21 Crisi della fisica classica e nascita della meccanica quantistica

Alla fine del XIX secolo la fisica appariva un edificio essenzialmente completo. La meccanica di Newton, l’elettromagnetismo di Maxwell, la termodinamica con i suoi due principi: tre teorie ben distinte ma internamente coerenti, capaci di spiegare la stragrande maggioranza dei fenomeni noti. Restavano alcune “piccole nubi all’orizzonte”, come le aveva chiamate Lord Kelvin: l’esperimento di Michelson-Morley e la radiazione termica dei corpi caldi.

Dalla prima nube nacque la relatività ristretta, che abbiamo incontrato nel capitolo 19. Dalla seconda, nei primi trent’anni del Novecento, nacque la meccanica quantistica: una rivoluzione concettuale ancora più profonda, che ha richiesto di abbandonare l’idea stessa di una descrizione causale e deterministica del mondo microscopico, sostituendola con uno schema probabilistico in cui posizione e quantità di moto, energia e tempo, sono legate da limiti intrinseci alla loro conoscibilità simultanea.

Questo capitolo ricostruisce il percorso storico — i tasselli sperimentali e le idee teoriche — attraverso cui la meccanica quantistica è venuta alla luce, dal \(1897\) (scoperta dell’elettrone) al \(1927\) (principio di indeterminazione di Heisenberg). Lo scopo è introduttivo: vogliamo vedere la crisi della fisica classica e i concetti chiave della nuova teoria, lasciando al curriculum universitario la trattazione sistematica.

21.2 La scoperta delle particelle subatomiche

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21.2.1 Tubi a raggi catodici e gli esperimenti di Thomson

Nei laboratori della seconda metà dell’Ottocento, si moltiplicavano gli esperimenti con i tubi a raggi catodici: ampolle di vetro in cui, fatto un vuoto sufficiente, fra un anodo e un catodo (elettrodi metallici) si applicava una grande differenza di potenziale. Dal catodo (l’elettrodo negativo) si vedeva propagarsi un fascio luminoso, i “raggi catodici”, che colpendo le pareti dell’ampolla provocavano fluorescenza.

Erano onde, come la luce, o particelle? La questione restò aperta per decenni, finché nel 1897 J. J. Thomson, al Cavendish Laboratory di Cambridge, dimostrò sperimentalmente che si trattava di particelle negativamente cariche. Esponendo i raggi catodici a campi elettrici e magnetici incrociati di intensità note, Thomson misurò il rapporto \(e/m\) fra carica e massa dei costituenti del fascio:

\[ \dfrac {e}{m_e} \approx 1.76\times 10^{11}\,{\mathrm{C} / \mathrm{kg} } \label {eq:21-em-thomson} \]

Unità SI: \([e/m]={\mathrm{C} / \mathrm{kg} }\).

Il risultato sorprendente era l’universalità: cambiando il materiale del catodo (alluminio, ferro, platino) il rapporto restava identico. Le particelle dei raggi catodici erano cioè un costituente comune a tutti gli elementi della materia. Thomson le chiamò corpuscoli, poi rinominati elettroni.

A partire dal rapporto \(e/m\), Thomson stimò la massa dell’elettrone assumendo una carica simile a quella dello ione idrogeno: trovò che l’elettrone era circa \(1000\) volte più leggero dell’atomo più piccolo. La materia, dunque, non era “ultima”: aveva struttura interna.

Modello atomico “a panettone”. Thomson propose un primo modello atomico: l’atomo è una sfera diffusa di carica positiva (il “panettone”) in cui sono incastonati gli elettroni (le “uvette”). Il modello sarebbe stato rapidamente superato dall’esperimento di Rutherford (cap. 22), che mostrò che la carica positiva era concentrata in un nucleo puntiforme.

[Picture] — Figura 21.1: Schema di un tubo a raggi catodici. Gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati verso l’anodo (forato), proseguono in linea retta nello spazio fra le placche di un campo elettrico trasversale e raggiungono lo schermo fluorescente. Misurando la deflessione in funzione dei campi applicati, Thomson determinò il rapporto \(e/m_e\).

21.2.2 Scoperta dell’elettrone: la carica di Millikan

Thomson aveva misurato \(e/m_e\), ma non \(e\) ed \(m_e\) separatamente. La misura indipendente di \(e\) venne nel 1909 da Robert Millikan con il celebre esperimento della goccia d’olio.

In un campo elettrico uniforme verticale, prodotto fra due placche piane orizzontali a differenza di potenziale nota, gocce d’olio finemente nebulizzate erano lasciate cadere lentamente. Le gocce, per strofinio durante la nebulizzazione, risultavano elettricamente cariche. Variando la d.d.p. Millikan poteva “sospendere” una goccia in equilibrio (la forza elettrica \(qE\) bilancia il peso \(mg\) corretto per la spinta di Archimede e l’attrito viscoso, secondo la legge di Stokes), e da queste misure ricavare \(q\).

