1 Grandezze fisiche e misure

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Capitolo 1
Grandezze fisiche e misure

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Misurare ciò che è misurabile e rendere misurabile ciò che non lo è ancora.”

— Galileo Galilei (attr.)

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Introduzione

Immagina di dover comunicare a qualcuno che si trova dall’altra parte del mondo la lunghezza di un oggetto. Potresti dire “è lungo quanto il mio braccio”, ma il tuo braccio non è uguale al suo. Oppure potresti dire “è lungo 42cm : in questo caso la comunicazione è inequivocabile, perché il centimetro ha lo stesso significato in tutto il mondo.

Questo esempio banale racchiude il nucleo della fisica come scienza quantitativa: la descrizione della natura richiede grandezze misurabili e unità condivise. Senza misura non c’è confronto, senza confronto non c’è legge fisica. In questo capitolo costruiamo gli strumenti concettuali e operativi che renderanno possibile, dal capitolo successivo in poi, parlare di vettori, moto, forze, energia.

Attenzione! — Perché studiare le misure?

Ogni formula della fisica, da \(F = ma\) alla relatività di Einstein, è scritta in termini di grandezze fisiche misurabili. Capire cosa si misura e come si misura è il primo passo per capire la fisica.

1.1 Il metodo sperimentale

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1.1.1 Osservazione, modello, esperimento

Per quasi due millenni, da Aristotele al Rinascimento, lo studio della natura procedeva per autorità: si discutevano le opere degli antichi e si argomentava a priori sulla base di principi filosofici (i “luoghi naturali” dei corpi, l’idea che il moto richieda continuamente una causa). La svolta decisiva si compie tra fine Cinquecento e metà Seicento con Galileo Galilei (1564–1642), che mette al centro della scienza tre azioni operative: osservare, modellare, esperimentare.

Definizione 1.1 — Metodo sperimentale

Il metodo sperimentale (o metodo scientifico) è il procedimento ciclico per cui una conoscenza della natura si costruisce attraverso:

1.: Osservazione di un fenomeno e identificazione delle grandezze rilevanti.
2.: Formulazione di una ipotesi o modello matematico che descriva il fenomeno.
3.: Predizione quantitativa di un risultato in condizioni controllate.
4.: Esperimento riproducibile per confrontare predizione e misura.
5.: Revisione del modello in base ai risultati, ricominciando dal punto 1.

Tre caratteristiche distinguono questo metodo da quello pre-galileiano:

Quantitativo: ogni grandezza è espressa con un numero e un’unità, mai con aggettivi qualitativi (“veloce”, “pesante”).
Riproducibile: l’esperimento deve poter essere ripetuto da altri sperimentatori, in altri laboratori, ottenendo lo stesso risultato entro le incertezze.
Falsificabile: il modello deve fare predizioni che possono in linea di principio essere smentite dall’esperimento (criterio di Karl Popper, 1934). Una teoria che si adatta a qualsiasi risultato non è fisica.

Nota — Esempio storico — la caduta dei gravi

Aristotele sosteneva che corpi più pesanti cadano proporzionalmente più rapidamente. Galileo, nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638), formula il modello opposto: in assenza di resistenza dell’aria tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione. Per verificarlo costruisce piani inclinati con scanalature levigate, fa rotolare sfere e misura tempi con un orologio ad acqua (clessidra). Dalle proporzioni \(s \propto t^2\) ricava la legge del moto uniformemente accelerato — un modello quantitativo nato dall’esperimento.

1.1.2 Definizione operativa di grandezza fisica

Definizione 1.2 — Grandezza fisica

Una grandezza fisica è qualsiasi proprietà di un fenomeno, di un corpo o di una sostanza che può essere misurata e espressa con un numero seguito da un’unità di misura.

Sono grandezze fisiche: lunghezza (\(3.5\,{\mathrm{m} }\)), massa (\(75\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\)), temperatura (\(37\,{^\circ\text{C} }\)), velocità (\(130\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\)). Non lo sono, in senso stretto: il colore di un oggetto (categoria, non numero), la bellezza, la simpatia (soggettive).

Il fisico statunitense Percy Bridgman, in The Logic of Modern Physics (1927), formalizza un concetto centrale: una grandezza fisica è definita operativamente, cioè attraverso la procedura concreta con cui la si misura.

Definizione 1.3 — Definizione operativa

La definizione operativa di una grandezza fisica è la descrizione precisa della procedura sperimentale che permette di assegnarle un valore numerico.

