“Quando si è capaci di misurare ciò di cui si sta parlando ed esprimerlo in numeri, allora si conosce
qualcosa al riguardo; ma quando non lo si può misurare, la conoscenza è scarsa e insoddisfacente.”
— William Thomson (Lord Kelvin)
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Tutti abbiamo familiarità con le sensazioni di “caldo” e “freddo”: una tazza di tè appena versato è calda, un cubetto di ghiaccio è freddo. Ma queste impressioni soggettive non sono ancora fisica. Se metti la mano sinistra in una bacinella di acqua tiepida e la mano destra in una di acqua bollente per qualche secondo, e poi le immergi entrambe in una stessa bacinella di acqua a temperatura ambiente, la mano sinistra ti sembrerà calda e la destra fredda — eppure stanno toccando esattamente la stessa acqua. Le sensazioni ingannano.
Per fare scienza dei fenomeni termici dobbiamo passare dalla sensazione alla misura: associare a ogni stato di un corpo un numero, la temperatura, che rispetti l’evidenza sperimentale e ci permetta di confrontare oggettivamente situazioni diverse. La citazione di Kelvin all’inizio del capitolo coglie esattamente questo passaggio: la conoscenza qualitativa diventa scientifica solo quando si fa quantitativa.
In questo capitolo ci concentriamo sulla temperatura, lasciando per il capitolo 12 il concetto di calore, ad essa strettamente legato ma distinto. Per ora ci basterà capire: che cosa significa “temperatura”, come si definisce in modo operativo, perché due corpi messi a contatto raggiungono uno stato comune (equilibrio termico), e quali scale numeriche si usano per esprimerla. Tutto il resto della termodinamica — calore specifico, gas perfetti, primo e secondo principio — poggerà su questi fondamenti.
Cominciamo con un’osservazione semplice. Mettiamo un cubetto di ghiaccio in un bicchiere d’acqua a temperatura ambiente. Dopo qualche minuto il cubetto è completamente sciolto, e l’acqua del bicchiere è più fredda di prima. Qualcosa è successo, qualcosa è cambiato in entrambi i corpi. Diciamo che fra il cubetto e l’acqua c’è stata un’interazione termica.
Lo stesso linguaggio vale per altri esempi familiari:
In tutti questi casi due corpi (o due parti dello stesso corpo) interagiscono fra loro, e il segnale dell’interazione è un cambiamento di stato: cambia la temperatura, cambia il volume, cambia l’aspetto fisico (il ghiaccio diventa acqua liquida, l’acqua bollente diventa vapore). La fisica dei fenomeni termici è la fisica di queste interazioni.
Definizione 5.1 — Sistema termodinamico
Un sistema termodinamico è una porzione finita di materia o di spazio scelta come oggetto di studio, separata dal resto dell’universo da un confine (reale o ideale). Tutto ciò che sta fuori dal sistema è detto ambiente o esterno.
A seconda di che cosa il confine lascia attraversare, distinguiamo:
Un grammo d’acqua contiene un numero gigantesco di molecole: circa \(3.3\times 10^{22}\). Descrivere posizione e velocità di ognuna di esse, istante per istante, è impossibile in pratica e — come vedremo — anche inutile per gran parte delle domande che ci poniamo. Per fortuna, l’esperienza mostra che bastano poche grandezze macroscopiche a caratterizzare il comportamento osservabile del sistema.
Definizione 5.2 — Stato macroscopico
Lo stato macroscopico di un sistema termodinamico in equilibrio è l’insieme dei valori assunti da poche grandezze fisiche misurabili (volume, pressione, temperatura, massa, densità…) che ne descrivono completamente il comportamento osservabile, prescindendo dal dettaglio del moto delle singole molecole.
Nota
La descrizione microscopica — in termini di posizioni e velocità delle singole particelle — non è sbagliata, ma è impraticabile e quasi sempre inutile: se in una stanza vuoi sapere se fa caldo o freddo, ti basta un termometro, non l’elenco delle posizioni e velocità di \(e25\) molecole d’aria. Il legame fra descrizione macroscopica e microscopica è oggetto della termodinamica statistica, che studieremo nel capitolo 20.
