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Capitolo 71
Coefficiente angolare, parallelismo, perpendicolarità tra rette

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La geometria di Cartesio ha ridotto al calcolo ciò che prima era pura costruzione.”

— Joseph-Louis Lagrange, Leçons élémentaires sur les mathématiques (1795)

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71.1 Introduzione motivazionale

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In geometria euclidea (34) il parallelismo e la perpendicolarità di due rette si stabiliscono per via puramente sintetica: due rette sono parallele se non si incontrano (o coincidono); due rette sono perpendicolari se formano quattro angoli retti. Verificarlo concretamente, però, richiede costruzioni con riga e compasso, o ragionamenti su angoli alterni interni, criteri di congruenza, e così via.

La geometria analitica trasforma queste relazioni geometriche in test algebrici estremamente semplici. Tutto si riduce a due numeri: i coefficienti angolari delle due rette. Anticipando i risultati di questo capitolo:

Due test, due formule. Tutta la teoria sintetica delle rette parallele e perpendicolari del piano è racchiusa qui.

Per giustificare queste formule ci basta quello che sappiamo già: il coefficiente angolare come pendenza (\(\Delta y = m\,\Delta x\)), i sistemi di due equazioni di primo grado e il teorema di Pitagora con la distanza tra due punti (69). Il parallelismo si dimostra chiedendosi quando due rette non hanno punti in comune; la perpendicolarità si dimostra con Pitagora su un triangolo scelto bene. Non serve la trigonometria.

Chiudiamo il capitolo con la formula dell’angolo tra due rette: quella sì usa la tangente, ed è un approfondimento da riprendere dopo aver studiato la goniometria (94).

71.2 Significato geometrico del coefficiente angolare

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Definizione 71.1 — Angolo di inclinazione

L’angolo di inclinazione \(\alpha \) di una retta è l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle \(x\), misurato in senso antiorario, con \(0 \leq \alpha < \pi \) (cioè \(0° \leq \alpha < 180°\)).

Teorema 71.1 — Coefficiente angolare come pendenza

Sia \(r: y = mx + q\) una retta non verticale. Comunque si scelgano due punti \(A(x_A, y_A)\) e \(B(x_B, y_B)\) su \(r\), si ha

\[ y_B - y_A = m\,(x_B - x_A), \qquad \text {cioè}\qquad m = \frac {\Delta y}{\Delta x}. \]

In particolare: spostandosi di \(1\) verso destra si sale di \(m\) (o si scende, se \(m < 0\)). Il numero \(m\) misura quindi la pendenza della retta, e dipende solo dalla direzione della retta, non dai due punti scelti.

\[ m = \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {y_B - y_A}{x_B - x_A}. \]

Dimostrazione. I due punti stanno sulla retta, quindi \(y_A = m x_A + q\) e \(y_B = m x_B + q\). Sottraendo membro a membro la \(q\) sparisce:

\[ y_B - y_A = (m x_B + q) - (m x_A + q) = m\,(x_B - x_A). \]

Se \(x_B \neq x_A\) si può dividere e si ottiene \(m = \dfrac {y_B - y_A}{x_B - x_A}\).

Geometricamente: il triangolo rettangolo di cateti \(\Delta x\) (orizzontale) e \(\Delta y\) (verticale) costruito su due punti qualsiasi della retta ha sempre la stessa forma (i triangoli costruiti su coppie di punti diverse sono simili, perché hanno l’angolo \(\alpha \) in comune): cambia la grandezza, non il rapporto tra i cateti. Quel rapporto è \(m\).

Nota  — Per chi ha già incontrato la trigonometria

Nel triangolo della figura \(\Delta y\) è il cateto opposto all’angolo \(\alpha \) e \(\Delta x\) quello adiacente: il rapporto \(\Delta y / \Delta x\) è per definizione la tangente di \(\alpha \). Quindi \(m = \operatorname{tg} \alpha \). Questa lettura si studia in 94; per tutto questo capitolo non serve.

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Figura 71.1: Significato geometrico di \(m\): il rapporto \(\Delta y / \Delta x\) è lo stesso per ogni coppia di punti della retta. L’angolo \(\alpha \) è l’angolo di inclinazione.