Il risultato fondamentale: la carica \(q\) di ogni goccia era sempre un multiplo intero di una stessa quantità elementare,

\[ e \approx 1.602\times 10^{-19}\,{\mathrm{C} } \label {eq:21-carica-elettrone} \]

Unità SI: \([e]={\mathrm{C} }\).

ovvero la carica elettrone è quantizzata: non esistono in natura cariche frazionarie (almeno fra le particelle libere; nei quark, come vedremo nel cap. 22, le cose si complicano, ma le particelle che escono dai nuclei restano sempre a carica multipla intera di \(e\)).

Combinando \(e\) con \(e/m_e\) di Thomson:

\[ m_e = \dfrac {e}{e/m_e} \approx \dfrac {1.602\times 10^{-19}\,{\mathrm{C} }} {1.76\times 10^{11}\,{\mathrm{C} / \mathrm{kg} }} \approx 9.11\times 10^{-31}\,{\mathrm{kg} }. \]

La massa dell’elettrone è \(\sim 1836\) volte inferiore a quella del protone. L’elettrone è la prima “particella elementare” identificata.

21.2.3 Scoperta dei raggi X

Nel 1895, lavorando con un tubo a raggi catodici, Wilhelm Röntgen, fisico tedesco, notò che una lastra fotografica posta nelle vicinanze (ma schermata) veniva impressionata. C’era una radiazione nuova, sconosciuta, capace di attraversare carta, legno, perfino la mano umana — ma non i metalli densi né le ossa. La chiamò raggi X, dove la \(X\) stava per “ignoto”.

Anni di esperimenti mostrarono che i raggi X sono onde elettromagnetiche di lunghezza d’onda molto piccola (circa \(0.01\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)–\(10\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)), molto inferiore a quella della luce visibile (\(\sim 500\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)) e con energie corrispondentemente molto maggiori. Lo spettro emesso da un tubo a raggi X mostra una componente continua (dovuta al frenamento degli elettroni nel metallo, in tedesco Bremsstrahlung) e una componente a righe (caratteristica del materiale del bersaglio, oggi compresa in termini delle transizioni dei livelli energetici atomici).

Le applicazioni furono immediate e profonde: la radiografia medica (prima fotografia: la mano della moglie di Röntgen, dicembre 1895), la diffrazione cristallografica (Laue, Bragg), la determinazione delle strutture molecolari (DNA, proteine). Röntgen ricevette nel 1901 il primo premio Nobel per la fisica della storia.

21.3 La radiazione termica

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21.3.1 Spettro del corpo nero

Tutti i corpi a temperatura \(T > 0\) emettono radiazione termica: il ferro arroventato è rosso, le stelle calde sono blu, e anche un corpo a temperatura ambiente emette (nell’infrarosso). Lo spettro di emissione — cioè l’intensità in funzione della lunghezza d’onda — dipende da temperatura e materiale.

Un caso particolarmente significativo è quello del corpo nero: un corpo idealizzato che assorbe tutte le radiazioni incidenti e ne emette altrettante (in equilibrio termico). Un buon modello pratico è una piccola cavità chiusa con una piccola apertura: la radiazione che entra ha probabilità trascurabile di uscire, quindi viene assorbita. La radiazione che la cavità emette attraverso il piccolo foro è in equilibrio termico con le pareti.

Legge 21.1 — Legge di Kirchhoff

Per il corpo nero, lo spettro di emissione dipende solo dalla temperatura, non dalla natura del materiale.

Dalle misure sperimentali (Lummer e Pringsheim, fine ’800) emergono due leggi empiriche:

Legge 21.2 — Legge di Stefan-Boltzmann

La potenza emessa per unità di superficie da un corpo nero a temperatura assoluta \(T\) vale

\[ \dfrac {P}{A} = \sigma \,T^4 \label {eq:21-stefan-boltzmann} \]

Unità SI: \([P/A]={\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} }\), \([T]={\mathrm{K} }\), \(\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}\,\mathrm {W\,m^{-2}\,K^{-4}}\).

Legge 21.3 — Legge di Wien (spostamento)

La lunghezza d’onda \(\lambda _{\max }\) al picco di intensità è inversamente proporzionale alla temperatura:

\[ \lambda _{\max }\,T = b \label {eq:21-wien} \]

Unità SI: \([\lambda _{\max }]={\mathrm{m} }\), \([T]={\mathrm{K} }\), \(b \approx 2.898\times 10^{-3}\,{\mathrm{m} \mathrm{K} }\).

