6 Dinamica del punto materiale

Capitolo 6
Dinamica del punto materiale

“Ogni corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, a meno che non sia costretto da forze impresse a mutare quello stato.”
— Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687

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Introduzione

La cinematica, studiata nel capitolo 3, descrive il come del moto: posizioni, velocità, accelerazioni, traiettorie. La dinamica si pone una domanda più profonda: perché un corpo si muove come si muove? Cosa fa accelerare una palla che cade, decelerare un’auto che frena, deviare un satellite nel suo moto attorno alla Terra?

La risposta moderna a queste domande è data dalle tre leggi enunciate da Isaac Newton nei Principia del 1687, l’opera fondatrice della fisica classica. Sembrano poche, e formulate in modo quasi ovvio (almeno nelle parole); eppure sono il più potente strumento di analisi del moto mai inventato, e costituiscono il modello di riferimento di tutta la fisica successiva. Su di esse poggiano gli studi della meccanica dei fluidi (cap. 10), delle oscillazioni e delle onde (cap. 11), della gravitazione planetaria (cap. 13), e una parte importante della relatività e della meccanica quantistica si capisce solo confrontandosi con esse.

L’idea cruciale che le leggi di Newton introducono è quella di forza come causa del cambiamento del moto, non del moto in sé. È un’idea controintuitiva: nell’esperienza quotidiana per mantenere in moto un oggetto bisogna spingerlo continuamente — altrimenti rallenta e si ferma. Aristotele, nel IV secolo a.C., concluse infatti che lo stato naturale dei corpi è la quiete e che il moto richiede sempre una causa attiva. Galileo capì invece, due millenni dopo, che è il rallentamento a richiedere una spiegazione (l’attrito), non il moto: in assenza di forze, un corpo in moto continua a muoversi indefinitamente. Newton sistematizzò questa intuizione e la trasformò in legge.

6.1 Sistemi di riferimento inerziali

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6.1.1 Definizione di sistema di riferimento inerziale

Prima di enunciare le leggi della dinamica, dobbiamo chiederci: in quale sistema di riferimento valgono? La risposta non è scontata. Considera un passeggero in un’auto. Se l’auto frena bruscamente, una palla appoggiata sul cruscotto rotola in avanti — ai suoi occhi sembra che una forza misteriosa l’abbia spinta. Ma per un osservatore fermo a bordo strada non c’è alcuna forza nuova: la palla, per inerzia, prosegue alla stessa velocità mentre l’auto rallenta sotto di essa.

Le leggi di Newton, scopriremo, valgono solo in una particolare classe di sistemi di riferimento, detti inerziali.

Definizione 6.1 — Sistema di riferimento inerziale

Un sistema di riferimento si dice inerziale se in esso un corpo isolato (cioè un corpo non soggetto a forze, o equivalentemente molto lontano da qualsiasi altro corpo) si muove di moto rettilineo uniforme, ovvero con velocità vettoriale costante.

La definizione è in apparenza circolare: per individuare un sistema di riferimento inerziale dobbiamo trovare un corpo isolato; ma per dire che è isolato dobbiamo verificare che non vi agiscano forze; ma per individuare le forze ci servono le leggi di Newton; che valgono solo nei sistemi inerziali. La via d’uscita è sperimentale: si verifica che esistono sistemi di riferimento in cui — con buona approssimazione — corpi lontani da altre masse e schermati da campi elettrici e magnetici si muovono con velocità costante. In questi sistemi le leggi di Newton funzionano. La Terra, vista da un osservatore solidale a essa, è approssimativamente inerziale per molti esperimenti di laboratorio (ma non per fenomeni su scala planetaria, come la circolazione delle correnti atmosferiche, in cui la rotazione terrestre si fa sentire).

Nota

Nel capitolo 7 vedremo che, dato un sistema di riferimento inerziale, ne esistono infiniti altri equivalenti — tutti quelli che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto al primo. Le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti, ed è impossibile distinguere uno di essi da un altro mediante un esperimento meccanico interno. È il principio di relatività galileiana.

6.1.2 Sistemi non inerziali

Un sistema di riferimento che accelera rispetto a un sistema inerziale è detto non inerziale. Esempi quotidiani:

un’auto che frena o che accelera in linea retta;
una giostra in rotazione, anche se gira a velocità angolare costante (la rotazione comporta un’accelerazione centripeta);
un ascensore che parte verso l’alto.

