27 Fenomeni ondulatori: la teoria che serve per gli esercizi

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Capitolo 27
Fenomeni ondulatori: la teoria che serve per gli esercizi

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“Le onde non sono nell’acqua: l’acqua resta dov’è. Nell’acqua passa soltanto la forma.”
— Leonardo da Vinci (parafrasi)

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Introduzione

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Questa dispensa raccoglie tutta la teoria che occorre per affrontare una raccolta di esercizi sui fenomeni ondulatori: grandezze di un’onda, intensità e attenuazione, polarizzazione, riflessione e rifrazione, lenti sottili, interferenza e diffrazione, onde stazionarie, effetto Doppler e onda d’urto. Alcuni argomenti sono già trattati nel capitolo 4 (ottica geometrica) e nel capitolo 11 (oscillazioni e onde): qui vengono ripetuti di proposito, in forma compatta, perché la dispensa deve bastare da sola.

Ogni paragrafo ha la stessa struttura: le definizioni e le formule, un riquadro con il metodo per i problemi tipici, uno o più esempi svolti con i numeri ricavati per via algebrica, e le domande di teoria più frequenti con la risposta. Le unità di misura compaiono in tutti i passaggi: negli esercizi il controllo delle unità è il modo più rapido per accorgersi di un errore.

Nota — Come usare la dispensa

Prima di ogni blocco di esercizi rileggi il paragrafo corrispondente e il riquadro Metodo. Poi prova gli esercizi proposti in fondo al capitolo: i risultati fra parentesi quadre servono per controllare, non per copiare.

27.1 Grandezze fisiche di un’onda

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27.1.1 Che cos’è un’onda

Definizione 27.1 — Onda

Un’onda è una perturbazione che si propaga nello spazio trasportando energia (e quantità di moto) senza trasporto netto di materia. In un’onda sul mare l’acqua oscilla sul posto; a spostarsi è la forma della perturbazione.

Le onde si classificano in due modi indipendenti.

Per che cosa oscilla: le onde meccaniche (suono, onde su una corda, onde sul mare, onde sismiche) sono oscillazioni di un mezzo materiale e non esistono nel vuoto; le onde elettromagnetiche (luce, onde radio, raggi X) sono oscillazioni dei campi elettrico e magnetico e si propagano anche nel vuoto, dove viaggiano tutte alla velocità \(c = 3.00\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).
Per come oscilla: nelle onde trasversali l’oscillazione è perpendicolare alla direzione di propagazione (corda, luce); nelle onde longitudinali è parallela a essa (suono, molla compressa). Solo le onde trasversali possono essere polarizzate (paragrafo 27.2.4).

27.1.2 Le grandezze che descrivono un’onda

Ampiezza \(A\): massimo spostamento dalla posizione di equilibrio (in \({\mathrm{m} }\) per un’onda su una corda, in \({\mathrm{Pa} }\) per un’onda di pressione).
Lunghezza d’onda \(\lambda \): distanza fra due creste consecutive, cioè fra due punti consecutivi nello stesso stato di oscillazione (in \({\mathrm{m} }\)).
Periodo \(T\): tempo impiegato da un punto del mezzo per compiere un’oscillazione completa (in \({\mathrm{s} }\)).
Frequenza \(f = 1/T\): numero di oscillazioni al secondo (in \({\mathrm{Hz} }\)).
Velocità di propagazione \(v\): velocità con cui avanza la perturbazione (in \({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Dipende dal mezzo, non dalla sorgente.
Intensità \(I\): energia che attraversa l’unità di superficie nell’unità di tempo (in \({\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\)); è l’argomento del paragrafo 27.2.

In un periodo l’onda avanza esattamente di una lunghezza d’onda. Da qui la relazione fondamentale, valida per ogni onda:

\[ v = \frac {\lambda }{T} = \lambda \,f \]

Unità SI: \([v]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), \([\lambda ]={\mathrm{m} }\), \([T]={\mathrm{s} }\), \([f]={\mathrm{Hz} }\).

Attenzione! — Chi decide che cosa

La frequenza è decisa dalla sorgente e non cambia quando l’onda passa da un mezzo a un altro. La velocità è decisa dal mezzo. La lunghezza d’onda si adegua: \(\lambda = v/f\). Nel passaggio aria–acqua di un suono o di un raggio di luce, \(f\) resta uguale e cambiano \(v\) e \(\lambda \).

27.1.3 Da che cosa dipende la velocità

Corda tesa: \(v = \sqrt {F/\mu }\), dove \(F\) è la tensione e \(\mu = m/L\) la massa per unità di lunghezza (in \({\mathrm{kg} / \mathrm{m} }\)). Corda più tesa o più leggera: onda più veloce.
Suono: in aria circa \(340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) a temperatura ambiente (cresce con la temperatura), in acqua circa \(1500\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), nell’acciaio circa \(5000\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).
Luce: nel vuoto \(c = 3.00\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); in un mezzo trasparente di indice di rifrazione \(n\) la velocità è \(v = c /n\) e la lunghezza d’onda diventa \(\lambda _n = \lambda _0/n\).

\[ v_{\text {corda}} = \sqrt {\frac {F}{\mu }}, \qquad v_{\text {luce}} = \frac {c }{n}, \qquad \lambda _n = \frac {\lambda _0}{n} \]

Per i materiali esiste anche un piccolo effetto in più: nel vetro e nell’acqua l’indice \(n\) dipende leggermente dalla frequenza (dispersione). È il motivo per cui un prisma separa i colori e la luce blu viene rifratta un po’ più della rossa (esempio 27.3).

Procedura — Metodo: leggere un’onda da un grafico

1.: Guarda l’asse orizzontale: se è una posizione (\(x\), in metri) il grafico è una fotografia e la distanza fra due creste è \(\lambda \); se è un tempo (\(t\), in secondi) la distanza fra due creste è \(T\).
2.: L’ampiezza è l’altezza massima rispetto all’asse, letta sull’asse verticale.
3.: Se il grafico mostra una frazione di oscillazione (un quarto, cinque quarti, …), riporta la lunghezza letta all’oscillazione intera con una proporzione.
4.: Chiudi con \(f = 1/T\) e \(v = \lambda f\).

Esempio 27.1 — Onda su una corda letta dai grafici

I due grafici di un’onda su una corda hanno ampiezza massima \(28\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\). Nella fotografia, l’onda attraversa l’asse e raggiunge la prima cresta dopo \(1\,{\mathrm{m} }\) (un quarto di oscillazione). Nel grafico temporale di un punto, cinque quarti di oscillazione durano \(6.25\,{\mathrm{s} }\). Determinare ampiezza, lunghezza d’onda, periodo, frequenza e velocità.

Soluzione

Algebra. Un quarto di lunghezza d’onda è \(1\,{\mathrm{m} }\), quindi \(\lambda = 4\cdot 1\,{\mathrm{m} }\). Cinque quarti di periodo valgono \(6.25\,{\mathrm{s} }\), quindi \(T = \tfrac {4}{5}\cdot 6.25\,{\mathrm{s} }\). Poi \(f = 1/T\) e \(v = \lambda f\).

Numeri.

\[ A = 28\,{\mathrm{m} \mathrm{m} },\qquad \lambda = 4\,{\mathrm{m} },\qquad T = 5\,{\mathrm{s} },\qquad f = \frac {1}{5\,{\mathrm{s} }} = 0.2\,{\mathrm{Hz} },\qquad v = 4\,{\mathrm{m} }\cdot 0.2\,{\mathrm{Hz} } = 0.8\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }. \]

Plausibilità. Un’onda lenta e lunga, come quella che si fa oscillando una corda a mano: coerente.

Esempio 27.2 — Stesso suono in aria e in acqua

Su una nave esplode una bombola; il suono viaggia sia in aria (\(v_a = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)) sia in acqua (\(v_w = 1500\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Una seconda nave sente i due suoni separati da \(\Delta t = 2.0\,{\mathrm{s} }\). Quanto distano le navi?

Soluzione

Algebra. La distanza \(d\) è la stessa per i due suoni, i tempi no: \(t_a = d/v_a\) e \(t_w = d/v_w\). Il suono in acqua arriva prima, perciò

\[ \Delta t = \frac {d}{v_a} - \frac {d}{v_w} = d\,\frac {v_w - v_a}{v_a v_w} \quad \Longrightarrow \quad d = \Delta t\,\frac {v_a v_w}{v_w - v_a}. \]

Numeri.

\[ d = 2.0\,{\mathrm{s} }\cdot \frac {340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\cdot 1500\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{1500\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }-340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }} = 2.0\,{\mathrm{s} }\cdot 440\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \approx 8.8\times 10^{2}\,{\mathrm{m} }. \]

Plausibilità. In \(2.6\,{\mathrm{s} }\) il suono in aria percorre circa \(880\,{\mathrm{m} }\), in acqua lo stesso tratto in \(0.6\,{\mathrm{s} }\): la differenza è proprio \(2\,{\mathrm{s} }\).

Esempio 27.3 — Velocità massima su un cavo d’acciaio

Un cavo d’acciaio sopporta al massimo una tensione per unità di sezione \(\sigma = 7\times 10^{8}\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} ^{2} }\); la densità dell’acciaio è \(\rho = 7800\,{\mathrm{kg} / \mathrm{m} ^{3} }\). Qual è la massima velocità di un’onda trasversale sul cavo?

Soluzione

Algebra. Per un cavo di sezione \(S\), la tensione è \(F = \sigma S\) e la massa per unità di lunghezza è \(\mu = \rho S\). Quindi

\[ v = \sqrt {\frac {F}{\mu }} = \sqrt {\frac {\sigma S}{\rho S}} = \sqrt {\frac {\sigma }{\rho }}. \]

La sezione si semplifica: il risultato vale per qualunque cavo di quel materiale.

Numeri.

\[ v_{\max } = \sqrt {\frac {7\times 10^{8}\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} ^{2} }}{7800\,{\mathrm{kg} / \mathrm{m} ^{3} }}} = \sqrt {9.0\times 10^{4}\,{\mathrm{m} ^{2} / \mathrm{s} ^{2} }} \approx 3.0\times 10^{2}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }. \]

Plausibilità. Le unità tornano: \({\mathrm{N} / \mathrm{m} ^{2} }\) diviso \({\mathrm{kg} / \mathrm{m} ^{3} }\) dà \({\mathrm{m} ^{2} / \mathrm{s} ^{2} }\). Un valore vicino alla velocità del suono in aria, molto minore della velocità del suono dentro l’acciaio (onda longitudinale, altro fenomeno).

Esempio 27.4 — Quante oscillazioni in una lastra di vetro

Luce verde di frequenza \(f = 6.0\times 10^{14}\,{\mathrm{Hz} }\) attraversa perpendicolarmente una lastra di vetro (\(n = 1.4\)) spessa \(d = 3.0\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\). Quante oscillazioni compie l’onda dentro la lastra?

Soluzione

Algebra. Nel vetro la lunghezza d’onda è \(\lambda _n = c /(n f)\); il numero di oscillazioni è il numero di lunghezze d’onda contenute nello spessore: \(N = d/\lambda _n = n f d/c \).

Numeri.

\[ \lambda _n = \frac {3.00\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{1.4\cdot 6.0\times 10^{14}\,{\mathrm{Hz} }} = 3.57\times 10^{-7}\,{\mathrm{m} },\qquad N = \frac {3.0\times 10^{-3}\,{\mathrm{m} }}{3.57\times 10^{-7}\,{\mathrm{m} }} \approx 8400. \]

Plausibilità. Nel vuoto \(\lambda _0 = 500\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\) (verde, giusto); nel vetro è più corta e le oscillazioni sono di più (\(N\) cresce con \(n\)).

27.1.4 Domande di teoria con risposta

Perché il suono non si propaga nel vuoto? Perché è l’oscillazione di un mezzo materiale: dove non c’è materia non c’è nulla che possa oscillare. La luce invece si propaga nel vuoto perché a oscillare sono i campi elettrico e magnetico.
Che cosa determina il colore della luce e l’altezza di un suono? La frequenza. La luminosità e il volume? L’intensità, legata al quadrato dell’ampiezza.
Che differenza c’è fra luce visibile, raggi X e onde radio? Nessuna di natura: sono tutte onde elettromagnetiche, con la stessa velocità nel vuoto. Differiscono per frequenza (e quindi per lunghezza d’onda ed energia trasportata per fotone): onde radio da metri a chilometri, luce visibile intorno a \(500\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\), raggi X sotto il nanometro.
Perché d’estate conviene il bianco? Il bianco diffonde quasi tutta la luce visibile che riceve, il nero la assorbe e la trasforma in energia interna.