Esempio: la temperatura di un corpo è “ciò che si legge su un termometro” (definizione operativa di base), poi raffinata attraverso la termodinamica (12) come grandezza legata all’energia cinetica media molecolare. Senza definizione operativa una grandezza è solo un nome: la definizione fissa l’unità, l’incertezza minima, le condizioni di validità.

1.1.3 Dalle misure ai concetti fisici

Le grandezze misurate sono i mattoni da cui si costruiscono i concetti fisici, attraverso due movimenti opposti e complementari:

Induzione: dai dati alla legge. Si osservano molte cadute di gravi, si misura \(s\) e \(t\), e si induce la legge \(s = \tfrac {1}{2} g t^2\).
Deduzione: dalla legge alle predizioni. Conoscendo la legge, si deduce che in \(2\,{\mathrm{s} }\) un corpo lasciato cadere percorre \(19.6\,{\mathrm{m} }\). Si verifica con l’esperimento.

Il fisico Eugene Wigner, in The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (1960), osserva che la matematica si rivela “irragionevolmente efficace” nel descrivere la natura: leggi semplici, scoperte in un contesto, predicono fenomeni in contesti del tutto diversi. Newton scopre la gravitazione dalle orbite planetarie e la stessa legge spiega la caduta di una mela; Maxwell formula le equazioni dell’elettromagnetismo e ne deriva la velocità della luce. La fisica è il linguaggio in cui questa efficacia diventa esplicita.

1.2 Il Sistema Internazionale di unità

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1.2.1 Grandezze fondamentali e grandezze derivate

Il Sistema Internazionale di unità (SI), adottato nel 1960 dalla Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure (CGPM) e periodicamente aggiornato (ultima revisione: 2019), definisce sette grandezze fondamentali e le rispettive unità. Tutte le altre grandezze fisiche sono derivate: ottenute moltiplicando e dividendo le fondamentali.

Definizione 1.4 — Grandezze fondamentali e derivate

Le grandezze fondamentali sono le grandezze primitive, scelte per convenzione internazionale, dalle quali si derivano tutte le altre. Le grandezze derivate si ottengono combinando algebricamente le fondamentali. Esempio: \(\text {velocità} = \text {lunghezza}/\text {tempo}\).

Tabella 1.1: Le sette grandezze fondamentali del Sistema Internazionale.

Grandezza	Simbolo	Unità SI	Simb.
Lunghezza	\(\ell \)	metro	\(\mathrm {\mathrm{m} }\)
Massa	\(m\)	chilogrammo	\(\mathrm {\mathrm{k} \mathrm{g} }\)
Tempo	\(t\)	secondo	\(\mathrm {\mathrm{s} }\)
Corrente elettrica	\(I\)	ampere	\(\mathrm {\mathrm{A} }\)
Temperatura termodinamica	\(T\)	kelvin	\(\mathrm {\mathrm{K} }\)
Quantità di sostanza	\(n\)	mole	\(\mathrm {\mathrm{mol} }\)
Intensità luminosa	\(I_v\)	candela	\(\mathrm {\mathrm{cd} }\)

Dalla revisione 2019, le sette unità non sono più definite tramite campioni materiali (come il vecchio prototipo del chilogrammo conservato a Sèvres) ma fissando i valori di sette costanti fondamentali della natura: la velocità della luce \(c\), la costante di Planck \(h\), la carica elementare \(e\), la costante di Boltzmann \(k_B\), il numero di Avogadro \(N_A\), la frequenza di transizione del cesio \(\Delta \nu _\text {Cs}\), l’efficacia luminosa \(K_\text {cd}\).

1.2.2 Multipli, sottomultipli e prefissi

Per maneggiare valori molto grandi o molto piccoli senza scrivere lunghe sequenze di zeri si usano i prefissi SI, ciascuno equivalente a una potenza di \(10\).

[Picture] — Figura 1.1: Scala dei prefissi SI principali (passo \(\times 10^3\), non in scala lineare).

Nota — Regola pratica per i prefissi

Per convertire da un’unità con prefisso all’unità base, moltiplica per il fattore corrispondente:

\[ 3.5\,{\mathrm{k} \mathrm{m} } = 3.5 \times 10^{3}\,{\mathrm{m} } = 3500\,{\mathrm{m} }. \]

Per la tabella completa (yotta, zetta, exa, peta, tera, \(\ldots \), atto, zepto, yocto) vedi l’appendice 26.6.

1.2.3 Conversioni tra unità di misura

Quando un valore è espresso in un’unità non-SI (ad esempio \({\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\), \({\mathrm{L} }\), \({^\circ }\) angolari) conviene convertirlo nell’unità SI prima di sostituirlo nelle formule. La tecnica più sicura è quella delle frazioni unitarie: si moltiplica per frazioni equivalenti a \(1\), costruite in modo da cancellare le unità indesiderate.