In un sistema non inerziale, le leggi di Newton non valgono nella loro forma semplice: appaiono “forze apparenti” (forza centrifuga, forza di Coriolis, forza d’inerzia nel treno che frena) che non corrispondono a interazioni reali con altri corpi, ma sono il prezzo da pagare per voler descrivere il moto in un sistema accelerato. In tutto questo capitolo lavoreremo esclusivamente in sistemi inerziali; il caso non inerziale verrà ripreso, da diverse angolazioni, nei capitoli 7 e 13.

6.2 Le tre leggi della dinamica

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6.2.1 Prima legge: principio d’inerzia

Legge 6.1 — Prima legge di Newton (principio d’inerzia)

In un sistema di riferimento inerziale, ogni corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, a meno che una forza non lo costringa a cambiare quello stato.

Il principio d’inerzia capovolge l’intuizione aristotelica. Non è il moto a richiedere una causa, ma la variazione del moto. Un corpo già in movimento, lasciato a se stesso, continua a muoversi indefinitamente con la stessa velocità lungo la stessa retta. Se sulla Terra le cose sembrano andare diversamente — un libro spinto sul tavolo si ferma dopo poco — è perché agiscono forze di attrito, non perché manchi un “motore” interno al moto.

L’inerzia è dunque la tendenza dei corpi a mantenere il proprio stato di moto. Più un corpo è “inerte”, più resiste al cambiamento del proprio stato — e questa resistenza è misurata dalla massa.

Definizione 6.2 — Massa inerziale

La massa inerziale di un corpo è la grandezza fisica che misura la sua resistenza al cambiamento di stato di moto. Si misura in chilogrammi (\({\mathrm{kg} }\)) e si denota tradizionalmente con \(m\).

Nota

Esiste anche una massa gravitazionale, definita come la grandezza che determina con quale forza un corpo viene attratto da un altro. Sperimentalmente le due masse coincidono — un fatto sorprendente, alla base del principio di equivalenza di Einstein, che è il punto di partenza della relatività generale. Per il livello di questo corso possiamo assumere semplicemente che “massa inerziale” e “massa gravitazionale” siano la stessa cosa.

6.2.2 Seconda legge: F = ma

La prima legge dice che cosa fanno i corpi quando non sono soggetti a forze. La seconda dice cosa accade quando lo sono.

Legge 6.2 — Seconda legge di Newton

In un sistema di riferimento inerziale, la risultante delle forze applicate a un corpo è uguale al prodotto della sua massa per l’accelerazione che esso subisce:

\begin{equation}\label {eq:06-seconda-legge} \vec{F}_{\!\text{ris}} = m\,\vec{a} . \end{equation}

L’equazione (6.1) è una relazione vettoriale: forza risultante e accelerazione hanno la stessa direzione e lo stesso verso, e i loro moduli sono proporzionali con costante di proporzionalità \(m\). Equivalentemente, in componenti cartesiane (cfr. capitolo 2):

\[ F_x = m\,a_x, \qquad F_y = m\,a_y, \qquad F_z = m\,a_z. \]

Da questa legge segue immediatamente l’unità di misura della forza nel SI: il newton (\({\mathrm{N} }\)), definito come la forza che imprime a una massa di \(1\,{\mathrm{kg} }\) un’accelerazione di \(1\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\):

\[ 1\,{\mathrm{N} } = 1\,{\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }. \]

Attenzione!

Il termine “risultante” è essenziale. Su un corpo possono agire contemporaneamente molte forze; ciò che determina l’accelerazione non è una singola forza ma la loro somma vettoriale:

\[ \vec{F}_{\!\text{ris}} = \vec {F}_1 + \vec {F}_2 + \dots + \vec {F}_n. \]

Se la risultante è nulla, l’accelerazione è nulla — anche se le singole forze non lo sono. Questo è esattamente ciò che succede in equilibrio statico (§6.4).

Nota — Su forza e causa

La legge \(\vec{F}_{\!\text{ris}} = m\,\vec{a} \) non dice “cosa sia” una forza. È una relazione fra grandezze misurabili che permette, una volta nota la forza agente, di prevedere il moto, oppure, una volta misurato il moto, di dedurre la forza. Le forze concrete (peso, elastica, di attrito) sono date dalle leggi di forza specifiche, che vedremo nella §6.3. La seconda legge è la cornice generale; le leggi di forza sono i contenuti.

6.2.3 Terza legge: principio di azione e reazione

Le forze, lo abbiamo finora trattato implicitamente, sono interazioni fra corpi: nessun corpo esercita una forza “sul vuoto”. Ogni forza ha un agente e un paziente: il libro spinge sul tavolo, il tavolo spinge sul libro; la Terra attira la Luna, la Luna attira la Terra. La terza legge formalizza questa simmetria.