Per esempio: la temperatura del Sole è \(T_{\odot } \approx 5800\,{\mathrm{K} }\), e \(\lambda _{\max } \approx 500\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\), nel verde-giallo, in pieno spettro visibile (perfettamente sintonizzata con la vista umana, evolutivamente adattata).

21.3.2 La catastrofe ultravioletta

Si tratta di spiegare teoricamente lo spettro del corpo nero. Il tentativo classico più rigoroso, dovuto a Rayleigh e Jeans (1900), modella la radiazione in una cavità come una somma di onde stazionarie (modi normali) e applica il principio classico di equipartizione dell’energia: a ogni grado di libertà compete un’energia media \(\tfrac {1}{2}k_B T\).

Il risultato è la legge di Rayleigh-Jeans:

\[ u(\lambda , T) \propto \dfrac {T}{\lambda ^4}, \]

dove \(u\) è l’energia per unità di volume e di lunghezza d’onda. La legge funziona bene a grandi lunghezze d’onda, ma a piccole \(\lambda \) (alte frequenze, ultravioletto) prevede un’energia divergente: \(u \to \infty \) per \(\lambda \to 0\). È un risultato evidentemente assurdo: il corpo nero dovrebbe emettere un’energia totale infinita nell’ultravioletto.

Questo paradosso viene chiamato catastrofe ultravioletta, e segna il punto in cui la fisica classica fallisce in modo inequivocabile.

21.3.3 Quantizzazione dell’energia: la costante di Planck

Nel dicembre 1900, Max Planck propose — come “atto di disperazione”, secondo le sue parole — un’ipotesi che salvava la legge sperimentale: l’energia degli oscillatori della cavità (gli “atomi” delle pareti che emettono e assorbono la radiazione) non può variare con continuità, ma solo per multipli interi di una quantità elementare proporzionale alla frequenza:

Legge 21.4 — Quantizzazione dell’energia (Planck, 1900)

L’energia degli oscillatori della cavità di un corpo nero è quantizzata:

\[ E_n = n\,h \,\nu , \quad n = 0, 1, 2, \ldots \label {eq:21-quanto-planck} \]

Unità SI: \([E_n]={\mathrm{J} }\), \([h ]={\mathrm{J} \mathrm{s} }\), \([\nu ]={\mathrm{Hz} }\). \(h \approx 6.626\times 10^{-34}\,{\mathrm{J} \mathrm{s} }\).

Con questa ipotesi, applicando metodi statistici, Planck ottenne la formula corretta dello spettro del corpo nero:

\[ u(\lambda , T) = \dfrac {8\pi \,h \,c}{\lambda ^5} \cdot \dfrac {1}{e^{h c/(\lambda k_B T)} - 1}, \]

in perfetto accordo con i dati sperimentali a ogni lunghezza d’onda. Per \(\lambda \to \infty \) si recupera la legge di Rayleigh-Jeans; per \(\lambda \to 0\) si recupera l’esponenziale che decade rapidamente, eliminando la catastrofe ultravioletta.

Costante di Planck. La nuova costante \(h \), oggi chiamata costante di Planck, vale:

\[ h \approx 6.626\times 10^{-34}\,{\mathrm{J} \mathrm{s} }. \]

Si introduce anche la versione “ridotta”:

\[ \hbar = \dfrac {h }{2\pi } \approx 1.055\times 10^{-34}\,{\mathrm{J} \mathrm{s} }. \]

Attenzione!

Planck non credette davvero ai quanti Planck stesso, inizialmente, considerò la sua ipotesi soltanto come un trucco matematico utile a sintetizzare i dati, non come una verità fisica profonda. Furono Einstein (nel 1905, per il fotoelettrico) e Bohr (nel 1913, per l’atomo) a portare l’idea della quantizzazione fino alle sue conseguenze radicali.

21.4 La natura corpuscolare della luce

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21.4.1 Effetto fotoelettrico

Già Heinrich Hertz nel 1887 aveva osservato che illuminando un metallo con luce ultravioletta esso emetteva elettroni: il fenomeno è detto effetto fotoelettrico. Le caratteristiche sperimentali, chiarite all’inizio del Novecento da Philipp Lenard, sono in netto contrasto con la teoria ondulatoria classica della luce.

Esiste una soglia di frequenza \(\nu _0\) caratteristica del metallo: solo luce con \(\nu \geq \nu _0\) produce emissione di elettroni; sotto soglia, anche aumentando l’intensità della luce, non si ha emissione.
L’energia cinetica massima degli elettroni emessi dipende dalla frequenza della luce ma non dall’intensità.
Il numero di elettroni emessi al secondo è proporzionale all’intensità della luce (a frequenza fissata).
L’emissione è istantanea: anche per luci molto deboli gli elettroni partono praticamente senza ritardo.

