Riga, compasso, matita: per millenni sono stati gli strumenti della geometria. La rivoluzione
informatica ha aggiunto a questo armamentario un nuovo, potentissimo alleato: il software
di geometria dinamica. In tali ambienti — il più diffuso è GeoGebra, libero e gratuito
— si costruisce una figura specificando le relazioni che la definiscono (questo punto è
sulla retta \(r\), questo cerchio passa per quei tre punti, \(\ldots \)); a quel punto si può trascinare
qualunque elemento, e la figura si aggiorna istantaneamente conservando tutte le relazioni
dichiarate.
Questa capacità “dinamica” è uno strumento didattico straordinario. Quando una figura ha una
certa proprietà non per caso ma per costruzione, la cosa diventa evidente a colpo d’occhio:
trascinando un vertice e vedendo la proprietà conservarsi, lo studente congettura il teorema prima
di dimostrarlo. Per esempio: il teorema dell’angolo al centro (il doppio dell’angolo alla
circonferenza) si scopre osservando i due angoli mentre si trascina il vertice della circonferenza, e si
vede la loro relazione resistere a ogni trascinamento.
In questo capitolo introduciamo l’ambiente GeoGebra (versione Classic 5/6 o quella web
geogebra.org), gli strumenti di base (punto, retta, circonferenza, intersezione), l’idea di
costruzione e di verifica visiva di un teorema, l’esplorazione di luoghi geometrici, e la visualizzazione
di grafici di funzioni con parametri controllabili da slider. Sarà uno strumento utilissimo per tutti i
capitoli di geometria euclidea (28 e seguenti), analitica (69+) e per lo studio delle funzioni in analisi
(141).
Un software di geometria dinamica (Dynamic Geometry Software, DGS) è un programma
in cui:
gli oggetti geometrici (punto, retta, segmento, circonferenza, \(\ldots \)) si costruiscono
indicando relazioni e dipendenze (“questo punto è intersezione di queste due rette”,
“questa retta è perpendicolare a quella”);
gli oggetti liberi (ad esempio i punti base scelti a piacere) possono essere trascinati
con il mouse;
gli oggetti costruiti si aggiornano automaticamente conservando le relazioni
dichiarate.
Nota — Strumenti di base in GeoGebra
Le icone della barra strumenti permettono di:
creare punti (liberi, su un oggetto, intersezioni);
tracciare rette (per due punti, parallela, perpendicolare, asse di un segmento,
bisettrice di un angolo);
tracciare segmenti (per due punti, con lunghezza data);
costruire circonferenze (centro–punto, centro–raggio, per tre punti);
Lo stesso comando si può sempre digitare nella barra di immissione (in basso): per esempio
A = (1, 2), r = Retta[A, B], C = Circonferenza[A, 3].
Procedura — Costruzione tipica: triangolo equilatero su un segmento
dato
Vogliamo costruire un triangolo equilatero che abbia per lato il segmento \(\overline {AB}\) dato.
1.
Creiamo due punti \(A\) e \(B\) con lo strumento “punto”; tracciamo il segmento \(AB\).
2.
Creiamo una circonferenza di centro \(A\) e raggio \(|AB|\) (strumento “Circonferenza dati centro
e punto”).
3.
Creiamo una circonferenza analoga di centro \(B\) e raggio \(|AB|\).
4.
Marchiamo l’intersezione \(C\) delle due circonferenze (strumento “Intersezione di due
oggetti”).
5.
Tracciamo i segmenti \(AC\) e \(BC\).
Il triangolo \(ABC\) è equilatero per costruzione: \(|AC|=|AB|\) perché \(C\) sta sulla circonferenza di centro \(A\) e raggio \(|AB|\);
idem \(|BC|=|AB|\). È esattamente la costruzione che apre il libro I degli Elementi di Euclide (Proposizione
1).
