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Misurare ciò che è misurabile e rendere misurabile ciò che non lo è ancora.”
— Galileo Galilei (attr.)
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Immagina di dover comunicare a qualcuno che si trova dall’altra parte del mondo la lunghezza di un oggetto. Potresti dire “è lungo quanto il mio braccio”, ma il tuo braccio non è uguale al suo. Oppure potresti dire “è lungo 42cm : in questo caso la comunicazione è inequivocabile, perché il centimetro ha lo stesso significato in tutto il mondo.
Questo esempio banale racchiude il nucleo della fisica come scienza quantitativa: la descrizione della natura richiede grandezze misurabili e unità condivise. Senza misura non c’è confronto, senza confronto non c’è legge fisica. In questo capitolo costruiamo gli strumenti concettuali e operativi che renderanno possibile, dal capitolo successivo in poi, parlare di vettori, moto, forze, energia.
Attenzione! — Perché studiare le misure?
Ogni formula della fisica, da \(F = ma\) alla relatività di Einstein, è scritta in termini di grandezze fisiche misurabili. Capire cosa si misura e come si misura è il primo passo per capire la fisica.
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Per quasi due millenni, da Aristotele al Rinascimento, lo studio della natura procedeva per autorità: si discutevano le opere degli antichi e si argomentava a priori sulla base di principi filosofici (i “luoghi naturali” dei corpi, l’idea che il moto richieda continuamente una causa). La svolta decisiva si compie tra fine Cinquecento e metà Seicento con Galileo Galilei (1564–1642), che mette al centro della scienza tre azioni operative: osservare, modellare, esperimentare.
Definizione 1.1 — Metodo sperimentale
Il metodo sperimentale (o metodo scientifico) è il procedimento ciclico per cui una conoscenza della natura si costruisce attraverso:
Tre caratteristiche distinguono questo metodo da quello pre-galileiano:
Nota — Esempio storico — la caduta dei gravi
Aristotele sosteneva che corpi più pesanti cadano proporzionalmente più rapidamente. Galileo, nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638), formula il modello opposto: in assenza di resistenza dell’aria tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione. Per verificarlo costruisce piani inclinati con scanalature levigate, fa rotolare sfere e misura tempi con un orologio ad acqua (clessidra). Dalle proporzioni \(s \propto t^2\) ricava la legge del moto uniformemente accelerato — un modello quantitativo nato dall’esperimento.
Definizione 1.2 — Grandezza fisica
Sono grandezze fisiche: lunghezza (\(3.5\,{\mathrm{m} }\)), massa (\(75\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\)), temperatura (\(37\,{^\circ\text{C} }\)), velocità (\(130\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\)). Non lo sono, in senso stretto: il colore di un oggetto (categoria, non numero), la bellezza, la simpatia (soggettive).
Il fisico statunitense Percy Bridgman, in The Logic of Modern Physics (1927), formalizza un concetto centrale: una grandezza fisica è definita operativamente, cioè attraverso la procedura concreta con cui la si misura.
Definizione 1.3 — Definizione operativa
Esempio: la temperatura di un corpo è “ciò che si legge su un termometro” (definizione operativa di base), poi raffinata attraverso la termodinamica (12) come grandezza legata all’energia cinetica media molecolare. Senza definizione operativa una grandezza è solo un nome: la definizione fissa l’unità, l’incertezza minima, le condizioni di validità.
Le grandezze misurate sono i mattoni da cui si costruiscono i concetti fisici, attraverso due movimenti opposti e complementari:
Il fisico Eugene Wigner, in The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (1960), osserva che la matematica si rivela “irragionevolmente efficace” nel descrivere la natura: leggi semplici, scoperte in un contesto, predicono fenomeni in contesti del tutto diversi. Newton scopre la gravitazione dalle orbite planetarie e la stessa legge spiega la caduta di una mela; Maxwell formula le equazioni dell’elettromagnetismo e ne deriva la velocità della luce. La fisica è il linguaggio in cui questa efficacia diventa esplicita.
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Il Sistema Internazionale di unità (SI), adottato nel 1960 dalla Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure (CGPM) e periodicamente aggiornato (ultima revisione: 2019), definisce sette grandezze fondamentali e le rispettive unità. Tutte le altre grandezze fisiche sono derivate: ottenute moltiplicando e dividendo le fondamentali.