27.2 Intensità, attenuazione, polarizzazione

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27.2.1 Intensità di un’onda

Definizione 27.2 — Intensità

L’intensità \(I\) di un’onda è la potenza che attraversa l’unità di superficie disposta perpendicolarmente alla direzione di propagazione:

\[ I = \frac {P}{S} = \frac {E}{S\,\Delta t}, \qquad [I] = {\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }. \]

L’intensità è proporzionale al quadrato dell’ampiezza: \(I \propto A^2\). Raddoppiare l’ampiezza quadruplica l’intensità.

Il caso più importante è la sorgente puntiforme isotropa, che emette la potenza \(P\) allo stesso modo in tutte le direzioni. A distanza \(r\) l’energia si è distribuita su una sfera di area \(4\pi r^2\), perciò

\[ I(r) = \frac {P}{4\pi r^2} \qquad \Longrightarrow \qquad \frac {I_2}{I_1} = \left (\frac {r_1}{r_2}\right )^{2} \]

Procedura — Metodo: problemi sull’intensità

1.: Individua se la sorgente è isotropa (sfera, \(4\pi r^2\)) o emette in un semispazio o in un cono (allora l’area è diversa: emisfero \(2\pi r^2\), oppure la sezione del fascio).
2.: Per una sola sorgente e due distanze non serve la potenza: usa \(I_2 = I_1 (r_1/r_2)^2\).
3.: Più sorgenti incoerenti (altoparlanti, sirene): le intensità si sommano, \(I_{\text {tot}} = \sum _k P_k/(4\pi r_k^2)\).
4.: Un’eco è un’onda che ha percorso la strada sorgente–parete–osservatore: la distanza da usare è quell’intero percorso.
5.: Se la sorgente si muove, calcola la nuova distanza con la cinematica e poi riapplica la formula.

Esempio 27.5 — Energia sul soffitto

Una lampadina da \(P = 100\,{\mathrm{W} }\) emette in modo isotropo al centro di una stanza cubica di lato \(L = 7\,{\mathrm{m} }\). Quanta energia arriva sul soffitto in \(\Delta t = 10\,{\mathrm{min} }\)? Come cambierebbe in una stanza più grande?

Soluzione

Algebra. La lampadina è al centro del cubo: il soffitto è una delle sei facce e, per simmetria, riceve un sesto della potenza emessa, qualunque sia il lato. Quindi \(E = P\,\Delta t/6\).

Numeri.

\[ E = \frac {100\,{\mathrm{W} }\cdot 600\,{\mathrm{s} }}{6} = 1.0\times 10^{4}\,{\mathrm{J} } = 10\,{\mathrm{k} \mathrm{J} }. \]

Plausibilità. In una stanza più grande l’intensità sul soffitto diminuisce (\(1/r^2\)) ma l’area del soffitto cresce (\(r^2\)): l’energia raccolta non cambia. Il lato \(L\) infatti non compare nel risultato.

Esempio 27.6 — Intensità diretta ed eco

Un altoparlante è percepito da Andrea, a \(r_A = 20\,{\mathrm{m} }\), con intensità \(I_A = 120\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\). (a) Con quale intensità lo sente chi sta a \(30\,{\mathrm{m} }\)? (b) Dietro Andrea c’è un muro a \(40\,{\mathrm{m} }\) dalla sorgente: con quale intensità Andrea sente l’eco?

Soluzione

Algebra. In entrambi i casi la sorgente è la stessa: \(I_2 = I_A\,(r_A/r_2)^2\). Per l’eco il percorso è sorgente–muro–Andrea: \(r_2 = 40\,{\mathrm{m} } + (40\,{\mathrm{m} }-20\,{\mathrm{m} }) = 60\,{\mathrm{m} }\) (si suppone che il muro rifletta tutto).

Numeri.

\[ \text {(a)}\; I = 120\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\left (\frac {20}{30}\right )^{2} \approx 53\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} };\qquad \text {(b)}\; I_{\text {eco}} = 120\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\left (\frac {20}{60}\right )^{2} \approx 13\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }. \]

Plausibilità. Distanza tripla, intensità nove volte minore: l’eco è molto più debole del suono diretto, come nell’esperienza.

Esempio 27.7 — Due altoparlanti

Agli estremi di un corridoio lungo \(L = 100\,{\mathrm{m} }\) ci sono due altoparlanti da \(P = 1000\,{\mathrm{W} }\) ciascuno. Una persona parte dal centro e si sposta di \(d = 10\,{\mathrm{m} }\) verso uno dei due. Quale intensità percepisce?

Soluzione

Algebra. Le due sorgenti sono incoerenti: le intensità si sommano. Le distanze sono \(r_1 = L/2 - d\) e \(r_2 = L/2 + d\):

\[ I = \frac {P}{4\pi }\left (\frac {1}{r_1^2}+\frac {1}{r_2^2}\right ). \]

Numeri. \(r_1 = 40\,{\mathrm{m} }\), \(r_2 = 60\,{\mathrm{m} }\):

\[ I = \frac {1000\,{\mathrm{W} }}{4\pi }\left (\frac {1}{1600\,{\mathrm{m} ^{2} }}+\frac {1}{3600\,{\mathrm{m} ^{2} }}\right ) = 79.6\,{\mathrm{W} }\cdot 9.03\times 10^{-4}\,{/ \mathrm{m} ^{2} } \approx 72\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }. \]

Plausibilità. Al centro (\(r_1 = r_2 = 50\,{\mathrm{m} }\)) sarebbe \(2\cdot 1000\,{\mathrm{W} }/(4\pi \cdot 2500\,{\mathrm{m} ^{2} }) = 64\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\): avvicinandosi a un altoparlante l’intensità cresce un po’, perché il guadagno su quello vicino supera la perdita su quello lontano.

Esempio 27.8 — Sorgente in avvicinamento

Un’ambulanza, a \(r_1 = 200\,{\mathrm{m} }\) da una persona, le si avvicina a \(v = 15\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). L’intensità percepita è \(I_1 = 0.50\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\). Quale sarà dopo \(\Delta t = 4.0\,{\mathrm{s} }\)?

Soluzione

Algebra. Nuova distanza \(r_2 = r_1 - v\,\Delta t\), poi \(I_2 = I_1 (r_1/r_2)^2\).

Numeri. \(r_2 = 200\,{\mathrm{m} } - 15\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\cdot 4.0\,{\mathrm{s} } = 140\,{\mathrm{m} }\);

\[ I_2 = 0.50\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\left (\frac {200}{140}\right )^{2} \approx 1.0\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }. \]

Plausibilità. La distanza è scesa al \(70\%\), l’intensità è salita di un fattore \(1/0.7^2 \approx 2\). Coerente.

27.2.2 Il livello sonoro in decibel

L’orecchio percepisce intensità che vanno da \(I_0 = 1\times 10^{-12}\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\) (soglia di udibilità) a circa \(1\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\) (soglia del dolore): dodici ordini di grandezza. Per questo si usa una scala logaritmica.

Definizione 27.3 — Livello di intensità sonora

Il livello sonoro \(\beta \), in decibel (\({\mathrm{dB} }\)), è

\[ \beta = 10\,\log _{10}\frac {I}{I_0}, \qquad I_0 = 1\times 10^{-12}\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }. \]

Regole pratiche: moltiplicare l’intensità per \(10\) aggiunge \(10\,{\mathrm{dB} }\); raddoppiarla aggiunge circa \(3\,{\mathrm{dB} }\); \(n\) sorgenti uguali danno \(\beta _n = \beta _1 + 10\log _{10} n\).

Esempio 27.9 — Dieci amplificatori

Un amplificatore produce, in un certo punto, un livello di \(10\,{\mathrm{dB} }\). (a) Quale livello danno dieci amplificatori uguali? (b) Quanti ne servono per arrivare a \(20\,{\mathrm{dB} }\)?

Soluzione

Algebra. Le intensità si sommano: \(I_n = n I_1\), quindi \(\beta _n = 10\log _{10}(nI_1/I_0) = \beta _1 + 10\log _{10} n\).

Numeri. (a) \(\beta _{10} = 10\,{\mathrm{dB} } + 10\log _{10}10 = 20\,{\mathrm{dB} }\). (b) Serve \(10\log _{10} n = 10\,{\mathrm{dB} }\), cioè \(n = 10\): le due domande sono la stessa domanda.

Plausibilità. Dieci volte l’intensità, dieci decibel in più. Per i decibel non vale la somma: due amplificatori da \(10\,{\mathrm{dB} }\) non fanno \(20\,{\mathrm{dB} }\) ma \(13\,{\mathrm{dB} }\).

27.2.3 Attenuazione

Quando un’onda attraversa un mezzo che assorbe (acqua torbida, vetro, fibra ottica, aria per gli ultrasuoni), a ogni tratto percorso perde la stessa frazione di intensità. Il risultato è una legge esponenziale.

\[ I(x) = I_0\,e^{-\alpha x} \]

Unità SI: \([\alpha ]={/ \mathrm{m} }\) (coefficiente di attenuazione); \(x\) è lo spessore attraversato.

Per ricavare \(\alpha \) o \(x\) si passa al logaritmo: \(\alpha x = \ln (I_0/I)\). Se il problema parla di ampiezza, ricorda che \(I \propto A^2\): l’ampiezza decade come \(e^{-\alpha x/2}\). Per una sorgente isotropa in un mezzo assorbente si combinano i due effetti: \(I(r) = \dfrac {P}{4\pi r^2}\,e^{-\alpha r}\).

Esempio 27.10 — Guida di luce

Un laser percorre una guida di luce lunga \(L = 20\,{\mathrm{m} }\). Quanto può valere al massimo il coefficiente di attenuazione perché l’intensità non cali più del \(20\%\)?

Soluzione

Algebra. Si chiede \(I(L)/I_0 \ge 0.80\), cioè \(e^{-\alpha L} \ge 0.80\), da cui \(\alpha \le -\ln (0.80)/L = \ln (1.25)/L\).

Numeri.

\[ \alpha _{\max } = \frac {\ln 1.25}{20\,{\mathrm{m} }} = \frac {0.223}{20\,{\mathrm{m} }} \approx 1.1\times 10^{-2}\,{/ \mathrm{m} }. \]

Plausibilità. In \(20\,{\mathrm{m} }\) il prodotto \(\alpha L = 0.22\) è piccolo: perdita piccola, come richiesto.

27.2.4 Polarizzazione

In un’onda trasversale l’oscillazione avviene in un piano che contiene la direzione di propagazione. Se questo piano è fisso l’onda è polarizzata linearmente; la luce di una lampadina o del Sole è non polarizzata: il piano di oscillazione cambia a caso, rapidissimamente. Un polarizzatore (filtro polaroid) lascia passare solo la componente dell’oscillazione parallela al proprio asse.

Legge 27.1 — Legge di Malus

Se luce polarizzata di intensità \(I_1\) incide su un polarizzatore il cui asse forma l’angolo \(\theta \) con il piano di polarizzazione, l’intensità trasmessa è

\[ I_2 = I_1\cos ^2\theta . \]

Se la luce incidente è non polarizzata, il primo polarizzatore ne trasmette metà, \(I_1 = I_0/2\), e la luce uscente è polarizzata lungo il suo asse.

Esempio 27.11 — Tre polarizzatori

Un fascio non polarizzato di intensità \(I_0 = 10\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\) attraversa tre polarizzatori. (a) Ogni filtro è ruotato di \(30\,{^\circ }\) rispetto al precedente. (b) Il secondo è a \(30\,{^\circ }\) dal primo e il terzo è perpendicolare al primo. Calcolare l’intensità in uscita nei due casi.

Soluzione

Algebra. \(I_1 = I_0/2\); poi \(I_2 = I_1\cos ^2\theta _{12}\) e \(I_3 = I_2\cos ^2\theta _{23}\), dove ogni angolo è misurato rispetto al filtro precedente. Nel caso (b) \(\theta _{23} = 90\,{^\circ }-30\,{^\circ } = 60\,{^\circ }\).

Numeri.

\[ \text {(a)}\; I_3 = 5.0\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\cdot \cos ^230\,{^\circ }\cdot \cos ^230\,{^\circ } = 5.0\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\cdot 0.75\cdot 0.75 \approx 2.8\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }; \]

\[ \text {(b)}\; I_3 = 5.0\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\cdot \cos ^230\,{^\circ }\cdot \cos ^260\,{^\circ } = 5.0\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\cdot 0.75\cdot 0.25 \approx 0.94\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }. \]

Plausibilità. Nel caso (b), togliendo il secondo filtro l’uscita sarebbe zero (filtri incrociati): un filtro in più fa passare più luce. È il paradosso classico dei tre polarizzatori.