Diciamo che un sistema è in uno stato di equilibrio (termico, meccanico, chimico) quando le grandezze macroscopiche che lo descrivono non variano nel tempo, in assenza di interazioni esterne. È solo per stati di equilibrio che ha senso assegnare un valore univoco a temperatura, pressione, volume — e di conseguenza è agli stati di equilibrio che si applicheranno le leggi della termodinamica classica.
Definizione 5.3 — Variabili di stato
Le grandezze fisiche che caratterizzano lo stato macroscopico di un sistema in equilibrio si chiamano variabili di stato (o coordinate termodinamiche). Esempi: volume \(V\), pressione \(p\), temperatura \(T\), massa \(m\), densità \(\rho \).
Le variabili di stato si dividono in due grandi famiglie, di cui è importante avere chiara la distinzione.
Nota
Il rapporto fra due grandezze estensive è una grandezza intensiva. Per esempio, la densità \(\rho = m/V\) è intensiva: se prendi la metà di un blocco d’acqua, sia la massa sia il volume si dimezzano, ma il rapporto resta lo stesso. È una distinzione utile da tenere a mente in tutta la termodinamica.
Tutte le variabili di stato devono essere misurabili: per ognuna serve una procedura operativa che permette di assegnarle un valore numerico riproducibile (cfr. capitolo 1). Per volume e massa abbiamo già strumenti familiari (cilindri graduati, bilance); per la pressione vedremo il manometro nel capitolo 10; per la temperatura — che è la grandezza protagonista di questo capitolo — dobbiamo procedere con cura.
Le sensazioni di caldo e freddo, come abbiamo visto, sono inaffidabili. Eppure suggeriscono qualcosa di reale: esiste una proprietà degli oggetti per cui possiamo metterli in ordine — più caldo, più freddo. Il problema è trasformare questa intuizione in una grandezza fisica misurabile.
L’idea, antica almeno quanto il termoscopio costruito da Galileo intorno al 1592, è di sfruttare il fatto che molte proprietà fisiche dei corpi (volume, lunghezza, pressione, resistenza elettrica, colore di un metallo incandescente…) cambiano in modo riproducibile quando il corpo si scalda o si raffredda. Una qualsiasi di queste proprietà può servire da indicatore della temperatura.
Definizione 5.4 — Definizione operativa di temperatura
La temperatura di un sistema in equilibrio è la grandezza fisica misurata da un termometro messo a contatto con il sistema, dopo che termometro e sistema hanno raggiunto a loro volta l’equilibrio reciproco.
Nota
È una definizione operativa: non spiega che cos’è la temperatura (lo capiremo nel capitolo 20: è una misura dell’energia cinetica media delle particelle), ma dice come misurarla. Per fare fisica quantitativa è esattamente ciò che serve. La definizione operativa è una strategia tipica della fisica: si rinuncia a dire “che cos’è” una grandezza e si specifica invece “come la si misura”. Spesso il come chiarisce meglio del che cos’è.
Definizione 5.5 — Termometro
Un termometro è un dispositivo che sfrutta una proprietà fisica di un corpo (detta grandezza termometrica) variabile con la temperatura, per fornire una misura numerica della temperatura stessa.
Esistono molti tipi di termometro, ciascuno basato su una diversa grandezza termometrica:
Procedura — Costruire una scala termometrica
Per associare al termometro una scala di valori numerici si procede così:
La temperatura \(T\) corrispondente a un generico valore \(X\) della grandezza termometrica si ottiene per interpolazione lineare:
Attenzione!
Termometri costruiti con grandezze termometriche diverse possono non concordare alle temperature intermedie, anche se sono d’accordo ai punti fissi. Per esempio, un termometro a mercurio e uno ad alcol tarati entrambi a \(0\,{^\circ\text{C} }\) e \(100\,{^\circ\text{C} }\) possono dare letture leggermente diverse a \(50\,{^\circ\text{C} }\), perché le dilatazioni dei due liquidi non sono perfettamente lineari né uguali. Si è dunque concordato per convenzione internazionale di prendere come riferimento il termometro a gas a volume costante, le cui letture sono molto vicine alla temperatura “vera” definita teoricamente nel capitolo 20.
Quando due corpi a temperature diverse vengono messi a contatto, l’esperienza mostra che le loro temperature evolvono nel tempo: il più caldo si raffredda, il più freddo si riscalda, finché entrambi raggiungono una temperatura comune intermedia, dopodiché non cambiano più. Si dice che hanno raggiunto l’equilibrio termico.
