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“Una calamita in moto vicino a una bobina induce in essa una corrente elettrica.”
— Michael Faraday, diario di laboratorio, 29 agosto 1831 (parafrasi)
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Ørsted (1820) aveva mostrato che una corrente elettrica produce un campo magnetico. La domanda inversa nasce immediatamente: un campo magnetico può produrre una corrente elettrica? Per un decennio i fisici cercarono l’effetto inverso, senza risultati. Faraday e Joseph Henry (indipendentemente, nel 1831) trovarono finalmente la risposta: sì, ma a una condizione precisa — che il campo magnetico vari nel tempo.
Da questa scoperta è nato il concetto di induzione elettromagnetica, alla base della stragrande maggioranza dell’energia elettrica usata oggi nel mondo. Ogni volta che premi un interruttore della luce, accendi un motore, ricarichi un cellulare, dietro c’è una qualche forma di induzione: alternatori che convertono energia meccanica in elettrica, trasformatori che trasportano l’energia a lunga distanza, motori che fanno l’inverso.
In questo capitolo studieremo: i fenomeni di induzione scoperti da Faraday, la legge quantitativa di Faraday-Neumann, la regola di Lenz sul verso della corrente indotta, le applicazioni (alternatore, trasformatore, correnti parassite), e infine la sintesi conclusiva dell’elettromagnetismo classico nelle equazioni di Maxwell.
Tra agosto e novembre del 1831 Faraday eseguì una serie di esperimenti decisivi, di cui i due più famosi sono i seguenti.
Magnete e bobina. Una bobina di filo conduttore è collegata a un galvanometro (uno strumento sensibile alla corrente). Avvicinando un magnete a barra all’imboccatura della bobina, il galvanometro segnala il passaggio di una corrente. Allontanando il magnete, la corrente passa nel verso opposto. Con magnete e bobina entrambi fermi, nessuna corrente.
Due bobine accoppiate. Due bobine sono avvolte su uno stesso nucleo (per esempio un anello di ferro). La prima bobina è collegata a una pila, l’altra a un galvanometro. Quando si chiude o si apre il circuito della pila — ovvero quando la corrente in essa varia —, il galvanometro nell’altra bobina segnala una breve corrente; ma una corrente costante nella prima bobina non produce alcun effetto nell’altra.
La sintesi qualitativa di Faraday. Ciò che accomuna i due esperimenti — e tutte le decine di varianti che Faraday provò — è una nozione che Faraday stesso intuì in termini delle sue “linee di forza”: quando il numero di linee di \(\vec{B} \) attraverso la bobina cambia nel tempo, nella bobina nasce una corrente. È solo la variazione del campo magnetico (o, equivalentemente, del flusso di \(\vec{B} \)) a produrre l’effetto: un campo magnetico statico, per quanto intenso, non induce nulla.
La forma quantitativa della legge fu data poco dopo da Franz Neumann (1845), in termini del flusso del campo magnetico attraverso la superficie delimitata dalla spira.
Per una spira (o bobina) che racchiude una superficie \(S\), il flusso di \(\vec{B} \) vale:
Per \(\vec{B} \) uniforme e una spira piana di area \(A\) con normale che forma angolo \(\theta \) con \(\vec{B} \), si ha semplicemente \(\Phi (\vec{B} ) = B\,A\,\cos \theta \).
Legge 17.1 — Legge di Faraday-Neumann
La forza elettromotrice (f.e.m.) indotta in un circuito chiuso è proporzionale alla rapidità con cui il flusso del campo magnetico attraverso il circuito varia nel tempo:
Unità SI: \([\varepsilon ]={\mathrm{V} }\); \([\Phi (\vec{B} )]={\mathrm{Wb} }={\mathrm{T} \mathrm{m}^{2} }\); \([t]={\mathrm{s} }\).
Il segno meno è importante e codifica la legge di Lenz (vedi sotto). Il modulo della f.e.m. può essere scritto come \(|\varepsilon | = |\mathrm {d}\Phi /\mathrm {d}t|\), ma la formula completa specifica anche il verso.
Tre modi per far variare \(\Phi \). Dal momento che \(\Phi = B\,A\,\cos \theta \), ogni variazione di flusso può venire da:
Heinrich Lenz, nel 1834, formulò una regola elegante per determinare il verso della corrente indotta, regola che è codificata nel segno meno della legge di Faraday-Neumann.