Definizione 1.4 — Grandezze fondamentali e derivate
| Grandezza | Simbolo | Unità SI | Simb. |
| Lunghezza | \(\ell \) | metro | \(\mathrm {\mathrm{m} }\) |
| Massa | \(m\) | chilogrammo | \(\mathrm {\mathrm{k} \mathrm{g} }\) |
| Tempo | \(t\) | secondo | \(\mathrm {\mathrm{s} }\) |
| Corrente elettrica | \(I\) | ampere | \(\mathrm {\mathrm{A} }\) |
| Temperatura termodinamica | \(T\) | kelvin | \(\mathrm {\mathrm{K} }\) |
| Quantità di sostanza | \(n\) | mole | \(\mathrm {\mathrm{mol} }\) |
| Intensità luminosa | \(I_v\) | candela | \(\mathrm {\mathrm{cd} }\) |
Dalla revisione 2019, le sette unità non sono più definite tramite campioni materiali (come il vecchio prototipo del chilogrammo conservato a Sèvres) ma fissando i valori di sette costanti fondamentali della natura: la velocità della luce \(c\), la costante di Planck \(h\), la carica elementare \(e\), la costante di Boltzmann \(k_B\), il numero di Avogadro \(N_A\), la frequenza di transizione del cesio \(\Delta \nu _\text {Cs}\), l’efficacia luminosa \(K_\text {cd}\).
Per maneggiare valori molto grandi o molto piccoli senza scrivere lunghe sequenze di zeri si usano i prefissi SI, ciascuno equivalente a una potenza di \(10\).
Nota — Regola pratica per i prefissi
Per convertire da un’unità con prefisso all’unità base, moltiplica per il fattore corrispondente:
Per la tabella completa (yotta, zetta, exa, peta, tera, \(\ldots \), atto, zepto, yocto) vedi l’appendice 26.6.
Quando un valore è espresso in un’unità non-SI (ad esempio \({\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\), \({\mathrm{L} }\), \({^\circ }\) angolari) conviene convertirlo nell’unità SI prima di sostituirlo nelle formule. La tecnica più sicura è quella delle frazioni unitarie: si moltiplica per frazioni equivalenti a \(1\), costruite in modo da cancellare le unità indesiderate.
Procedura — Conversione con frazioni unitarie
Esempio: \(72\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) in \({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\):
Da ricordare: \(3.6\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} } = 1\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) esatti.
L’analisi dimensionale consiste nel verificare che, in una formula fisica, i due membri abbiano le stesse dimensioni (cioè la stessa combinazione di lunghezze, masse, tempi, ecc.). Se le dimensioni non tornano, la formula è certamente sbagliata; se tornano, la formula può essere giusta (ma serve verifica numerica).
Nota — Forza del metodo
L’analisi dimensionale è il primo controllo da fare su qualunque formula scritta a memoria o ricavata in fretta. Se a destra c’è \({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) e a sinistra \({\mathrm{m} ^{2} / \mathrm{s} ^{2} }\), c’è un errore — non importa quanto sia “elegante” il calcolo che l’ha prodotto.
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In fisica si incontrano routinariamente numeri come la massa del Sole (\(1.989\times 10^{30}\) kg) o la massa dell’elettrone (\(9.109\times 10^{-31}\) kg). Scriverli in notazione decimale completa, con tutti gli zeri, è impraticabile e fonte di errori. La notazione scientifica risolve il problema esprimendo ogni numero come prodotto di una mantissa \(a\) e di una potenza di \(10\).
Definizione 1.5 — Notazione scientifica
Un numero \(x\) è scritto in notazione scientifica se ha la forma
La mantissa \(a\) ha una sola cifra non nulla prima del punto decimale; l’esponente \(n\) può essere positivo (numeri grandi), negativo (numeri piccoli) o nullo.
Le regole sono quelle delle potenze: si separa mantissa ed esponente, e si trattano in modo indipendente.
Procedura — Operazioni con potenze di 10
Al termine si riporta sempre il risultato in forma canonica \(a \times 10^n\) con \(1 \le |a| < 10\).
Esempio: \((3.0\times 10^{8}) \cdot (2.0\times 10^{-6}) = 6.0\times 10^{2}\); \((4.5\times 10^{7}) + (2.0\times 10^{6}) = 4.5\times 10^{7} + 0.20\times 10^{7} = 4.70\times 10^{7}\).
Una misura di lunghezza \(1.20\,{\mathrm{m} }\) non è equivalente a \(1.2\,{\mathrm{m} }\) né a \(1.200\,{\mathrm{m} }\): il numero di cifre scritte comunica la precisione con cui la misura è stata effettuata.
