3 Cinematica del punto materiale

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Capitolo 3
Cinematica del punto materiale

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“Ignorare il moto è ignorare la natura.”
— Aristotele, Fisica

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Introduzione

Nei capitoli precedenti abbiamo costruito gli strumenti — misure, vettori — di cui ora possiamo servirci per affrontare il primo grande tema della fisica: il movimento. Una palla che rotola, un’auto che frena, la Luna che orbita: cosa hanno in comune? Tutti questi fenomeni si possono descrivere indicando come variano nel tempo la posizione, la velocità e l’accelerazione di un corpo.

La parte della meccanica che si occupa di descrivere il moto si chiama cinematica, dal greco kínēma, movimento. La cinematica risponde a domande del tipo: dove si trovava il corpo a un certo istante? Quanto velocemente si muoveva? Si stava accelerando o decelerando? Non si occupa invece di perché il moto avvenga in un certo modo: questa domanda — cosa causa il moto, come le forze lo modificano — è il dominio della dinamica, che affronteremo nel capitolo 6.

Studieremo qui il moto di un solo corpo, idealizzato come un punto, lungo una linea retta o secondo leggi semplici. Vedremo i due moti più importanti — il moto rettilineo uniforme e quello uniformemente accelerato — e li applicheremo alla caduta dei gravi e al piano inclinato, due situazioni paradigmatiche con cui Galileo aprì la fisica moderna. In coda, un’anticipazione del moto armonico, che ritroveremo nel capitolo 11.

3.1 Modello del punto materiale e sistema di riferimento

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3.1.1 Idealizzazione di un corpo come punto materiale

Una palla da calcio, un’auto, un pianeta sono corpi estesi: hanno una forma, ruotano su sé stessi, si possono deformare. Studiare contemporaneamente il moto traslatorio, la rotazione e le deformazioni è un problema complesso. La fisica procede allora per semplificazioni successive: prima si studiano le situazioni in cui un solo aspetto è dominante; poi, capito quello, si aggiunge un livello di complessità.

Definizione 3.1 — Punto materiale

Un punto materiale è un corpo idealizzato, dotato di massa ma privo di estensione spaziale. Il modello è applicabile ogni volta che le dimensioni del corpo sono trascurabili rispetto agli spazi entro cui si muove, oppure quando il moto interno (rotazione, deformazione) non è rilevante per il problema in esame.

Un’auto che percorre \(100\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) può essere trattata come punto materiale: la sua lunghezza di pochi metri è irrilevante. Lo stesso vale per la Terra che orbita attorno al Sole: il diametro terrestre, \(12700\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\), è trascurabile rispetto al raggio dell’orbita, \(1.5\times 10^{8}\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). Non vale invece per un sasso che ruota su sé stesso, o per la stessa auto in un parcheggio, dove la sua geometria è essenziale.

3.1.2 Sistema di riferimento e scelta dell’origine

Il moto è una nozione relativa. Se sono seduto in un treno che viaggia a \(100\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) e lascio cadere una penna, vedo la penna scendere verticalmente; chi mi osserva da terra la vede invece tracciare una parabola in avanti. Chi ha ragione? Entrambi: stiamo descrivendo lo stesso moto in due sistemi di riferimento diversi.

Definizione 3.2 — Sistema di riferimento

Un sistema di riferimento è l’insieme costituito da:

un punto \(O\) scelto come origine;
una terna di assi cartesiani \(Oxyz\) orientati nello spazio;
un cronometro che misura il tempo a partire da un istante iniziale \(t = 0\).

La scelta del sistema di riferimento è libera, ma alcune scelte sono più convenienti di altre. Per il moto di un’auto su una strada rettilinea conviene un asse \(x\) lungo la strada; per un proiettile, un riferimento con \(x\) orizzontale e \(y\) verticale; per un pianeta, un riferimento con il Sole all’origine.

Nota

Approfondiremo l’aspetto della relatività del moto nel capitolo 7, dedicato alla relatività galileiana, e nel capitolo 19 per la relatività ristretta. Per ora ci limiteremo a fissare un sistema di riferimento e a lavorare in esso.