Legge 17.2 — Legge di Lenz
Esempi:
Significato fisico: conservazione dell’energia. La legge di Lenz è una conseguenza della conservazione dell’energia. Se la corrente indotta cooperasse con la variazione di flusso anziché opporvisi, otterremmo energia dal nulla — una macchina a moto perpetuo. Lenz impone invece che il movente esterno (chi muove la calamita) debba sempre fare lavoro contro la corrente indotta: quel lavoro è l’energia che alimenta la corrente. Bilancio energetico salvo.
Esempio 17.1
Sbarra mobile su rotaie Una sbarra conduttrice di lunghezza \(L\) scivola con velocità \(v\) su due rotaie parallele, perpendicolari a un campo magnetico \(\vec{B} \) uscente dal piano. La superficie racchiusa dal circuito (sbarra + rotaie + cavo di chiusura) cambia col tempo: \(A(t) = A_0 + L\,v\,t\), e quindi \(\Phi (t) = B\,A(t)\), da cui \(\mathrm {d}\Phi /\mathrm {d}t = B\,L\,v\). Per Faraday-Neumann:
Per Lenz, la corrente indotta circola in modo da generare un campo magnetico opposto a \(\vec{B} \) all’interno del circuito (cioè entrante): in pratica, la corrente nella sbarra è tale da produrre una forza \(\vec {F} = I\vec {L}\times \vec{B} \) opposta a \(\vec {v}\), ovvero che frena il moto. Per mantenere la sbarra in moto a \(v\) costante, qualcuno deve spingerla con forza pari (e opposta) alla frenatura: il lavoro che spende è esattamente l’energia dissipata dalla corrente nel circuito (\(P = \varepsilon I = (BLv)\cdot I\)).
L’alternatore è il dispositivo che converte energia meccanica in energia elettrica sfruttando l’induzione. La sua versione minima è una bobina rettangolare di \(N\) spire, area \(A\), che ruota a velocità angolare \(\omega \) in un campo magnetico uniforme \(\vec{B} \).
L’angolo fra la normale alla bobina e \(\vec{B} \) varia nel tempo come \(\theta (t) = \omega t\), e il flusso vale \(\Phi (t) = N\,B\,A\,\cos (\omega t)\). Derivando, la f.e.m. indotta è:
Unità SI: \([\varepsilon ]={\mathrm{V} }\); \([\omega ]={\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\); ampiezza \(\varepsilon _0 = N\,B\,A\,\omega \).
La f.e.m. è dunque sinusoidale nel tempo: questa è la celebre corrente alternata (AC, alternating current). Le reti elettriche europee operano a frequenza \(f = 50\,{\mathrm{Hz} }\) (\(\omega = 2\pi f = 314\,{\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\)); in America del Nord, a \(60\,{\mathrm{Hz} }\).
Perché corrente alternata. Storicamente, agli inizi del ’900, ci fu una vera “guerra delle correnti” fra Edison (sostenitore della corrente continua, DC) e Tesla/Westinghouse (sostenitori dell’alternata, AC). Vinse l’alternata per un motivo decisivo: si trasforma facilmente da una tensione all’altra con i trasformatori (vedi sotto), permettendo la trasmissione efficiente a lunga distanza.
Il trasformatore è un dispositivo passivo (senza parti in movimento) che cambia il livello di tensione di una corrente alternata. È costituito da due bobine, primario (\(N_1\) spire) e secondario (\(N_2\) spire), avvolte su uno stesso nucleo ferromagnetico (per “canalizzare” il flusso magnetico).
Quando una tensione alternata \(V_1(t)\) è applicata al primario, vi scorre una corrente alternata che genera un flusso magnetico alternato \(\Phi (t)\) nel nucleo. Per la legge di Faraday-Neumann:
Dividendo membro a membro:
Legge 17.3 — Rapporto di trasformazione (trasformatore ideale)
Trasformatore elevatore: \(N_2 > N_1\), \(V_2 > V_1\). Aumenta la tensione (al prezzo di ridurre la corrente, per conservare la potenza).
Trasformatore abbassatore: \(N_2 < N_1\), \(V_2 < V_1\). Riduce la tensione (e aumenta la corrente).
Conservazione della potenza. In un trasformatore ideale (senza perdite), la potenza al primario eguaglia quella al secondario: \(V_1\,I_1 = V_2\,I_2\), da cui \(I_2/I_1 = N_1/N_2\). In pratica, c’è sempre qualche perdita (per effetto Joule negli avvolgimenti e per correnti parassite nel nucleo), ma i trasformatori commerciali arrivano facilmente al \(98\)–\(99\%\) di efficienza.