Definizione 5.6 — Equilibrio termico
Due sistemi a contatto, in grado di interagire termicamente fra loro, sono in equilibrio termico quando le loro variabili di stato (in particolare la temperatura) non variano più nel tempo. Equivalentemente: due sistemi sono in equilibrio termico se, messi a contatto attraverso una parete che permette lo scambio di energia termica, non scambiano nulla.
L’equilibrio termico non è un fatto istantaneo: è il risultato di un’interazione (scambio di energia termica) che procede finché esiste una differenza di temperatura, e si arresta quando questa differenza si annulla. È esattamente questa proprietà a permettere a un termometro di funzionare: messo a contatto con un corpo, il termometro raggiunge l’equilibrio termico con esso, e a quel punto la sua lettura coincide con la temperatura del corpo.
Il fatto che “avere la stessa temperatura” sia una relazione transitiva — se \(A\) ha la stessa temperatura di \(B\), e \(B\) ha la stessa temperatura di \(C\), allora anche \(A\) e \(C\) hanno la stessa temperatura — sembra ovvio, ma logicamente non lo è affatto. Eppure è proprio quello che permette di usare i termometri: il termometro \(B\) misura la temperatura di un corpo \(A\); se poi misura anche un corpo \(C\) e troviamo lo stesso valore, possiamo concludere che \(A\) e \(C\), pur senza essersi mai toccati, hanno la stessa temperatura. Senza questa proprietà non avrebbe senso parlare di temperatura come grandezza universale.
L’evidenza sperimentale di questa transitività è così fondamentale da meritare il nome di principio (anche se è stato formalizzato dopo i principi primo e secondo della termodinamica, e per non rinumerarli si è scelto di chiamarlo “principio zero”).
Legge 5.1 — Principio zero della termodinamica
Se due sistemi \(A\) e \(B\) sono in equilibrio termico con un terzo sistema \(C\), allora \(A\) e \(B\) sono in equilibrio termico fra loro:
dove il simbolo \(\sim \) denota equilibrio termico.
Nota — Perché “zero”?
Il primo e il secondo principio della termodinamica furono formulati nel XIX secolo da Clausius, Kelvin e altri. Solo nel 1931 Ralph H. Fowler riconobbe che dietro all’idea stessa di temperatura si nasconde un assioma logicamente più fondamentale, che andrebbe enunciato prima degli altri due. Per non rinumerare leggi già famose, si scelse il nome “principio zero”.
Il principio zero ha una conseguenza concettuale importante: poiché “essere in equilibrio termico” è una relazione di equivalenza (riflessiva, simmetrica e transitiva), si possono raggruppare tutti i sistemi del mondo in classi di sistemi mutuamente in equilibrio termico. Ad ogni classe si può associare un’etichetta numerica — la temperatura — comune a tutti i suoi membri. È questa la giustificazione logica del concetto di temperatura come grandezza fisica.
La scala più usata nella vita quotidiana in gran parte del mondo è la scala Celsius, proposta dall’astronomo svedese Anders Celsius nel 1742.
Legge 5.2 — Scala Celsius
La scala Celsius assegna i valori numerici:
L’intervallo fra i due punti fissi è suddiviso in \(100\) gradi uguali.
L’unità di misura è il grado Celsius, simbolo \({^\circ\text{C} }\). Differenze di temperatura nella scala Celsius si esprimono in \({^\circ\text{C} }\).
Nota
Celsius nella sua proposta originaria del 1742 fissò \(0\,{^\circ\text{C} }\) all’ebollizione e \(100\,{^\circ\text{C} }\) alla fusione, in pratica al contrario di come oggi conosciamo la sua scala. Fu il botanico Carl von Linné a invertirla qualche anno dopo, dandole la forma attuale. Il nome “Celsius” è rimasto come riconoscimento storico.
La scala Celsius è comoda nella vita quotidiana, ma il suo zero — la temperatura del ghiaccio fondente — è una scelta arbitraria, legata a una particolare sostanza (l’acqua) in particolari condizioni (pressione atmosferica). C’è uno zero più fondamentale?