3.1.3 Posizione traiettoria spostamento

Fissato un sistema di riferimento, la posizione di un punto materiale al tempo \(t\) è individuata dal vettore \(\vec{r} (t)\) che congiunge l’origine \(O\) al punto. In componenti, \(\vec{r} (t) = (x(t), y(t), z(t))\). Quando il punto si muove, le coordinate \(x(t), y(t), z(t)\) sono funzioni del tempo, dette leggi orarie.

Definizione 3.3 — Traiettoria

Si chiama traiettoria l’insieme di tutte le posizioni occupate dal punto materiale durante il suo moto. Geometricamente, è la curva tracciata dal punto nello spazio.

Definizione 3.4 — Spostamento

Lo spostamento fra due istanti \(t_1\) e \(t_2\) è il vettore

\begin{equation}\label {eq:03-spostamento} \vec{s} = \vec{r} (t_2) - \vec{r} (t_1). \end{equation}

[Picture] — Figura 3.1: Vettore posizione, traiettoria e spostamento. Il punto materiale si muove dalla posizione \(P_1\) alla posizione \(P_2\) lungo la curva verde tratteggiata. Lo spostamento \(\vec{s} = \vec{r} _2 - \vec{r} _1\) non dipende dal cammino percorso, solo dagli estremi.

Attenzione!

Spostamento e spazio percorso sono concetti distinti. Un’auto che fa il giro completo di una pista chiusa di lunghezza \(2\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) ha percorso uno spazio di \(2\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\), ma il suo spostamento è il vettore nullo (è tornata alla stessa posizione). Lo spostamento dipende solo dai punti iniziale e finale; lo spazio percorso dipende dall’intera traiettoria.

3.2 Velocità e accelerazione

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3.2.1 Velocità media e velocità istantanea

Quanto si muove rapidamente un corpo? La risposta più immediata è la velocità media: lo spostamento diviso il tempo impiegato.

Definizione 3.5 — Velocità media

Detti \(\vec{s} \) lo spostamento del punto materiale nell’intervallo \(\Delta t = t_2 - t_1\), la velocità media è il vettore

\begin{equation}\label {eq:03-vel-media} \vec{v} _{\text {m}} = \frac {\vec{s} }{\Delta t}. \end{equation}

Nel moto rettilineo, in cui ci si muove lungo un solo asse, la velocità media si scrive come quantità scalare con segno:

\[ \bar{v} = \frac {\Delta x}{\Delta t} = \frac {x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}. \]

La velocità media è positiva se il punto si è spostato nel verso positivo dell’asse, negativa altrimenti. La sua unità di misura nel SI è \({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

La velocità media, però, non dice nulla su come il moto si svolge istante per istante. Un’auto che percorre \(60\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) in un’ora ha velocità media \(60\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\), ma può aver viaggiato a velocità costanti, oppure averne attraversate di tutti i tipi: code, sorpassi, frenate, accelerazioni. Per cogliere il dettaglio occorre la velocità istantanea.

Definizione 3.6 — Velocità istantanea

La velocità istantanea all’istante \(t\) è il vettore \(\vec{v} (t)\) a cui tende la velocità media calcolata su un intervallo \(\Delta t\) centrato in \(t\), quando \(\Delta t\) diventa molto piccolo:

\begin{equation}\label {eq:03-vel-istantanea} \vec{v} (t) = \lim _{\Delta t \to 0}\,\frac {\vec{s} }{\Delta t}. \end{equation}

Nota

Il passaggio al limite è il punto di partenza del calcolo differenziale, che lo studente affronterà al quinto anno. Per ora ne usiamo l’idea intuitiva: la velocità istantanea è il valore a cui si stabilizza la velocità media quando l’intervallo di tempo è abbastanza breve da poter considerare il moto, in quel piccolo lasso, sostanzialmente uniforme.

Geometricamente, sul grafico spazio-tempo \(x(t)\), la velocità media corrisponde alla pendenza della retta secante che congiunge due punti, mentre la velocità istantanea corrisponde alla pendenza della retta tangente al grafico nel punto considerato.