Legge 6.3 — Terza legge di Newton (azione e reazione)

Se un corpo \(A\) esercita su un corpo \(B\) una forza \(\vec {F}_{AB}\), allora \(B\) esercita su \(A\) una forza \(\vec {F}_{BA}\) uguale in modulo, di stessa direzione e di verso opposto:

\begin{equation}\label {eq:06-terza-legge} \vec {F}_{BA} = -\,\vec {F}_{AB}. \end{equation}

Le due forze sono dette coppia di azione e reazione.

[Picture] — Figura 6.1: Una mano \(A\) spinge una parete \(B\). La forza \(\vec {F}_{AB}\) esercitata dalla mano sulla parete e la forza \(\vec {F}_{BA}\) esercitata dalla parete sulla mano hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e versi opposti. Sono applicate a corpi diversi: una alla parete, l’altra alla mano.

Attenzione!

L’errore più frequente sulla terza legge è dimenticare che le due forze sono applicate a corpi diversi. Non si elidono: \(\vec {F}_{AB}\) agisce su \(B\) e contribuisce alla risultante delle forze su \(B\); \(\vec {F}_{BA}\) agisce su \(A\) e contribuisce alla risultante delle forze su \(A\). Confonderle e “sommarle a zero” significa applicare la seconda legge in modo errato.

Nota

Una conseguenza importante: in un sistema isolato di due corpi, le forze interne non possono accelerare il centro di massa del sistema, perché la loro risultante è nulla. Questa osservazione è alla base della conservazione della quantità di moto (cap. 9).

6.3 Forze e descrizione delle interazioni

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Le tre leggi di Newton sono la cornice. Per fare predizioni concrete dobbiamo conoscere le leggi di forza: come dipendono le forze concrete dalle proprietà dei corpi e dalla loro configurazione spaziale. Vediamo le forze più importanti per la meccanica.

6.3.1 Forza-peso e accelerazione di gravità

Tutti i corpi nelle vicinanze della superficie terrestre, lasciati liberi di cadere, lo fanno con la stessa accelerazione (in assenza di resistenza dell’aria). È un fatto sperimentale celebre, attribuito a Galileo, e ce ne siamo già serviti nel capitolo 3. L’accelerazione comune a tutti i corpi in caduta libera si denota con \(g \) ed è circa

\[ g \approx 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }. \]

Per la seconda legge, se l’unica forza agente sul corpo è quella che lo fa cadere, deve valere \(\vec{F}_{\!P} = m\,g \) (in modulo, con direzione verticale e verso il basso).

Definizione 6.3 — Forza-peso

La forza-peso di un corpo è la forza con cui la Terra lo attira gravitazionalmente. Il suo modulo, in prossimità della superficie terrestre, vale

\begin{equation}\label {eq:06-peso} \lvert \vec{F}_{\!P} \rvert = m\,g , \end{equation}

ed è diretta verticalmente verso il basso.

Attenzione!

Massa e peso sono due grandezze diverse.

La massa è una proprietà intrinseca del corpo, indipendente da dove si trovi. Si misura in \({\mathrm{kg} }\).
Il peso è la forza con cui un determinato pianeta o astro attira il corpo. Si misura in \({\mathrm{N} }\) e dipende da \(g \), che varia da luogo a luogo. Sulla Luna, \(g _{\text {Luna}}\approx 1.62\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\): una persona di \(60\,{\mathrm{kg} }\) ha lo stesso valore di massa sulla Luna ma vi pesa molto meno (circa un sesto).

Il linguaggio comune confonde i due termini (“quanto pesi?” chiede in realtà la massa); il linguaggio della fisica non può permetterselo.

6.3.2 Reazione vincolare e tensione

Un corpo poggiato su un piano non cade, eppure è soggetto al peso. Una conseguenza necessaria della seconda legge: deve esistere un’altra forza, di pari modulo e verso opposto, che annulla il peso. Questa forza è esercitata dal piano stesso e si chiama reazione vincolare normale.

Definizione 6.4 — Reazione vincolare normale

Quando un corpo è in contatto con una superficie rigida, la superficie esercita su di esso una forza \(\vec{N} \) diretta perpendicolarmente alla superficie stessa, verso l’esterno (cioè verso il corpo). Il suo modulo si determina caso per caso, imponendo che la condizione di vincolo (contatto, non compenetrazione) sia soddisfatta.

Nota

La reazione vincolare non è una forza con una propria legge: il suo valore è quanto serve, perché la condizione di vincolo (il corpo non sprofonda nel piano e non si stacca da esso) sia rispettata. È una caratteristica generale delle forze vincolari, che si distinguono dalle forze attive (peso, elastiche, di attrito…) per questa ragione: si calcolano da equazioni, non da leggi di forza specifiche.

