per le telecomunicazioni satellitari.

23.5 Esercizi proposti

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Esercizio 23.1

1.: Sapendo che la massa del Sole è \(M_{\odot } \approx 2.0\times 10^{30}\,{\mathrm{kg} }\) e che il suo raggio è \(R_{\odot } \approx 7.0\times 10^{8}\,{\mathrm{m} }\), calcola la gravità superficiale del Sole. [\(g_{\odot } \approx 272\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\); \(\sim 28\) volte \(g \) terrestre]
2.: Una stella di sequenza principale ha luminosità \(L = 100\,L_{\odot }\). Stimando \(L \propto M^{3.5}\), qual è la sua massa in unità di \(M_{\odot }\)? [\(M \approx 100^{1/3.5}\,M_{\odot } \approx 3.7\,M_{\odot }\)]
3.: Per una stella che brucia idrogeno in elio nel ciclo pp, ogni \(4\) protoni convertiti in un nucleo di \(^4\)He liberano circa \(26.7\,{\mathrm{MeV}}\). Quanta massa al secondo si converte in energia nel Sole, sapendo che \(L_{\odot } \approx 3.83\times 10^{26}\,{\mathrm{W} }\)? Quanta massa di idrogeno viene consumata? [\(\Delta m/\Delta t \approx 4.3\times 10^{9}\,{\mathrm{kg} / \mathrm{s} }\) (convertita in energia); \(\sim 6\times 10^{11}\,{\mathrm{kg} / \mathrm{s} }\) di idrogeno consumato (circa il \(0.7\%\) della massa è convertito in energia, il resto resta come massa dell’elio)]
4.: Una galassia ha redshift \(z = 0.05\). Stima la sua velocità radiale e la sua distanza (usando \(H_0 = 70\,{\mathrm{\mathrm{k}} \mathrm{\mathrm{m}} / \mathrm{\mathrm{s}} / \mathrm{Mpc}}\)). [\(v \approx 0.05\,c \approx 15000\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(d \approx 215\,{\mathrm{Mpc}}\)]
5.: Un quasar molto lontano ha \(z = 4\). La sua lunghezza d’onda nell’ultravioletto \(\lambda _0 = 121.6\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\) (riga Lyman-\(\alpha \) dell’idrogeno) viene osservata a che lunghezza d’onda? [\(\lambda = (1+z)\lambda _0 = 5\cdot 121.6\,{\mathrm{n} \mathrm{m} } = 608\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\) (rosso visibile)]
6.: Stima la densità media dell’universo, sapendo che la massa di una galassia tipica è \(\sim e12\,M_{\odot }\) e che la densità numerica di galassie è \(n_g \sim e-2\,{\mathrm{\mathrm{Mpc}^{-3}}}\). Confronta con la densità critica \(\rho _c = 3 H_0^2/(8\pi G) \approx 9\times 10^{-27}\,{\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} }\). [\(\rho \sim n_g \cdot 10^{12} M_{\odot }/{\mathrm{Mpc^{3}}} \sim 7\times 10^{-28}\,{\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} }\); \(\rho /\rho _c \sim 0.08\) — solo la materia ordinaria visibile; il resto è materia oscura e energia oscura]
7.: Quanti fotoni della CMB attraversano ogni secondo un metro quadrato di superficie? Suggerimento: usa Stefan-Boltzmann per la potenza, poi dividi per l’energia media di un fotone (\(\sim k_B T\)). [Potenza per unità di area: \(\sigma T^4 \approx 3.1\times 10^{-6}\,{\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} }\); energia tipica fotone: \(k_B T \approx 3.8\times 10^{-23}\,{\mathrm{J} }\); flusso \(\sim e17\) fotoni s\(^{-1}\)m\(^{-2}\)]
8.: Una supernova esplode in una galassia distante \(20\,{\mathrm{Mpc}}\). Quanto tempo è passato fra l’esplosione e la nostra osservazione? [La luce ha percorso \(20\,{\mathrm{Mpc}}\) a \(c\): \(t = 20 \cdot 3.09\times 10^{22}\,{\mathrm{m} }/c \approx 6.5\cdot 10^{7}\,\mathrm {anni}\); \(\sim 65\) milioni di anni — l’esplosione è avvenuta quando sulla Terra c’erano i primi mammiferi]
9.: Spiega con parole tue perché la legge di Hubble non implica che la Terra sia “al centro” dell’universo. Suggerimento: considera l’analogia del palloncino che si gonfia. [risposta libera]
10.: Discuti perché la radiazione cosmica di fondo, pur essendo molto fredda (\(T \approx 2.7\,{\mathrm{K} }\)), conta come una prova fondamentale del Big Bang. Suggerimento: pensa cosa prevede il modello, e perché un universo stazionario non lo prevederebbe. [risposta libera]

23.6 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Equilibrio idrostatico stellare — In una stella, il gradiente di pressione bilancia il peso della materia soprastante: \(\Delta p/\Delta r = -\rho \,g\). Determina struttura a strati: nucleo, zona radiativa, zona convettiva, fotosfera, corona.

Reazioni nucleari stellari — Stelle in sequenza principale fondono idrogeno in elio: catena protone-protone (Sole), ciclo CNO (stelle massive). Liberano \(\sim 26.7\,{\mathrm{MeV}}\) per nucleo di \(^4\)He formato.

Nucleosintesi stellare — Fusioni successive producono elementi fino al ferro. Oltre il ferro, elementi prodotti in supernovae e fusioni di stelle di neutroni. Ogni atomo di carbonio, ossigeno, ferro, oro del nostro corpo è stato prodotto in stelle ormai morte.

Diagramma di Hertzsprung-Russell — Mappa luminosità vs temperatura efficace delle stelle. Sequenza principale (banda diagonale, dove le stelle bruciano idrogeno), giganti rosse (in alto a destra), nane bianche (in basso a sinistra).

Evoluzione stellare — Stelle di massa solare: nube → SP → gigante rossa → nebulosa planetaria → nana bianca. Stelle massive: SP più breve → supernova → stella di neutroni o buco nero.

Legge di Hubble — \(v = H_0\,d\) con \(H_0 \approx 70\,{\mathrm{\mathrm{k}} \mathrm{\mathrm{m}} / \mathrm{\mathrm{s}} / \mathrm{Mpc}}\). Le galassie si allontanano da noi: l’universo si espande. Conseguenza: l’universo ha avuto un inizio.

Big Bang — Il modello standard: l’universo nasce da uno stato di altissima densità e temperatura circa \(13.8\) miliardi di anni fa, ed espande/raffredda da allora. Tre conferme principali: legge di Hubble, abbondanze degli elementi leggeri (nucleosintesi primordiale), radiazione cosmica di fondo.

Radiazione cosmica di fondo (CMB) — Fotoni liberati al momento della ricombinazione (\(t \approx 380000\) anni dopo il Big Bang), oggi a temperatura \(T \approx 2.725\,{\mathrm{K} }\), isotropi a una parte su \(e5\). Scoperta da Penzias e Wilson nel 1964 (Nobel 1978). Misurati nei dettagli da COBE, WMAP, Planck.

Composizione dell’universo — \(\sim 5\,{\% }\) materia ordinaria, \(\sim 27\,{\% }\) materia oscura, \(\sim 68\,{\% }\) energia oscura. La natura di materia ed energia oscura è una delle grandi questioni aperte della fisica del XXI secolo.

Presentazioni— slide NotebookLM (clic per aprire il PDF)

Cosmologia