Procedura — Conversione con frazioni unitarie

1.: Scrivi il valore da convertire con la sua unità.
2.: Moltiplica per frazioni equivalenti a \(1\) (es. \(\tfrac {1000\,{\mathrm{m} }}{1\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }}\)).
3.: Disponi numeratori e denominatori in modo che le unità indesiderate si cancellino.
4.: Esegui i conti numerici, lasciando le unità SI nel risultato.

Esempio: \(72\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) in \({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\):

\[ 72\,\frac {\cancel {\text {km}}}{\cancel {\text {h}}} \cdot \frac {1000\,\text {m}}{1\,\cancel {\text {km}}} \cdot \frac {1\,\cancel {\text {h}}}{3600\,\text {s}} = \frac {72\,000}{3600}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = 20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }. \]

Da ricordare: \(3.6\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} } = 1\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) esatti.

1.2.4 Analisi dimensionale come strumento di controllo

L’analisi dimensionale consiste nel verificare che, in una formula fisica, i due membri abbiano le stesse dimensioni (cioè la stessa combinazione di lunghezze, masse, tempi, ecc.). Se le dimensioni non tornano, la formula è certamente sbagliata; se tornano, la formula può essere giusta (ma serve verifica numerica).

\[ [F] = {\mathrm{k} \mathrm{g} \mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} } = {\mathrm{N} } \qquad [E] = {\mathrm{k} \mathrm{g} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{s} ^{2} } = {\mathrm{J} } \]

Nota — Forza del metodo

L’analisi dimensionale è il primo controllo da fare su qualunque formula scritta a memoria o ricavata in fretta. Se a destra c’è \({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) e a sinistra \({\mathrm{m} ^{2} / \mathrm{s} ^{2} }\), c’è un errore — non importa quanto sia “elegante” il calcolo che l’ha prodotto.

1.3 Notazione scientifica e ordini di grandezza

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1.3.1 Dalla notazione decimale alla notazione scientifica

In fisica si incontrano routinariamente numeri come la massa del Sole (\(1.989\times 10^{30}\) kg) o la massa dell’elettrone (\(9.109\times 10^{-31}\) kg). Scriverli in notazione decimale completa, con tutti gli zeri, è impraticabile e fonte di errori. La notazione scientifica risolve il problema esprimendo ogni numero come prodotto di una mantissa \(a\) e di una potenza di \(10\).

Definizione 1.5 — Notazione scientifica

Un numero \(x\) è scritto in notazione scientifica se ha la forma

\[ x = a \times 10^{n}, \qquad 1 \le |a| < 10, \quad n \in \mathbb {Z}. \]

La mantissa \(a\) ha una sola cifra non nulla prima del punto decimale; l’esponente \(n\) può essere positivo (numeri grandi), negativo (numeri piccoli) o nullo.

\[ 6.022\times 10^{23} \;\;\text {(numero di Avogadro)} \qquad 1.602\times 10^{-19} \;\;\text {(carica elementare, C)} \]

1.3.2 Operazioni in notazione scientifica

Le regole sono quelle delle potenze: si separa mantissa ed esponente, e si trattano in modo indipendente.

Procedura — Operazioni con potenze di 10

Moltiplicazione: \((a \times 10^{n})(b \times 10^{m}) = (ab) \times 10^{n+m}\).
Divisione: \((a \times 10^{n})/(b \times 10^{m}) = (a/b) \times 10^{n-m}\).
Addizione/sottrazione: serve lo stesso esponente. Si riduce uno degli addendi allo stesso esponente dell’altro, poi si sommano le mantisse.
Potenza/radice: \((a \times 10^{n})^k = a^k \times 10^{nk}\) (vale anche per \(k\) frazionario, attenzione al segno di \(a\)).

Al termine si riporta sempre il risultato in forma canonica \(a \times 10^n\) con \(1 \le |a| < 10\).

Esempio: \((3.0\times 10^{8}) \cdot (2.0\times 10^{-6}) = 6.0\times 10^{2}\); \((4.5\times 10^{7}) + (2.0\times 10^{6}) = 4.5\times 10^{7} + 0.20\times 10^{7} = 4.70\times 10^{7}\).

1.3.3 Cifre significative e arrotondamenti

Una misura di lunghezza \(1.20\,{\mathrm{m} }\) non è equivalente a \(1.2\,{\mathrm{m} }\) né a \(1.200\,{\mathrm{m} }\): il numero di cifre scritte comunica la precisione con cui la misura è stata effettuata.