Nota  — Segno e valore di \(m\)

Casi numerici tipici (si leggono sul triangolo di cateti \(\Delta x\) e \(\Delta y\)):

\[ m = 1 \Rightarrow \alpha = 45°\ \text {(cateti uguali)};\quad m = \sqrt {3} \Rightarrow \alpha = 60°\ \text {(metà di un triangolo equilatero)};\quad m = -1 \Rightarrow \alpha = 135°. \]

71.3 Condizione di parallelismo

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Teorema 71.2 — Parallelismo tra rette

Due rette \(r\) e \(s\) del piano sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare:

\[ r \parallel s \iff m_r = m_s. \]

(Si intendono parallele anche due rette coincidenti.)

In forma implicita: \(r: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0\) e \(s: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0\) sono parallele se e solo se

\[ a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0,\qquad \text {cioè}\qquad \frac {a_1}{a_2} = \frac {b_1}{b_2}. \]
\[ r \parallel s \iff m_r = m_s. \]

Dimostrazione. Siano \(r: y = m_r x + q_r\) e \(s: y = m_s x + q_s\) due rette non verticali. I punti in comune sono le soluzioni del sistema

\[ \begin {cases} y = m_r x + q_r \\ y = m_s x + q_s \end {cases} \quad \Longrightarrow \quad m_r x + q_r = m_s x + q_s \quad \Longrightarrow \quad (m_r - m_s)\,x = q_s - q_r. \]

Quindi le rette sono parallele (distinte o coincidenti) se e solo se \(m_r = m_s\).

Lo stesso fatto si vede anche sul disegno: due rette parallele tagliate dall’asse \(x\) formano con esso angoli corrispondenti uguali (34), quindi i triangoli “\(\Delta x\), \(\Delta y\)” costruiti sulle due rette sono simili e il rapporto \(\Delta y/\Delta x\) è lo stesso. Il vantaggio della dimostrazione algebrica è che funziona in una riga e non ha bisogno di figure.

Per la forma implicita: se \(b_1, b_2 \neq 0\) i coefficienti angolari sono \(m_1 = -a_1/b_1\) e \(m_2 = -a_2/b_2\), e \(m_1 = m_2\) equivale a \(a_1 b_2 = a_2 b_1\), cioè \(a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0\). Questa forma vale anche per le rette verticali (\(b = 0\)).

Per le rette verticali: due rette verticali sono sempre parallele tra loro; sono \(x = h_1\) e \(x = h_2\), e si dice “hanno entrambe \(m\) indefinito”.

Nota  — Parallele propriamente dette vs coincidenti

Due rette parallele si dicono coincidenti se sono la stessa retta — cioè se oltre ad avere \(m_r = m_s\), hanno anche \(q_r = q_s\) (in forma esplicita). Se \(m_r = m_s\) ma \(q_r \neq q_s\), le rette sono parallele propriamente dette (distinte).

Esempio 71.1 — Verificare il parallelismo

Le rette \(r: y = 2x + 3\) e \(s: y = 2x - 1\) hanno entrambe \(m = 2\): sono parallele. Hanno \(q\) diversi: sono propriamente parallele (distinte).

Le rette \(r: y = 2x + 3\) e \(s: 4x - 2y + 6 = 0\): la seconda diventa \(y = 2x + 3\), identica alla prima: coincidenti.

Esempio 71.2 — Retta parallela a una data, per un punto

Trovare la retta parallela a \(r: y = -3x + 2\) passante per \(P(1, 4)\).

Soluzione. Deve avere \(m = -3\) (stesso di \(r\)). Usando la forma fondamentale (70):

\[ y - 4 = -3(x - 1) \Rightarrow y = -3x + 7. \]

71.4 Condizione di perpendicolarità

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Teorema 71.3 — Perpendicolarità tra rette

Due rette \(r\) e \(s\) non verticali e non orizzontali sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari vale \(-1\):

\[ r \perp s \iff m_r \cdot m_s = -1 \iff m_s = -\frac {1}{m_r}. \]

(Caso speciale: una retta orizzontale e una verticale sono sempre perpendicolari tra loro.)

In forma implicita: \(r: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0\) e \(s: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0\) sono perpendicolari se e solo se

\[ a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0. \]
\[ r \perp s \iff m_r \cdot m_s = -1. \]

Dimostrazione. L’angolo tra due rette non cambia se le si sposta parallelamente a sé stesse: possiamo quindi supporre che \(r\) e \(s\) passino entrambe per l’origine, cioè \(r: y = m_r x\) e \(s: y = m_s x\) (abbiamo solo cambiato le \(q\), non le \(m\)).

