Il concetto di funzione è probabilmente la nozione più importante di tutta la matematica del
liceo, e di sicuro della classe quinta: studiare una funzione è ciò che fanno gli esami di stato;
risolvere un’equazione significa trovare i valori per cui una funzione vale zero; ogni legge della fisica
è una funzione.
Cosa è una funzione? In modo semplice: una macchina che, ricevuto in ingresso un numero (o
un oggetto), restituisce in uscita un altro numero (o un altro oggetto), in modo univoco — cioè
senza ambiguità. La temperatura di Torino in funzione dell’istante in cui la si misura; l’area di un
cerchio in funzione del raggio; lo sconto in euro in funzione del valore della spesa: sono tutte
funzioni che usiamo nella vita di tutti i giorni.
In questo capitolo introduciamo formalmente il concetto di funzione, i tre insiemi che la
definiscono (dominio, codominio, immagine), le sue rappresentazioni (tabella, grafico, formula), il
concetto di grafico e il test della retta verticale. Studieremo poi più a fondo iniettività e suriettività
nel capitolo 45, le funzioni elementari notevoli in 68, e le funzioni definite a tratti in
89.
Siano \(A\) e \(B\) due insiemi non vuoti. Una funzione (o applicazione) da \(A\) a \(B\) è una
corrispondenza che a ogni elemento \(x\in A\) associa uno e un solo elemento di \(B\), indicato \(f(x)\). Si
scrive
L’insieme \(A\) si chiama dominio di \(f\), l’insieme \(B\) si chiama codominio. L’elemento \(f(x)\in B\) si chiama
immagine di \(x\) tramite \(f\).
Nota — Le due condizioni cruciali
Per essere funzione devono essere soddisfatte entrambe le condizioni:
ovunque definita: a ogni \(x\in A\) è associato qualcosa in \(B\) (nessun elemento del dominio
“rimane scoperto”);
univoca: a ogni \(x\in A\) corrisponde esattamente uno elemento di \(B\) (mai due o più).
Se manca anche solo una delle due, la corrispondenza non è una funzione.
Esempio 44.1 — Sono funzioni…
L’assegnazione “a ogni studente del liceo Volta il suo codice fiscale”. Ogni studente
ne ha esattamente uno.
“A ogni numero reale \(x\), il suo quadrato \(x^2\)”: \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^2\).
“A ogni cerchio del piano, il suo raggio”: \(f\) dall’insieme dei cerchi a \(\mathbb{R} ^+\).
Esempio 44.2 — …e non sono funzioni
“A ogni studente, il suo numero di telefono”. Non è una funzione: alcuni hanno più
telefoni, altri nessuno.
“A ogni \(x\in \mathbb{R} \), il numero \(y\) tale che \(y^2 = x\)”. Non è una funzione: per \(x=4\) ci sono due valori, \(y=2\) e \(y=-2\); per \(x=-1\)
non ce ne è nessuno in \(\mathbb{R} \). Per renderla una funzione, bisogna restringere il dominio a \([0,+\infty )\)
e scegliere uno solo dei due segni: nasce così \(f(x)=\sqrt {x}\).
Sia \(f: A\to B\) una funzione. L’immagine (o insieme delle immagini, o range) di \(f\) è l’insieme degli
elementi di \(B\) che sono effettivamente “raggiunti” da \(f\):
Si ha sempre \(\operatorname {Im}(f)\subseteq B\), ma in generale l’inclusione è stretta: nel codominio possono esserci elementi
che non sono immagine di alcun \(x\).
Esempio 44.3
Sia \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^2\).
Dominio: \(\mathbb{R} \).
Codominio: \(\mathbb{R} \) (è quello dichiarato).
Immagine: \(\operatorname {Im}(f) = [0,+\infty )\), perché \(x^2\) è sempre non negativo.
Il codominio è “lo spazio di arrivo dichiarato”; l’immagine è “ciò che effettivamente arriva”.
Possono coincidere oppure no.