La teoria classica delle onde elettromagnetiche non riesce a spiegare nulla di tutto ciò: in particolare, se la luce è un’onda con un’energia diluita nello spazio, dovrebbe servire del tempo perché un atomo del metallo accumuli abbastanza energia da espellere un elettrone.

21.4.2 Interpretazione di Einstein

Nel 1905 (lo stesso anno della relatività ristretta!) Einstein propose una spiegazione audace: la luce stessa è quantizzata. Una luce di frequenza \(\nu \) è composta da “pacchetti” di energia \(h \nu \) ciascuno, chiamati prima quanti di luce e poi fotoni. Un singolo fotone, colpendo un elettrone nel metallo, può cedergli tutta la sua energia in un’unica volta.

Legge 21.5 — Equazione di Einstein per l’effetto fotoelettrico

L’energia cinetica massima degli elettroni emessi è

\[ E_k ^{\max } = h \,\nu - W \label {eq:21-einstein-fotoelettrico} \]

Unità SI: \([E_k ^{\max }]=[h \nu ]=[W]={\mathrm{J} }\), \([\nu ]={\mathrm{Hz} }\).

dove \(W\) è il lavoro di estrazione, energia minima necessaria per liberare un elettrone dal metallo. La soglia di frequenza è \(\nu _0 = W/h \): per \(\nu < \nu _0\), \(E_k ^{\max } < 0\), cioè il fotone non ha abbastanza energia per estrarre un elettrone.

Tutte le caratteristiche sperimentali si spiegano elegantemente:

Soglia \(\nu _0\): solo fotoni con \(h \nu \geq W\) possono estrarre.
Energia cinetica ed energia del fotone proporzionali: aumenta \(\nu \), aumenta \(E_k ^{\max }\).
Numero di elettroni proporzionale all’intensità: l’intensità è il numero di fotoni al secondo, non l’energia di ciascuno.
Istantaneità: un singolo fotone interagisce con un singolo elettrone, senza bisogno di “accumulo”.

Einstein ricevette il Nobel per la fisica nel 1921 non per la relatività (giudicata allora troppo speculativa), ma proprio per l’interpretazione corpuscolare del fotoelettrico.

21.4.3 Effetto Compton

Nel 1923, Arthur Compton compì un esperimento ulteriore che confermava la natura corpuscolare della luce: diffuse raggi X su un bersaglio di grafite e misurò la lunghezza d’onda della radiazione diffusa in funzione dell’angolo \(\theta \) rispetto alla direzione incidente. Trovò che la lunghezza d’onda aumentava con l’angolo di diffusione: l’effetto è oggi noto come effetto Compton.

Legge 21.6 — Effetto Compton

La variazione di lunghezza d’onda della radiazione diffusa rispetto a quella incidente è

\[ \Delta \lambda = \dfrac {h }{m_e\,c}\,(1 - \cos \theta ) \label {eq:21-compton} \]

Unità SI: \([\Delta \lambda ]={\mathrm{m} }\); \([h ]={\mathrm{J} \mathrm{s} }\), \([m_e]={\mathrm{kg} }\), \([c]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

La quantità \(\lambda _C = h /(m_e c) \approx 2.43\times 10^{-12}\,{\mathrm{m} }\) è detta lunghezza d’onda Compton dell’elettrone.

L’interpretazione è notevole: il fotone, dotato di energia \(E = h \nu \) e quantità di moto \(p = h /\lambda \), urta un elettrone (inizialmente fermo) e gli cede parte di energia e quantità di moto. Applicando le leggi di conservazione di \(E\) e \(\vec {p}\) (in forma relativistica!) si ricava esattamente la formula.

Notiamo che, per ottenere il risultato, è necessario attribuire al fotone una quantità di moto, pur essendo privo di massa. È una conseguenza diretta della relazione relativistica \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\): per \(m = 0\) si ha \(p = E/c = h /\lambda \). La conferma sperimentale di Compton chiuse il caso: la luce è realmente composta da particelle (i fotoni), con energia e quantità di moto ben definite.

21.5 Concetti fondamentali della meccanica quantistica

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21.5.1 Dualismo onda-particella

Dopo i lavori di Einstein e Compton, la luce risultava essere sia onda (interferenza, diffrazione, polarizzazione) sia particella (fotoelettrico, Compton). Nel 1924 Louis de Broglie, nella sua tesi di dottorato, propose una simmetria audace: se la luce, che gli ottocenteschi consideravano un’onda, ha anche natura corpuscolare, allora gli oggetti che gli ottocenteschi consideravano particelle (gli elettroni, gli atomi) devono anche avere natura ondulatoria.