3.2.2 Accelerazione media e accelerazione istantanea

Allo stesso modo in cui la velocità misura quanto rapidamente cambia la posizione, l’accelerazione misura quanto rapidamente cambia la velocità.

Definizione 3.7 — Accelerazione media e istantanea

L’accelerazione media su un intervallo \(\Delta t\) è il vettore

\[ \vec{a} _{\text {m}} = \frac {\Delta \vec{v} }{\Delta t} = \frac {\vec{v} (t_2) - \vec{v} (t_1)}{t_2 - t_1}, \]

mentre l’accelerazione istantanea è il valore a cui essa tende quando \(\Delta t \to 0\):

\begin{equation}\label {eq:03-acc-istantanea} \vec{a} (t) = \lim _{\Delta t \to 0}\,\frac {\Delta \vec{v} }{\Delta t}. \end{equation}

L’unità di misura SI dell’accelerazione è \({\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\), cioè metri al secondo ogni secondo: il numero di m/s che la velocità acquista (o perde) ogni secondo che passa.

3.2.3 Velocità e accelerazione come grandezze vettoriali

Velocità e accelerazione sono vettori. Ciò significa che non basta dire “il modulo è cresciuto” per dire che il corpo sta accelerando: anche un cambio di direzione è una variazione di velocità, e quindi richiede un’accelerazione.

Attenzione!

Un’auto che percorre una curva a velocità di modulo costante sta accelerando. La direzione del vettore velocità cambia istante per istante, e la variazione \(\Delta \vec{v} \) è non nulla. Questa accelerazione, detta centripeta, è ciò che ti spinge contro lo schienale o ti fa pendere lateralmente in curva. La studieremo in dettaglio nel capitolo 6.

Nel resto di questo capitolo ci limitiamo al moto rettilineo, in cui la traiettoria è una retta e velocità e accelerazione hanno una sola componente non nulla: possiamo trattarle come grandezze scalari con segno, riferite all’asse del moto.

3.3 Moto rettilineo uniforme

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3.3.1 Legge oraria del moto uniforme

Definizione 3.8 — Moto rettilineo uniforme

Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme (MRU) se la sua traiettoria è una retta e la sua velocità è costante (in modulo, direzione e verso) per tutta la durata del moto.

Scelto un asse \(x\) lungo la traiettoria, sia \(v\) il valore costante della velocità e \(x_0\) la posizione all’istante iniziale \(t = 0\). Poiché la velocità non cambia, la velocità media coincide con quella istantanea, e dalla definizione (3.2) ricaviamo \(\Delta x = v\,\Delta t\), ovvero \(x - x_0 = v\,t\). Si ottiene la legge oraria:

\begin{equation}\label {eq:03-mru} x(t) = x_0 + v\,t \end{equation}

In tre dimensioni, la stessa legge si scrive vettorialmente come \(\vec{r} (t) = \vec{r} _0 + \vec{v} \,t\), con \(\vec{v} \) vettore costante.

3.3.2 Grafici spazio-tempo e velocità-tempo

I grafici sono il modo più efficace per leggere a colpo d’occhio le caratteristiche di un moto.

Due osservazioni importanti, valide per qualunque moto:

nel grafico \(x\)-\(t\), la pendenza della tangente a un punto è la velocità istantanea in quell’istante;
nel grafico \(v\)-\(t\), l’area sottesa dal grafico fra due istanti è lo spostamento compiuto in quell’intervallo.

Ritroveremo questi due fatti nel moto uniformemente accelerato, dove la lettura grafica diventa ancora più suggestiva.

3.3.3 Problemi di incontro e di inseguimento

Una classe particolare di problemi nel MRU riguarda due o più corpi che si muovono lungo la stessa retta. Sono i problemi di incontro (i due corpi vanno l’uno verso l’altro) o di inseguimento (vanno nella stessa direzione, uno più veloce dell’altro).