In modo del tutto analogo, una fune ideale (inestensibile, di massa trascurabile) collegata a un corpo esercita su di esso una forza diretta lungo la fune stessa, detta tensione. Se la fune è tesa fra due corpi, esercita una tensione di pari modulo su entrambi, diretta verso il punto opposto (le due tensioni sono una coppia di azione-reazione mediata dalla fune).

6.3.3 Forza elastica e legge di Hooke

Una molla — o più in generale un corpo elastico (un elastico, una sbarra metallica, un ramo flessibile) — quando viene compresso o allungato esercita su chi lo deforma una forza che tende a riportarlo alla sua configurazione di riposo. Per piccoli spostamenti dalla posizione di riposo, vale una legge sperimentale notevolmente semplice, scoperta da Robert Hooke nel 1660.

Legge 6.4 — Legge di Hooke

Un corpo elastico, deformato di una piccola quantità \(x\) rispetto alla sua configurazione di riposo, esercita su chi lo deforma una forza di richiamo proporzionale alla deformazione e di verso opposto:

\begin{equation}\label {eq:06-hooke} \vec {F} = -k\,\vec {x}, \end{equation}

dove \(k > 0\) è una costante caratteristica del corpo elastico, detta costante elastica (o di rigidità), misurata in \({\mathrm{N} / \mathrm{m} }\).

Il segno meno esprime il carattere “di richiamo” della forza: se l’estremo della molla è spostato a destra (\(x > 0\)), la forza tira a sinistra (\(F < 0\)); se è spostato a sinistra (\(x < 0\)), la forza spinge a destra (\(F > 0\)). In entrambi i casi tende a riportare l’estremo nella posizione di riposo.

Nota

La legge di Hooke vale solo nella regione elastica: se si tira troppo, una molla si deforma in modo permanente o si spezza. Inoltre è una legge approssimata: nessun corpo reale è perfettamente lineare, e la (6.4) è il primo termine di uno sviluppo in serie del comportamento reale. Per il nostro corso possiamo trattarla come esatta.

La forza elastica giocherà un ruolo cruciale nello studio delle oscillazioni (capitolo 11): una massa attaccata a una molla, lasciata libera, si muove di moto armonico semplice.

6.3.4 Effetti dell’attrito sul moto dei corpi

Nell’esperienza quotidiana, ogni movimento finisce per fermarsi. Una palla rotolata sul pavimento decelera fino a fermarsi; un libro spinto sul tavolo si ferma; perfino l’aria attorno a noi rallenta gli oggetti che la attraversano. È l’effetto dell’attrito: una forza che si oppone al moto relativo fra superfici a contatto, e ne dissipa l’energia cinetica trasformandola in energia interna (riscaldamento).

L’attrito ha due grandi famiglie:

l’attrito radente, fra superfici solide a contatto (libro sul tavolo, pneumatico sull’asfalto), che a sua volta si distingue in statico e dinamico;
l’attrito viscoso, fra un corpo e un fluido (aria, acqua) in cui esso si muove. Lo studieremo nel capitolo 10.

In questo capitolo ci occupiamo dell’attrito radente.

6.3.5 Attrito statico e attrito dinamico

Attrito statico. Spingiamo un libro pesante sul tavolo con una forza piccola: il libro non si muove. Aumentiamo la forza: ancora non si muove. Aumentiamo ancora: a un certo punto, raggiunta una soglia, il libro inizia a scivolare. Finché il libro resta fermo, c’è una forza di attrito che bilancia esattamente la nostra spinta — abbastanza grande da impedire il moto, qualunque sia la spinta entro un certo limite.

Legge 6.5 — Attrito statico

Fra un corpo a riposo su una superficie e la superficie stessa agisce una forza di attrito statico \(\vec{F}_{\!a} ^{(s)}\) parallela alla superficie, opposta alla forza che tende a far scivolare il corpo, di modulo variabile. Il suo valore massimo è proporzionale al modulo della reazione vincolare normale:

\begin{equation}\label {eq:06-attrito-statico} \lvert \vec{F}_{\!a} ^{(s)}\rvert \le \mu _s\,\lvert \vec{N} \rvert, \end{equation}

dove \(\mu _s\) è il coefficiente di attrito statico, adimensionale, dipendente dalla coppia di materiali a contatto.