Definizione 1.6 — Cifre significative
Procedura — Regole di conteggio
Procedura — Operazioni con cifre significative
Spesso, prima di eseguire un calcolo preciso, conviene stimare quanto grande sarà il risultato a meno di un fattore \(10\). Questa è la stima dell’ordine di grandezza, una pratica che Enrico Fermi (1901–1954) trasformò in arte (le “domande di Fermi”). Le stime di Fermi servono per: validare grossolanamente un calcolo, decidere se un esperimento è fattibile, sviluppare l’intuito fisico.
Procedura — Stima alla Fermi
Nota — L’esempio classico — accordatori di piano a Chicago
Fermi chiedeva ai suoi studenti: “quanti accordatori di pianoforte ci sono a Chicago?”. Stima: popolazione \(\sim 10^6\), famiglie \(\sim 10^6/3 \approx 3\times 10^{5}\), frazione con piano \(\sim 10\% \to 3\times 10^{4}\) piani. Ciascun piano viene accordato \(\sim \) una volta all’anno. Un accordatore lavora \(\sim 200\) giorni/anno \(\times \) \(4\) piani/giorno \(\sim 800\) accordature/anno. Risultato: \(3\times 10^{4}/800 \approx 40\) accordatori. Stima reale dell’epoca: \(\sim 50\). Più che sufficiente per l’ordine di grandezza.
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Ogni strumento di misura è caratterizzato da tre parametri che ne definiscono la zona di lavoro.
Definizione 1.7 — Caratteristiche di uno strumento
Gli strumenti si dividono in analogici, in cui il valore si legge dalla posizione di un indice su una scala graduata (righello, bilancia a molla, termometro a mercurio), e digitali, che mostrano direttamente un numero (cronometro, bilancia elettronica). Oltre alla portata, alcuni strumenti hanno anche un valore minimo misurabile: l’intervallo fra minimo e massimo è il campo di misura (un cilindro graduato da \(20\,{\mathrm{m} \mathrm{L} }\) a \(250\,{\mathrm{m} \mathrm{L} }\) ha campo di misura \(\SIrange {20}{250}{\mathrm{m} \mathrm{L} }\)). La prontezza è la rapidità con cui lo strumento risponde a una variazione della grandezza: un termometro a mercurio impiega minuti, uno elettronico secondi.
Esempio: un righello da \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) con tacche al millimetro ha portata \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e sensibilità \(1\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\). Un calibro a corsoio ventesimale ha sensibilità \(0.05\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\), un micrometro centesimale \(0.01\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\).
Misura diretta e indiretta. Una misura è diretta se confronta direttamente la grandezza incognita con lo strumento di misura (es. lunghezza di un tavolo con un metro a nastro). È indiretta se la grandezza si ricava dalla misura di altre grandezze tramite una formula (es. velocità media \(\bar{v} = \Delta s / \Delta t\) misurando separatamente \(\Delta s\) e \(\Delta t\)).
Nessuna misura è perfetta. Le cause di errore si dividono in due famiglie con effetti opposti sul comportamento delle misure ripetute.
Definizione 1.8 — Errori sistematici e casuali
Definizione 1.9 — Accuratezza e precisione
Il risultato di una misura non è mai un singolo numero, ma sempre un intervallo:
\(\bar x\) = valore attendibile (il valore migliore); \(\Delta x\) = incertezza assoluta, nelle stesse unità di \(x\).
Come si trovano \(\bar x\) e \(\Delta x\) dipende da quante volte si misura.
Misura singola. Se la misura è eseguita una volta sola, il valore attendibile è la lettura e l’incertezza viene dallo strumento:
Misura ripetuta. Se la misura è ripetuta \(N\) volte e i valori \(x_1, \ldots , x_N\) non coincidono (errori casuali), il valore attendibile è la media e una prima stima dell’incertezza è la semidispersione massima \(e\):
L’incertezza da scrivere è la maggiore fra la semidispersione e l’incertezza della misura singola: se le misure ripetute danno tutte lo stesso valore, \(e = 0\), ma l’incertezza non è zero, resta quella dello strumento.
Procedura — Come si scrive una misura
Misure compatibili. Due misure della stessa grandezza, fatte da persone o con strumenti diversi, non coincidono quasi mai. Sono compatibili se i loro intervalli hanno almeno un punto in comune: \((14.5 \pm 0.2)\,{\mathrm{s} }\) e \((14.34 \pm 0.08)\,{\mathrm{s} }\) sono compatibili, perché \(14.3\,{\mathrm{s} }\)–\(14.7\,{\mathrm{s} }\) e \(14.26\,{\mathrm{s} }\)–\(14.42\,{\mathrm{s} }\) si sovrappongono (figura 1.3); \((2.36 \pm 0.03)\,{\mathrm{m} }\) e \((2.42 \pm 0.02)\,{\mathrm{m} }\) non lo sono. Se due misure accurate non sono compatibili, una delle due nasconde un errore sistematico.