Esempio 3.1 — Incontro fra due ciclisti

Due ciclisti partono nello stesso istante da due paesi distanti \(30\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) e pedalano l’uno incontro all’altro lungo la stessa strada rettilinea. Il primo viaggia a \(18\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\), il secondo a \(12\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\). Dopo quanto tempo si incontrano e in che punto?

Soluzione

Scegliamo un sistema di riferimento con l’asse \(x\) orientato dal primo paese verso il secondo, origine nel primo paese e \(t = 0\) all’istante della partenza. Detti \(L\) la distanza fra i paesi, \(v_1\) il modulo della velocità del primo ciclista (orientata nel verso positivo) e \(v_2\) il modulo della velocità del secondo (orientata nel verso negativo), le leggi orarie sono:

\begin{align} x_1(t) &= v_1\,t, \\ x_2(t) &= L - v_2\,t. \end{align}

L’incontro si ha quando \(x_1(t^*) = x_2(t^*)\):

\begin{align} v_1\,t^* &= L - v_2\,t^*, \\ t^* &= \frac {L}{v_1 + v_2}. \end{align}

La posizione di incontro è \(x^* = v_1\,t^*\).

Sostituendo i valori, \(L = 30\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\), \(v_1 = 18\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\), \(v_2 = 12\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\):

\begin{align} t^* &= \frac {30\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }}{18\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} } + 12\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }} = 1.0\,{\mathrm{h} }, \\ x^* &= 18\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} } \cdot 1.0\,{\mathrm{h} } = 18\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }. \end{align}

I ciclisti si incontrano dopo \(1.0\,{\mathrm{h} }\), a \(18\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) dal primo paese.

Verifica di plausibilità: il primo è più veloce, quindi deve aver percorso più della metà della strada — e infatti \(18\,{\mathrm{k} \mathrm{m} } > 15\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\).

3.4 Moto rettilineo uniformemente accelerato

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3.4.1 Legge della velocità e legge oraria

Definizione 3.9 — Moto rettilineo uniformemente accelerato

Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA) se la sua traiettoria è una retta e la sua accelerazione è costante (in modulo, direzione e verso).

Detto \(a\) il valore costante (con segno) dell’accelerazione e \(v_0\) la velocità all’istante \(t = 0\), dalla definizione di accelerazione media — che nel moto uniformemente accelerato coincide con quella istantanea — si ricava \(\Delta v = a\,\Delta t\), ovvero la legge della velocità:

\begin{equation}\label {eq:03-mrua-vel} v(t) = v_0 + a\,t \end{equation}

Per ottenere la legge oraria osserviamo che, fra \(0\) e \(t\), la velocità cresce linearmente da \(v_0\) a \(v_0 + a\,t\). La velocità media in tale intervallo è semplicemente la media aritmetica fra valore iniziale e finale:

\[ \bar{v} = \frac {v_0 + v(t)}{2} = v_0 + \tfrac {1}{2}\,a\,t. \]

Lo spostamento è \(\Delta x = \bar{v} \cdot t\), da cui:

\begin{equation}\label {eq:03-mrua-x} x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac {1}{2}\,a\,t^2 \end{equation}

Si noti che, posto \(a = 0\), la (3.10) si riduce alla legge del MRU (3.5): il moto uniforme è il caso particolare di moto uniformemente accelerato con accelerazione nulla.

3.4.2 Equazione senza il tempo

In molti problemi non interessa sapere a che istante avviene un evento, ma solo legare velocità e posizione. Eliminando \(t\) dal sistema formato dalle equazioni (3.9) e (3.10) si ottiene:

\begin{equation}\label {eq:03-mrua-senza-t} v^2 - v_0^2 = 2\,a\,(x - x_0) \end{equation}

Nota

La (3.11) è particolarmente comoda quando si conosce la lunghezza di un tratto e si vuole calcolare la velocità finale (o viceversa). Anticipa il teorema dell’energia cinetica che incontreremo nel capitolo 8: moltiplicando entrambi i membri per \(\tfrac {1}{2}\,m\) ed elaborando, si ottiene il teorema delle forze vive.