Finché la forza che cerca di mettere in moto il corpo è inferiore a \(\mu _s \lvert \vec{N} \rvert\), l’attrito statico la bilancia esattamente e il corpo resta fermo. Appena la forza supera questa soglia, il corpo inizia a scivolare e l’attrito cambia natura.

Attrito dinamico. Una volta che il corpo è in moto rispetto alla superficie, su di esso agisce una forza di attrito dinamico, sempre opposta al moto, con un modulo che si verifica sperimentalmente essere quasi indipendente dalla velocità (entro intervalli ragionevoli) e proporzionale alla reazione normale.

Legge 6.6 — Attrito dinamico

Fra un corpo in moto rispetto a una superficie e la superficie stessa agisce una forza di attrito dinamico \(\vec{F}_{\!a} ^{(d)}\) parallela alla superficie, di verso opposto alla velocità relativa, di modulo

\begin{equation}\label {eq:06-attrito-dinamico} \lvert \vec{F}_{\!a} ^{(d)}\rvert = \mu _d\,\lvert \vec{N} \rvert, \end{equation}

dove \(\mu _d\) è il coefficiente di attrito dinamico, adimensionale, dipendente dalla coppia di materiali a contatto.

Sperimentalmente si osserva che \(\mu _d \le \mu _s\): “staccare” un corpo da fermo richiede in genere più forza che mantenerlo in moto. Una volta superata la soglia statica, infatti, l’attrito si “rilassa” a un valore costante leggermente inferiore.

6.4 Statica del punto materiale

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La statica è il caso particolare della dinamica in cui il corpo è in equilibrio: a riposo, o in moto rettilineo uniforme. Per la prima legge, ciò avviene se e solo se la risultante delle forze applicate è nulla. Sembra una situazione semplice, ma le sue applicazioni sono pratiche e numerose: dalle costruzioni edili (un ponte, un palazzo) alla biomeccanica (le articolazioni), dalla progettazione di strutture meccaniche all’analisi di problemi quotidiani (un quadro appeso al muro).

6.4.1 Condizioni di equilibrio statico

Legge 6.7 — Condizione di equilibrio statico

Un punto materiale è in equilibrio in un sistema di riferimento inerziale se e solo se la risultante delle forze ad esso applicate è nulla:

\begin{equation}\label {eq:06-equilibrio} \vec{F}_{\!\text{ris}} = \sum _i \vec {F}_i = \vec {0}. \end{equation}

L’equazione vettoriale (6.7) corrisponde, in due dimensioni, a due equazioni scalari (una per ogni componente):

\[ \sum _i F_{i,x} = 0, \qquad \sum _i F_{i,y} = 0. \]

Ed è da queste equazioni scalari, una volta scelti accuratamente assi e versi, che si determinano le forze incognite del problema.

6.4.2 Equilibrio sul piano inclinato

Un’applicazione classica e istruttiva è il piano inclinato: un corpo di massa \(m\) poggia su un piano che forma un angolo \(\theta \) con l’orizzontale. È il modello di tante situazioni reali: una scivolata su una pista, un veicolo su una rampa, una scatola appoggiata su una superficie inclinata.

Per analizzare il problema scegliamo un sistema di riferimento con un asse parallelo al piano (nel verso della massima pendenza, positivo verso l’alto del piano) e l’altro perpendicolare (positivo verso l’esterno del piano). In questo sistema:

la reazione vincolare \(\vec{N} \) è interamente sull’asse perpendicolare;
la forza-peso, verticale, si decompone in componente parallela \(-mg\sin \theta \) (verso il basso del piano) e perpendicolare \(-mg\cos \theta \) (verso il piano).

Imponendo l’equilibrio (oppure, nel caso dinamico, applicando la seconda legge) lungo i due assi:

\begin{align} \text {perpendicolare:}\quad & \lvert \vec{N} \rvert - mg\cos \theta = 0 \;\Longrightarrow \; \lvert \vec{N} \rvert = mg\cos \theta , \\ \text {parallelo:}\quad & -mg\sin \theta + F_a = m a_{\parallel }, \end{align}

dove \(F_a\) è l’eventuale forza di attrito (e/o di trazione) applicata. Se il piano è perfettamente liscio (\(F_a = 0\)), il corpo accelera lungo il piano con \(a_{\parallel } = -g\sin \theta \) (verso il basso del piano). Se vogliamo equilibrio sul piano liscio dobbiamo applicare una forza esterna pari e opposta a \(mg\sin \theta \).

6.4.3 Diagrammi di corpo libero

L’analisi del piano inclinato suggerisce un metodo generale per affrontare i problemi di dinamica e statica del punto materiale: il diagramma di corpo libero (DCL).