Trasporto dell’energia elettrica. È grazie ai trasformatori che l’energia elettrica può essere trasportata efficientemente: una centrale elettrica produce a \(\sim 15\,{\mathrm{k} \mathrm{V} }\), un trasformatore elevatore porta la tensione a \(\sim 400\,{\mathrm{k} \mathrm{V} }\) per la linea di alta tensione (riducendo enormemente le perdite \(i^2 R\)), e una rete di trasformatori abbassatori la riporta progressivamente fino ai \(\sim 230\,{\mathrm{V} }\) delle prese domestiche.
Quando un blocco di metallo esteso è immerso in un campo magnetico variabile (oppure si muove in un campo non uniforme), in esso si inducono correnti parassite, dette anche correnti di Foucault. Sono correnti circolari, “vorticose”, che fluiscono nella massa del conduttore.
Frenata magnetica. Un disco metallico che ruota fra le espansioni polari di un magnete viene frenato dalle correnti parassite indotte in esso (per Lenz, le correnti generano un campo che si oppone al moto). È il principio dei freni magnetici usati nei treni veloci, nelle montagne russe, in alcuni mezzi pesanti: nessuna usura meccanica, solo dissipazione per effetto Joule.
Riscaldamento per induzione. Sulle piastre da cucina “a induzione”, sotto la superficie di vetro c’è una bobina percorsa da corrente alternata ad alta frequenza (\(\sim 20\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\)). Quando vi si pone una pentola metallica, le correnti parassite indotte nel fondo della pentola producono calore per effetto Joule. La piastra di vetro resta relativamente fredda (non è metallica), il calore nasce direttamente nella pentola: efficiente e sicuro.
Limitare le correnti parassite. Nei trasformatori, le correnti parassite nel nucleo sono uno spreco energetico. Per limitarle si costruiscono i nuclei in lamierini sottili (decimi di mm) isolati uno dall’altro: il flusso di corrente parassita resta confinato in ogni singolo lamierino, troppo piccolo per dissipare molta energia.
Schermi elettromagnetici. Una scatola conduttiva (gabbia di Faraday) protegge dagli effetti elettromagnetici esterni: le correnti parassite indotte nelle pareti generano campi che cancellano i campi esterni all’interno. È il principio dei locali schermati per esperimenti delicati, dei microonde (che invece confinano la radiazione interna), dei contenitori per dispositivi elettronici sensibili.
L’induzione elettromagnetica è il primo grande legame fra i campi \(\vec {E}\) e \(\vec{B} \) che fino ad allora erano considerati indipendenti. La legge di Faraday-Neumann ci dice infatti:
“Un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico (non conservativo!) capace di mettere in moto le cariche in un circuito.”
In forma più astratta, la legge di Faraday-Neumann scritta su un circuito statico equivale a:
Il primo membro è la circuitazione di \(\vec {E}\) lungo un cammino chiuso. In elettrostatica (cap. 14) questa è zero (\(\vec {E}\) è conservativo). Qui invece, in presenza di un flusso magnetico variabile, non è più zero. Il campo elettrico indotto è rotazionale, e le sue linee si chiudono su se stesse.
Simmetria emergente. A questo punto si pone naturalmente la domanda speculare: “un campo elettrico variabile nel tempo genera a sua volta un campo magnetico?” Maxwell, nel 1865, lo postulò teoricamente per ragioni di coerenza interna delle equazioni dell’elettromagnetismo, prima ancora che vi fosse evidenza sperimentale diretta. La sua risposta è sì: introdusse il termine della corrente di spostamento.
Nel cap. 16 abbiamo calcolato il campo magnetico delle correnti con la legge di Biot-Savart. Lo stesso contenuto fisico si può esprimere con la legge di Ampère, che lega la circuitazione di \(\vec{B} \) (la somma dei prodotti \(\vec{B} \cdot \Delta \vec {\ell }\) lungo una linea chiusa) alla corrente concatenata \(I_{\mathrm {int}}\), cioè alla corrente che attraversa una qualunque superficie \(S\) che ha quella linea per bordo (per una circonferenza di raggio \(r\) attorno a un filo rettilineo si ritrova \(B\cdot 2\pi r = \mu_0 I\), cioè \(B = \mu_0 I/(2\pi r)\)):
Maxwell notò che questa formula presenta un’incoerenza quando applicata a circuiti con condensatori: per una superficie che taglia il filo, \(I_{\mathrm {int}}\) è la corrente nel filo; per una superficie che taglia il dielettrico fra le armature del condensatore, \(I_{\mathrm {int}} = 0\). Ma le due superfici hanno lo stesso contorno! Contraddizione.