Approfondimento — Rotazione del piano di polarizzazione

Alcune sostanze (soluzioni di zucchero, quarzo) sono otticamente attive: ruotano il piano di polarizzazione della luce che le attraversa senza assorbirla. Per una soluzione di saccarosio vale la legge di Biot, \(\Delta \theta = k\,x\,c\), con \(x\) spessore attraversato, \(c\) concentrazione e \(k\) costante del materiale. Fra due polarizzatori paralleli la soluzione fa quindi uscire \(I = \tfrac {I_0}{2}\cos ^2(\Delta \theta )\): misurando l’intensità si risale alla concentrazione (è il principio del saccarimetro).

27.2.5 Domande di teoria con risposta

Perché la voce di chi si allontana si sente più debole? L’energia emessa si distribuisce su sfere sempre più grandi: l’intensità cala come \(1/r^2\).
Per proteggere gli occhi da una sorgente troppo intensa conviene un filtro polarizzante o allontanarsi da \(1\,{\mathrm{m} }\) a \(3\,{\mathrm{m} }\)? Il filtro dimezza l’intensità (luce non polarizzata); triplicare la distanza la riduce di nove volte. Meglio allontanarsi.

27.3 Riflessione e rifrazione

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Quando un’onda incontra la superficie di separazione fra due mezzi, in generale si divide in due: una parte torna indietro (onda riflessa) e una parte prosegue nel secondo mezzo cambiando direzione (onda rifratta). Vale per il suono, per le onde sull’acqua e per la luce, che qui descriviamo con i raggi, cioè le linee lungo cui l’onda si propaga.

27.3.1 Riflessione ed eco

Legge 27.2 — Leggi della riflessione

Il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie nel punto di incidenza giacciono nello stesso piano, e l’angolo di riflessione è uguale all’angolo di incidenza: \(\hat {r}' = \hat {i}\) (entrambi misurati dalla normale).

Su una superficie liscia (specchio, acqua ferma) i raggi paralleli restano paralleli dopo la riflessione: è la riflessione speculare, che forma immagini. Su una superficie scabra (muro, foglio di carta) ogni punto riflette in una direzione diversa: è la diffusione. Vediamo gli oggetti perché diffondono verso i nostri occhi la luce che ricevono; il punto di un laser su un muro lo vedono tutti nella stanza proprio perché il muro diffonde.

L’eco è il suono riflesso da una parete. Se l’eco torna dopo \(\Delta t\), il suono ha fatto andata e ritorno:

\[ d = \frac {v\,\Delta t}{2} \]

Esempio 27.12 — Eco e sonar

(a) L’eco di un urlo torna dopo \(\Delta t = 0.20\,{\mathrm{s} }\); il suono in aria viaggia a \(v = 344\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Quanto dista la parete? (b) Una nave riceve l’eco del sonar dal fondale dopo \(1.2\,{\mathrm{s} }\); in acqua \(v = 1400\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Quanto è profondo il fondale?

Soluzione

Algebra. In entrambi i casi \(d = v\,\Delta t/2\).

Numeri. (a) \(d = 344\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\cdot 0.20\,{\mathrm{s} }/2 = 34\,{\mathrm{m} }\). (b) \(d = 1400\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\cdot 1.2\,{\mathrm{s} }/2 = 840\,{\mathrm{m} }\).

Plausibilità. L’errore classico è dimenticare il \(2\): il suono percorre la distanza due volte.

27.3.2 Rifrazione e legge di Snell

Definizione 27.4 — Indice di rifrazione

L’indice di rifrazione di un mezzo trasparente è il rapporto fra la velocità della luce nel vuoto e nel mezzo: \(n = c /v \ge 1\). Valori tipici: aria \(1.0003 \approx 1\), acqua \(1.33\), vetro \(1.4\div 1.6\), diamante \(2.42\).

Legge 27.3 — Legge di Snell

Il raggio rifratto giace nel piano di incidenza e gli angoli con la normale soddisfano \(n_1\sin \hat {i} = n_2\sin \hat {r}\). Passando a un mezzo più denso (\(n_2 > n_1\)) il raggio si avvicina alla normale; passando a un mezzo meno denso se ne allontana. Un raggio perpendicolare alla superficie (\(\hat {i} = 0\)) non devia.

\[ n_1\sin \hat {i} = n_2\sin \hat {r} \]

Il prodotto \(n\sin \theta \) si conserva a ogni superficie. Quindi in una pila di strati paralleli (aria, olio, acqua…) vale \(n_1\sin \theta _1 = n_2\sin \theta _2 = n_3\sin \theta _3 = \dots \): l’angolo in uno strato dipende solo dall’angolo iniziale e dall’indice di quello strato, non dagli strati intermedi.

27.3.3 Riflessione totale

Se la luce va da un mezzo più denso a uno meno denso (\(n_1 > n_2\)), il raggio rifratto si allontana dalla normale e, aumentando \(\hat {i}\), arriva a radere la superficie (\(\hat {r} = 90\,{^\circ }\)). L’angolo di incidenza per cui succede è l’angolo limite; oltre, la luce viene tutta riflessa.

\[ \sin \hat {i}_{L} = \frac {n_2}{n_1} \qquad (n_1 > n_2) \]

La riflessione totale non può avvenire passando a un mezzo più denso: in quel caso \(\sin \hat {r} = (n_1/n_2)\sin \hat {i} < 1\) per ogni \(\hat {i}\) e il raggio entra sempre. Applicazioni: fibre ottiche, prismi a riflessione totale nei binocoli, il cerchio di luce visto da un subacqueo.

27.3.4 Lastra a facce parallele, strati e prisma

Lastra a facce parallele di spessore \(d\): il raggio esce parallelo a come è entrato, ma traslato di
\[ \Delta x = d\,\frac {\sin (\hat {i}-\hat {r})}{\cos \hat {r}} . \]
Strati sovrapposti: lo spostamento orizzontale sul fondo è la somma \(\sum _k h_k\tan \hat {r}_k\), con ogni \(\hat {r}_k\) dato da \(n_k\sin \hat {r}_k = n_1\sin \hat {i}\).
Prisma di angolo al vertice \(\alpha \) con incidenza normale sulla prima faccia: il raggio non devia all’ingresso, incontra la seconda faccia con angolo \(\alpha \) ed esce con \(\sin \hat {r} = n\sin \alpha \); la deviazione totale è \(\delta = \hat {r} - \alpha \).

Procedura — Metodo: problemi di rifrazione

1.: Disegna la superficie, la normale nel punto di incidenza e i raggi. Gli angoli di Snell si misurano dalla normale, mai dalla superficie: se il testo dà l’angolo con la superficie, usa il complementare.
2.: Scrivi \(n_1\sin \hat {i} = n_2\sin \hat {r}\) per ogni superficie attraversata; per più strati paralleli usa direttamente \(n_k\sin \hat {r}_k = n_1\sin \hat {i}\).
3.: Se \(n_1 > n_2\) controlla prima l’angolo limite: se \(\hat {i} > \hat {i}_L\) non c’è raggio rifratto.
4.: Le distanze sul fondo o sulle pareti si trovano con la trigonometria del triangolo rettangolo: cateto \(= h\tan \theta \).

Esempio 27.13 — Dall’aria all’acqua e angolo limite

(a) Un raggio passa dall’aria (\(n \approx 1.00\)) all’acqua (\(n = 1.33\)) con \(\hat {i} = 45\,{^\circ }\): trovare \(\hat {r}\). (b) Un raggio incide dall’aria sulla paraffina con \(\hat {i} = 30\,{^\circ }\) e viene rifratto a \(\hat {r} = 20\,{^\circ }\): trovare \(n\). (c) Calcolare l’angolo limite per il passaggio acqua–aria.

Soluzione

Algebra. (a) \(\sin \hat {r} = (n_1/n_2)\sin \hat {i}\). (b) \(n = \sin \hat {i}/\sin \hat {r}\). (c) \(\sin \hat {i}_L = n_{\text {aria}}/n_{\text {acqua}}\).

Numeri.

\begin{align*} \text {(a)}\quad &\sin \hat {r} = \frac {\sin 45\,{^\circ }}{1.33} = 0.532 \;\Rightarrow \; \hat {r} \approx 32\,{^\circ };\\ \text {(b)}\quad & n = \frac {\sin 30\,{^\circ }}{\sin 20\,{^\circ }} = \frac {0.500}{0.342} \approx 1.46;\\ \text {(c)}\quad &\sin \hat {i}_L = \frac {1}{1.33} \;\Rightarrow \; \hat {i}_L \approx 49\,{^\circ }. \end{align*}

Plausibilità. In (a) il raggio si avvicina alla normale (\(32^\circ < 45^\circ \)). In (b) la paraffina ha un indice da materiale trasparente ordinario. In (c) un subacqueo vede il cielo in un cono di semiapertura \(49\,{^\circ }\), e fuori da quel cono vede il fondo riflesso.

Esempio 27.14 — Quarzo immerso in acqua

Un cristallo di quarzo (\(n_2 = 1.55\)) è immerso in acqua (\(n_1 = 1.33\)). Un raggio incide sulla sua faccia con \(\hat {i} = 39\,{^\circ }\). Trovare (a) l’angolo di rifrazione e di quanto il raggio devia, (b) l’angolo fra raggio riflesso e raggio rifratto. (c) Perché si può essere certi che il raggio entra nel quarzo qualunque sia \(\hat {i}\)?

Soluzione

Algebra. (a) \(\sin \hat {r} = (n_1/n_2)\sin \hat {i}\); deviazione \(\delta = \hat {i} - \hat {r}\). (b) Il riflesso forma \(\hat {i}\) con la normale da un lato, il rifratto forma \(\hat {r}\) con il prolungamento della normale dall’altro: l’angolo fra i due è \(180\,{^\circ } - \hat {i} - \hat {r}\). (c) Da meno denso a più denso \(\sin \hat {r} = (n_1/n_2)\sin \hat {i} \le n_1/n_2 < 1\): esiste sempre un \(\hat {r}\).

Numeri.

\[ \sin \hat {r} = \frac {1.33}{1.55}\sin 39\,{^\circ } = 0.540 \Rightarrow \hat {r} \approx 32.7\,{^\circ },\quad \delta \approx 6.3\,{^\circ },\quad \text {(b)}\;180\,{^\circ } - 39\,{^\circ } - 32.7\,{^\circ } \approx 108\,{^\circ }. \]

Plausibilità. Gli indici sono vicini (\(1.33\) contro \(1.55\)), quindi la deviazione è piccola: quarzo in acqua si vede poco, come un bicchiere di vetro immerso nell’acqua.

Esempio 27.15 — Lastra di vetro: traslazione del raggio

Un laser incide con \(\hat {i} = 30\,{^\circ }\) su una lastra di vetro (\(n = 1.4\)) spessa \(d = 3.0\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\) e immersa in aria. Di quanto esce traslato?

Soluzione

Algebra. \(\sin \hat {r} = \sin \hat {i}/n\); dalla geometria della figura 27.6, il raggio percorre nel vetro il tratto \(d/\cos \hat {r}\) e la traslazione, misurata perpendicolarmente al raggio, è \(\Delta x = \dfrac {d}{\cos \hat {r}}\sin (\hat {i}-\hat {r})\).

Numeri. \(\sin \hat {r} = 0.500/1.4 = 0.357 \Rightarrow \hat {r} = 20.9\,{^\circ }\);

\[ \Delta x = \frac {3.0\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }}{\cos 20.9\,{^\circ }}\,\sin (30\,{^\circ }-20.9\,{^\circ }) = \frac {3.0\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }}{0.934}\cdot 0.158 \approx 0.51\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }. \]

Plausibilità. La traslazione è una frazione dello spessore e si annulla per \(\hat {i} = 0\): coerente.

Esempio 27.16 — Due strati: olio sopra acqua

In un contenitore ci sono \(h_1 = 5.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) di acqua (\(n = 1.33\)) e sopra \(h_2 = 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) di olio (\(n = 1.47\)). Un laser incide dall’aria sulla superficie dell’olio con \(\hat {i} = 30\,{^\circ }\), lungo l’asse del contenitore. A quale distanza dall’asse colpisce il fondo?

Soluzione

Algebra. Per gli strati paralleli \(n_{\text {olio}}\sin \hat {r}_o = n_{\text {acqua}}\sin \hat {r}_w = \sin \hat {i}\). Lo spostamento totale è \(x = h_2\tan \hat {r}_o + h_1\tan \hat {r}_w\).