Con poche misure la semidispersione è tutto ciò che si può dire. Con molte misure (\(N\) di qualche decina) si può fare di meglio, perché i dati si distribuiscono in modo caratteristico: la maggior parte si affolla vicino alla media, pochi si allontanano. Per vederlo si costruisce un istogramma: si divide l’intervallo dei valori in classi di uguale ampiezza e su ogni classe si disegna una colonna alta quanto il numero di dati che vi cadono (figura 1.4).
Con centinaia o migliaia di misure l’istogramma diventa liscio e assume la forma a campana della curva di Gauss: simmetrica attorno alla media, tanto più stretta quanto più le misure sono precise. La larghezza della campana si misura con lo scarto quadratico medio (o deviazione standard):
Si calcola lo scarto di ogni misura dalla media, si elevano al quadrato (così i segni non si cancellano), si fa la media dei quadrati e si estrae la radice. Per una distribuzione gaussiana, il \(68.3\,{\% }\) delle misure cade nell’intervallo \(\bar x - \sigma \), \(\bar x + \sigma \), e il \(95.4\,{\% }\) entro \(\pm 2\sigma \). Per questo, quando le misure sono molte, come incertezza si prende \(\Delta x = \sigma \) invece della semidispersione: la semidispersione dipende solo dai due valori estremi, spesso i meno affidabili, ed è una stima pessimistica; lo scarto quadratico medio usa tutti i dati. Un’ultima cosa: la semidispersione cresce al crescere di \(N\) (prima o poi capita una misura estrema), lo scarto quadratico medio no.
Definizione 1.10 — Incertezza relativa
L’incertezza relativa permette di confrontare la qualità di misure di grandezze diverse: misurare una lunghezza di \(1\,{\mathrm{m} }\) con \(\Delta x = 1\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\) (\(\varepsilon _r = e-3\), cioè \(0.1\,{\% }\)) è più “buono” che misurare \(1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) con la stessa \(\Delta x\) (\(\varepsilon _r = e-1\), cioè \(10\,{\% }\)).
Quando una grandezza si calcola a partire da altre grandezze misurate, l’incertezza si propaga dalla formula al risultato. Le regole semplificate adottate in laboratorio liceale sono le seguenti.
Somma e differenza: si sommano le incertezze assolute.
Prodotto e quoziente: si sommano le incertezze relative.
Potenza: l’incertezza relativa si moltiplica per l’esponente.
Prodotto per un numero esatto: l’incertezza assoluta si moltiplica per quel numero.
Nota — Origine delle regole
Le formule sopra sono stime per eccesso basate sul caso peggiore: assumono che gli errori si sommino tutti nella stessa direzione. Una trattazione statistica più accurata (somma in quadratura) attende l’analisi delle variabili aleatorie: \(\Delta z = \sqrt {(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\) per somme di errori indipendenti.
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Un grafico cartesiano è il modo più sintetico per visualizzare la dipendenza tra due grandezze fisiche. Convenzioni di base:
Tre tipi di dipendenza compaiono ovunque nella fisica liceale; riconoscerli a occhio dal grafico è un’abilità fondamentale.
Indicatori grafici qualitativi:
L’occhio umano riconosce con grande precisione le rette, molto meno le curve. Per questa ragione, davanti a una legge non lineare conviene riscriverla come retta tramite un opportuno cambio di variabili: questa operazione si chiama linearizzazione.
Procedura — Linearizzare per riconoscere la legge
Esempio. Il periodo \(T\) di un pendolo dipende dalla lunghezza \(L\) secondo \(T = 2\pi \sqrt {L/g}\). Tracciare \(T\) in funzione di \(L\) dà una curva ramo di parabola. Tracciare invece \(T^2\) in funzione di \(L\) dà una retta di pendenza \(4\pi ^2/g\): misurando la pendenza si ricava \(g\) direttamente.
Esempio 1.1 — Conversione di unità di misura
Converti \(72\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) in \({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).
Soluzione
Esempio 1.2 — Analisi dimensionale — pressione
Verifica che l’unità della pressione \(p = F/A\) sia il pascal (\(\mathrm {\mathrm{Pa} }\)).
Soluzione
La formula è dimensionalmente coerente.
Esempio 1.3 — Notazione scientifica e operazioni
Calcola \(\dfrac {(6.0\times 10^{8})(4.0\times 10^{-3})}{2.0\times 10^{2}}\) in notazione scientifica, con le c.s. corrette.