Per risolverla, Maxwell aggiunse alla corrente reale un termine extra, detto corrente di spostamento, proporzionale alla variazione del flusso elettrico:
Unità SI: \([I_{\mathrm {spost}}]={\mathrm{A} }\); \([\varepsilon_0 ]={\mathrm{F} / \mathrm{m} }\); \([\Phi (\vec {E})]={\mathrm{V} \mathrm{m} }\).
La legge di Ampère, così generalizzata (legge di Ampère-Maxwell), diventa:
Adesso le due superfici danno lo stesso risultato (nel dielettrico, \(\vec {E}\) varia e “finge” un termine \(I_{\mathrm {spost}}\) pari alla corrente nel filo).
Conseguenza dirompente. Anche in assenza di correnti reali, un campo elettrico variabile nel tempo genera un campo magnetico — esatto contraltare della legge di Faraday-Neumann. I due campi diventano sorgenti l’uno dell’altro, generandosi e propagandosi insieme: nascono le onde elettromagnetiche (cap. 18).
Con la legge di Faraday-Neumann e la corrente di spostamento, James Clerk Maxwell completò nel 1865 la sintesi dell’elettromagnetismo classico in quattro equazioni, oggi note come equazioni di Maxwell. In forma integrale:
Legge 17.4 — Equazioni di Maxwell (forma integrale)
Attenzione!
Forza e profondità delle equazioni di Maxwell Le quattro equazioni di Maxwell, integrate dalla forza di Lorentz \(\vec {F} = q(\vec {E} + \vec {v}\times \vec{B} )\), contengono tutto l’elettromagnetismo classico: ottica, radio, microonde, raggi X, induzione, magnetismo dei materiali, antenne, motori. Sono considerate uno dei più alti risultati della fisica teorica. L’unificazione di elettricità, magnetismo e ottica fu così straordinaria che ispirò Einstein a cercare un’analoga unificazione fra spazio e tempo (la relatività ristretta, cap. 19).
Esempio 17.2
Spira in campo magnetico variabile Una spira circolare di raggio \(R = 5.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) è immersa in un campo magnetico uniforme perpendicolare al suo piano. Il campo cresce nel tempo come \(B(t) = B_0 + \alpha \,t\), con \(B_0 = 0.10\,{\mathrm{T} }\) e \(\alpha = 0.50\,{\mathrm{T} / \mathrm{s} }\). Calcoliamo la f.e.m. indotta nella spira.
Impostazione. Area \(A = \pi R^2\). Flusso \(\Phi (t) = B(t)\cdot A = (B_0 + \alpha t)\,A\).
Calcolo. \(A = \pi \cdot (0.05)^2 \approx 7.85\times 10^{-3}\,{\mathrm{m}^{2} }\).
Per la legge di Lenz, la corrente indotta scorre in modo da generare un campo opposto a \(\vec{B} \) (che cresce), cioè nel verso opposto a quello in cui le linee di campo originale puntano.
Esempio 17.3
Sbarra mobile su rotaie Una sbarra conduttrice di lunghezza \(L = 30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) scorre con \(v = 2.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) su due rotaie parallele, immerse in un campo \(\vec{B} = 0.40\,{\mathrm{T} }\) perpendicolare al piano delle rotaie. Calcoliamo la f.e.m. indotta. Se il circuito ha resistenza totale \(R = 2.0\,{\Omega }\), quale corrente scorre? Quale forza deve applicare l’agente esterno per mantenere \(v\) costante?
f.e.m. \(|\varepsilon | = B\,L\,v = 0.40\cdot 0.30\cdot 2.0 = 0.24\,{\mathrm{V} }\).
Corrente. \(i = \varepsilon /R = 0.24/2.0 = 0.12\,{\mathrm{A} }\).
Forza frenante. \(F = B\,I\,L = 0.40\cdot 0.12\cdot 0.30 = 0.0144\,{\mathrm{N} }\). L’agente esterno deve applicare la stessa forza, in verso opposto alla frenatura, per mantenere la velocità.
Verifica energetica. Potenza meccanica fornita: \(P_{\mathrm {mecc}} = F\,v = 0.0144\cdot 2.0 = 0.0288\,{\mathrm{W} }\). Potenza dissipata nel circuito: \(P_{\mathrm {el}} = \varepsilon \,i = 0.24\cdot 0.12 = 0.0288\,{\mathrm{W} }\). \(\checkmark\)
Esempio 17.4
Alternatore semplice Una bobina rettangolare di \(N = 500\) spire e area \(A = 0.02\,{\mathrm{m}^{2} }\) ruota a \(f = 50\,{\mathrm{Hz} }\) in un campo magnetico \(B = 0.30\,{\mathrm{T} }\). Calcoliamo l’ampiezza della f.e.m. alternata generata.