Procedura — Risoluzione di un problema di dinamica con DCL

1.: Isolare il corpo. Si concentra l’attenzione su un solo corpo alla volta, considerandolo come un punto materiale.
2.: Identificare le forze. Si elencano tutte le forze che agiscono sul corpo: peso, reazioni vincolari, tensioni, attriti, forze esterne applicate. Niente di più, niente di meno.
3.: Tracciare il DCL. Si rappresenta il corpo come un punto, e da esso si fanno partire i vettori-forza individuati al passo precedente, ciascuno con direzione, verso e modulo (anche solo simbolico).
4.: Scegliere gli assi. Si scelgono assi cartesiani il cui orientamento semplifichi il problema (per il piano inclinato: paralleli al piano).
5.: Scrivere le equazioni. Si proietta \(\vec{F}_{\!\text{ris}} = m\vec{a} \) (o \(\vec{F}_{\!\text{ris}} = \vec {0}\) in statica) sui due assi, ottenendo equazioni scalari.
6.: Risolvere. Si risolve il sistema lineare per le incognite (accelerazioni, forze vincolari, attriti).

Il DCL è lo strumento più potente di tutta la dinamica del punto materiale. Ogni problema, per quanto complicato, si riduce a saperlo tracciare correttamente.

Esempio 6.1 — Cassa tirata su un pavimento orizzontale

Una cassa di massa \(m = 20\,{\mathrm{kg} }\) è poggiata su un pavimento orizzontale. Una forza orizzontale \(F = 60\,{\mathrm{N} }\) la tira verso destra. I coefficienti di attrito fra cassa e pavimento valgono \(\mu _s = 0.40\) e \(\mu _d = 0.30\). Determinare se la cassa si muove e, in caso affermativo, la sua accelerazione. Assumere \(g = 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\).

Soluzione

DCL. Sulla cassa agiscono: la forza-peso \(\vec{F}_{\!P} \) (verticale, in giù), la reazione vincolare \(\vec{N} \) (verticale, in su), la forza esterna \(\vec {F}\) (orizzontale, a destra), e l’attrito \(\vec{F}_{\!a} \) (orizzontale, a sinistra). Scegliamo asse \(x\) orizzontale (verso destra positivo) e asse \(y\) verticale (verso l’alto positivo).

Algebra. L’equilibrio in direzione verticale (la cassa non si solleva né sprofonda) dà

\[ \lvert \vec{N} \rvert - mg = 0 \;\Longrightarrow \; \lvert \vec{N} \rvert = mg . \]

La massima forza di attrito statico vale:

\[ F_{s,\max } = \mu _s\,\lvert \vec{N} \rvert = \mu _s\, mg . \]

Se \(F \le F_{s,\max }\) la cassa resta ferma; altrimenti si muove con accelerazione, lungo \(x\),

\[ a = \frac {F - \mu _d\, mg }{m}. \]

Sostituzione.

\begin{align} F_{s,\max } &= 0.40\cdot 20\,{\mathrm{kg} }\cdot 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} } \approx 78\,{\mathrm{N} }. \end{align}

Confrontiamo con la forza applicata: \(F = 60\,{\mathrm{N} } < 78\,{\mathrm{N} }\). Quindi la cassa resta ferma: l’attrito statico bilancia la forza applicata e vale, in modulo, esattamente \(60\,{\mathrm{N} }\) (non il suo massimo).

Se invece la forza applicata fosse, per ipotesi, \(F = 100\,{\mathrm{N} } > F_{s,\max }\), la cassa si metterebbe in moto con accelerazione

\[ a = \frac {100\,{\mathrm{N} } - 0.30\cdot 20\,{\mathrm{kg} }\cdot 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }}{20\,{\mathrm{kg} }} \approx 2.1\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }. \]

Verifica di plausibilità. La forza applicata di \(60\,{\mathrm{N} }\) è circa il \(30\,\%\) del peso della cassa (\(196\,{\mathrm{N} }\)). Il coefficiente di attrito statico è \(0.40\): l’attrito può fornire fino al \(40\,\%\) del peso, dunque \(78\,{\mathrm{N} }\). Ha quindi senso che \(60\,{\mathrm{N} }\) siano insufficienti a vincere l’attrito statico. Coerente.

Esempio 6.2 — Lampadario appeso a due funi

Un lampadario di massa \(m = 4.0\,{\mathrm{kg} }\) è appeso al soffitto tramite due funi che formano angoli \(\alpha = 30\,{^\circ }\) e \(\beta = 45\,{^\circ }\) con il soffitto orizzontale. Determinare le tensioni \(T_1\) e \(T_2\) delle due funi.