Numeri. \(\sin \hat {r}_o = 0.500/1.47 = 0.340 \Rightarrow \hat {r}_o = 19.9\,{^\circ }\); \(\sin \hat {r}_w = 0.500/1.33 = 0.376 \Rightarrow \hat {r}_w = 22.1\,{^\circ }\);

\[ x = 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\cdot \tan 19.9\,{^\circ } + 5.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\cdot \tan 22.1\,{^\circ } = 3.6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } + 2.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } \approx 5.6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }. \]

Plausibilità. Senza liquidi il raggio arriverebbe a \(15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\cdot \tan 30\,{^\circ } = 8.7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\): i liquidi, avvicinando il raggio alla normale, riducono lo spostamento.

Esempio 27.17 — Dispersione: rosso e blu sul fondo

Luce bianca incide dall’aria con \(\hat {i} = 30\,{^\circ }\) sull’acqua di una vasca profonda \(h = 2.0\,{\mathrm{m} }\). Con \(n_{\text {rosso}} = 1.331\) e \(n_{\text {blu}} = 1.343\), a che distanza cadono i due colori sul fondo?

Soluzione

Algebra. Per ciascun colore \(\sin \hat {r} = \sin \hat {i}/n\) e la posizione sul fondo è \(x = h\tan \hat {r}\). La separazione è \(\Delta x = h(\tan \hat {r}_{\text {rosso}} - \tan \hat {r}_{\text {blu}})\).

Numeri. \(\hat {r}_{\text {rosso}} = \arcsin (0.500/1.331) = 22.07\,{^\circ }\), \(\hat {r}_{\text {blu}} = \arcsin (0.500/1.343) = 21.86\,{^\circ }\);

\[ \Delta x = 2.0\,{\mathrm{m} }\,(0.4054 - 0.4011) \approx 8.4\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }. \]

Plausibilità. Il blu ha indice maggiore, si avvicina di più alla normale e cade più vicino alla verticale. Pochi millimetri su due metri: la dispersione è un effetto piccolo, che diventa visibile solo con cammini lunghi o con un prisma.

Esempio 27.18 — Cerchio di luce in piscina

Una sorgente puntiforme sta sul fondo di una piscina profonda \(h = 2.0\,{\mathrm{m} }\). Qual è l’area della zona illuminata sulla superficie, vista da fuori?

Soluzione

Algebra. Esce dall’acqua solo la luce che arriva in superficie con \(\hat {i} < \hat {i}_L\), con \(\sin \hat {i}_L = 1/n\). Dalla figura 27.5 il cerchio ha raggio \(R = h\tan \hat {i}_L\) e area \(A = \pi R^2\).

Numeri. \(\hat {i}_L = \arcsin (1/1.33) = 48.8\,{^\circ }\), \(R = 2.0\,{\mathrm{m} }\cdot 1.140 = 2.28\,{\mathrm{m} }\),

\[ A = \pi \,(2.28\,{\mathrm{m} })^2 \approx 16\,{\mathrm{m} ^{2} }. \]

Plausibilità. Fuori dal cerchio la superficie, vista dal basso, fa da specchio: è il fenomeno che un subacqueo osserva guardando in su.

Esempio 27.19 — Prisma

Un raggio incide perpendicolarmente sulla prima faccia di un prisma di vetro (\(n = 1.5\)) con angolo al vertice \(\alpha = 30\,{^\circ }\). Di quanto viene deviato?

Soluzione

Algebra. All’ingresso non devia. Per la geometria del prisma incontra la seconda faccia con angolo di incidenza \(\alpha \); esce con \(\sin \hat {r} = n\sin \alpha \) e la deviazione è \(\delta = \hat {r} - \alpha \).

Numeri. \(\sin \hat {r} = 1.5\cdot 0.500 = 0.750 \Rightarrow \hat {r} = 48.6\,{^\circ }\), quindi \(\delta \approx 19\,{^\circ }\).

Plausibilità. Se fosse \(n\sin \alpha \ge 1\) (per esempio \(\alpha \ge 41.8\,{^\circ }\) con \(n = 1.5\)) il raggio subirebbe riflessione totale sulla seconda faccia: è il principio dei prismi a \(45\,{^\circ }\) dei binocoli.

Approfondimento — Misurare \(n\) come Tolomeo

Intorno al 150 d.C. Tolomeo misurò coppie di angoli \((\hat {i},\hat {r})\) per il passaggio aria–acqua: \((10^\circ , 8^\circ )\), \((20^\circ , 15.5^\circ )\), \((30^\circ , 22.5^\circ )\), \((40^\circ , 29^\circ )\), \((50^\circ , 35^\circ )\), \((60^\circ , 40.5^\circ )\), \((70^\circ , 45.5^\circ )\), \((80^\circ , 50^\circ )\). Calcolando \(n = \sin \hat {i}/\sin \hat {r}\) per ogni coppia si ottengono valori fra \(1.25\) e \(1.34\); la media è \(1.30\) e la semidispersione \(0.04\), quindi \(n = 1.30 \pm 0.04\), con errore relativo del \(3\%\). Il valore moderno, \(1.33\), cade nell’intervallo. È un buon esempio di come si tratta una misura ripetuta: media come valore, semidispersione massima come incertezza.

27.3.5 Domande di teoria con risposta

Che cosa succede quando un’onda passa da un mezzo a un altro? Si divide in un’onda riflessa (stesso angolo, stesso mezzo) e in un’onda rifratta (angolo diverso, nuovo mezzo). La frequenza non cambia; cambiano velocità e lunghezza d’onda. Casi particolari: incidenza normale (nessuna deviazione), angolo limite e riflessione totale.
Perché non vediamo gli oggetti dietro un muro? Vedere significa ricevere negli occhi la luce diffusa dall’oggetto; il muro la blocca. Al buio non c’è luce da diffondere.
Riflessione o diffusione? Lo specchio riflette in modo speculare e conserva l’immagine; il muro diffonde in tutte le direzioni e per questo il punto del laser si vede da ogni posizione.
Una lampadina è sul fondo sotto uno strato d’acqua e uno d’olio: quale inclinazione impedisce alla luce di uscire nell’aria? Conta solo il confine con l’aria: la luce non esce se \(n_{\text {acqua}}\sin \theta \ge 1\), cioè \(\theta \ge 48.8\,{^\circ }\) rispetto alla verticale. Lo strato d’olio non cambia il risultato perché \(n\sin \theta \) si conserva attraverso gli strati.

27.4 Lenti sottili

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

27.4.1 Lenti convergenti e divergenti

Definizione 27.5 — Lente sottile, fuoco, distanza focale

Una lente sottile è un corpo trasparente limitato da due superfici sferiche, di spessore trascurabile rispetto ai raggi di curvatura. Una lente convergente (più spessa al centro) fa convergere in un punto, il fuoco \(F\), i raggi che arrivano paralleli all’asse ottico; una lente divergente (più sottile al centro) li fa divergere come se provenissero da un fuoco virtuale posto dal lato di arrivo. La distanza focale \(f\) è la distanza fuoco–lente: positiva per le convergenti, negativa per le divergenti.

27.4.2 Costruzione delle immagini

Procedura — Tre raggi notevoli

Dalla punta dell’oggetto si tracciano:

1.: il raggio parallelo all’asse, che dopo la lente passa per il fuoco \(F'\) (convergente) o sembra provenire dal fuoco \(F\) dal lato dell’oggetto (divergente);
2.: il raggio per il centro ottico, che prosegue dritto;
3.: il raggio che passa per il fuoco dal lato dell’oggetto (o punta al fuoco dall’altro lato, per la divergente), che esce parallelo all’asse.

Dove si incontrano i raggi (o i loro prolungamenti) c’è la punta dell’immagine. Se si incontrano i raggi veri l’immagine è reale (si raccoglie su uno schermo); se si incontrano i prolungamenti è virtuale.

27.4.3 Equazione dei punti coniugati e ingrandimento

Legge 27.4 — Equazione delle lenti sottili

Detta \(p\) la distanza dell’oggetto dalla lente e \(q\) quella dell’immagine, vale \(\dfrac {1}{p} + \dfrac {1}{q} = \dfrac {1}{f}\) e l’ingrandimento è \(G = \dfrac {h'}{h} = -\dfrac {q}{p}\), con la convenzione: \(p > 0\) per oggetto reale; \(q > 0\) immagine reale (dal lato opposto all’oggetto), \(q < 0\) immagine virtuale (dal lato dell’oggetto); \(f > 0\) convergente, \(f < 0\) divergente; \(G > 0\) immagine diritta, \(G < 0\) capovolta; \(|G| > 1\) ingrandita.

\[ \frac {1}{p} + \frac {1}{q} = \frac {1}{f}, \qquad G = \frac {h'}{h} = -\frac {q}{p} \]

Forme esplicite utili: \(q = \dfrac {p f}{p - f}\) e \(p = \dfrac {q f}{q - f}\).

Approfondimento — Da dove viene l’equazione

Nella figura 27.8 il raggio per il centro ottico individua due triangoli simili con vertice nel centro: \(\dfrac {|h'|}{h} = \dfrac {q}{p}\). Il raggio parallelo all’asse, dopo la lente, passa per \(F'\) e individua altri due triangoli simili con vertice in \(F'\): \(\dfrac {|h'|}{h} = \dfrac {q - f}{f}\). Uguagliando, \(\dfrac {q}{p} = \dfrac {q-f}{f}\), cioè \(qf = pq - pf\); dividendo per \(pqf\) si ottiene \(\dfrac {1}{p} = \dfrac {1}{f} - \dfrac {1}{q}\), che è l’equazione dei punti coniugati. Il segno meno nell’ingrandimento registra che l’immagine reale è capovolta.

Procedura — Metodo: problemi sulle lenti

1.: Scrivi i dati con il segno giusto (\(f < 0\) per la divergente).
2.: Ricava l’incognita dall’equazione dei punti coniugati; se l’incognita è \(p\) o \(q\) e conosci \(G\), usa \(q = -Gp\) e sostituisci.
3.: Leggi i segni del risultato: natura (reale/virtuale), verso (diritta/capovolta), dimensione.
4.: Con due lenti: l’immagine della prima è l’oggetto della seconda. La nuova \(p_2\) è la distanza fra quell’immagine e la seconda lente (negativa se l’immagine cade oltre la seconda lente); l’ingrandimento totale è \(G = G_1 G_2\).
5.: Fai sempre il disegno in scala con i raggi notevoli: deve confermare i segni.

Esempio 27.20 — Oggetto oltre il fuoco

Un oggetto è a \(p = 20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) da una lente convergente con \(f = 15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Dove si forma l’immagine e quanto vale l’ingrandimento?

Soluzione

Algebra. \(q = \dfrac {pf}{p-f}\), \(G = -\dfrac {q}{p}\).

Numeri.

\[ q = \frac {20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\cdot 15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }}{20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }-15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} = \frac {300\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }}{5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} = 60\,{\mathrm{c} \mathrm{m} },\qquad G = -\frac {60}{20} = -3. \]

Plausibilità. \(f < p < 2f\): l’immagine è reale (\(q > 0\)), capovolta (\(G < 0\)) e ingrandita tre volte, oltre \(2f\) dall’altra parte. È la configurazione del proiettore.

Esempio 27.21 — Immagine di dimensioni doppie

Una lente convergente ha \(f = 30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). A che distanza va posto un oggetto perché l’immagine sia grande il doppio, \(|G| = 2\)?

Soluzione

Algebra. Ci sono due casi. Immagine reale capovolta: \(G = -2\), \(q = 2p\), quindi \(\dfrac {1}{p} + \dfrac {1}{2p} = \dfrac {1}{f} \Rightarrow \dfrac {3}{2p} = \dfrac {1}{f} \Rightarrow p = \dfrac {3f}{2}\). Immagine virtuale diritta: \(G = +2\), \(q = -2p\), quindi \(\dfrac {1}{p} - \dfrac {1}{2p} = \dfrac {1}{f} \Rightarrow p = \dfrac {f}{2}\).

Numeri. \(p = 45\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) (immagine reale a \(q = 90\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)) oppure \(p = 15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) (immagine virtuale a \(q = -30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)).

Plausibilità. Nel primo caso \(f < p < 2f\), nel secondo \(p < f\): entrambi coerenti con le costruzioni grafiche. Quando un problema dà solo \(|G|\), le soluzioni sono due.

Esempio 27.22 — Lente divergente

Un oggetto è a \(p = 20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) da una lente divergente con \(f = -10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Trovare posizione e natura dell’immagine.

Soluzione

Algebra. \(\dfrac {1}{q} = \dfrac {1}{f} - \dfrac {1}{p}\).