Calcolo. \(\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \approx 314\,{\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\).
L’ampiezza è circa \(1\,{\mathrm{k} \mathrm{V} }\); il valore efficace (usato in pratica per le tensioni di rete) è \(V_{\mathrm {eff}} = \varepsilon _0/\sqrt {2} \approx 666\,{\mathrm{V} }\).
Esempio 17.5
Trasformatore abbassatore Un trasformatore alimentato dalla rete a \(V_1 = 230\,{\mathrm{V} }\) deve fornire \(V_2 = 12\,{\mathrm{V} }\) (per esempio per un caricabatterie). Quale è il rapporto \(N_2/N_1\)? Se al secondario è collegato un dispositivo che assorbe \(I_2 = 2.0\,{\mathrm{A} }\), quale è la corrente al primario (trasformatore ideale)?
Rapporto di trasformazione.
Corrente al primario. \(V_1\,I_1 = V_2\,I_2\) (conservazione della potenza), da cui \(I_1 = (V_2/V_1)\,I_2 = 0.052\cdot 2.0 \approx 0.104\,{\mathrm{A} }\). Al primario circola circa un ventesimo della corrente del secondario.
Esempio 17.6
Frenata di un disco metallico Un disco di rame ruota fra le espansioni polari di un magnete permanente. Le correnti parassite indotte nel disco dissipano, ipotizziamo, una potenza \(P = 50\,{\mathrm{W} }\). Da dove viene questa energia?
Soluzione. L’energia viene dal lavoro che il motore (o la mano dell’operatore) deve fare per mantenere la rotazione. La frenata magnetica si oppone al moto, esattamente come previsto dalla legge di Lenz; per mantenere \(\omega \) costante, l’operatore deve fornire una potenza meccanica \(P_{\mathrm {mecc}} = P = 50\,{\mathrm{W} }\) (energia chimica dei muscoli, elettrica del motore, ecc.). Se il motore si spegne, il disco rallenta e si ferma: l’energia cinetica iniziale viene convertita in calore dalle correnti parassite.
Esercizio 17.1
Riepilogo
Induzione elettromagnetica — Un flusso magnetico variabile nel tempo, attraverso un circuito chiuso, induce in esso una corrente elettrica. Scoperta da Faraday e Henry nel 1831.
Legge di Faraday-Neumann — \(\varepsilon = -\mathrm {d}\Phi (\vec{B} )/\mathrm {d}t\) (per \(N\) spire, \(\varepsilon = -N\,\mathrm {d}\Phi /\mathrm {d}t\)). Il flusso può variare per cambiamenti di \(B\), dell’area \(A\) o dell’angolo \(\theta \).
Legge di Lenz — La corrente indotta ha sempre il verso che si oppone alla variazione di flusso che l’ha generata. Conseguenza della conservazione dell’energia.
Alternatore — Bobina rotante in \(\vec{B} \) produce una f.e.m. sinusoidale, \(\varepsilon (t) = \varepsilon _0 \sin (\omega t)\) con \(\varepsilon _0 = NBA\omega \). È l’origine della corrente alternata (AC) delle reti elettriche (Europa: \(50\) \(\mathrm {\mathrm{Hz} }\); America del Nord: \(60\) \(\mathrm {\mathrm{Hz} }\)).
Trasformatore — Due bobine accoppiate su un nucleo ferromagnetico. Per un trasformatore ideale, \(V_2/V_1 = N_2/N_1\) e \(V_1 I_1 = V_2 I_2\). Permette il trasporto efficiente dell’energia elettrica a lunga distanza (alta tensione, bassa corrente, basse perdite \(i^2 R\)).
Correnti parassite (Foucault) — Correnti vorticose indotte in conduttori massivi posti in campi variabili. Applicazioni: frenata magnetica, riscaldamento per induzione (piastre da cucina). Si limitano costruendo i nuclei in lamierini isolati.
Verso le equazioni di Maxwell — L’induzione di Faraday mostra che un \(\vec{B} \) variabile genera un \(\vec {E}\). Per simmetria, Maxwell postulò che un \(\vec {E}\) variabile genera un \(\vec{B} \) (corrente di spostamento, \(I_{\mathrm {spost}} = \varepsilon_0 \,\mathrm {d}\Phi (\vec {E})/\mathrm {d}t\)).
Equazioni di Maxwell (forma integrale, sintesi dell’elettromagnetismo classico, 1865):
Insieme alla forza di Lorentz, contengono tutto l’elettromagnetismo classico e predicono l’esistenza delle onde elettromagnetiche.
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