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Il libro della natura è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure
geometriche.”
— Galileo Galilei, Il Saggiatore (1623)
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La fisica è una scienza quantitativa: le sue leggi si esprimono in formule, le sue misure in numeri spesso enormi o piccolissimi, le sue relazioni in grafici. Per affrontare con serenità i capitoli che seguono — dalla cinematica all’elettromagnetismo — servono pochi strumenti matematici di base, che in questa prima dispensa raccogliamo insieme.
Non si tratta di una rassegna teorica completa: per quella esiste un’intera raccolta di dispense di matematica. Qui ci limitiamo agli strumenti operativi che useremo quotidianamente: la notazione scientifica per gestire ordini di grandezza, le equivalenze per cambiare unità, le proporzioni e le percentuali, le formule inverse per isolare l’incognita, i grafici cartesiani per leggere i fenomeni e la calcolatrice scientifica per non perdere tempo.
Attenzione! — Come usare questo capitolo
Se questi argomenti ti sono già familiari, leggilo come un check-list: riconosci i pattern, verifica con un esempio, vai oltre. Se invece sono nuovi o arrugginiti, fermati a svolgere gli esercizi proposti prima di passare al capitolo successivo: senza queste basi, anche i problemi più semplici di fisica diventano ostacoli inutili.
In fisica si incontrano numeri di scale molto diverse: la massa di un elettrone è \(9.11\times 10^{-31}\,{\mathrm{kg} }\), la massa del Sole è \(1.99\times 10^{30}\,{\mathrm{kg} }\). Scrivere questi numeri in forma decimale ordinaria sarebbe scomodo e fonte di errori. La notazione scientifica risolve il problema esprimendo ogni numero come prodotto di una mantissa compresa tra \(1\) e \(10\) (escluso) e una potenza di \(10\).
Definizione 0.1 — Notazione scientifica
Esempio 0.1 — Conversioni in notazione scientifica
La virgola si sposta finché resta una sola cifra non nulla a sinistra di essa; il numero di posizioni di cui si è spostata diventa l’esponente (positivo se si è spostata verso sinistra, negativo se verso destra).
Attenzione! — Cifre significative
In notazione scientifica le cifre significative sono tutte e sole quelle della mantissa. Scrivere \(4.20\times 10^{3}\,{}\) comunica tre cifre significative, \(4.2\times 10^{3}\,{}\) solo due, anche se entrambi valgono \(4200\).
Attenzione! — Numeri interi e cifre significative
Un numero scritto senza virgola decimale può essere ambiguo. Ad esempio, scrivere semplicemente
non permette di sapere quante cifre significative abbia la misura: potrebbe rappresentare una misura con due, tre oppure quattro cifre significative.
Per eliminare ogni ambiguità si usa la notazione scientifica:
rappresentano la stessa massa, ma comunicano rispettivamente due, tre e quattro cifre significative, cioè precisioni sperimentali diverse.
Attenzione! — La notazione E
Nei calcolatori, nelle calcolatrici scientifiche, nei fogli di calcolo e in molti linguaggi di programmazione, la potenza di \(10\) viene spesso indicata con la lettera E (da Exponent).
Ad esempio,
Le due scritture sono completamente equivalenti; la notazione con E è semplicemente più comoda da digitare con una tastiera.
Nel linguaggio parlato entrambe vengono spesso lette informalmente come “tre in dieci alla quarta” oppure “cinque virgola undici in dieci alla meno dieci”, anche se la lettura rigorosa resta “tre per dieci alla quarta” e “cinque virgola undici per dieci alla meno dieci”.
Attenzione! — Attenzione alla digitazione
Sulle calcolatrici scientifiche il tasto EXP (oppure EE) non esegue una moltiplicazione: serve soltanto a inserire l’esponente della potenza di \(10\) nella notazione scientifica.
Le potenze di \(10\) obbediscono alle regole generali delle potenze: ricordarle permette di fare a mente moltiplicazioni e divisioni di numeri grandissimi o piccolissimi.
Esempio 0.2 — Velocità della luce in un anno
Quanti metri percorre la luce in un anno (la cosiddetta distanza-luce)? La velocità della luce è \(c = 3.00\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) e un anno dura circa \(t = 3.15\times 10^{7}\,{\mathrm{s} }\). Applicando \(s = c\,t\):
Si moltiplicano le mantisse, si sommano gli esponenti. Nessuna calcolatrice necessaria per l’ordine di grandezza.