Nota — Test del trascinamento
Trascinando \(A\) o \(B\) con il mouse, la figura si aggiorna conservando tutte le relazioni. Il
triangolo resta sempre equilatero. Questo è il test del trascinamento (\(\mathit {drag\ test}\)), il metodo principe
per verificare che una costruzione è “robusta”: se la proprietà desiderata si conserva
sotto trascinamento, è una conseguenza logica delle istruzioni date; se si rompe, qualche
relazione è stata costruita per caso e non per necessità.
Figura 43.1: Costruzione del triangolo equilatero su un segmento dato (\(\overline {AB}\) in blu). Le due
circonferenze di centro \(A\) e \(B\), con raggio uguale al segmento \(\overline {AB}\), si intersecano in due punti; uno
di essi, \(C\), è il terzo vertice del triangolo equilatero (in rosso). È la stessa costruzione descritta
nella Proposizione 1 del libro I degli Elementi di Euclide.
GeoGebra non sostituisce la dimostrazione, ma è un magnifico strumento di verifica empirica:
prima di affrontare una dimostrazione, lo studente può controllare che il teorema sia plausibile
facendo molte “prove” diverse sulla stessa figura.
Procedura — Verifica empirica di un teorema
1.
Si costruisce la configurazione del teorema (le ipotesi).
2.
Si misurano le quantità rilevanti nella tesi (segmenti, angoli, aree).
3.
Si trascina la figura conservando le ipotesi: si osserva se la tesi rimane vera.
4.
Se la tesi resta vera in molti casi diversi, si congettura che il teorema sia vero; si passa
poi alla dimostrazione.
Esempio 43.1 — Somma degli angoli di un
triangolo
Ipotesi: un triangolo qualunque. Tesi (da verificare): la somma degli angoli interni vale
\(\ang {180}\).
In GeoGebra.
1.
Punti liberi \(A, B, C\); segmenti per formare il triangolo.
2.
Strumento “Angolo” applicato ai tre vertici: si ottengono \(\alpha = \widehat {BAC}\), \(\beta = \widehat {ABC}\), \(\gamma = \widehat {BCA}\).
3.
Nella barra di immissione: s = alpha + beta + gamma.
4.
Osservare \(s\) mentre si trascina un vertice: resta sempre \(\ang {180{,}00}\) (a meno di errori di
arrotondamento) qualunque forma assuma il triangolo.
È la verifica empirica del teorema sulla somma degli angoli (capitolo 36); la dimostrazione vera
richiede il quinto postulato.
Esempio 43.2 — Teorema di Pitagora
Ipotesi: triangolo rettangolo di cateti \(a, b\) e ipotenusa \(c\). Tesi: \(a^2 + b^2 = c^2\).
In GeoGebra.
1.
Costruire un triangolo \(ABC\) rettangolo in \(A\) (es. \(A\) origine, \(B\) sull’asse \(x\), \(C\) sull’asse \(y\); oppure
costruito tramite l’angolo retto).
2.
Misurare i tre lati: \(a = \verb |Distanza[A, B]|\), \(b = \verb |Distanza[A, C]|\), \(c = \verb |Distanza[B, C]|\).
3.
Calcolare \(u = a^2 + b^2\) e \(v = c^2\) nella barra di immissione.
4.
Trascinare \(B\) e \(C\) mantenendo l’angolo retto: \(u\) e \(v\) rimangono uguali (con piccole oscillazioni
di arrotondamento).
Verifica numerica del teorema di Pitagora; dimostrazione completa nel capitolo 59.
Un luogo geometrico è l’insieme dei punti del piano che soddisfano una determinata
proprietà. La circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso; l’asse di un
segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi. GeoGebra dispone di uno strumento
“Luogo” che disegna automaticamente il luogo descritto da un punto al variare di un
altro.
Procedura — Strumento “Luogo”
1.
Si costruisce un punto \(P\) “mobile” su un oggetto base (di solito un punto o una
circonferenza).
2.
Si costruisce un punto \(Q\) dipendente da \(P\) secondo qualche regola.
3.
Strumento “Luogo” (oppure comando Luogo[Q, P]): GeoGebra disegna la curva
tracciata da \(Q\) al variare di \(P\).