Prendiamo su ciascuna retta il punto di ascissa \(1\): \(P(1, m_r)\) su \(r\) e \(Q(1, m_s)\) su \(s\) (figura 71.2). Le rette sono perpendicolari se e solo se il triangolo \(OPQ\) è rettangolo in \(O\), e per il teorema di Pitagora (e il suo inverso, 34) questo accade se e solo se

\[ \overline {OP}^2 + \overline {OQ}^2 = \overline {PQ}^2. \]

Calcoliamo i tre quadrati con la formula della distanza (69):

\[ \overline {OP}^2 = 1 + m_r^2,\qquad \overline {OQ}^2 = 1 + m_s^2,\qquad \overline {PQ}^2 = (1-1)^2 + (m_r - m_s)^2 = m_r^2 - 2 m_r m_s + m_s^2 . \]

La condizione di Pitagora diventa

\[ (1 + m_r^2) + (1 + m_s^2) = m_r^2 - 2 m_r m_s + m_s^2 \quad \Longrightarrow \quad 2 = -2\,m_r m_s \quad \Longrightarrow \quad m_r\, m_s = -1 . \]

Tutti i passaggi sono equivalenze, quindi vale anche il viceversa: se \(m_r m_s = -1\) il triangolo è rettangolo in \(O\) e le rette sono perpendicolari.

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Figura 71.2: La dimostrazione con Pitagora: sulle due rette per l’origine si prendono i punti di ascissa \(1\). Il triangolo \(OPQ\) è rettangolo in \(O\) se e solo se \(\overline {OP}^2 + \overline {OQ}^2 = \overline {PQ}^2\), cioè \(m_r m_s = -1\). Nel disegno \(m_r = 2\) e \(m_s = -\tfrac {1}{2}\).

Nota  — Una seconda dimostrazione, con una rotazione

Se si ruota di \(90°\) attorno all’origine il triangolo di cateti \(1\) (orizzontale) e \(m_r\) (verticale) che dà la pendenza di \(r\), il cateto orizzontale diventa verticale e quello verticale diventa orizzontale: il punto \((1, m_r)\) va a finire in \((-m_r, 1)\). La retta ruotata, cioè la perpendicolare a \(r\) per l’origine, passa per \((-m_r, 1)\) e ha quindi pendenza \(\dfrac {1}{-m_r} = -\dfrac {1}{m_r}\). Si vede così “a occhio” perché il coefficiente angolare della perpendicolare è il reciproco col segno cambiato.

Per la forma implicita: con \(m_1 = -a_1/b_1\) e \(m_2 = -a_2/b_2\) la condizione \(m_1 m_2 = -1\) diventa \(a_1 a_2 = -b_1 b_2\), cioè \(a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0\); anche questa vale pure nei casi verticale/orizzontale.

Nota  — Coefficiente angolare “antireciproco”

La perpendicolarità si esprime in un modo facile da memorizzare dicendo che il coefficiente angolare della retta perpendicolare è l’antireciproco (reciproco col segno cambiato) del coefficiente angolare della retta data. Tabella di valori notevoli:

\[ \begin {array}{c|c} m_r & m_s = -1/m_r \\ \hline 1 & -1 \\ 2 & -1/2 \\ -3 & 1/3 \\ \sqrt {3} & -1/\sqrt {3} = -\sqrt {3}/3 \\ 1/4 & -4 \end {array} \]

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Figura 71.3: A sinistra due rette parallele (stesso \(m\)). A destra due rette perpendicolari: \(\tfrac {1}{2}\cdot (-2) = -1\).

Esempio 71.3 — Retta perpendicolare a una data, per un punto

Trovare la retta perpendicolare a \(r: y = 2x - 1\) passante per \(P(4, 3)\).

Soluzione. Il nuovo coefficiente angolare è \(m = -1/2\). Forma fondamentale:

\[ y - 3 = -\tfrac {1}{2}(x - 4) \Rightarrow y = -\tfrac {1}{2}x + 5. \]

Esempio 71.4 — Asse di un segmento

L’asse di un segmento \(\overline {AB}\) è la retta perpendicolare ad \(\overline {AB}\) passante per il suo punto medio. Trovare l’asse del segmento di estremi \(A(1, 2)\) e \(B(7, 8)\).

Soluzione.

71.5 Angolo tra due rette

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Nota  — Approfondimento: richiede la goniometria

Questo paragrafo usa la tangente di un angolo e le formule di addizione, che si studiano in 94. Alla prima lettura si può saltare: le condizioni di parallelismo e perpendicolarità viste sopra sono complete e non dipendono da quanto segue.