Numeri.

\[ \frac {1}{q} = -\frac {1}{10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} - \frac {1}{20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} = -\frac {3}{20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} \Rightarrow q \approx -6.7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} },\qquad G = -\frac {q}{p} = +\frac {1}{3}. \]

Plausibilità. Virtuale, diritta, rimpicciolita, fra la lente e il fuoco: è l’unico comportamento possibile per una divergente con oggetto reale.

Esempio 27.23 — Sistema di due lenti

Su un banco ottico una lente divergente (\(f_1 = -2.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)) sta a sinistra e una convergente (\(f_2 = 3.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)) a destra, disposte in modo che il fuoco sinistro dell’una coincida con il fuoco sinistro dell’altra. Un oggetto è a \(p_1 = 3.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) a sinistra della divergente. Dove si forma l’immagine finale e quanto è ingrandita?

Soluzione

Geometria. Il fuoco sinistro della divergente è a \(2.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) alla sua sinistra; il fuoco sinistro della convergente è a \(3.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) alla sua sinistra. Perché coincidano, la convergente deve stare \(1.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) a destra della divergente.

Prima lente. \(\dfrac {1}{q_1} = \dfrac {1}{f_1} - \dfrac {1}{p_1} = -\dfrac {1}{2.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} - \dfrac {1}{3.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} = -\dfrac {5}{6.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} \Rightarrow q_1 = -1.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) (virtuale, a sinistra della divergente), \(G_1 = -q_1/p_1 = +0.40\).

Seconda lente. L’immagine \(1\) sta \(1.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) a sinistra della divergente, quindi \(p_2 = 1.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } + 1.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } = 2.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) (oggetto reale per la convergente). \(\dfrac {1}{q_2} = \dfrac {1}{3.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} - \dfrac {1}{2.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }} = -0.121\,{/ \mathrm{c} \mathrm{m} } \Rightarrow q_2 \approx -8.3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(G_2 = -q_2/p_2 \approx +3.75\).

Risultato. Immagine finale virtuale, \(8.3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) a sinistra della convergente (cioè \(7.3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) a sinistra della divergente), diritta, con \(G = G_1 G_2 \approx +1.5\).

Plausibilità. Per la seconda lente \(p_2 < f_2\): l’immagine deve essere virtuale e ingrandita, come trovato. Un disegno in scala con il righello conferma la posizione.

Esempio 27.24 — Intensità su uno schermo dietro una lente

Un’onda piana di intensità \(I_0 = 2.0\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\) attraversa una lente di raggio \(R\) e distanza focale \(f\). Uno schermo è a \(x = \tfrac {2}{3}f\) dalla lente. Quale intensità si misura sullo schermo (a) con una lente convergente, (b) con una divergente di uguale \(|f|\)?

Soluzione

Algebra. La potenza che attraversa la lente è \(P = I_0\pi R^2\) e si conserva. (a) Dopo la convergente i raggi formano un cono con vertice nel fuoco: a distanza \(x\) il cono ha raggio \(R' = R\,(1 - x/f)\). (b) Dopo la divergente i raggi sembrano uscire dal fuoco virtuale a distanza \(|f|\) prima della lente: \(R' = R\,(1 + x/|f|)\). In entrambi i casi \(I = P/(\pi R'^2) = I_0\,(R/R')^2\).

Numeri. (a) \(R' = R/3\), quindi \(I = 9 I_0 = 18\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\). (b) \(R' = \tfrac {5}{3}R\), quindi \(I = \tfrac {9}{25} I_0 = 0.72\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\).

Plausibilità. La convergente concentra (sullo schermo arriva la stessa potenza su un’area nove volte minore); la divergente allarga il fascio. Il raggio \(R\) della lente si semplifica.

27.4.4 Domande di teoria con risposta

Quali fenomeni fisici fanno funzionare lenti e specchi? La rifrazione per le lenti (due superfici curve deviano i raggi secondo Snell), la riflessione per gli specchi.
Un’immagine virtuale si può proiettare? No: nel punto dell’immagine non passano raggi reali, si vede solo guardando attraverso la lente. Si può però fotografare, perché l’occhio o l’obiettivo la ritrasformano in reale.
La divergente può dare un’immagine reale? Con un oggetto reale no. Sì se riceve raggi già convergenti (oggetto virtuale), per esempio in un sistema di due lenti.

27.5 Interferenza, diffrazione e onde stazionarie

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27.5.1 Sovrapposizione e differenza di cammino

Quando due onde si incontrano, gli spostamenti si sommano (principio di sovrapposizione). Se due sorgenti coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) raggiungono un punto percorrendo cammini diversi, il risultato dipende dalla differenza di cammino \(\Delta \ell = \ell _2 - \ell _1\):

\begin{align*} \Delta \ell &= m\,\lambda &&\Rightarrow \; \text {interferenza costruttiva (massimo)},\\ \Delta \ell &= \left (m + \tfrac {1}{2}\right )\lambda &&\Rightarrow \; \text {interferenza distruttiva (minimo)}, &&\quad m = 0,1,2,\dots \end{align*}

Nell’interferenza costruttiva le ampiezze si sommano (intensità fino a quattro volte quella di una sorgente); in quella distruttiva si sottraggono (zero, se le ampiezze sono uguali). Attenzione: per le sorgenti incoerenti del paragrafo 27.2 si sommano le intensità, non le ampiezze.

Esempio 27.25 — Tubo di Quincke e anfiteatro

(a) In un tubo di Quincke entra un suono a \(f = 500\,{\mathrm{Hz} }\) (\(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)) che si divide in due rami e si ricongiunge. Di quanto va allungato un ramo perché all’uscita il suono sia minimo? (b) In un anfiteatro i gradini sono larghi \(L = 75\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); il suono prodotto sul palco si riflette sui fronti verticali dei gradini e torna al palco. Per quali frequenze le riflessioni arrivano in fase?

Soluzione

Algebra. (a) Allungando un ramo di \(d\), il cammino di quel ramo cresce di \(2d\) (andata e ritorno nel tratto estratto). Primo minimo: \(2d = \lambda /2\), cioè \(d = \lambda /4\), con \(\lambda = v/f\). (b) Due gradini consecutivi distano \(L\) e il suono fa andata e ritorno: \(\Delta \ell = 2L\). Costruttiva se \(2L = m\lambda = m v/f\), cioè \(f_m = m\,v/(2L)\).

Numeri. (a) \(\lambda = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }/500\,{\mathrm{Hz} } = 0.68\,{\mathrm{m} }\), \(d = 17\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). (b) \(f_1 = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }/(2\cdot 0.75\,{\mathrm{m} }) \approx 227\,{\mathrm{Hz} }\) e i suoi multipli.

Plausibilità. In (a) un quarto di lunghezza d’onda in più su un ramo produce mezza lunghezza d’onda di differenza: opposizione di fase. In (b) la gradinata agisce come un reticolo acustico che rinforza certe frequenze e attenua le altre.

27.5.2 Lamine sottili

In una pellicola sottile (bolla di sapone, olio sull’acqua, rivestimenti) interferiscono il raggio riflesso dalla faccia superiore e quello riflesso dalla faccia inferiore. Per incidenza quasi normale la differenza di cammino è \(2d\) dentro la pellicola, dove la lunghezza d’onda è \(\lambda /n\). Inoltre la riflessione su un mezzo più denso inverte la fase (equivale a mezza lunghezza d’onda in più), quella su un mezzo meno denso no.

Pellicola in aria (sapone): una sola inversione (faccia superiore). Costruttiva in riflessione se \(2nd = (m+\tfrac 12)\lambda \); spessore minimo \(d_{\min } = \lambda /(4n)\).
Pellicola su un supporto più denso o su un metallo (ossido su alluminio): due inversioni, che si compensano. Costruttiva se \(2nd = m\lambda \); spessore minimo \(d_{\min } = \lambda /(2n)\).

Esempio 27.26 — Bolla di sapone color ciano

Una pellicola di sapone (\(n = 1.33\)) in aria, illuminata perpendicolarmente con luce bianca, appare ciano (\(\lambda = 490\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)) per interferenza costruttiva. Qual è lo spessore minimo?

Soluzione

Algebra. Una sola inversione di fase: \(2nd = (m+\tfrac 12)\lambda \), minimo per \(m = 0\): \(d = \lambda /(4n)\).

Numeri. \(d = 490\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }/(4\cdot 1.33) \approx 92\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\).

Plausibilità. Meno di un decimo di micrometro: una pellicola di sapone è davvero sottile, e quando si assottiglia ancora (\(d \to 0\)) diventa nera, perché l’unica inversione di fase rende distruttiva l’interferenza per tutti i colori.

27.5.3 Doppia fenditura di Young e reticolo

\[ d\sin \theta _m = m\lambda , \qquad x_m \approx \frac {m\lambda L}{d} \quad (\text {per } \theta \text { piccoli}), \qquad \Delta x = \frac {\lambda L}{d} \]

La distanza fra due frange chiare consecutive, \(\Delta x = \lambda L/d\), cresce con la lunghezza d’onda: il rosso dà frange più larghe del blu. Immergendo l’apparato in un mezzo di indice \(n\), la lunghezza d’onda diventa \(\lambda /n\) e le frange si stringono.

Un reticolo di diffrazione è una serie di molte fenditure a passo \(d\) (se ha \(N\) righe per centimetro, \(d = 1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }/N\)): vale la stessa condizione \(d\sin \theta _m = m\lambda \), ma i massimi sono molto più stretti e intensi. Poiché \(\sin \theta \le 1\), l’ordine massimo osservabile è \(m_{\max } = \lfloor d/\lambda \rfloor \).

Esempio 27.27 — Frange di Young in aria e in acqua

Un laser con \(\lambda = 630\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\) illumina due fenditure a \(d = 0.15\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\); lo schermo è a \(L = 2.5\,{\mathrm{m} }\). Quanto dista il primo massimo da quello centrale, in aria e con l’apparato immerso in acqua (\(n = 1.33\))?

Soluzione

Algebra. \(x_1 = \lambda L/d\); in acqua \(\lambda \to \lambda /n\).

Numeri. In aria \(x_1 = \dfrac {630\times 10^{-9}\,{\mathrm{m} }\cdot 2.5\,{\mathrm{m} }}{1.5\times 10^{-4}\,{\mathrm{m} }} = 10.5\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\); in acqua \(x_1 = 10.5\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }/1.33 \approx 7.9\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\).

Plausibilità. L’angolo è piccolo (\(\theta \approx 0.004\) rad): l’approssimazione \(\sin \theta \approx \tan \theta \) è ottima.

Esempio 27.28 — Due colori sullo schermo

Due fenditure a \(d = 0.10\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\) sono illuminate da una lampada a idrogeno che emette blu (\(486\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)) e rosso (\(658\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)). A quale distanza \(L\) va posto lo schermo perché i primi massimi dei due colori distino \(\Delta x = 5.0\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\)?

Soluzione

Algebra. \(x_1^{(r)} - x_1^{(b)} = \dfrac {L}{d}(\lambda _r - \lambda _b) \Rightarrow L = \dfrac {\Delta x\, d}{\lambda _r - \lambda _b}\).

Numeri. \(L = \dfrac {5.0\times 10^{-3}\,{\mathrm{m} }\cdot 1.0\times 10^{-4}\,{\mathrm{m} }}{172\times 10^{-9}\,{\mathrm{m} }} \approx 2.9\,{\mathrm{m} }\).

Plausibilità. Il rosso sta più lontano dal centro del blu, come deve.

Esempio 27.29 — Reticolo

Un reticolo ha \(6000\) righe per centimetro ed è illuminato da un laser He-Ne (\(\lambda = 632.8\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)). Qual è l’ordine massimo visibile e a quale angolo si trova?

Soluzione

Algebra. \(d = 1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }/6000\); \(m_{\max } = \lfloor d/\lambda \rfloor \); \(\sin \theta = m_{\max }\lambda /d\).

Numeri. \(d = 1.667\,{\mu \mathrm{m} }\); \(d/\lambda = 2.63 \Rightarrow m_{\max } = 2\); \(\sin \theta _2 = 2\cdot 0.6328/1.667 = 0.759 \Rightarrow \theta _2 \approx 49\,{^\circ }\).

Plausibilità. Il terzo ordine richiederebbe \(\sin \theta = 1.14 > 1\): non esiste.

27.5.4 Diffrazione da un’apertura

Quando un’onda passa per un’apertura di dimensione \(a\) confrontabile con \(\lambda \), si allarga oltre il bordo geometrico: è la diffrazione. Per una fenditura il primo minimo è a \(\sin \theta = \lambda /a\); per un foro circolare di diametro \(D\) il primo anello scuro è a \(\sin \theta \approx 1.22\,\lambda /D\). Aperture piccole diffrangono molto: è per questo che le onde radio lunghe aggirano gli edifici e la luce no, e che il potere risolutivo di un telescopio cresce con il diametro.