Figura 44.1: Diagramma a frecce di una funzione \(f: A\to B\). Ogni elemento del dominio \(A\) ha esattamente
una freccia uscente; l’immagine \(\operatorname {Im}(f)\) (in rosso, evidenziata) è il sottoinsieme di \(B\) effettivamente
raggiunto. Notare che due elementi diversi di \(A\) (\(x_2, x_3\)) possono finire sullo stesso \(y_2\) (la funzione non
è iniettiva), e che \(y_3\in B\) non è immagine di nessuno (la funzione non è suriettiva).
Nota — Suriettività e iniettività, in due
parole
Se \(\operatorname {Im}(f)=B\), cioè ogni elemento di \(B\) è immagine di almeno un \(x\), la funzione si dice suriettiva.
Se \(f\) assegna a elementi distinti di \(A\) immagini distinte, \(f\) si dice iniettiva.
Una funzione sia iniettiva che suriettiva si dice biiettiva (o biunivoca, o biiezione).
In una funzione \(y = f(x)\) il valore di \(y\) dipende dal valore di \(x\) scelto in ingresso. Per questo \(x\) si dice
variabile indipendente e \(y\) si dice variabile dipendente.
Una funzione si può rappresentare in molti modi: a parole, con una tabella, con un grafico nel
piano cartesiano, con una formula. Quando lavoriamo con funzioni reali di variabile reale, il grafico
è la rappresentazione più ricca e immediata.
Definizione 44.4 — Grafico
Il grafico di una funzione \(f: A\to B\) è l’insieme delle coppie \((x, f(x))\) al variare di \(x\in A\):
Per una funzione reale di variabile reale (\(A,B\subseteq \mathbb{R} \)), il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano
\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \).
Il grafico nel piano cartesiano sarà introdotto in modo sistematico nel capitolo 69 (geometria
analitica); qui ci limitiamo all’idea intuitiva: ogni punto del grafico ha ascissa \(x\) (un valore del
dominio) e ordinata \(y=f(x)\) (l’immagine di \(x\)).
Teorema 44.1 — Test della retta verticale
Una curva del piano cartesiano è il grafico di una funzione \(y=f(x)\) se e solo se ogni retta verticale
interseca la curva al più in un punto.
Dimostrazione (idea). La condizione di univocità della funzione richiede che a ogni \(x\) corrisponda
al massimo un \(y\), cioè al massimo un punto della curva con quella ascissa. Una retta verticale di
equazione \(x=x_0\) intercetta la curva esattamente nei punti di ascissa \(x_0\): se ce ne sono due, la corrispondenza
ha doppia immagine e non è funzione.
Figura 44.2: Test della retta verticale. A sinistra, la parabola \(y=x^2\) è grafico di una funzione: ogni
retta verticale la incontra al più in un punto. A destra, il cerchio non è grafico di una funzione
perché esistono rette verticali che lo intersecano in due punti (per la stessa \(x_0\) ci sono due valori
di \(y\)).
Definizione 44.5 — Funzione reale di variabile
reale
Una funzione reale di variabile reale è una funzione \(f: D\to \mathbb{R} \) con \(D\subseteq \mathbb{R} \). L’insieme \(D\) è il dominio
(sottoinsieme di \(\mathbb{R} \)), e i valori \(f(x)\) sono numeri reali.
Sono le funzioni più studiate in matematica e in fisica: tutte le grandezze fisiche misurabili
dipendono da numeri reali (tempo, lunghezza, massa, \(\ldots \)) e producono numeri reali. Lo
studio sistematico di queste funzioni è il contenuto principale dell’analisi (capitoli 126 e
seguenti).
Dominio naturale
Spesso una funzione è data “con la sua formula” senza precisare il dominio: in tal caso si intende il
dominio naturale, cioè il più grande sottoinsieme di \(\mathbb{R} \) in cui la formula ha senso e produce un
risultato reale.