Definizione 1.6 — Cifre significative

Le cifre significative di un numero sono le cifre che portano informazione reale sulla misura, a partire dalla prima cifra non nulla.

Procedura — Regole di conteggio

1.: Le cifre non nulle sono sempre significative (\(3456 \to 4\) c.s.).
2.: Gli zeri tra cifre non nulle sono significativi (\(1007 \to 4\) c.s.).
3.: Gli zeri a sinistra della prima cifra non nulla non sono significativi (\(0.0045 \to 2\) c.s.).
4.: Gli zeri a destra del punto decimale sono significativi (\(3.40 \to 3\) c.s.).
5.: Per numeri interi tipo \(3700\) il conteggio è ambiguo: meglio scrivere \(3.7\times 10^{3}\) (\(2\) c.s.) o \(3.700\times 10^{3}\) (\(4\) c.s.) con la notazione scientifica.

Procedura — Operazioni con cifre significative

Moltiplicazione e divisione: il risultato ha tante c.s. quante ne ha il fattore con meno cifre significative.
Addizione e sottrazione: il risultato si arrotonda alla posizione decimale meno precisa tra i termini.
Arrotondamento: se la cifra immediatamente dopo l’ultima da tenere è \(0\)–\(4\) si arrotonda per difetto; \(5\)–\(9\) per eccesso. (Per dataset estesi si usa la regola dell’arrotondamento al pari per minimizzare il bias.)

1.3.4 Stima degli ordini di grandezza

Spesso, prima di eseguire un calcolo preciso, conviene stimare quanto grande sarà il risultato a meno di un fattore \(10\). Questa è la stima dell’ordine di grandezza, una pratica che Enrico Fermi (1901–1954) trasformò in arte (le “domande di Fermi”). Le stime di Fermi servono per: validare grossolanamente un calcolo, decidere se un esperimento è fattibile, sviluppare l’intuito fisico.

Procedura — Stima alla Fermi

1.: Decompose il problema in stime indipendenti più semplici.
2.: Per ciascun fattore, stima a meno di un ordine di grandezza (\(10^n\)).
3.: Moltiplica gli ordini di grandezza (somma gli esponenti).
4.: Confronta con valori di riferimento per giudicare la plausibilità.

Nota — L’esempio classico — accordatori di piano a Chicago

Fermi chiedeva ai suoi studenti: “quanti accordatori di pianoforte ci sono a Chicago?”. Stima: popolazione \(\sim 10^6\), famiglie \(\sim 10^6/3 \approx 3\times 10^{5}\), frazione con piano \(\sim 10\% \to 3\times 10^{4}\) piani. Ciascun piano viene accordato \(\sim \) una volta all’anno. Un accordatore lavora \(\sim 200\) giorni/anno \(\times \) \(4\) piani/giorno \(\sim 800\) accordature/anno. Risultato: \(3\times 10^{4}/800 \approx 40\) accordatori. Stima reale dell’epoca: \(\sim 50\). Più che sufficiente per l’ordine di grandezza.

1.4 Misura e incertezza

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1.4.1 Strumenti di misura: portata, sensibilità, precisione

Ogni strumento di misura è caratterizzato da tre parametri che ne definiscono la zona di lavoro.

Definizione 1.7 — Caratteristiche di uno strumento

Portata (o fondo scala): il massimo valore che lo strumento può misurare. Oltre la portata lo strumento si danneggia o satura.
Sensibilità (o risoluzione): la più piccola variazione della grandezza che lo strumento riesce a distinguere; coincide con il valore di una tacca (per strumenti analogici) o con la cifra meno significativa visualizzata (per strumenti digitali).
Precisione: l’attitudine dello strumento a fornire valori vicini tra loro in misure ripetute della stessa grandezza, anche se non necessariamente vicini al valore vero.

Esempio: un righello da \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) con tacche al millimetro ha portata \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e sensibilità \(1\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\). Un calibro a corsoio ventesimale ha sensibilità \(0.05\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\), un micrometro centesimale \(0.01\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\).

Misura diretta e indiretta. Una misura è diretta se confronta direttamente la grandezza incognita con lo strumento di misura (es. lunghezza di un tavolo con un metro a nastro). È indiretta se la grandezza si ricava dalla misura di altre grandezze tramite una formula (es. velocità media \(\bar{v} = \Delta s / \Delta t\) misurando separatamente \(\Delta s\) e \(\Delta t\)).

1.4.2 Errori sistematici ed errori casuali

Nessuna misura è perfetta. Le cause di errore si dividono in due famiglie con effetti opposti sul comportamento delle misure ripetute.