L’analisi sperimentale del comportamento dei gas suggerì già nel XIX secolo che, raffreddando un gas, la sua pressione (a volume costante) o il suo volume (a pressione costante) decrescono linearmente con la temperatura. Estrapolando le rette ottenute fino a pressione zero o volume zero, tutte le rette si incontrano in uno stesso punto: \(-273.15\,{^\circ\text{C} }\). Sotto questa temperatura, una pressione o un volume positivi sono impossibili. Questo punto è uno zero naturale, indipendente dalla sostanza scelta: è lo zero assoluto.
Legge 5.3 — Scala Kelvin
La scala Kelvin (o scala assoluta) ha lo zero coincidente con lo zero assoluto e la stessa ampiezza di grado della scala Celsius. La temperatura espressa in kelvin si denota con \(T\) e si misura in kelvin, simbolo \({\mathrm{K} }\) (senza il simbolo di grado).
Nota
Il kelvin è un’unità di base del Sistema Internazionale (cfr. capitolo 1). Dal 2019 è definito a partire dalla costante di Boltzmann \(k_B\), fissata per convenzione a \(k_B = 1.380649\times 10^{-23}\,{\mathrm{J} / \mathrm{K} }\) (esatto). Per il liceo basta sapere che storicamente fu definita imponendo \(T = 273.16\,{\mathrm{K} }\) al punto triplo dell’acqua (lo stato in cui ghiaccio, acqua liquida e vapore coesistono in equilibrio).
Lo zero assoluto è un limite irraggiungibile: è possibile avvicinarvisi quanto si vuole, ma non toccarlo (il terzo principio della termodinamica, nel cap. 12, formalizza questa affermazione). I laboratori di fisica delle basse temperature riescono oggi a raggiungere temperature di pochi nanokelvin, ma mai zero.
Poiché Celsius e Kelvin hanno la stessa ampiezza di grado e differiscono solo per l’origine, la conversione fra le due scale è una semplice traslazione.
Attenzione!
Esempio 5.1 — Conversioni di temperatura
Convertire le seguenti temperature: la temperatura corporea media umana (\(36.6\,{^\circ\text{C} }\)), l’azoto liquido (\(77\,{\mathrm{K} }\)), il punto di fusione del piombo (\(327\,{^\circ\text{C} }\)), il fondo cosmico a microonde (\(2.73\,{\mathrm{K} }\)).
Soluzione
Applichiamo la (5.2) caso per caso.
Temperatura corporea: \(T = 36.6 + 273.15 = 309.75\,{\mathrm{K} }\).
Azoto liquido: \(t = 77 - 273.15 = -196.15\,{^\circ\text{C} }\).
Punto di fusione del piombo: \(T = 327 + 273.15 = 600.15\,{\mathrm{K} }\).
Fondo cosmico: \(t = 2.73 - 273.15 = -270.42\,{^\circ\text{C} }\).
Verifica di plausibilità: temperature “ordinarie” della scala Celsius (decine di gradi) corrispondono a kelvin attorno a \(300\); temperature criogeniche (poche centinaia di kelvin sopra lo zero) corrispondono a Celsius molto negativi; il fondo cosmico è quasi allo zero assoluto, a meno di pochi kelvin. Tutto coerente.
Esempio 5.2 — Taratura di un termometro a resistenza
Un termometro a resistenza ha le seguenti letture ai due punti fissi: \(R_0 = 100.0\,{\Omega }\) al ghiaccio fondente, \(R_{100} = 138.5\,{\Omega }\) all’acqua bollente. Determinare la temperatura corrispondente a una lettura di \(R = 125.0\,{\Omega }\), sia in Celsius sia in kelvin, assumendo che la resistenza vari linearmente con la temperatura.
Soluzione
Algebricamente, per la (5.1) con \(T_0 = 0\,{^\circ\text{C} }\), \(T_{100} = 100\,{^\circ\text{C} }\) e grandezza termometrica \(X = R\):
Sostituendo i valori:
Verifica di plausibilità: la lettura \(125.0\,{\Omega }\) è a circa due terzi dell’intervallo \([100.0\,{\Omega }, 138.5\,{\Omega }]\), dunque ci si aspetta una temperatura a circa due terzi dell’intervallo \([0\,{^\circ\text{C} }, 100\,{^\circ\text{C} }]\), cioè attorno a \(65\,{^\circ\text{C} }\) — coerente con il risultato.
Riepilogo
Esercizio 5.1
Video overview— panoramiche NotebookLM (clic per riprodurre)
Audio overview— podcast NotebookLM (clic per ascoltare)
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