Esempio 27.30 — Il foro migliore per un telescopio a foro

La luce di una stella (\(\lambda = 500\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)) passa per un foro di diametro \(D\) e cade su uno schermo a distanza \(L = 3.0\,{\mathrm{m} }\). Se \(D\) è grande l’immagine è grande quanto il foro; se è piccolo la diffrazione la allarga. Quale \(D\) rende l’immagine più piccola possibile?

Soluzione

Algebra. Dimensione geometrica \(\approx D\); dimensione per diffrazione \(\approx 2L\cdot 1.22\lambda /D\). La somma è minima quando i due termini sono uguali: \(D^2 = 2.44\,\lambda L\).

Numeri. \(D = \sqrt {2.44\cdot 500\times 10^{-9}\,{\mathrm{m} }\cdot 3.0\,{\mathrm{m} }} \approx 1.9\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\).

Plausibilità. È l’ordine di grandezza dei fori delle camere oscure (pinhole): né troppo grandi né troppo piccoli.

27.5.5 Onde stazionarie

Un’onda che si riflette agli estremi di una corda o di un tubo si sovrappone a se stessa. Per certe frequenze, le frequenze di risonanza o armoniche, si forma un’onda stazionaria: punti che non si muovono mai (nodi) alternati a punti di oscillazione massima (ventri), a distanza \(\lambda /2\) fra nodi consecutivi.

\begin{align*} \text {due estremi uguali (fissi o aperti):}\quad & f_n = n\,\frac {v}{2L}, && n = 1,2,3,\dots \\ \text {un estremo chiuso (o fisso) e uno aperto (o libero):}\quad & f_n = n\,\frac {v}{4L}, && n = 1,3,5,\dots \end{align*}

Due regole che risolvono quasi tutti i problemi:

le frequenze di risonanza consecutive distano sempre \(\Delta f = v/(2L)\), in entrambi i casi;
un sistema con due estremi uguali ha tutte le armoniche (\(f_1, 2f_1, 3f_1, \dots \)); con un estremo chiuso ha solo quelle dispari (\(f_1, 3f_1, 5f_1, \dots \)). Dal rapporto fra due frequenze misurate si capisce di che sistema si tratta.

Caso particolare: un anello (o una corda chiusa) risuona quando la circonferenza contiene un numero intero di lunghezze d’onda, \(2\pi r = n\lambda \), cioè \(f_n = n\,v/(2\pi r)\).

Procedura — Metodo: onde stazionarie

1.: Stabilisci le condizioni agli estremi (nodo–nodo, ventre–ventre, nodo–ventre) e disegna il modo richiesto contando i nodi.
2.: Scrivi \(L\) in termini di \(\lambda \) (\(L = n\lambda /2\) oppure \(L = n\lambda /4\) con \(n\) dispari) e poi \(f = v/\lambda \).
3.: Se il problema dà due frequenze, fai il rapporto: \(f_b/f_a = n_b/n_a\) con interi piccoli; da lì ricavi \(f_1\) e poi \(L\) o \(v\).
4.: Se interviene una corda, ricorda \(v = \sqrt {F/\mu }\): la tensione entra sotto radice.

Esempio 27.31 — Corda e asticella

(a) Una corda fissa ai due estremi è lunga \(L = 6.0\,{\mathrm{m} }\) e le onde vi viaggiano a \(v = 50\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\): terza frequenza di risonanza? (b) Un’asticella lunga \(L = 150\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) è fissa a un estremo e libera all’altro; \(v = 24\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\): terza frequenza di risonanza?

Soluzione

Algebra. (a) \(f_3 = 3v/(2L)\). (b) Le risonanze sono \(n = 1, 3, 5\): la terza ha \(n = 5\), \(f = 5v/(4L)\).

Numeri. (a) \(f_3 = \dfrac {3\cdot 50\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{2\cdot 6.0\,{\mathrm{m} }} = 12.5\,{\mathrm{Hz} }\). (b) \(f = \dfrac {5\cdot 24\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{4\cdot 1.5\,{\mathrm{m} }} = 20\,{\mathrm{Hz} }\).

Plausibilità. In (a) la fondamentale è \(4.2\,{\mathrm{Hz} }\) e la terza armonica il triplo. In (b) la fondamentale è \(4.0\,{\mathrm{Hz} }\) e le risonanze sono \(4, 12, 20\,{\mathrm{Hz} }\): la “terza” è \(5f_1\), non \(3f_1\).

Esempio 27.32 — Lunghezza di un tubo dallo spettro

(a) Un tubo aperto ai due estremi emette, fra le altre, le frequenze \(829\,{\mathrm{Hz} }\) e \(2088\,{\mathrm{Hz} }\). (b) Un tubo chiuso a un estremo emette \(1488\,{\mathrm{Hz} }\) e \(2461\,{\mathrm{Hz} }\). Con \(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), quanto sono lunghi?

Soluzione

Algebra. (a) \(2088/829 = 2.52 \approx 5/2\): sono la seconda e la quinta armonica, \(f_1 \approx 829\,{\mathrm{Hz} }/2 \approx 2088\,{\mathrm{Hz} }/5 \approx 416\,{\mathrm{Hz} }\) e \(L = v/(2f_1)\). (b) \(2461/1488 = 1.65 \approx 5/3\): terza e quinta armonica di un tubo chiuso, \(f_1 \approx 494\,{\mathrm{Hz} }\) e \(L = v/(4f_1)\).

Numeri. (a) \(L = \dfrac {340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{2\cdot 416\,{\mathrm{Hz} }} \approx 0.41\,{\mathrm{m} }\). (b) \(L = \dfrac {340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{4\cdot 494\,{\mathrm{Hz} }} \approx 0.17\,{\mathrm{m} }\).

Plausibilità. Nel tubo chiuso il rapporto \(5/3\) fra frequenze consecutive visibili è la firma delle sole armoniche dispari.

Esempio 27.33 — Pozzo, forno a microonde, anello

(a) Un pozzo a pareti verticali risuona con frequenza minima \(6.0\,{\mathrm{Hz} }\) (\(v = 330\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)): quanto è profondo e qual è la risonanza successiva? (b) In un forno a microonde si formano onde stazionarie a \(2450\,{\mathrm{M} \mathrm{Hz} }\): quanto distano i nodi? (c) Un anello metallico di raggio \(r = 5.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) risuona a \(5000\,{\mathrm{Hz} }\) e a \(6000\,{\mathrm{Hz} }\) e a nessuna frequenza intermedia: quanto vale la velocità delle onde nell’anello?

Soluzione

Algebra. (a) Pozzo: tubo chiuso in fondo, \(f_1 = v/(4L) \Rightarrow L = v/(4f_1)\); risonanza successiva \(3f_1\). (b) Nodi a \(\lambda /2 = c /(2f)\). (c) Risonanze consecutive dell’anello: \(\Delta f = v/(2\pi r)\).

Numeri. (a) \(L = \dfrac {330\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{4\cdot 6.0\,{\mathrm{Hz} }} \approx 14\,{\mathrm{m} }\); poi \(18\,{\mathrm{Hz} }\). (b) \(\lambda /2 = \dfrac {3.00\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{2\cdot 2.45\times 10^{9}\,{\mathrm{Hz} }} \approx 6.1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). (c) \(v = 1000\,{\mathrm{Hz} }\cdot 2\pi \cdot 0.050\,{\mathrm{m} } \approx 3.1\times 10^{2}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) (e \(5000\,{\mathrm{Hz} }\) è il quinto modo).

Plausibilità. In (b) i nodi sono i punti dove il cibo resta freddo: per questo il piatto gira. La distanza di qualche centimetro si misura davvero con una tavoletta di cioccolato.

Esempio 27.34 — Tubo e filo che risuonano insieme

Un tubo lungo \(L = 1.5\,{\mathrm{m} }\), chiuso a un estremo, è fatto risuonare nella fondamentale da un filo teso, fisso ai due estremi, lungo \(d = 0.25\,{\mathrm{m} }\) e di massa \(m = 10\,{\mathrm{g} }\), che vibra nella sua fondamentale. Trovare la frequenza e la tensione del filo (\(v_{\text {suono}} = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)).

Soluzione

Algebra. Tubo chiuso: \(f_1 = v_{\text {suono}}/(4L)\). Filo: stessa \(f_1 = v_f/(2d) \Rightarrow v_f = 2 d f_1\); poi \(F = \mu v_f^2\) con \(\mu = m/d\).

Numeri. \(f_1 = \dfrac {340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{4\cdot 1.5\,{\mathrm{m} }} = 57\,{\mathrm{Hz} }\); \(v_f = 2\cdot 0.25\,{\mathrm{m} }\cdot 57\,{\mathrm{Hz} } = 28\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(\mu = 0.040\,{\mathrm{kg} / \mathrm{m} }\);

\[ F = 0.040\,{\mathrm{kg} / \mathrm{m} }\cdot (28\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} })^2 \approx 32\,{\mathrm{N} }. \]

Plausibilità. Una tensione di qualche decina di newton su un filo da \(10\,{\mathrm{g} }\): valori da strumento musicale.

27.5.6 Battimenti

Due suoni di frequenze vicine \(f_1\) e \(f_2\) sovrapposti danno un suono di frequenza media la cui intensità pulsa con la frequenza di battimento

\[ f_b = |f_1 - f_2| \]

È il metodo con cui si accordano gli strumenti: quando i battimenti spariscono, le frequenze coincidono. Combinati con l’effetto Doppler (paragrafo 27.6) permettono di misurare velocità.

27.5.7 Domande di teoria con risposta

Come si forma un’onda stazionaria? Dalla sovrapposizione di un’onda e della sua riflessa, quando la lunghezza del sistema contiene un numero intero di mezze lunghezze d’onda (o un numero dispari di quarti). L’onda non avanza: i nodi restano fermi.
Se la corda di una chitarra viene sostituita con una di diametro doppio, dello stesso materiale e lunghezza, come va cambiata la tensione per avere la stessa nota? \(\mu \) cresce di quattro volte (è proporzionale alla sezione), e \(f_1 = \sqrt {F/\mu }/(2L)\): serve una tensione quattro volte maggiore.
Perché le frange di Young si stringono in acqua? Perché \(\lambda \) diventa \(\lambda /n\) e \(\Delta x = \lambda L/d\).

27.6 Effetto Doppler e onda d’urto

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27.6.1 Effetto Doppler

La frequenza che si percepisce cambia se sorgente e osservatore sono in moto relativo lungo la congiungente: più alta in avvicinamento, più bassa in allontanamento. È il motivo per cui la sirena di un’ambulanza “cala” quando ci supera.

Legge 27.5 — Effetto Doppler per le onde in un mezzo

Detta \(v\) la velocità dell’onda nel mezzo, \(f\) la frequenza emessa, \(v_o\) e \(v_s\) le componenti delle velocità di osservatore e sorgente lungo la congiungente, la frequenza percepita è \(f' = f\,\dfrac {v \pm v_o}{v \mp v_s}\). I segni superiori valgono per avvicinamento (osservatore che va verso la sorgente al numeratore, sorgente che va verso l’osservatore al denominatore), quelli inferiori per allontanamento. Regola mnemonica: ogni avvicinamento deve far crescere \(f'\).

\[ f' = f\,\frac {v \pm v_o}{v \mp v_s} \]

Osservazioni importanti.

Contano solo le componenti radiali: una velocità perpendicolare alla congiungente non produce effetto Doppler (nell’istante considerato).
Sorgente e osservatore non sono simmetrici: la sorgente in moto cambia la lunghezza d’onda nel mezzo, l’osservatore in moto cambia il ritmo con cui incontra i fronti. Per \(v_s \to v\) il denominatore si annulla: la sorgente raggiunge il muro del suono (paragrafo 27.6.2).
Un oggetto che riflette il suono (radar, ecografia Doppler) riceve come osservatore e riemette come sorgente: l’effetto si applica due volte.

Procedura — Metodo: problemi di Doppler

1.: Disegna sorgente e osservatore e la congiungente; proietta le velocità su di essa (serve un \(\cos \)).
2.: Decidi per ciascuno se è avvicinamento o allontanamento e scegli i segni.
3.: Se il testo dà due frequenze percepite (in avvicinamento e in allontanamento), fai il rapporto: la frequenza emessa si semplifica e resta un’equazione in \(v_s\).
4.: Se la sorgente si muove di moto vario, calcola prima la velocità all’istante richiesto, poi applica la formula.