Più in generale, due rette incidenti formano due coppie di angoli opposti al vertice (uno acuto, uno ottuso, supplementari tra loro). L’angolo tra le due rette è, per convenzione, quello acuto (o retto, se sono perpendicolari).

Teorema 71.4 — Angolo tra due rette

Siano \(r\) e \(s\) due rette non verticali, di coefficienti angolari \(m_r\) e \(m_s\). L’angolo acuto \(\varphi \) tra di esse soddisfa

\[ \operatorname{tg} \varphi = \left |\frac {m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right |. \]
\[ \operatorname{tg} \varphi = \left |\dfrac {m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right |. \]

Dimostrazione (cenni). Se \(\alpha _r, \alpha _s\) sono gli angoli di inclinazione, l’angolo formato tra le rette è \(\alpha _r - \alpha _s\) (o il suo supplementare). Per la formula trigonometrica della tangente della differenza (94):

\[ \operatorname{tg} (\alpha _r - \alpha _s) = \frac {\operatorname{tg} \alpha _r - \operatorname{tg} \alpha _s}{1 + \operatorname{tg} \alpha _r \operatorname{tg} \alpha _s} = \frac {m_r - m_s}{1 + m_r m_s}. \]

Il valore assoluto seleziona l’angolo acuto positivo.

Nota  — Casi limite della formula

Quindi la formula generale racchiude come casi particolari sia il parallelismo che la perpendicolarità.

Esempio 71.5 — Angolo tra due rette

Calcolare l’angolo tra \(r: y = x\) e \(s: y = -2x + 3\).

Soluzione. \(m_r = 1\), \(m_s = -2\):

\[ \operatorname{tg} \varphi = \left |\frac {1 - (-2)}{1 + 1\cdot (-2)}\right | = \left |\frac {3}{-1}\right | = 3 \implies \varphi = \operatorname{arctg} (3) \approx 71{,}57°. \]

71.6 Esempi svolti

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Esempio 71.6 — Test rapido di // o \(\perp \)

Stabilire se le seguenti coppie di rette sono parallele, perpendicolari o né l’uno né l’altro:

Esempio 71.7 — Retta parallela in forma implicita

Trovare l’equazione della retta passante per \(P(-1, 2)\) e parallela a \(r: 3x - 2y + 7 = 0\).

Soluzione. La retta richiesta ha la stessa parte “\(3x - 2y\)” del primo membro (in modo da avere stessi coefficienti \(a, b\), quindi stesso \(m\)); cambia solo il termine noto:

\[ 3x - 2y + k = 0. \]

Imponendo il passaggio per \(P(-1, 2)\): \(3(-1) - 2(2) + k = 0 \Rightarrow k = 7\).

(Curioso: \(k = 7\) uguale a quello di \(r\); ma sostituendo nelle coordinate si verifica che \(P\notin r\): \(3(-1) - 2(2) + 7 = 0\), falso? Calcolo: \(-3 - 4 + 7 = 0\). Vero! Quindi \(P\) appartiene alla retta \(r\) data. Sì, la retta parallela passante per \(P\) è \(r\) stessa.)

Esempio modificato: per \(P(0, 0)\), \(3(0) - 2(0) + k = 0 \Rightarrow k = 0\). Retta: \(3x - 2y = 0\), ovvero \(y = \tfrac {3}{2}x\).

Esempio 71.8 — Triangolo rettangolo: verifica con i coefficienti angolari

Verificare che il triangolo di vertici \(A(0, 0), B(4, 2), C(1, 5)\) è rettangolo.

Soluzione.

\[ m_{AB} = \frac {2-0}{4-0} = \frac {1}{2},\qquad m_{AC} = \frac {5-0}{1-0} = 5,\qquad m_{BC} = \frac {5-2}{1-4} = -1. \]

Cerchiamo coppie con prodotto \(-1\):

\[ m_{AB} \cdot m_{BC} = \tfrac {1}{2}\cdot (-1) = -\tfrac {1}{2}: \text {no}. \]
\[ m_{AB} \cdot m_{AC} = \tfrac {1}{2}\cdot 5 = \tfrac {5}{2}: \text {no}. \]
\[ m_{AC} \cdot m_{BC} = 5\cdot (-1) = -5: \text {no}. \]

Nessuna coppia perpendicolare: il triangolo non è rettangolo. (Confronto con il test di Pitagora: \(\overline {AB}^2 = 20\), \(\overline {AC}^2 = 26\), \(\overline {BC}^2 = 18\). Nessuna relazione \(a^2 + b^2 = c^2\).)