Definizione 1.8 — Errori sistematici e casuali

Un errore sistematico sposta tutte le misure nella stessa direzione (per eccesso o per difetto). Cause tipiche: strumento scalibrato, metodo di lettura sbagliato, formula incompleta. Non si riduce ripetendo la misura.
Un errore casuale causa fluttuazioni in entrambi i versi attorno al valore vero. Cause tipiche: piccole vibrazioni, tempo di reazione dell’operatore, condizioni ambientali. Si riduce eseguendo molte misure e calcolando la media.

Definizione 1.9 — Accuratezza e precisione

Accuratezza: vicinanza tra valore misurato e valore vero. È legata agli errori sistematici.
Precisione: vicinanza tra misure ripetute della stessa grandezza. È legata agli errori casuali.

Una misura buona è insieme accurata e precisa.

1.4.3 Incertezza assoluta e incertezza relativa

Il risultato di una misura non è mai un singolo numero, ma sempre un intervallo: \(x = x_0 \pm \Delta x\), dove \(x_0\) è il valore migliore (es. media di più misure) e \(\Delta x\) è l’incertezza assoluta, che ha le stesse unità di \(x\).

\[ x = x_0 \pm \Delta x \]

Per valori migliori e incertezze ottenuti da \(N\) misure ripetute \(x_1, \ldots , x_N\):

\[ x_0 = \bar x = \frac {1}{N}\sum _{i=1}^{N} x_i, \qquad \Delta x = \frac {x_\text {max} - x_\text {min}}{2} \;\text {(semidispersione massima)}. \]

Per analisi statistiche più raffinate si usa la deviazione standard, ma la semidispersione è già adeguata in laboratorio liceale.

Definizione 1.10 — Incertezza relativa

L’incertezza relativa è il rapporto adimensionale

\[ \varepsilon _r = \frac {\Delta x}{|x_0|}, \]

spesso espresso in percentuale \((\varepsilon _r \times 100\%)\).

L’incertezza relativa permette di confrontare la qualità di misure di grandezze diverse: misurare una lunghezza di \(1\,{\mathrm{m} }\) con \(\Delta x = 1\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\) (\(\varepsilon _r = e-3\)) è più “buono” che misurare \(1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) con la stessa \(\Delta x\) (\(\varepsilon _r = e-1\)).

1.4.4 Propagazione dell’incertezza nelle operazioni

Quando una grandezza si calcola a partire da altre grandezze misurate, l’incertezza si propaga dalla formula al risultato. Le regole semplificate adottate in laboratorio liceale sono le seguenti.

Somma e differenza: si sommano le incertezze assolute.

\[ z = x \pm y \implies \Delta z = \Delta x + \Delta y. \]

Prodotto e quoziente: si sommano le incertezze relative.

\[ z = x \cdot y \;\text {oppure}\; z = x/y \implies \frac {\Delta z}{|z|} = \frac {\Delta x}{|x|} + \frac {\Delta y}{|y|}. \]

Potenza: l’incertezza relativa si moltiplica per l’esponente.

\[ z = x^n \implies \frac {\Delta z}{|z|} = |n|\,\frac {\Delta x}{|x|}. \]

Nota — Origine delle regole

Le formule sopra sono stime per eccesso basate sul caso peggiore: assumono che gli errori si sommino tutti nella stessa direzione. Una trattazione statistica più accurata (somma in quadratura) attende l’analisi delle variabili aleatorie: \(\Delta z = \sqrt {(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\) per somme di errori indipendenti.

1.5 Grafici e rappresentazione dei dati

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1.5.1 Costruzione e interpretazione dei grafici

Un grafico cartesiano è il modo più sintetico per visualizzare la dipendenza tra due grandezze fisiche. Convenzioni di base:

Asse orizzontale (ascisse): variabile indipendente, quella controllata dallo sperimentatore (es. il tempo \(t\)).
Asse verticale (ordinate): variabile dipendente, quella misurata (es. la posizione \(s\)).
Le unità di misura vanno sempre indicate sugli assi, vicino al simbolo della grandezza.
La scala deve essere scelta in modo che i dati riempiano almeno \(2/3\) del grafico.
Ogni punto sperimentale va accompagnato da barre di errore (verticali per \(\Delta y\), orizzontali per \(\Delta x\)).
La curva tracciata deve essere “il miglior compromesso” che attraversa la maggior parte delle barre di errore, senza per forza passare per tutti i punti.