Esempio 43.3 — L’ellisse come luogo
Un’ellisse è il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due punti fissi (i fuochi) è
costante. In GeoGebra:
1.
Fissare due fuochi \(F_1, F_2\) e un parametro \(a > |F_1 F_2|/2\) (slider).
2.
Costruire una circonferenza di centro \(F_1\) e raggio variabile \(r\) (\(0 < r < 2a\)).
3.
Costruire una circonferenza di centro \(F_2\) e raggio \(2a - r\).
4.
Marcare l’intersezione \(P\) delle due circonferenze.
5.
Usare Luogo[P, r]: si disegna automaticamente l’ellisse.
La definizione metrica dell’ellisse, vista empiricamente, prepara il discorso del capitolo 76.
GeoGebra non è solo geometria: ha anche una vista algebrica integrata che gestisce
funzioni, equazioni, e parametri. Inserendo nella barra di immissione un’equazione come
f(x) = x^2 - 2x + 1, GeoGebra disegna immediatamente la parabola corrispondente e ne registra
il nome.
Nota — Slider per parametri
La feature più didatticamente potente è lo slider: una barra scorrevole che rappresenta un
parametro reale (con un intervallo e un passo). Inserendo un parametro \(a\) con uno slider,
e definendo per esempio \(f(x) = a\cdot x^2\), si può visualizzare in tempo reale come cambia la parabola
muovendo lo slider. È il modo migliore per “vedere” il ruolo dei parametri in una famiglia
di funzioni.
Procedura — Esplorare una famiglia di
parabole
1.
Creare uno slider \(a\) con intervallo \([-3, 3]\) e passo \(0{,}1\).
2.
Creare uno slider \(b\) con intervallo \([-3, 3]\).
3.
Creare uno slider \(c\) con intervallo \([-3, 3]\).
4.
Definire \(f(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x + c\).
5.
Muovere gli slider e osservare:
come cambia la concavità con \(a\) (positiva, negativa, “schiacciamento” quando \(|a|<1\));
come si trasla orizzontalmente il vertice al variare di \(b\);
come si trasla verticalmente con \(c\).
È un’esperienza che si può fare in pochi minuti ed equivale a tracciare a mano decine di
parabole.
Figura 43.2: Una famiglia di parabole \(f(x)=a\,x^2\) visualizzata in GeoGebra al variare del parametro
\(a\) controllato da uno slider. Per \(a>0\) la concavità è verso l’alto (più stretta per \(|a|\) grande, più
schiacciata per \(|a|<1\)); per \(a<0\) è verso il basso. Modificare lo slider in tempo reale permette di “vedere”
il significato del parametro.
Verificare che \(\widehat {AOB} = 2\,\widehat {APB}\) trascinando \(P\) sulla circonferenza (mantenendo \(P\) sullo stesso arco di \(A\) e
\(B\)).
È un teorema fondamentale che dimostreremo nel capitolo 63.
Esempio 43.6 — Studio di una funzione con
slider
Esplorare la famiglia \(f(x) = a\operatorname{sen} (b x + c) + d\) con quattro slider \(a, b, c, d\).
In GeoGebra. Definire i quattro slider con intervalli adeguati, poi f(x) = a*sin(b*x + c) + d.
Osservare:
\(a\) controlla l’ampiezza;
\(b\) controlla il periodo (più \(|b|\) è grande, più strette le oscillazioni);
\(c\) trasla orizzontalmente la sinusoide (fase);
\(d\) trasla verticalmente.
È il modo migliore per impadronirsi del significato di ampiezza, periodo, fase nelle funzioni
goniometriche (capitolo 98).
Esempio 43.7 — Risolvere graficamente
un’equazione
Trovare le radici di \(x^3 - 3x + 1 = 0\) usando GeoGebra.