Soluzione

DCL. Sul lampadario agiscono: il peso \(\vec{F}_{\!P} \) (verticale verso il basso, modulo \(mg \)), la tensione \(\vec {T}_1\) lungo la prima fune (diretta dal lampadario verso l’alto-sinistra, formando angolo \(\alpha \) con l’orizzontale), la tensione \(\vec {T}_2\) lungo la seconda fune (diretta dal lampadario verso l’alto-destra, formando angolo \(\beta \) con l’orizzontale).

Algebra. Scegliamo asse \(x\) orizzontale (verso destra positivo) e asse \(y\) verticale (verso l’alto positivo). Le componenti delle tensioni:

\begin{align} T_{1,x} &= -T_1\cos \alpha , & T_{1,y} &= +T_1\sin \alpha , \\ T_{2,x} &= +T_2\cos \beta , & T_{2,y} &= +T_2\sin \beta . \end{align}

L’equilibrio richiede:

\begin{align} \sum F_x &= -T_1\cos \alpha + T_2\cos \beta = 0, \\ \sum F_y &= T_1\sin \alpha + T_2\sin \beta - mg = 0. \end{align}

Dalla prima equazione: \(T_1\cos \alpha = T_2\cos \beta \), ovvero \(T_2 = T_1 \cos \alpha /\cos \beta \). Sostituendo nella seconda:

\[ T_1\sin \alpha + T_1\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }\sin \beta = mg , \]

da cui, raccogliendo \(T_1\):

\[ T_1\bigl (\sin \alpha + \cos \alpha \tan \beta \bigr ) = mg , \qquad T_1 = \frac {mg }{\sin \alpha + \cos \alpha \tan \beta }. \]

Analogamente:

\[ T_2 = T_1\,\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }. \]

Sostituzione. Con \(\alpha = 30\,{^\circ }\), \(\beta = 45\,{^\circ }\), \(m = 4.0\,{\mathrm{kg} }\), \(g = 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\):

\begin{align} mg &= 4.0\,{\mathrm{kg} }\cdot 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} } \approx 39.2\,{\mathrm{N} }, \\ \sin \alpha + \cos \alpha \tan \beta &= 0.500 + 0.866\cdot 1.000 = 1.366, \\ T_1 &= \frac {39.2\,{\mathrm{N} }}{1.366} \approx 28.7\,{\mathrm{N} }, \\ T_2 &= 28.7\,{\mathrm{N} }\cdot \frac {0.866}{0.707} \approx 35.2\,{\mathrm{N} }. \end{align}

Verifica di plausibilità. La fune più “verticale” (in questo caso la seconda, \(\beta = 45\,{^\circ } > \alpha \)) deve sopportare un carico maggiore: ed effettivamente \(T_2 > T_1\). La somma delle componenti verticali, \(T_1\sin 30\,{^\circ } + T_2\sin 45\,{^\circ } \approx 14.4 + 24.9 \approx 39.3\,{\mathrm{N} }\), è uguale al peso, come deve essere all’equilibrio.

Riepilogo

Le leggi di Newton valgono in sistemi di riferimento inerziali, in cui un corpo isolato si muove di moto rettilineo uniforme. I sistemi non inerziali si trattano con cautela (cap. 7).
Prima legge. Un corpo non soggetto a forze persiste nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. È l’inerzia.
Seconda legge. La risultante delle forze applicate è uguale al prodotto di massa e accelerazione: \(\vec{F}_{\!\text{ris}} = m\,\vec{a} \). La massa misura la resistenza al cambiamento di moto.
Terza legge. A ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria: \(\vec {F}_{BA} = -\vec {F}_{AB}\), applicata però a un corpo diverso.
L’unità SI di forza è il newton: \(1\,{\mathrm{N} } = 1\,{\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\).
La forza-peso su un corpo di massa \(m\) vale \(\lvert \vec{F}_{\!P} \rvert = mg \), verticale verso il basso. Massa e peso sono diversi: la massa è una proprietà del corpo, il peso dipende da \(g \) (variabile da luogo a luogo).
Le reazioni vincolari (normale, tensione di una fune) non hanno una propria legge di forza: il loro valore si determina imponendo le condizioni di vincolo.
La legge di Hooke descrive la forza elastica: \(\vec {F} = -k\,\vec {x}\), con \(k > 0\) costante elastica.
L’attrito statico è variabile, di modulo limitato superiormente da \(\mu _s\lvert \vec{N} \rvert\). Bilancia esattamente la forza applicata finché questa è inferiore alla soglia.
L’attrito dinamico ha modulo costante \(\mu _d\lvert \vec{N} \rvert\), opposto alla velocità relativa fra le due superfici. Tipicamente \(\mu _d \le \mu _s\).
In equilibrio statico la risultante delle forze è nulla: \(\sum _i \vec {F}_i = \vec {0}\). In due dimensioni si traduce in due equazioni scalari, una per asse.
Il diagramma di corpo libero è il metodo standard per affrontare ogni problema di dinamica e statica del punto materiale.