1.5.2 Proporzionalità diretta, inversa, quadratica

Tre tipi di dipendenza compaiono ovunque nella fisica liceale; riconoscerli a occhio dal grafico è un’abilità fondamentale.

\[ y = k x \;\;(\text {diretta}), \qquad y = \frac {k}{x} \;\;(\text {inversa}), \qquad y = k x^2 \;\;(\text {quadratica}). \]

Indicatori grafici qualitativi:

Diretta: retta passante per l’origine; raddoppiando \(x\) raddoppia \(y\).
Inversa: iperbole equilatera; il prodotto \(xy = k\) è costante.
Quadratica: parabola passante per l’origine; raddoppiando \(x\), \(y\) quadruplica.

1.5.3 Linearizzazione di leggi non lineari

L’occhio umano riconosce con grande precisione le rette, molto meno le curve. Per questa ragione, davanti a una legge non lineare conviene riscriverla come retta tramite un opportuno cambio di variabili: questa operazione si chiama linearizzazione.

Procedura — Linearizzare per riconoscere la legge

1.: Se sospetti \(y = k x^n\) con \(n\) noto, riporta \(y\) in funzione di \(x^n\): ottieni una retta di pendenza \(k\).
2.: Se sospetti \(y = k x^n\) con \(n\) ignoto, riporta \(\log y\) in funzione di \(\log x\): ottieni una retta di pendenza \(n\) e intercetta \(\log k\).
3.: Se sospetti una legge esponenziale \(y = k\,a^x\), riporta \(\log y\) in funzione di \(x\): ottieni una retta di pendenza \(\log a\) e intercetta \(\log k\).

Esempio. Il periodo \(T\) di un pendolo dipende dalla lunghezza \(L\) secondo \(T = 2\pi \sqrt {L/g}\). Tracciare \(T\) in funzione di \(L\) dà una curva ramo di parabola. Tracciare invece \(T^2\) in funzione di \(L\) dà una retta di pendenza \(4\pi ^2/g\): misurando la pendenza si ricava \(g\) direttamente.

1.6 Esempi svolti

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Esempio 1.1 — Conversione di unità di misura

Converti \(72\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) in \({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

Soluzione

Esempio 1.2 — Analisi dimensionale — pressione

Verifica che l’unità della pressione \(p = F/A\) sia il pascal (\(\mathrm {\mathrm{Pa} }\)).

Soluzione

\[ [F] = {\mathrm{k} \mathrm{g} \mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} } = {\mathrm{N} }, \qquad [A] = {\mathrm{m} ^{2} }. \]

\[ [p] = \frac {[F]}{[A]} = \frac {{\mathrm{N} }}{{\mathrm{m} ^{2} }} = {\mathrm{Pa} }. \]

La formula è dimensionalmente coerente.

Esempio 1.3 — Notazione scientifica e operazioni

Calcola \(\dfrac {(6.0\times 10^{8})(4.0\times 10^{-3})}{2.0\times 10^{2}}\) in notazione scientifica, con le c.s. corrette.

Soluzione

Mantisse: \(6.0 \cdot 4.0 / 2.0 = 12\). Esponenti: \(8 + (-3) - 2 = 3\). Risultato grezzo: \(12 \times 10^3 = 1.2\times 10^{4}\). Le c.s. sono \(2\) (vincolo del fattore con minor numero di c.s., qui tutti a \(2\)):

\[ \boxed {1.2\times 10^{4}}. \]

Esempio 1.4 — Cifre significative nella moltiplicazione

Esegui \(3.24\,{\mathrm{m} } \times 1.8\,{\mathrm{m} }\) con il corretto numero di c.s.

Soluzione

\(3.24\,{\mathrm{m} }\) ha \(3\) c.s., \(1.8\,{\mathrm{m} }\) ha \(2\) c.s. Nella moltiplicazione si prende il minimo, dunque \(2\) c.s.

\[ 3.24 \times 1.8 = 5.832\,{\mathrm{m} ^{2} } \;\xrightarrow {\text {2 c.s.}}\; \boxed {5.8\,{\mathrm{m} ^{2} }}. \]

Esempio 1.5 — Stima alla Fermi — capelli sulla testa

Quanti capelli ha in media una persona?

Soluzione

Superficie del cuoio capelluto \(\sim \pi r^2\) con \(r \sim 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), dunque \(A \sim 300\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\). Densità di capelli \(\sim 300\) capelli/\({\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\) (stima qualitativa). Numero totale \(\sim 300 \times 300 = 9\times 10^{4}\), dunque ordine di grandezza \(\sim 10^5\). Il valore tipico in letteratura è \(\sim 1\times 10^{5}\): la stima è corretta a meno di un fattore \(10\).