Esempio 71.9 — Costruzione di una perpendicolare per un punto a una retta data

Sia \(r: 2x - y + 3 = 0\) e \(P(5, 1)\) punto esterno. Trovare il piede della perpendicolare da \(P\) a \(r\) (cioè il punto \(H\) di intersezione tra \(r\) e la perpendicolare a \(r\) per \(P\)).

Soluzione.

Esempio 71.10 — Asse di un segmento (riassuntivo)

Trovare l’asse del segmento \(A(-1, 2)\), \(B(5, -4)\).

Soluzione.

Esempio 71.11 — Quadrato dati due vertici opposti

Trovare i due vertici mancanti del quadrato sapendo che \(A(1, 1)\) e \(C(5, 5)\) sono due vertici opposti.

Soluzione.

71.7 Esercizi proposti

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Esercizio 71.1

1.
Stabilisci se le coppie di rette sono parallele, perpendicolari o né l’uno né l’altro:
  • (a) \(y = 2x + 1\) e \(y = 2x - 5\);
  • (b) \(y = 3x\) e \(y = -\tfrac {1}{3}x + 4\);
  • (c) \(y = -x + 7\) e \(y = x - 2\);
  • (d) \(2x + 3y - 6 = 0\) e \(4x + 6y + 1 = 0\);
  • (e) \(x = 5\) e \(y = 3\);
  • (f) \(y = 3\) e \(y = -7\).
2.
Trova la retta passante per il punto dato e parallela alla retta data:
  • (a) \(P(2, 3)\), \(r: y = 4x - 1\);
  • (b) \(P(0, -1)\), \(r: 3x - 2y + 5 = 0\);
  • (c) \(P(-1, 4)\), \(r: y = -2\);
  • (d) \(P(3, 7)\), \(r: x = 2\).
3.
Trova la retta passante per il punto dato e perpendicolare alla retta data:
  • (a) \(P(1, 2)\), \(r: y = -3x + 1\);
  • (b) \(P(4, 0)\), \(r: y = \tfrac {1}{2}x\);
  • (c) \(P(-2, 5)\), \(r: 2x + 3y - 6 = 0\);
  • (d) \(P(0, 0)\), \(r: y = x\).
4.
Trova il piede della perpendicolare condotta dal punto \(P(0, 4)\) alla retta \(r: y = 2x - 1\).
5.
Trova l’asse del segmento di estremi:
  • (a) \(A(0, 0)\) e \(B(4, 6)\);
  • (b) \(A(-2, 3)\) e \(B(4, -1)\);
  • (c) \(A(1, 5)\) e \(B(7, 5)\) (orizzontale!).
6.
Verifica con i coefficienti angolari se i seguenti triangoli sono rettangoli e in caso indica l’ipotenusa:
  • (a) \(A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8)\);
  • (b) \(A(1, 1), B(5, 1), C(1, 4)\);
  • (c) \(A(-1, 0), B(2, 3), C(5, 0)\);
  • (d) \(A(0, 0), B(3, 1), C(1, 3)\).
7.
Trova \(k\) in modo che le rette siano parallele: \(r: y = (k-1)x + 3\) e \(s: y = (2k + 4)x - 1\).
8.
Trova \(h\) in modo che le rette siano perpendicolari: \(r: y = hx - 2\) e \(s: y = (h+3)x + 1\).
9.
Calcola l’angolo (acuto) tra le rette:
  • (a) \(y = x\) e \(y = -x\);
  • (b) \(y = x\) e \(y = 0\);
  • (c) \(y = x\) e \(y = \tfrac {x}{3}\).
10.
Determina l’altezza relativa al lato \(BC\) nel triangolo di vertici \(A(2, 5)\), \(B(0, 0)\), \(C(6, 2)\). (Suggerimento: equazione della retta \(BC\), equazione della perpendicolare per \(A\), intersezione = piede dell’altezza, e poi calcola la distanza.)
11.
Trova le coordinate dell’ortocentro del triangolo \(A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4)\). (L’ortocentro è il punto di intersezione delle tre altezze.)
12.
(Discussione.) Se due rette hanno coefficiente angolare reciproco (cioè \(m_s = 1/m_r\), senza cambiare segno), che relazione geometrica esiste tra le due rette? (Suggerimento: scambia \(x\) e \(y\).)
13.
(Sfida.) Trova le coordinate dei due vertici mancanti del quadrato di cui \(A(0, 0)\) e \(B(4, 0)\) sono due vertici adiacenti (cioè estremi di un lato).

71.8 Riepilogo del capitolo

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