Esempio 0.3 — Divisione
Cambiare unità di misura — passare da metri a chilometri, da grammi a chilogrammi, da minuti a secondi — è una delle operazioni più frequenti in fisica. Per evitare errori, si conviene di moltiplicare per il fattore di conversione corretto.
Procedura — Conversione di unità
Esempio 0.4 — Da km/h a m/s
Una velocità di \(72\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) vale:
Attenzione! — Prefissi del SI
I prefissi standard del Sistema Internazionale si usano spessissimo:
| Prefisso | Simbolo | Fattore | Prefisso | Simbolo | Fattore |
| nano | n | \(10^{-9}\) | kilo | k | \(10^{3}\) |
| micro | \(\mu \) | \(10^{-6}\) | mega | M | \(10^{6}\) |
| milli | m | \(10^{-3}\) | giga | G | \(10^{9}\) |
| centi | c | \(10^{-2}\) | tera | T | \(10^{12}\) |
Un rapporto è il quoziente di due grandezze omogenee, \(a / b\). Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti: \(a : b = c : d\), equivalente a \(a\,d = b\,c\) (prodotto degli estremi uguale al prodotto dei medi). Una percentuale è un rapporto con denominatore \(100\):
Esempio 0.5 — Percentuale di efficienza
Un motore riceve \(500\,{\mathrm{J} }\) di energia e ne restituisce \(180\,{\mathrm{J} }\) di lavoro utile. L’efficienza è
Esempio 0.6 — Proporzione
Su una mappa \(3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) rappresentano \(12\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). Quanti chilometri rappresentano \(7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)?
In fisica, quando una grandezza dipende da un’altra, riconoscere il tipo di proporzionalità permette di prevedere come varia il risultato senza ricalcolare ogni volta.
Definizione 0.2 — Tipi di proporzionalità
Esempio 0.7 — Esempi fisici
Il grafico cartesiano è il miglior strumento per riconoscere il tipo di proporzionalità: la diretta è una retta passante per l’origine, la quadratica una parabola, l’inversa un’iperbole equilatera.
Attenzione! — Due domande diverse richiedono due ragionamenti diversi
Quando una domanda chiede “Che cosa succede se una grandezza cambia?”, non bisogna eseguire trasformazioni algebriche: basta leggere la dipendenza funzionale tra le variabili.
Ad esempio, dalla relazione
si riconosce immediatamente che
Di conseguenza:
Le trasformazioni algebriche servono invece quando la domanda è del tipo “Come si ricava una determinata variabile?”
| Se \(A\propto \ldots \) | Se \(x\) quadruplica |
| \(x\) | \(A\) quadruplica |
| \(x^2\) | \(A\) aumenta di un fattore \(16\) |
| \(\sqrt {x}\) | \(A\) raddoppia |
| \(\dfrac {1}{x}\) | \(A\) diventa \(\dfrac 14\) |
| \(\dfrac {1}{x^2}\) | \(A\) diventa \(\dfrac 1{16}\) |
| \(\dfrac {1}{\sqrt {x}}\) | \(A\) si dimezza |
In sintesi
Una stessa formula fisica si può «girare» per isolare una qualsiasi delle grandezze che vi compaiono. Si tratta di una semplice manipolazione algebrica, ma è una delle abilità più richieste in tutto il percorso di fisica.
Procedura — Inversione di una formula
Esempio 0.8 — Densità
Dalla definizione \(\rho = m/V\):
Esempio 0.9 — Caduta libera
Da \(h = \tfrac {1}{2}\,g\,t^{2}\) si ricava
Attenzione: nel passaggio dalla potenza alla radice si prende solo la soluzione positiva, perché il tempo \(t\) è una grandezza positiva.
Un grafico cartesiano è un piano in cui ogni punto rappresenta una coppia di valori \((x,\,y)\). In fisica si usa per visualizzare la dipendenza di una grandezza dall’altra, e per riconoscere a colpo d’occhio leggi e regolarità.
Procedura — Costruzione di un grafico
Tre forme di grafico ricorreranno in tutti i capitoli:
La calcolatrice scientifica è uno strumento di lavoro: dedicarle qualche minuto per impararla bene ti farà risparmiare ore di errori. Le funzioni essenziali sono cinque.
Attenzione! — Ordini di grandezza prima del calcolo
Prima di premere =, stima a mente l’ordine di grandezza del risultato usando le potenze di \(10\). Se la calcolatrice mostra un valore molto lontano dalla tua stima, c’è quasi certamente un errore di digitazione.
Esercizio 0.1
Riepilogo