Soluzione. Inserire f(x) = x^3 - 3x + 1. Le radici sono le ascisse dei punti di
intersezione della curva con l’asse \(x\). GeoGebra ha lo strumento “Intersezione” o,
più rapido, il comando Radice[f] che restituisce tutte le radici reali. Risultato
(approssimato): \(x_1 \approx -1{,}879\), \(x_2 \approx 0{,}347\), \(x_3 \approx 1{,}532\).
Apri GeoGebra. Costruisci il triangolo equilatero su un segmento dato (esempio della
procedura) e applica il test del trascinamento.
2.
Costruisci il punto medio di un segmento \(\overline {AB}\): (a) usando lo strumento “Punto medio”;
(b) costruendolo come intersezione tra l’asse del segmento e il segmento stesso. Sono
lo stesso punto?
3.
Costruisci la bisettrice di un angolo qualunque e verifica numericamente che divide
l’angolo in due parti uguali. Trascina i lati e osserva.
4.
Verifica empiricamente i seguenti teoremi trascinando i vertici di un triangolo: (a)
la somma degli angoli interni è \(\ang {180}\); (b) il segmento che congiunge i punti medi di due
lati è parallelo al terzo lato e lungo la metà; (c) le tre mediane si incontrano in un
punto (il baricentro).
5.
Costruisci un quadrato a partire da un suo lato. (Suggerimento: usa rette
perpendicolari e circonferenze di raggio uguale al lato.) Verifica con il test del
trascinamento.
6.
Disegna in GeoGebra i grafici di \(f(x) = x^2\), \(g(x) = x^2 + 3\), \(h(x) = (x-2)^2\), \(k(x) = -(x+1)^2 + 4\) sullo stesso piano. Identifica visivamente le
trasformazioni che portano da \(f\) alle altre (richiamo al capitolo 68).
7.
Crea uno slider \(a\) con intervallo \([-3, 3]\) e disegna \(y = a\,x + 2\). Trascinando \(a\), osserva come cambia la
retta. Quale punto del grafico resta fisso al variare di \(a\)?
8.
Crea due slider \(r\) e \(\theta \) con \(r\in [0, 5]\) e \(\theta \in [0, 2\pi ]\). Disegna un punto \(P = (r\cos \theta , r\operatorname{sen} \theta )\). Trascinando gli slider, osserva il
movimento di \(P\) nel piano (è la base delle coordinate polari, che riprenderemo nel
capitolo 120).
9.
(Discussione.) Quale differenza essenziale c’è tra “verificare un teorema con
GeoGebra” e “dimostrarlo”? Discuti perché una verifica empirica, per quanto in molti
casi, non equivale a una dimostrazione.
Un software di geometria dinamica (DGS) come GeoGebra permette di costruire
figure dichiarando relazioni tra oggetti; gli oggetti liberi possono essere trascinati e
gli oggetti costruiti si aggiornano automaticamente conservando le relazioni.
Test del trascinamento: se una proprietà desiderata si conserva sotto trascinamento
dei punti liberi, è una conseguenza logica della costruzione (non una coincidenza).
Strumenti di base: punto, retta, segmento, circonferenza, intersezione, parallela,
perpendicolare, asse di segmento, bisettrice, misure di distanza/angolo/area,
trasformazioni.
Verifica empirica di teoremi: si costruisce la figura, si misurano le quantità della tesi,
si trascina conservando le ipotesi e si osserva se la tesi rimane vera. Non sostituisce
la dimostrazione, ma genera congetture solide.
Strumento Luogo[Q, P]: traccia il luogo dei punti \(Q\) al variare del punto base \(P\). Permette
di esplorare luoghi geometrici (ellissi, parabole, \(\ldots \)) prima di dare la loro definizione
algebrica.
Vista algebrica: GeoGebra disegna automaticamente i grafici di funzioni date come \(f(x)=\ldots \),
e permette di usare slider per controllare in tempo reale parametri reali. Eccellente
per studiare famiglie di funzioni e l’effetto dei loro parametri.
GeoGebra è uno strumento didattico, non un sostituto della dimostrazione: convince
ma non dimostra. Si usa per esplorare, ipotizzare, verificare numericamente,
visualizzare.
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