Esempio 27.35 — Ambulanza che passa

Una persona ferma sente la sirena di un’auto a \(f_1 = 1100\,{\mathrm{Hz} }\) mentre si avvicina e a \(f_2 = 900\,{\mathrm{Hz} }\) mentre si allontana (\(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Trovare la velocità dell’auto e la frequenza della sirena.

Soluzione

Algebra. \(f_1 = f\dfrac {v}{v - v_s}\), \(f_2 = f\dfrac {v}{v + v_s}\). Il rapporto elimina \(f\):

\[ \frac {f_1}{f_2} = \frac {v + v_s}{v - v_s} \quad \Longrightarrow \quad v_s = v\,\frac {f_1 - f_2}{f_1 + f_2}, \qquad f = f_1\,\frac {v - v_s}{v}. \]

Numeri. \(v_s = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\cdot \dfrac {200}{2000} = 34\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) (\(\approx 122\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\)); \(f = 1100\,{\mathrm{Hz} }\cdot \dfrac {306}{340} = 990\,{\mathrm{Hz} }\).

Plausibilità. La frequenza vera sta fra le due percepite, ma non è la media aritmetica (\(1000\,{\mathrm{Hz} }\)): l’asimmetria è propria del moto della sorgente.

Esempio 27.36 — Velocità non allineate

Sorgente (\(f = 440\,{\mathrm{Hz} }\)) e osservatore sono su una retta est–ovest, con la sorgente a est. La sorgente si muove verso nord a \(20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); l’osservatore si muove a \(40\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) in direzione \(30\,{^\circ }\) a nord dell’est. Frequenza percepita (\(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\))?

Soluzione

Algebra. La velocità della sorgente è perpendicolare alla congiungente: componente radiale nulla, \(v_s = 0\). L’osservatore ha componente verso la sorgente \(v_o = 40\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\cos 30\,{^\circ }\) (avvicinamento). Quindi \(f' = f\,(v + v_o)/v\).

Numeri. \(v_o = 34.6\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(f' = 440\,{\mathrm{Hz} }\cdot \dfrac {374.6}{340} \approx 485\,{\mathrm{Hz} }\).

Plausibilità. Se l’osservatore si muovesse a \(150\,{^\circ }\) (verso nord-ovest) la componente radiale sarebbe \(-34.6\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) e \(f' \approx 395\,{\mathrm{Hz} }\).

Esempio 27.37 — Sirena su una piattaforma rotante

Una sirena sta sul bordo di una piattaforma che ruota a \(f_p = 10\,{\mathrm{Hz} }\). Un osservatore lontano, nel piano di rotazione, sente una frequenza che oscilla fra \(840\,{\mathrm{Hz} }\) e \(860\,{\mathrm{Hz} }\) (\(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Trovare la frequenza emessa e il raggio della piattaforma.

Soluzione

Algebra. La sirena ha velocità tangenziale \(u = 2\pi f_p r\); il massimo e il minimo si hanno quando \(u\) è diretta verso o contro l’osservatore: \(f_{\max } = f\dfrac {v}{v - u}\), \(f_{\min } = f\dfrac {v}{v+u}\). Dal rapporto, \(u = v\,\dfrac {f_{\max } - f_{\min }}{f_{\max } + f_{\min }}\); poi \(f = f_{\max }(v-u)/v\) e \(r = u/(2\pi f_p)\).

Numeri. \(u = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\cdot \dfrac {20}{1700} = 4.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(f = 860\,{\mathrm{Hz} }\cdot \dfrac {336}{340} \approx 850\,{\mathrm{Hz} }\); \(r = \dfrac {4.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{2\pi \cdot 10\,{\mathrm{Hz} }} \approx 6.4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Plausibilità. Una piccola piattaforma da laboratorio; la frequenza emessa è quasi la media perché \(u \ll v\).

Esempio 27.38 — Sorgente che accelera

Una sirena da \(900\,{\mathrm{Hz} }\) parte da ferma e si allontana da un osservatore con \(a = 1.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\). Dopo quanto tempo la frequenza percepita è dimezzata (\(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\))?

Soluzione

Algebra. In allontanamento \(f' = f\dfrac {v}{v + v_s}\). Si chiede \(f' = f/2\), cioè \(v + v_s = 2v\), \(v_s = v\). Con \(v_s = at\) si ha \(t = v/a\).

Numeri. \(t = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }/1.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} } = 340\,{\mathrm{s} }\).

Plausibilità. Per dimezzare la frequenza la sorgente deve allontanarsi alla velocità del suono: servono quasi sei minuti con quell’accelerazione. Il suono che l’osservatore sente a quell’istante è stato emesso un po’ prima, ma la domanda riguarda la velocità della sorgente al momento dell’emissione, ed è così che va letta.

Esempio 27.39 — Doppler e battimenti

Due sorgenti identiche emettono \(f = 440\,{\mathrm{Hz} }\). Una è ferma, l’altra si muove verso un osservatore fermo posto fra le due, che sente \(f_b = 8\,{\mathrm{Hz} }\) di battimento (\(v = 343\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Trovare la frequenza percepita dalla sorgente mobile e la sua velocità.

Soluzione

Algebra. La sorgente ferma è percepita a \(f\); quella in avvicinamento a \(f_2' = f + f_b\) (più alta). Da \(f_2' = f\dfrac {v}{v - v_s}\) si ricava \(v_s = v\left (1 - \dfrac {f}{f_2'}\right )\).

Numeri. \(f_2' = 448\,{\mathrm{Hz} }\); \(v_s = 343\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\left (1 - \dfrac {440}{448}\right ) \approx 6.1\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

Plausibilità. Una velocità da bicicletta produce già otto battimenti al secondo: i battimenti sono un misuratore di velocità molto sensibile.

27.6.2 Onda d’urto e cono di Mach

Se la sorgente supera la velocità dell’onda (\(v_s > v\)), i fronti sferici emessi non riescono a precederla e si accumulano su un cono con vertice nella sorgente: l’onda d’urto (il “boom” di un aereo supersonico, la scia a V di un motoscafo). In un tempo \(t\) la sorgente percorre \(v_s t\) e il fronte emesso all’inizio ha raggio \(vt\):

\[ \sin \theta = \frac {v\,t}{v_s\,t} = \frac {v}{v_s} \]

\(\theta \) è la semiapertura del cono (angolo fra il fronte e la direzione del moto). Il numero di Mach è \(M = v_s/v = 1/\sin \theta \).

Esempio 27.40 — Angolo del cono e velocità

(a) Un aereo produce un cono d’urto con angolo al vertice \(120\,{^\circ }\): quanto è veloce (\(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\))? (b) Una pallottola viaggia a \(800\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\): angolo al vertice del cono? (c) Nella foto di Mach del 1887 i due fronti formano \(90\,{^\circ }\): velocità del proiettile?

Soluzione

Algebra. L’angolo al vertice è \(2\theta \). (a) \(v_s = v/\sin \theta \). (b) \(\theta = \arcsin (v/v_s)\). (c) come (a).

Numeri. (a) \(\theta = 60\,{^\circ }\), \(v_s = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }/0.866 \approx 390\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) (\(M = 1.15\)). (b) \(\sin \theta = 340/800 = 0.425 \Rightarrow \theta = 25\,{^\circ }\), apertura \(\approx 50\,{^\circ }\). (c) \(\theta = 45\,{^\circ }\), \(v_s = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }/0.707 \approx 480\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) (\(M = 1.4\)).

Plausibilità. Più la sorgente è veloce, più il cono è stretto: a \(M = 1\) il cono è piatto (\(\theta = 90\,{^\circ }\)), il “muro del suono”.

27.6.3 Domande di teoria con risposta

Perché la sirena cambia tono quando ci supera e non prima? Prima del passaggio la componente radiale è di avvicinamento (tono alto, quasi costante); dopo è di allontanamento (tono basso). Il cambiamento avviene nei pochi istanti in cui la velocità è quasi perpendicolare alla congiungente.
Un osservatore lontano sente il boom una volta sola? Sì: il boom è il passaggio del cono sull’osservatore, non un evento legato al superamento del muro del suono. Un aereo supersonico lo trascina con sé per tutto il volo.

27.7 Lo spettro elettromagnetico in due parole

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

Le onde elettromagnetiche hanno tutte la stessa velocità \(c \) nel vuoto; a distinguerle è la frequenza. Nei problemi basta \(\lambda = c /f\) e qualche riferimento: onde radio FM intorno a \(100\,{\mathrm{M} \mathrm{Hz} }\) (\(\lambda \approx 3\,{\mathrm{m} }\)), onde medie fra \(540\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\) e \(1600\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\) (\(\lambda \) da \(560\,{\mathrm{m} }\) a \(190\,{\mathrm{m} }\)), onde corte fra \(6\,{\mathrm{M} \mathrm{Hz} }\) e \(18\,{\mathrm{M} \mathrm{Hz} }\) (\(\lambda \) da \(50\,{\mathrm{m} }\) a \(17\,{\mathrm{m} }\)), microonde (\({\mathrm{c} \mathrm{m} }\)), infrarosso, visibile (\(400\div 700\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)), ultravioletto, raggi X, raggi \(\gamma \).

Le onde medie, con lunghezze d’onda di centinaia di metri, aggirano gli edifici per diffrazione (paragrafo 27.5.4) e si ricevono bene anche in città; le FM, con \(\lambda \approx 3\,{\mathrm{m} }\), sono più schermate dagli ostacoli.

27.8 Esercizi proposti

Esercizio 27.1 — Grandezze delle onde

1.: Due osservatori distano \(5.0\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\); il vento soffia dal secondo verso il primo. Ciascuno vede scoppiare un petardo dove sta l’altro: il primo sente il suono dopo \(14\,{\mathrm{s} }\), il secondo dopo \(15\,{\mathrm{s} }\). Trova la velocità del suono e quella del vento. [R: \(345\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(12\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
2.: La riga rossa del litio ha \(f = 4.469\times 10^{14}\,{\mathrm{Hz} }\) e in acqua \(\lambda = 0.504\,{\mu \mathrm{m} }\). Trova la lunghezza d’onda in aria e l’indice di rifrazione dell’acqua per quella luce. [R: \(671\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\); \(1.33\)]
3.: Quale spessore d’aria (\(n = 1.00029\)) viene attraversato dalla luce nello stesso tempo di \(20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) d’acqua (\(n = 1.33\))? [R: \(26.6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)]
4.: Un’onda su una corda ha un grafico temporale con creste a \(0.0\,{\mathrm{s} }\) e \(0.40\,{\mathrm{s} }\) e un grafico spaziale con creste a \(0.0\,{\mathrm{m} }\) e \(1.2\,{\mathrm{m} }\). Trova \(f\) e \(v\). [R: \(2.5\,{\mathrm{Hz} }\); \(3.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]

Esercizio 27.2 — Intensità, attenuazione, polarizzazione

1.: Una sirena sta in un vertice di una piazza quadrata di lato \(50\,{\mathrm{m} }\); nel vertice opposto si misura \(220\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\). Quanto si misura in uno degli altri due vertici? [R: \(440\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\)]
2.: L’intensità di un faro a \(50\,{\mathrm{m} }\) è \(1200\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\). Di quanto e in che verso ci si deve spostare perché raddoppi? E perché si dimezzi? [R: avvicinarsi di \(14.6\,{\mathrm{m} }\); allontanarsi di \(20.7\,{\mathrm{m} }\)]
3.: Tre sirene da \(500\,{\mathrm{W} }\) stanno in tre vertici di una piazza quadrata di lato \(50\,{\mathrm{m} }\). Intensità nel quarto vertice? [R: \(39.8\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\)]
4.: Un altoparlante da \(10\,{\mathrm{W} }\) al centro del soffitto, a \(h = 10\,{\mathrm{m} }\) dal pavimento, emette solo verso il basso (emisfero). Intensità sul pavimento nel punto sotto di esso e in un punto a \(2\,{\mathrm{m} }\) da quello. [R: \(15.9\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\); \(15.3\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\)]
5.: Un sottomarino emette un impulso da \(P = 6.28\,{\mathrm{k} \mathrm{W} }\) verso il fondale e riceve l’eco con \(I = 1.54\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\); l’attenuazione in acqua è \(\alpha = 1.5\times 10^{-3}\,{/ \mathrm{m} }\). Stima la profondità trascurando prima l’attenuazione e poi correggendo. [R: \(\approx 9\,{\mathrm{m} }\)]
6.: Una parete è fatta di due strati trasparenti con \(\alpha _1 = 2\,{/ \mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(\alpha _2 = 4\,{/ \mathrm{c} \mathrm{m} }\), spessa in tutto \(1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Quanto devono essere spessi gli strati perché la luce sia attenuata del \(10\%\)? [R: impossibile: anche solo \(1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) del materiale meno assorbente attenua dell’\(86\%\)]
7.: Luce non polarizzata di intensità \(I_0\) attraversa un polarizzatore, poi \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) di soluzione zuccherina con \(c = 0.20\,{\mathrm{g} / \mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\) (\(k = 6.65\,{^\circ \mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{g} }\)), poi un secondo polarizzatore parallelo al primo. Intensità finale? [R: \(\Delta \theta = 6.65\,{^\circ }\); \(0.49\,I_0\)]
8.: Tre polarizzatori: il terzo è perpendicolare al primo e il secondo forma un angolo \(\theta \) con il primo. Per quale \(\theta \) l’intensità trasmessa è massima e quanto vale? [R: \(45\,{^\circ }\); \(I_0/8\)]