Legge 21.7 — Ipotesi di de Broglie

A ogni particella libera di quantità di moto \(p\) è associata un’onda di lunghezza d’onda:

\[ \lambda = \dfrac {h }{p} \label {eq:21-de-broglie} \]

Unità SI: \([\lambda ]={\mathrm{m} }\), \([h ]={\mathrm{J} \mathrm{s} }\), \([p]={\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

L’ipotesi fu spettacolarmente confermata nel 1927 da Clinton Davisson e Lester Germer (e indipendentemente da G. P. Thomson, figlio di J. J. Thomson): facendo incidere un fascio di elettroni su un cristallo di nichel, osservarono il caratteristico pattern di diffrazione, con massimi e minimi spaziali compatibili con la lunghezza d’onda predetta da de Broglie. Gli elettroni si comportavano come onde.

Per oggetti macroscopici, \(p\) è enorme e quindi \(\lambda \) è ridicolmente piccola: una pallina da tennis di \(50\,{\mathrm{g} }\) a \(10\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) ha \(\lambda \approx 1.3\times 10^{-33}\,{\mathrm{m} }\), ben oltre la possibilità di osservazione. Per un elettrone accelerato attraverso una d.d.p. di \(100\,{\mathrm{volt}}\), invece, \(\lambda \sim 1.2\times 10^{-10}\,{\mathrm{m} }\), paragonabile alla distanza fra atomi in un cristallo: ed è proprio per questo che funziona la diffrazione su reticolo cristallino.

Dualismo onda-particella. A livello quantistico, fotoni ed elettroni (e in generale tutte le particelle) non sono “né onde né particelle” nel senso classico, ma manifestano caratteristiche dell’uno o dell’altro tipo a seconda del tipo di esperimento. È una proprietà nuova della natura, che non ha un corrispettivo classico.

21.5.2 Principio di indeterminazione di Heisenberg

Nel 1927 Werner Heisenberg propose un principio che è uno dei pilastri della meccanica quantistica. Esiste un limite intrinseco, non superabile, alla precisione con cui possiamo conoscere simultaneamente certe coppie di grandezze fisiche.

Legge 21.8 — Principio di indeterminazione di Heisenberg

Per le coppie posizione-quantità di moto, energia-tempo, vale

\[ \Delta x\,\Delta p_x \geq \dfrac {\hbar }{2}, \qquad \Delta E\,\Delta t \geq \dfrac {\hbar }{2} \label {eq:21-heisenberg} \]

Unità SI: \([\Delta x\,\Delta p_x]={\mathrm{J} \mathrm{s} }\); \([\Delta E\,\Delta t]={\mathrm{J} \mathrm{s} }\); \(\hbar = h /(2\pi )\).

dove \(\Delta x\) e \(\Delta p_x\) sono le incertezze (deviazioni standard) sulla posizione e sulla componente \(x\) della quantità di moto, rispettivamente.

Tre osservazioni importanti.

Non è una limitazione della tecnica di misura: anche con strumenti ideali, il limite resta. Non c’è uno stato in cui sia posizione sia quantità di moto siano entrambe definite con precisione arbitraria.
Nel limite classico (\(\hbar \ll \) scale tipiche del problema), il principio non si fa sentire: una pallina da tennis ha \(\Delta x \cdot \Delta p \gtrsim \hbar /2\) trascurabile rispetto alle incertezze sperimentali ordinarie.
Conseguenza: a livello microscopico, il moto di un elettrone in un atomo non può essere descritto come una traiettoria classica con posizione e velocità ben definite a ogni istante. Si parla invece di una funzione d’onda (cap. 22) il cui modulo quadro dà la probabilità di trovare la particella in un dato punto.

Esempio 21.1

Indeterminazione e atomo L’atomo ha dimensioni \(\Delta x \sim 1\times 10^{-10}\,{\mathrm{m} }\). Per il principio di Heisenberg, la quantità di moto di un elettrone all’interno deve avere incertezza \(\Delta p \gtrsim \hbar /(2\,\Delta x) \approx 5\times 10^{-25}\,{\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\), corrispondente a una velocità tipica \(v \sim \Delta p/m_e \approx 5\times 10^{5}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Non possiamo “raffreddare” un elettrone in un atomo per fermarlo: il solo fatto di confinarlo fa sì che, per Heisenberg, debba muoversi inevitabilmente con questa velocità tipica. Questo argomento permette di stimare in modo qualitativo le dimensioni atomiche e l’energia di legame.

21.5.3 Misura e interpretazione di Copenaghen

Una delle differenze più radicali fra meccanica classica e meccanica quantistica riguarda il processo di misura.