Procedura — Determinare il dominio
naturale
Per stabilire il dominio naturale di una funzione \(f(x)\) data tramite una formula, si impongono tutte
le condizioni che rendano l’espressione ben definita in \(\mathbb{R} \):
denominatore non nullo: per ogni frazione \(\dfrac {N(x)}{D(x)}\), imporre \(D(x)\neq 0\);
radicando non negativo: per ogni \(\sqrt [2k]{E(x)}\) (radice di indice pari), imporre \(E(x)\ge 0\);
argomento del logaritmo positivo: per ogni \(\log (E(x))\), imporre \(E(x)>0\) (capitolo 82);
argomento di arcoseno/arcocoseno in \([-1,1]\) (capitolo 98, cenno).
Il dominio naturale è l’intersezione di tutte queste condizioni.
Esempio 44.4 — Funzione polinomiale
\(f(x)=3x^2 - 5x + 4\) è definita per ogni \(x\in \mathbb{R} \) (nessuna restrizione). Dominio naturale: \(\mathbb{R} \).
Soluzione. I valori sono \(2, 5, 10, 17, 26\): le differenze tra valori consecutivi sono \(3, 5, 7, 9\), ossia i dispari. Questo
suggerisce \(f(x)=x^2+1\): \(1+1=2\), \(4+1=5\), \(9+1=10\), \(16+1=17\), \(25+1=26\). \(\checkmark\)
Esempio 44.12 — Immagine di una funzione
Determinare l’immagine di \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^2+4\).
Soluzione. Per ogni \(x\in \mathbb{R} \), \(x^2\ge 0\), dunque \(f(x)\ge 4\). Inoltre, ogni valore \(y\ge 4\) è raggiunto (con \(x=\pm \sqrt {y-4}\)). Quindi \(\operatorname {Im}(f) = [4,+\infty )\). Il
codominio \(\mathbb{R} \) è più ampio dell’immagine: \(f\) non è suriettiva.
Applica il test della retta verticale alle seguenti curve (descrivendole intuitivamente):
(a) una parabola con asse verticale; (b) un’ellisse; (c) una retta orizzontale; (d)
una retta verticale. Quali sono grafici di funzione?
7.
Dato \(f(x) = x^2 + bx + c\), determina \(b\) e \(c\) sapendo che \(f(0)=5\) e \(f(1)=8\).
8.
Un radiotaxi applica una tariffa: scatto fisso di \(3\) € all’inizio + \(0,80\) € per ogni km percorso.
Scrivi la funzione \(T(k)\) del costo \(T\) in euro al variare del km \(k\), e calcolane il valore per \(k=5\), \(k=10\), \(k=25\).
9.
(Discussione.) Una temperatura misurata ogni minuto per 24 ore è una funzione
del tempo. Indica dominio (in unità di misura concreta), codominio ragionevole, e
descrivi una possibile immagine in una giornata di gennaio a Torino.
Una funzione \(f:A\to B\) è una corrispondenza che a ogni \(x\in A\) associa uno e un solo \(f(x)\in B\). Le due
condizioni cruciali: ovunque definita e univoca.
\(A\) è il dominio, \(B\) è il codominio; l’immagine \(\operatorname {Im}(f)=f(A)\) è il sottoinsieme di \(B\) effettivamente
raggiunto.
\(x\) è la variabile indipendente, \(y=f(x)\) è la variabile dipendente.
Una funzione si può rappresentare verbalmente, con una tabella, con un grafico (\(G_f = \{(x, f(x))\}\)), con
una formula.
Test della retta verticale: una curva è grafico di una funzione \(y=f(x)\) se e solo se ogni retta
verticale la incontra al più in un punto.
Una funzione reale di variabile reale è \(f:D\to \mathbb{R} \) con \(D\subseteq \mathbb{R} \). Il dominio naturale è il più grande \(D\) in
cui la formula ha senso, ottenuto imponendo: denominatori non nulli, radicandi pari
non negativi, argomenti dei logaritmi positivi, ecc.
Cenni: \(f\) suriettiva se \(\operatorname {Im}(f)=B\); iniettiva se elementi distinti di \(A\) hanno immagini distinte;
biiettiva se entrambe (approfondimento nel capitolo 45).
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