3.4.3 Interpretazione delle aree nel grafico v-t

Nel grafico \(v\)-\(t\) del MRUA la velocità è una retta inclinata di pendenza \(a\). Lo spostamento fra \(0\) e \(t\), già calcolato algebricamente, deve coincidere con l’area del trapezio sotteso dalla retta.

L’area del trapezio è \(\tfrac {1}{2}(\text {base}_1 + \text {base}_2)\cdot \text {altezza}\), dove le “basi” sono \(v_0\) e \(v(t) = v_0 + a\,t\) e l’“altezza” è \(t\). Si ottiene

\[ \Delta x = \frac {v_0 + v_0 + a\,t}{2}\cdot t = v_0\,t + \tfrac {1}{2}\,a\,t^2, \]

in pieno accordo con la (3.10). La regola “lo spostamento è l’area sottesa dal grafico \(v\)-\(t\)” non vale solo per il MRUA: vale per qualunque moto rettilineo, e diventa nel quinto anno la base del concetto di integrale.

3.5 Moti notevoli sotto gravità

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3.5.1 Moto di caduta dei gravi

Vicino alla superficie terrestre, e in assenza di attrito dell’aria, ogni corpo lasciato libero di muoversi cade con la stessa accelerazione costante diretta verso il basso, indipendente dalla massa e dalla forma del corpo. È la celebre scoperta di Galileo, che la dedusse studiando il moto sui piani inclinati e — secondo la tradizione — lasciando cadere oggetti dalla Torre di Pisa.

Legge 3.1 — Accelerazione di gravità

In prossimità della superficie terrestre, ogni corpo in caduta libera è soggetto all’accelerazione \(g \) diretta verso il basso, con modulo

\[ g \approx 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }. \]

Il valore esatto varia leggermente con la latitudine e l’altitudine, ma per i nostri scopi può essere considerato costante.

Scelto un asse \(y\) verticale orientato verso l’alto, l’accelerazione vale \(-g \) (negativa perché diretta verso il basso). Un corpo lasciato cadere da fermo dalla quota \(y_0\) ha:

\begin{align} v(t) &= -g \,t, \\ y(t) &= y_0 - \tfrac {1}{2}\,g \,t^2. \end{align}

Esempio 3.2 — Caduta da una torre

Un sasso viene lasciato cadere dalla cima di una torre alta \(20\,{\mathrm{m} }\). Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare il tempo di caduta e la velocità all’impatto.

Soluzione

Scegliamo l’asse \(y\) verticale verso l’alto, con origine alla base della torre. La quota iniziale è \(y_0 = h = 20\,{\mathrm{m} }\), la velocità iniziale è \(v_0 = 0\). Le leggi orarie sono \(v(t) = -g \,t\) e \(y(t) = h - \tfrac {1}{2}\,g \,t^2\).

Il tempo di caduta \(t^*\) è quello per cui \(y(t^*) = 0\):

\begin{align} 0 &= h - \tfrac {1}{2}\,g \,(t^*)^2, \\ t^* &= \sqrt {\frac {2\,h}{g }}. \end{align}

La velocità all’impatto si ottiene da \(v(t^*) = -g \,t^* = -\sqrt {2\,g \,h}\), oppure più rapidamente dalla (3.11): \(v^2 = 2\,g \,h\).

Sostituendo i valori:

\begin{align} t^* &= \sqrt {\frac {2\cdot 20\,{\mathrm{m} }}{9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }}} \approx 2.0\,{\mathrm{s} }, \\ \lvert v\rvert &= \sqrt {2\cdot 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\cdot 20\,{\mathrm{m} }} \approx 20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }. \end{align}

Il sasso impiega circa \(2.0\,{\mathrm{s} }\) a cadere e impatta a circa \(20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), ovvero \(\approx 72\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\).

Verifica dimensionale: \(\sqrt {{\mathrm{m} }/({\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} })} = \sqrt {{\mathrm{s} ^{2} }} = {\mathrm{s} }\), e \(\sqrt {{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\cdot {\mathrm{m} }} = {\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), entrambe corrette.