In meccanica classica, le grandezze fisiche di un sistema hanno sempre valori ben definiti, e la misura, in linea di principio, si limita a rivelarli senza disturbarli (l’eventuale disturbo è considerato un’imprecisione tecnica, eliminabile con strumenti migliori).

In meccanica quantistica, invece, lo stato di un sistema è descritto da una funzione d’onda \(\psi \) (cap. 22), e prima della misura una grandezza fisica può essere in una sovrapposizione di valori diversi (cap. 25, capitolo sui qubit). La misura “proietta” il sistema su uno solo dei possibili risultati, in modo probabilistico: l’esito è in generale non prevedibile, anche conoscendo perfettamente lo stato iniziale. Si parla di collasso della funzione d’onda.

L’interpretazione di Copenaghen (Bohr, Heisenberg, anni ’20) è la lettura tradizionale e ortodossa di questi fatti: la descrizione probabilistica è completa, e non c’è una “realtà nascosta” di valori predefiniti che la teoria semplicemente ignora. Le grandezze fisiche acquistano valore solo nel momento della misura.

Questa lettura ha sollevato e solleva tuttora interrogativi filosofici profondi (la celebre obiezione di Einstein: “Dio non gioca a dadi”; il paradosso del gatto di Schrödinger; il problema della coscienza dell’osservatore). Esistono interpretazioni alternative (a molti mondi di Everett, a variabili nascoste di Bohm, decoerenza ambientale). Ma da un punto di vista operativo, tutti gli sviluppi della meccanica quantistica del XX e XXI secolo sono coerenti con l’interpretazione di Copenaghen: l’apparente “stranezza” del mondo microscopico è ormai un fatto sperimentale inattaccabile.

Attenzione!

Dimensione concettuale ed esperimenti La meccanica quantistica è stata verificata fino al \(\sim e-10\) di precisione relativa per alcune grandezze (es. il momento magnetico dell’elettrone): è la teoria fisica più accurata che abbiamo. Le sue “stranezze” non sono opinioni: sono fatti sperimentali.

21.6 Esempi svolti

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Esempio 21.2

Lunghezza d’onda al picco del Sole Il Sole irradia approssimativamente come un corpo nero a \(T_{\odot } \approx 5800\,{\mathrm{K} }\). Quale è la lunghezza d’onda al picco di emissione?

Calcolo.

\[ \lambda _{\max } = \dfrac {b}{T} = \dfrac {2.898\times 10^{-3}\,{\mathrm{m} \mathrm{K} }}{5800\,{\mathrm{K} }} \approx 5.00\times 10^{-7}\,{\mathrm{m} } = 500\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }. \]

È nel verde-giallo, al centro dello spettro visibile.

Esempio 21.3

Energia di un fotone di luce visibile Calcoliamo l’energia di un fotone di luce verde con \(\lambda = 500\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\).

Calcolo.

\[ E = h \,\nu = \dfrac {h \,c}{\lambda } = \dfrac {6.626\times 10^{-34}\,{\mathrm{J} \mathrm{s} }\cdot 3.0\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }} {5.0\times 10^{-7}\,{\mathrm{m} }} \approx 4.0\times 10^{-19}\,{\mathrm{J} }. \]

Equivalentemente, dividendo per \(1.602\times 10^{-19}\,{\mathrm{C} }\), si ottiene \(E \approx 2.5\,{\mathrm{eV}}\).

Esempio 21.4

Effetto fotoelettrico sul rame Il rame ha lavoro di estrazione \(W \approx 4.7\,{\mathrm{eV}}\). Quale è la frequenza di soglia \(\nu _0\)? Una luce a \(\lambda = 200\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\) è sufficiente a estrarre elettroni? Se sì, quale è la loro energia cinetica massima?

Frequenza di soglia. Convertiamo \(W\) in joule: \(W = 4.7 \cdot 1.602\times 10^{-19}\,{\mathrm{J} } \approx 7.5\times 10^{-19}\,{\mathrm{J} }\).

\[ \nu _0 = \dfrac {W}{h } \approx \dfrac {7.5\times 10^{-19}\,{\mathrm{J} }}{6.626\times 10^{-34}\,{\mathrm{J} \mathrm{s} }} \approx 1.14\times 10^{15}\,{\mathrm{Hz} }. \]

Corrisponde a \(\lambda _0 = c/\nu _0 \approx 263\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\), nell’UV.