Esercizio 27.3 — Riflessione e rifrazione

1.: Un raggio passa dall’aria all’olio (\(n = 1.467\)) con \(\hat {i} = 45\,{^\circ }\) e poi dall’olio all’acqua (\(n = 1.33\)). Di quanto è deviato il raggio nell’acqua rispetto a quello in aria? [R: \(\hat {r}_{\text {acqua}} = 32.1\,{^\circ }\), deviazione \(12.9\,{^\circ }\)]
2.: Una piscina profonda \(3.0\,{\mathrm{m} }\) è riempita fino a \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dal bordo; il Sole è a \(45\,{^\circ }\) dalla verticale. Quanto è lunga l’ombra del bordo sul fondo? [R: \(2.0\,{\mathrm{m} }\)]
3.: Un raggio incide dall’aria sull’acqua in modo che riflesso e rifratto siano perpendicolari fra loro. Trova \(\hat {i}\). [R: \(\tan \hat {i} = n\), \(\hat {i} = 53\,{^\circ }\) (angolo di Brewster)]
4.: Una bottiglia cilindrica di raggio \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e altezza \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), piena d’acqua, ha una lampadina al centro del fondo. Massimo angolo di rifrazione dei raggi che escono dalla superficie? [R: \(25\,{^\circ }\)]
5.: Un laser incide con \(\hat {i} = 60\,{^\circ }\) su una lastra di vetro spessa \(5.0\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\), \(n = 1.5\), \(\alpha = 4\,{/ \mathrm{c} \mathrm{m} }\). Di quanto si riduce l’intensità per l’attenuazione nel vetro? [R: cammino \(6.1\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\); resta l’\(8.7\%\)]
6.: Un raggio incide con \(\hat {i} = 45\,{^\circ }\) al centro della faccia superiore di un cubo di vetro (\(n = 1.4\)) di lato \(20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) appoggiato su un piano. Segui il raggio dentro il cubo e stabilisci dove arriva sul piano d’appoggio. [R: \(\hat {r} = 30.3\,{^\circ }\), il raggio raggiunge la base a \(5.8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dal centro: si disegni il percorso]

Esercizio 27.4 — Lenti

1.: Costruisci l’immagine di un oggetto per una lente convergente nei due casi \(p < f\) e \(p > f\), e per una lente divergente. Indica per ciascuna se è reale o virtuale, diritta o capovolta.
2.: Due lenti convergenti, \(f_1 = 2.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(f_2 = 6.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), hanno un fuoco in comune fra di loro. Un oggetto è a \(3.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) a sinistra della prima. Dove si forma l’immagine e con quale ingrandimento? Fai il disegno con il righello. [R: lenti a \(8.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); \(q_1 = 6.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(q_2 = -3.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); \(G = -3\)]
3.: Un oggetto a \(25\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) da una lente convergente produce un’immagine reale a \(100\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Trova \(f\) e \(G\). [R: \(20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); \(-4\)]
4.: Per quale posizione dell’oggetto una lente convergente dà un’immagine reale grande quanto l’oggetto? [R: \(p = 2f\)]

Esercizio 27.5 — Interferenza, diffrazione, onde stazionarie

1.: Due fasci, uno rosso (\(658\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)) e uno di lunghezza d’onda ignota, attraversano le stesse due fenditure. Il primo massimo del rosso coincide con il primo minimo dell’altro: trova \(\lambda \). [R: \(1316\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\), infrarosso]
2.: Due sorgenti sincrone con \(\lambda = 1.5\,{\mathrm{m} }\) stanno in \(O(0,0)\) e \(A(1\,{\mathrm{m} },0)\). Trova un punto del segmento \(OA\) in cui l’interferenza è distruttiva. [R: \(x = 0.875\,{\mathrm{m} }\) oppure \(0.125\,{\mathrm{m} }\)]
3.: Uno specchio è fatto di alluminio coperto da ossido trasparente (\(n = 1.5\)). Quale spessore minimo di ossido massimizza la riflessione a \(550\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)? (Entrambe le riflessioni invertono la fase.) [R: \(183\,{\mathrm{n} \mathrm{m} }\)]
4.: Una corda fissa ai due estremi, lunga \(12\,{\mathrm{m} }\), ha la quinta frequenza di risonanza a \(9.0\,{\mathrm{Hz} }\). Velocità delle onde? Disegna il modo. [R: \(43\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
5.: Un’asticella lunga \(2.0\,{\mathrm{m} }\), fissa a un estremo e libera all’altro, ha onde a \(10\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Disegna i primi tre modi e trova le frequenze. [R: \(1.25\,{\mathrm{Hz} }\), \(3.75\,{\mathrm{Hz} }\), \(6.25\,{\mathrm{Hz} }\)]
6.: Un pozzo risuona con terza frequenza \(18\,{\mathrm{Hz} }\) (\(v = 330\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Profondità? [R: \(13.75\,{\mathrm{m} }\)]
7.: Un anello di raggio \(5.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) risuona con un suono di frequenza minima \(5000\,{\mathrm{Hz} }\). Velocità delle onde nell’anello? [R: \(1.57\times 10^{3}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]

Esercizio 27.6 — Doppler e onda d’urto

1.: Un’ambulanza è sentita a \(2.2\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\) in avvicinamento e a \(2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\) in allontanamento (\(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Velocità? [R: \(16\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
2.: Una sirena da \(900\,{\mathrm{Hz} }\) si avvicina a \(4.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) e frena con \(1.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\) (poi torna indietro accelerando). Dopo quanto tempo è percepita a \(450\,{\mathrm{Hz} }\)? [R: \(344\,{\mathrm{s} }\)]
3.: Una sorgente (\(440\,{\mathrm{Hz} }\), \(3.0\,{\mathrm{k} \mathrm{W} }\)) a \(100\,{\mathrm{m} }\) da un osservatore fermo è percepita a \(460\,{\mathrm{Hz} }\) (\(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Trova la velocità della sorgente, l’intensità iniziale e quella dopo \(4.0\,{\mathrm{s} }\). [R: \(14.8\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(24\,{\mathrm{m} \mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\); \(0.14\,{\mathrm{W} / \mathrm{m} ^{2} }\)]
4.: Una sirena da \(900\,{\mathrm{Hz} }\) su una piattaforma che ruota a \(10\,{\mathrm{Hz} }\) è sentita fra \(840\,{\mathrm{Hz} }\) e \(860\,{\mathrm{Hz} }\): la piattaforma si sta anche allontanando. Trova la velocità di allontanamento e il raggio. [R: \(\approx 20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(\approx 6.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)]
5.: Un tubo chiuso a un estremo, lungo \(L\), ruota con velocità angolare \(\omega \) attorno all’estremo chiuso e risuona nella fondamentale. Frequenze massima e minima percepite da un osservatore lontano nel piano di rotazione? [R: \(f_1 = v/(4L)\); \(f_{\max ,\min } = f_1\,v/(v \mp \omega L)\)]
6.: L’angolo fra i due fronti dell’onda d’urto di un proiettile è \(20\,{^\circ }\) (\(v = 340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Velocità? [R: \(1.96\times 10^{3}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), \(M = 5.8\)]

Esercizio 27.7 — Spettro elettromagnetico

1.: Una radio riceve FM (\(88\div 108\,{\mathrm{M} \mathrm{Hz} }\)), onde medie (\(540\div 1600\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\)) e onde corte (\(6\div 18\,{\mathrm{M} \mathrm{Hz} }\)). Trova le lunghezze d’onda estreme di ogni banda e indica quale è meno disturbata dagli edifici. [R: FM \(2.8\div 3.4\,{\mathrm{m} }\); MW \(187\div 556\,{\mathrm{m} }\); SW \(17\div 50\,{\mathrm{m} }\); onde medie]

Riepilogo

Un’onda trasporta energia senza trasportare materia. Grandezze: \(A\), \(\lambda \), \(T\), \(f = 1/T\), \(v = \lambda f\). La frequenza è della sorgente, la velocità è del mezzo (\(v = \sqrt {F/\mu }\) su una corda, \(v = c /n\) per la luce).
Intensità \(I = P/S\); per una sorgente isotropa \(I = P/(4\pi r^2)\) e \(I \propto A^2\). Sorgenti incoerenti: si sommano le intensità. Un’eco va calcolata sul percorso completo. Decibel: \(\beta = 10\log _{10}(I/I_0)\). Attenuazione: \(I = I_0 e^{-\alpha x}\). Polarizzazione: \(I_1 = I_0/2\) dopo il primo filtro, poi Malus \(I = I_1\cos ^2\theta \) rispetto al filtro precedente.
Riflessione: \(\hat {r}' = \hat {i}\); eco \(d = v\Delta t/2\). Rifrazione: \(n_1\sin \hat {i} = n_2\sin \hat {r}\), \(n\sin \theta \) costante attraverso gli strati; angolo limite \(\sin \hat {i}_L = n_2/n_1\) solo verso il mezzo meno denso. Lastra: traslazione \(\Delta x = d\sin (\hat {i}-\hat {r})/\cos \hat {r}\).
Lenti sottili: \(1/p + 1/q = 1/f\), \(G = -q/p\); \(f < 0\) per le divergenti; \(q < 0\) immagine virtuale. Due lenti: l’immagine della prima è l’oggetto della seconda, \(G = G_1 G_2\).
Interferenza: costruttiva per \(\Delta \ell = m\lambda \), distruttiva per \((m+\tfrac 12)\lambda \); Young \(x_m = m\lambda L/d\); reticolo \(d\sin \theta = m\lambda \); lamine \(2nd\) più le inversioni di fase. Onde stazionarie: \(f_n = nv/(2L)\) con estremi uguali, \(f_n = nv/(4L)\) con \(n\) dispari e un estremo chiuso; risonanze consecutive distano \(v/(2L)\). Battimenti \(f_b = |f_1 - f_2|\).
Doppler: \(f' = f\,(v \pm v_o)/(v \mp v_s)\) con le componenti radiali, segni che fanno crescere \(f'\) in avvicinamento; con due frequenze percepite si fa il rapporto. Onda d’urto: \(\sin \theta = v/v_s\), \(\theta \) semiapertura del cono.

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Capitolo 27 Fenomeni ondulatori: la teoria che serve per gli esercizi

Introduzione

27.1 Grandezze fisiche di un’onda

27.1.1 Che cos’è un’onda

27.1.2 Le grandezze che descrivono un’onda

27.1.3 Da che cosa dipende la velocità

27.1.4 Domande di teoria con risposta

27.2 Intensità, attenuazione, polarizzazione

27.2.1 Intensità di un’onda

27.2.2 Il livello sonoro in decibel

27.2.3 Attenuazione

27.2.4 Polarizzazione

27.2.5 Domande di teoria con risposta

27.3 Riflessione e rifrazione

27.3.1 Riflessione ed eco

27.3.2 Rifrazione e legge di Snell

27.3.3 Riflessione totale

27.3.4 Lastra a facce parallele, strati e prisma

27.3.5 Domande di teoria con risposta

27.4 Lenti sottili

27.4.1 Lenti convergenti e divergenti

27.4.2 Costruzione delle immagini

27.4.3 Equazione dei punti coniugati e ingrandimento

27.4.4 Domande di teoria con risposta

27.5 Interferenza, diffrazione e onde stazionarie

27.5.1 Sovrapposizione e differenza di cammino

27.5.2 Lamine sottili

27.5.3 Doppia fenditura di Young e reticolo

27.5.4 Diffrazione da un’apertura

27.5.5 Onde stazionarie

27.5.6 Battimenti

27.5.7 Domande di teoria con risposta

27.6 Effetto Doppler e onda d’urto

27.6.1 Effetto Doppler

27.6.2 Onda d’urto e cono di Mach

27.6.3 Domande di teoria con risposta

27.7 Lo spettro elettromagnetico in due parole

27.8 Esercizi proposti

Capitolo 27
Fenomeni ondulatori: la teoria che serve per gli esercizi