3.5.2 Moto lungo un piano inclinato liscio

L’esperimento storicamente più importante di Galileo è quello del piano inclinato: rallentando la caduta lungo un piano inclinato, riuscì a misurare con orologi ad acqua i tempi e a verificare che il moto è uniformemente accelerato. Anticipiamo qui il risultato cinematico, riservando la dimostrazione dinamica al capitolo 6.

Legge 3.2 — Accelerazione su piano inclinato liscio

Un punto materiale che scivola senza attrito lungo un piano inclinato di angolo \(\theta \) rispetto all’orizzontale è soggetto a un’accelerazione costante diretta lungo il piano, di modulo

\begin{equation}\label {eq:03-inclinato} a = g \sin \theta . \end{equation}

Si verificano i due casi limite: per \(\theta = 0\,{^\circ }\) (piano orizzontale) si ha \(a = 0\) e il blocco resta fermo, come deve; per \(\theta = 90\,{^\circ }\) (piano verticale) si ha \(a = g \) e il moto coincide con la caduta libera.

3.5.3 Lancio verticale verso l’alto

Un sasso lanciato verticalmente verso l’alto è ancora un moto uniformemente accelerato con \(a = -g \), ma con velocità iniziale \(v_0 > 0\). Le leggi orarie sono:

\begin{align} v(t) &= v_0 - g \,t, \\ y(t) &= y_0 + v_0\,t - \tfrac {1}{2}\,g \,t^2. \end{align}

Il sasso sale, decelera, si ferma per un istante alla quota massima, poi ricade accelerando verso il basso. Il tempo di salita \(t_{\text {s}}\) è quello in cui la velocità si annulla, \(v(t_{\text {s}}) = 0\):

\[ t_{\text {s}} = \frac {v_0}{g }. \]

La quota massima raggiunta, partendo da \(y_0 = 0\), si ricava dalla (3.11) ponendo \(v = 0\):

\[ h_{\text {max}} = \frac {v_0^2}{2\,g }. \]

Per simmetria, il tempo totale di volo (salita + discesa fino al punto di partenza) è \(2\,t_{\text {s}}\), e all’impatto la velocità è \(-v_0\) (stesso modulo, verso opposto a quello iniziale).

Esempio 3.3 — Lancio verticale

Una pallina viene lanciata verticalmente verso l’alto con velocità \(15\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Determinare l’altezza massima raggiunta e dopo quanto tempo torna al punto di partenza.

Soluzione

Algebricamente, \(h_{\text {max}} = v_0^2/(2\,g )\) e \(t_{\text {tot}} = 2\,v_0/g \). Sostituendo:

\begin{align} h_{\text {max}} &= \frac {(15\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} })^2}{2\cdot 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }} \approx 11\,{\mathrm{m} }, \\ t_{\text {tot}} &= \frac {2\cdot 15\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }} \approx 3.1\,{\mathrm{s} }. \end{align}

La pallina raggiunge circa \(11\,{\mathrm{m} }\) di altezza e torna a terra dopo circa \(3.1\,{\mathrm{s} }\).

3.6 Introduzione cinematica al moto armonico

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3.6.1 Moto periodico e moto armonico

Non tutti i moti sono rettilinei e con accelerazione costante. Una classe particolarmente importante è quella dei moti che si ripetono identicamente nel tempo.

Definizione 3.10 — Moto periodico

Un moto si dice periodico se esiste un intervallo di tempo \(T\), detto periodo, tale che la posizione, la velocità e l’accelerazione del punto materiale assumano gli stessi valori dopo ogni intervallo \(T\):

\[ \vec{r} (t + T) = \vec{r} (t),\quad \vec{v} (t + T) = \vec{v} (t),\quad \vec{a} (t + T) = \vec{a} (t). \]

Esempi di moti periodici sono il moto della Terra attorno al Sole, l’oscillazione di un pendolo o di una massa attaccata a una molla, le vibrazioni di una corda di chitarra. Il caso più semplice e fondamentale è il moto armonico.