Luce a \(200\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\). \(\nu = c/\lambda = 1.5\times 10^{15}\,{\mathrm{Hz} } > \nu _0\): sì, l’effetto avviene.

\[ E_k ^{\max } = h \nu - W = (1.5\times 10^{15}\,{}\cdot 6.626\times 10^{-34}\,{} - 7.5\times 10^{-19}\,{})\,{\mathrm{J} } \approx 2.4\times 10^{-19}\,{\mathrm{J} } \approx 1.5\,{\mathrm{eV}}. \]

Esempio 21.5

Lunghezza d’onda di de Broglie di un elettrone Un elettrone è accelerato attraverso una d.d.p. di \(V = 100\,{\mathrm{volt}}\). Quale è la sua lunghezza d’onda di de Broglie?

Velocità. \(E_k = eV = 1.6\times 10^{-17}\,{\mathrm{J} }\). Da \(\tfrac {1}{2}\,m_e\,v^2 = E_k \): \(v = \sqrt {2\,E_k /m_e} = \sqrt {2\cdot 1.6\times 10^{-17}\,{}/9.11\times 10^{-31}\,{}} \approx 5.9\times 10^{6}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) (non relativistica).

Quantità di moto e \(\lambda \). \(p = m_e v \approx 5.4\times 10^{-24}\,{\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\), da cui

\[ \lambda = \dfrac {h }{p} \approx \dfrac {6.6\times 10^{-34}\,{}}{5.4\times 10^{-24}\,{}} \approx 1.23\times 10^{-10}\,{\mathrm{m} } \approx 0.12\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }. \]

È paragonabile alle distanze interatomiche di un cristallo: l’elettrone diffratta sulla struttura cristallina come un raggio X di pari lunghezza d’onda.

Esempio 21.6

Indeterminazione su una particella confinata Un elettrone è confinato in una scatola di lato \(L = 1.0\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\). Stima l’incertezza minima sulla sua quantità di moto e la sua velocità tipica.

Indeterminazione. \(\Delta x \sim L = 1.0\times 10^{-9}\,{\mathrm{m} }\).

\[ \Delta p \gtrsim \dfrac {\hbar }{2 \Delta x} \approx \dfrac {1.05\times 10^{-34}\,{\mathrm{J} \mathrm{s} }}{2\cdot 1.0\times 10^{-9}\,{\mathrm{m} }} \approx 5.3\times 10^{-26}\,{\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} }. \]

\[ v \sim \dfrac {\Delta p}{m_e} \approx \dfrac {5.3\times 10^{-26}\,{}}{9.1\times 10^{-31}\,{}} \approx 5.8\times 10^{4}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }. \]

Già il solo fatto di essere confinato in una scatola di un nanometro costringe l’elettrone a muoversi tipicamente a decine di chilometri al secondo.

21.7 Esercizi proposti

quiz e materiali con l’AI

Esercizio 21.1

1.: Calcola la lunghezza d’onda al picco di emissione di una stella di temperatura \(T = 10000\,{\mathrm{K} }\) (stella tipo Vega) e di una stella fredda \(T = 3000\,{\mathrm{K} }\) (gigante rossa). Indica per ciascuna in quale regione dello spettro cade il picco. [\(\lambda _{\max } \approx 290\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\), UV; \(\lambda _{\max } \approx 970\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\), IR vicino]
2.: Quanti fotoni al secondo emette una lampada da \(100\,{\mathrm{W} }\) a \(\lambda = 550\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\), assumendo che tutta la potenza vada in luce? [\(N \approx 2.8\times 10^{20}\,{}\) fotoni al secondo]
3.: Per il sodio, \(W \approx 2.28\,{\mathrm{eV}}\). Calcola la lunghezza d’onda di soglia \(\lambda _0\) e l’energia cinetica massima degli elettroni emessi da luce verde a \(\lambda = 500\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\). [\(\lambda _0 \approx 544\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\); \(E_k ^{\max } \approx 0.20\,{\mathrm{eV}}\)]
4.: Quale è la lunghezza d’onda di de Broglie di una pallina da tennis (\(m = 50\,{\mathrm{g} }\), \(v = 20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\))? Confronta con la lunghezza d’onda di un elettrone a \(v = 20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Quale conclusione fisica si trae dal confronto? [pallina: \(\lambda \approx 6.6\times 10^{-34}\,{\mathrm{m} }\); elettrone: \(\lambda \approx 3.6\times 10^{-5}\,{\mathrm{m} }\). Effetti quantistici osservabili solo nel secondo caso.]
5.: Un fotone X ha \(\lambda = 0.20\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\). Calcola la sua energia e la sua quantità di moto. [\(E \approx 9.94\times 10^{-16}\,{\mathrm{J} } \approx 6.2\,{\mathrm{keV}}\); \(p = h/\lambda \approx 3.3\times 10^{-24}\,{\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
6.: In un esperimento di Compton, un raggio X di \(\lambda = 0.1\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\) viene diffuso a un angolo \(\theta = 90\,{^\circ }\). Calcola la variazione di lunghezza d’onda e la lunghezza d’onda finale. [\(\Delta \lambda = \lambda _C \approx 2.43\,{\mathrm{pm}}\); \(\lambda ' \approx 0.1024\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)]
7.: Per un protone confinato in un nucleo di \(L \sim 1\,{\mathrm{fm}} = 1\times 10^{-15}\,{\mathrm{m} }\), stima l’incertezza minima sulla quantità di moto e l’energia cinetica corrispondente (usa \(m_p \approx 1.67\times 10^{-27}\,{\mathrm{kg} }\), in approssimazione non-relativistica per stime). [\(\Delta p \approx 5\times 10^{-20}\,{\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(E_k \approx 8\times 10^{-13}\,{\mathrm{J} } \approx 5\,{\mathrm{MeV}}\)]
8.: Discuti perché il principio di indeterminazione di Heisenberg non si manifesta nell’esperienza quotidiana. Suggerimento: confronta il prodotto \(\Delta x \cdot \Delta p\) tipico di un oggetto macroscopico con \(\hbar /2\). [risposta libera]
9.: Spiega con parole tue perché, secondo l’interpretazione di Einstein del fotoelettrico, anche una luce molto intensa ma di frequenza inferiore alla soglia non può estrarre elettroni dal metallo, mentre una luce debole ma di frequenza sufficiente sì. [risposta libera]
10.: Quale è la lunghezza d’onda di un neutrone termico (energia cinetica \(E_k \approx k_B T\) con \(T = 300\,{\mathrm{K} }\); \(m_n \approx 1.67\times 10^{-27}\,{\mathrm{kg} }\))? Confronta con la distanza fra atomi in un cristallo (\(\sim 0.3\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)). [\(\lambda \approx 0.18\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\); paragonabile alla distanza interatomica \(\to \) utile per diffrazione neutronica]