Esercizio 6.1

1.: Una palla da tennis (\(m = 58\,{\mathrm{g} }\)) viene colpita da una racchetta che le imprime un’accelerazione media \(a = 500\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\) per un tempo \(\Delta t = 4.0\,{\mathrm{m} \mathrm{s} }\). Calcolare il modulo della forza media esercitata dalla racchetta e la velocità acquisita dalla palla (assumendo che fosse inizialmente ferma).
2.: Un libro di massa \(m = 1.5\,{\mathrm{kg} }\) è appoggiato su un tavolo orizzontale. Disegna il diagramma di corpo libero del libro e calcola modulo, direzione e verso di tutte le forze ad esso applicate. Quale coppia di forze è una coppia di azione-reazione, e qual è la forza “reazione” della reazione vincolare normale?
3.: Una persona di massa \(m = 70\,{\mathrm{kg} }\) è in un ascensore. Calcola il valore indicato da una bilancia a molla sotto i suoi piedi nei seguenti casi: (a) ascensore fermo; (b) ascensore in salita con accelerazione \(a = 1.5\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\); (c) ascensore in discesa con accelerazione \(a = 1.5\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\) (verso il basso); (d) ascensore in caduta libera (\(a = g \) verso il basso).
4.: Una molla di costante elastica \(k = 200\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} }\) viene compressa di \(8.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare il modulo della forza necessaria a mantenere la molla in questa configurazione. Se a un suo estremo viene poi attaccata una massa \(m = 0.50\,{\mathrm{kg} }\) e la molla rilasciata, qual è l’accelerazione iniziale della massa?
5.: Una cassa di massa \(m = 30\,{\mathrm{kg} }\) poggia su un piano orizzontale con coefficienti di attrito \(\mu _s = 0.45\) e \(\mu _d = 0.35\). Quale forza orizzontale minima è necessaria per metterla in moto? Una volta in moto, quale forza è necessaria per mantenerla in moto rettilineo uniforme?
6.: Un blocco di massa \(m = 5.0\,{\mathrm{kg} }\) è poggiato su un piano inclinato di angolo \(\theta = 25\,{^\circ }\). Considerando il piano liscio, calcolare l’accelerazione del blocco lungo il piano. Considerando poi un coefficiente di attrito dinamico \(\mu _d = 0.20\), ricalcolare l’accelerazione (verso il basso del piano).
7.: Sul piano inclinato dell’esercizio precedente (\(\theta = 25\,{^\circ }\), \(m = 5.0\,{\mathrm{kg} }\), \(\mu _s = 0.30\)), si vuole tenere fermo il blocco applicando una forza parallela al piano e diretta verso l’alto. Quale intervallo di valori per il modulo della forza assicura l’equilibrio? (Suggerimento: l’attrito statico si aggiusta entro \(\pm \mu _s\lvert \vec{N} \rvert\).)
8.: Due blocchi, di masse \(m_1 = 2.0\,{\mathrm{kg} }\) e \(m_2 = 3.0\,{\mathrm{kg} }\), sono collegati da una fune ideale e poggiano su un piano orizzontale liscio. Una forza \(F = 20\,{\mathrm{N} }\) orizzontale tira il blocco \(1\). Determinare l’accelerazione del sistema e la tensione della fune. (Suggerimento: applica la seconda legge prima al sistema, poi al solo blocco \(2\).)
9.: Un quadro di massa \(m = 3.0\,{\mathrm{kg} }\) è appeso a un chiodo tramite un filo che forma due tratti simmetrici con angolo \(2\theta = 120\,{^\circ }\) (cioè angolo di \(60\,{^\circ }\) rispetto alla verticale). Calcolare la tensione del filo. Discutere come cambia la tensione al variare dell’angolo \(\theta \).
10.: In un sistema di riferimento solidale a un’auto che frena, un libro sul cruscotto si muove in avanti senza che agisca su di esso alcuna forza identificabile. Spiega che cosa succede correttamente nel sistema di riferimento solidale al suolo (inerziale) e perché nel sistema dell’auto sembra apparire una “forza apparente”.