Soluzione
Mantisse: \(6.0 \cdot 4.0 / 2.0 = 12\). Esponenti: \(8 + (-3) - 2 = 3\). Risultato grezzo: \(12 \times 10^3 = 1.2\times 10^{4}\). Le c.s. sono \(2\) (vincolo del fattore con minor numero di c.s., qui tutti a \(2\)):
Esempio 1.4 — Cifre significative nella moltiplicazione
Esegui \(3.24\,{\mathrm{m} } \times 1.8\,{\mathrm{m} }\) con il corretto numero di c.s.
Soluzione
\(3.24\,{\mathrm{m} }\) ha \(3\) c.s., \(1.8\,{\mathrm{m} }\) ha \(2\) c.s. Nella moltiplicazione si prende il minimo, dunque \(2\) c.s.
Esempio 1.5 — Stima alla Fermi — capelli sulla testa
Quanti capelli ha in media una persona?
Soluzione
Superficie del cuoio capelluto \(\sim \pi r^2\) con \(r \sim 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), dunque \(A \sim 300\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\). Densità di capelli \(\sim 300\) capelli/\({\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\) (stima qualitativa). Numero totale \(\sim 300 \times 300 = 9\times 10^{4}\), dunque ordine di grandezza \(\sim 10^5\). Il valore tipico in letteratura è \(\sim 1\times 10^{5}\): la stima è corretta a meno di un fattore \(10\).
Esempio 1.6 — Misura ripetuta con incertezza
Cinque misure della lunghezza di una sbarra danno (in cm): \(25.3 - 25.5 - 25.2 - 25.4 - 25.3\). Calcola valore medio e incertezza.
Soluzione
Valore medio:
Semidispersione massima:
Risultato:
(L’incertezza si arrotonda a una cifra; il valore medio si allinea alla stessa posizione decimale.)
Esempio 1.7 — Periodo di un pendolo: semidispersione e scarto quadratico medio
Dieci misure del periodo di un pendolo, con un cronometro al centesimo di secondo, danno (in s): \(1.62 - 1.58 - 1.65 - 1.60 - 1.63 - 1.59 - 1.61 - 1.64 - 1.57 - 1.61\). Scrivi il risultato usando la semidispersione e poi lo scarto quadratico medio; calcola l’incertezza percentuale.
Soluzione
Media:
Semidispersione: \(e = (1.65 - 1.57)/2 = 0.04\,{\mathrm{s} }\), maggiore della sensibilità \(0.01\,{\mathrm{s} }\), quindi
Scarti dalla media (in centesimi di secondo): \(+1, -3, +4, -1, +2, -2, 0, +3, -4, 0\); i loro quadrati: \(1, 9, 16, 1, 4, 4, 0, 9, 16, 0\), somma \(60\). Quindi
Incertezza percentuale: \(\varepsilon _p = 0.02/1.61 \times 100\,{\% } = 1.2\,{\% }\). La semidispersione, che guarda solo ai due valori estremi, è più pessimistica dello scarto quadratico medio.
Esempio 1.8 — Propagazione: area di un rettangolo
Si misurano i lati di un rettangolo: \(a = (12.0 \pm 0.1)\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(b = (8.0 \pm 0.1)\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola l’area con la sua incertezza.
Soluzione
Area: \(A = a b = 12.0 \cdot 8.0 = 96.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\). Per il prodotto si sommano le incertezze relative:
\(\Delta A = 0.021 \cdot 96.0 \approx 2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\), quindi \(A = (96 \pm 2)\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).
Esempio 1.9 — Linearizzazione del pendolo
In laboratorio si misura il periodo \(T\) di un pendolo per cinque lunghezze \(L\):
Ricava una stima di \(g\).
Soluzione
La legge è \(T = 2\pi \sqrt {L/g}\), dunque \(T^2 = (4\pi ^2/g)\,L\): tracciando \(T^2\) in funzione di \(L\) si ottiene una retta di pendenza \(m = 4\pi ^2/g\). Calcoliamo \(T^2\):
La pendenza si stima dai due punti estremi: \(m \approx (5.02 - 1.00)/(1.25 - 0.25) = 4.02\,{\mathrm{s} ^{2} / \mathrm{m} }\). Da \(m = 4\pi ^2/g\) segue \(g = 4\pi ^2/m \approx 39.48/4.02 \approx 9.82\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\), in ottimo accordo col valore vero \(9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\).
Esercizio 1.1
Riepilogo — Cap. 1 — Grandezze fisiche e misure
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