21.8 Riepilogo del capitolo

quiz e materiali con l’AI

Riepilogo

Scoperta dell’elettrone — Thomson (1897), con esperimenti sui raggi catodici, determina \(e/m_e \approx 1.76\times 10^{11}\,{\mathrm{C} / \mathrm{kg} }\) e ipotizza l’elettrone come costituente universale degli atomi. Millikan (1909), con le gocce d’olio, misura la carica elementare \(e \approx 1.602\times 10^{-19}\,{\mathrm{C} }\).

Raggi X — Scoperti da Röntgen (1895): onde elettromagnetiche di \(\lambda \sim 10^{-11}\text {--}10^{-8}\,{\mathrm{m} }\), con applicazioni mediche e cristallografiche.

Spettro del corpo nero — Stefan-Boltzmann (\(P/A = \sigma T^4\)), Wien (\(\lambda _{\max } T = b\)). La teoria classica di Rayleigh-Jeans diverge a piccole lunghezze d’onda (catastrofe ultravioletta): è la prima crisi della fisica classica.

Quantizzazione di Planck — Planck (1900) propone \(E_n = n h \nu \) con \(h \approx 6.626\times 10^{-34}\,{\mathrm{J} \mathrm{s} }\). La sua formula descrive perfettamente lo spettro del corpo nero. La costante \(\hbar = h /(2\pi )\) è l’unità fondamentale del mondo quantistico.

Effetto fotoelettrico (Einstein, 1905) — La luce è composta da fotoni di energia \(E = h \nu \). L’energia cinetica massima degli elettroni emessi è \(E_k ^{\max } = h \nu - W\), dove \(W\) è il lavoro di estrazione. Nobel 1921 a Einstein.

Effetto Compton (1923) — Diffusione di raggi X su elettroni: \(\Delta \lambda = (h /m_e c)(1 - \cos \theta )\). Conferma la natura corpuscolare della luce: i fotoni hanno quantità di moto \(p = h /\lambda \).

Dualismo onda-particella — de Broglie (1924): \(\lambda = h /p\) per ogni particella. Confermato da Davisson e Germer (1927) con la diffrazione di elettroni su nichel cristallino.

Principio di indeterminazione di Heisenberg (1927) — \(\Delta x\,\Delta p_x \geq \hbar /2\), \(\Delta E\,\Delta t \geq \hbar /2\). Limite intrinseco alla conoscibilità simultanea di coppie di grandezze coniugate. Conseguenza: nessuna traiettoria classica all’interno degli atomi.

Misura quantistica — La misura proietta lo stato del sistema su uno dei possibili esiti, in modo probabilistico (collasso della funzione d’onda). L’interpretazione di Copenaghen (Bohr, Heisenberg) è la lettura standard di questo schema.

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