Esempio 1.6 — Misura ripetuta con incertezza

Cinque misure della lunghezza di una sbarra danno (in cm): \(25.3 - 25.5 - 25.2 - 25.4 - 25.3\). Calcola valore medio e incertezza.

Soluzione

Valore medio:

\[ \bar L = \frac {25.3+25.5+25.2+25.4+25.3}{5} = \frac {126.7}{5} = 25.34\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }. \]

Semidispersione massima:

\[ \Delta L = \frac {L_\text {max} - L_\text {min}}{2} = \frac {25.5 - 25.2}{2} = 0.15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } \approx 0.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }. \]

Risultato:

\[ \boxed {(25.3 \pm 0.2)\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }}. \]

(L’incertezza si arrotonda a una cifra; il valore medio si allinea alla stessa posizione decimale.)

Esempio 1.7 — Propagazione: area di un rettangolo

Si misurano i lati di un rettangolo: \(a = (12.0 \pm 0.1)\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(b = (8.0 \pm 0.1)\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola l’area con la sua incertezza.

Soluzione

Area: \(A = a b = 12.0 \cdot 8.0 = 96.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\). Per il prodotto si sommano le incertezze relative:

\[ \frac {\Delta a}{a} = \frac {0.1}{12.0} \approx 8.3\times 10^{-3}, \qquad \frac {\Delta b}{b} = \frac {0.1}{8.0} = 1.25\times 10^{-2}. \]

\[ \frac {\Delta A}{A} = 8.3\times 10^{-3} + 1.25\times 10^{-2} \approx 2.1\times 10^{-2}. \]

\(\Delta A = 0.021 \cdot 96.0 \approx 2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\), quindi \(A = (96 \pm 2)\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).

Esempio 1.8 — Linearizzazione del pendolo

In laboratorio si misura il periodo \(T\) di un pendolo per cinque lunghezze \(L\):

\[ (L, T): \;(0.25, 1.00),\;(0.50, 1.42),\;(0.75, 1.74),\;(1.00, 2.01),\;(1.25, 2.24)\;\;[{\mathrm{m} }, {\mathrm{s} }]. \]

Ricava una stima di \(g\).

Soluzione

La legge è \(T = 2\pi \sqrt {L/g}\), dunque \(T^2 = (4\pi ^2/g)\,L\): tracciando \(T^2\) in funzione di \(L\) si ottiene una retta di pendenza \(m = 4\pi ^2/g\). Calcoliamo \(T^2\):

\[ (L, T^2): \;(0.25, 1.00),\;(0.50, 2.02),\;(0.75, 3.03),\;(1.00, 4.04),\;(1.25, 5.02)\;\;[{\mathrm{m} }, {\mathrm{s} ^{2} }]. \]

La pendenza si stima dai due punti estremi: \(m \approx (5.02 - 1.00)/(1.25 - 0.25) = 4.02\,{\mathrm{s} ^{2} / \mathrm{m} }\). Da \(m = 4\pi ^2/g\) segue \(g = 4\pi ^2/m \approx 39.48/4.02 \approx 9.82\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\), in ottimo accordo col valore vero \(9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\).

1.7 Esercizi proposti

quiz e materiali con l’AI

Esercizio 1.1

1.: Conversioni di lunghezza. Converti: (a) \(3.5\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) in \(\mathrm {\mathrm{m} }\); (b) \(250\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\) in \(\mathrm {\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (c) \(0.045\,{\mathrm{m} }\) in \(\mathrm {\mathrm{m} \mathrm{m} }\); (d) \(8.2\,{\mu \mathrm{m} }\) in \(\mathrm {\mathrm{n} \mathrm{m} }\).
2.: Conversioni di velocità. (a) \(90\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) in \(\mathrm {\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); (b) \(15\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) in \(\mathrm {\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\); (c) \(1080\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) in \(\mathrm {\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).
3.: Notazione scientifica. Riscrivi in notazione scientifica con \(2\) c.s.: \(0.000\,047\); \(\,3\,800\,000\); \(0.020\); \(\,672\).
4.: Operazioni esponenziali. Calcola \((2.5\times 10^{6})(4.0\times 10^{-2})/(5.0\times 10^{3})\) con le c.s. corrette.
5.: Cifre significative. Quante c.s. hanno: \(3700\), \(0.0082\), \(5.060\), \(1.00\times 10^{5}\)?
6.: Stima di Fermi. Quanti battiti di cuore esegue un essere umano in tutta la sua vita?
7.: Stima di Fermi. Quanto pesa l’aria nella tua aula scolastica? (Considera \(\rho _\text {aria} \approx 1.2\,{\mathrm{k} \mathrm{g} / \mathrm{m} ^{3} }\).)
8.: Misura e incertezza. Un cronometro ha sensibilità \(0.01\,{\mathrm{s} }\). Un atleta percorre \(100\,{\mathrm{m} }\) in \(t = 10.52\,{\mathrm{s} }\). Calcola la velocità media e indica quante c.s. ha il risultato.
9.: Sensibilità di strumenti. Confronta sensibilità e portata di: righello da \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), calibro ventesimale (\(0.05\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\), portata \(15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)), micrometro centesimale (\(0.01\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\), portata \(25\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\)). Quale useresti per misurare lo spessore di un foglio di carta?
10.: Errore sistematico vs casuale. Classifica come sistematico o casuale: (a) un termometro letto sempre a \(2\,{^\circ\text{C} }\) in più del vero; (b) un cronometro azionato a mano con tempi di reazione variabili; (c) una bilancia non azzerata; (d) misure di velocità del vento al variare del vento.
11.: Incertezza relativa. Si misura il diametro di un capello, \(d = (50 \pm 2)\,{\mu \mathrm{m} }\), e l’altezza di una persona, \(h = (1.75 \pm 0.01)\,{\mathrm{m} }\). Quale misura è di qualità migliore?
12.: Propagazione, somma. Si misurano due tempi \(t_1 = (12.3 \pm 0.1)\,{\mathrm{s} }\) e \(t_2 = (8.7 \pm 0.2)\,{\mathrm{s} }\). Calcola \(t_1 + t_2\) con l’incertezza.
13.: Propagazione, prodotto. Misuri \(r = (5.0 \pm 0.1)\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) il raggio di un cerchio. Calcola area e circonferenza con le rispettive incertezze.
14.: Analisi dimensionale. Verifica che \(v^2 = v_0^2 + 2 a s\) sia dimensionalmente corretta.
15.: Linearizzazione. Per una sostanza in caduta libera, le misure danno: \((t, s)\) in \(({\mathrm{s} }, {\mathrm{m} })\): \((0.5, 1.2)\), \((1.0, 4.9)\), \((1.5, 11.0)\), \((2.0, 19.5)\), \((2.5, 30.6)\). Traccia \(s\) in funzione di \(t^2\) e ricava \(g/2\) dalla pendenza.
16.: Sfida (stima di Fermi). Quanti granelli di sabbia ci stanno in una spiaggia di \(1\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) di lunghezza, \(30\,{\mathrm{m} }\) di larghezza, \(2\,{\mathrm{m} }\) di profondità? Confronta con la stima storica di Archimede nell’Arenario.

1.8 Riepilogo del capitolo

quiz e materiali con l’AI

Riepilogo — Cap. 1 — Grandezze fisiche e misure

1.: Il metodo sperimentale (Galileo) procede per cicli osservazione \(\to \) modello \(\to \) predizione \(\to \) esperimento \(\to \) revisione. Le grandezze fisiche hanno sempre una definizione operativa.
2.: Il Sistema Internazionale adotta sette grandezze fondamentali (metro, chilogrammo, secondo, ampere, kelvin, mole, candela). I prefissi (kilo, milli, mega, \(\ldots \)) sono potenze di \(10\) che evitano lunghe sequenze di zeri.
3.: L’analisi dimensionale verifica la coerenza delle formule: se le dimensioni non tornano, la formula è certamente sbagliata.
4.: La notazione scientifica \(a \times 10^n\) con \(1 \le |a| < 10\) rende leggibili e operativi i numeri molto grandi o molto piccoli. Le cifre significative comunicano la precisione; nelle operazioni si segue il termine con meno c.s.
5.: Le stime alla Fermi forniscono ordini di grandezza con minimo sforzo; sono uno strumento essenziale di intuito fisico.
6.: Ogni misura ha incertezza \(x = x_0 \pm \Delta x\). Errori sistematici e casuali hanno comportamenti opposti; accuratezza e precisione sono concetti distinti.
7.: La propagazione dell’incertezza: somma/differenza \(\to \) somma di \(\Delta \) assolute; prodotto/quoziente \(\to \) somma di \(\Delta \) relative; potenza \(\to \) relativa \(\times \) esponente.
8.: I grafici ben costruiti rivelano la legge fisica: la proporzionalità diretta, inversa e quadratica si riconoscono a occhio. La linearizzazione (es. \(T^2\) vs \(L\) per il pendolo) trasforma curve in rette e permette di leggere parametri come la pendenza.
9.: Prossimo capitolo: dalla scalare alla vettoriale, con vettori, somma vettoriale, prodotto scalare/vettoriale (2).