Definizione 3.11 — Moto armonico

Un punto materiale si muove di moto armonico lungo un asse \(x\) se la sua posizione varia nel tempo secondo la legge

\begin{equation}\label {eq:03-armonico} x(t) = A\cos (\omega \,t + \varphi ), \end{equation}

con \(A\), \(\omega \), \(\varphi \) costanti.

3.6.2 Periodo, frequenza, ampiezza, fase iniziale

Le quattro costanti che caratterizzano il moto armonico hanno un significato preciso.

L’ampiezza \(A > 0\) è il massimo allontanamento dal centro di oscillazione (la posizione \(x = 0\)). Il punto oscilla fra \(-A\) e \(+A\).
La pulsazione \(\omega \) (in \({\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\)) determina la rapidità dell’oscillazione.
La fase iniziale \(\varphi \) (in \({\mathrm{rad} }\)) fissa la posizione del punto all’istante \(t = 0\), dato che \(x(0) = A\cos \varphi \).
Il periodo \(T\) e la frequenza \(f\) sono legati a \(\omega \) dalle relazioni

\begin{equation}\label {eq:03-armonico-T} T = \frac {2\pi }{\omega },\qquad f = \frac {1}{T} = \frac {\omega }{2\pi }. \end{equation}

La frequenza si misura in hertz (\({\mathrm{Hz} } = {/ \mathrm{s} }\)): un’oscillazione al secondo. Il periodo è il tempo impiegato per compiere un’oscillazione completa, la frequenza il numero di oscillazioni che il punto compie nell’unità di tempo. Studieremo a fondo il moto armonico, e il sistema massa-molla che ne è il prototipo, nel capitolo 11.

Riepilogo

La cinematica descrive il moto senza occuparsi delle sue cause, che competono alla dinamica.
Un punto materiale è un corpo idealizzato senza estensione spaziale; il modello vale quando le dimensioni sono trascurabili rispetto agli spazi del moto.
La posizione \(\vec{r} (t)\), la traiettoria (curva descritta nel tempo) e lo spostamento \(\vec{s} = \vec{r} _2 - \vec{r} _1\) caratterizzano la geometria del moto.
La velocità istantanea è il limite della velocità media per intervalli di tempo che tendono a zero; analogamente per l’accelerazione.
Nel grafico \(x\)-\(t\) la pendenza della tangente è \(v\); nel grafico \(v\)-\(t\) l’area sottesa è lo spostamento.
Nel moto rettilineo uniforme (MRU) la velocità è costante e \(x(t) = x_0 + v\,t\).
Nel moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA) l’accelerazione è costante: \(v(t) = v_0 + a\,t\), \(x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac {1}{2}\,a\,t^2\), \(v^2 - v_0^2 = 2\,a\,(x - x_0)\).
In prossimità della superficie terrestre, ogni corpo in caduta libera è soggetto a un’accelerazione costante \(g \approx 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\) diretta verso il basso, indipendente dalla massa.
Sul piano inclinato liscio di angolo \(\theta \) l’accelerazione è \(a = g \sin \theta \).
Il moto armonico \(x(t) = A\cos (\omega \,t + \varphi )\) è il prototipo dei moti periodici, descritto da ampiezza \(A\), pulsazione \(\omega \), fase iniziale \(\varphi \), periodo \(T = 2\pi /\omega \) e frequenza \(f = 1/T\).

Esercizio 3.1

1.: Un’auto percorre un primo tratto di \(30\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) a \(60\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) e un secondo tratto di \(30\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) a \(120\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\). Calcolare la velocità media sull’intero percorso. (Suggerimento: non è la media aritmetica delle due velocità.)
2.: Un treno parte dalla stazione \(A\) alle \(8\,{\mathrm{h} }{:}00\,{}\) con velocità costante \(90\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) verso \(B\). Un secondo treno parte da \(B\) alle \(8\,{\mathrm{h} }{:}30\,{}\) con velocità costante \(120\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) verso \(A\). La distanza fra \(A\) e \(B\) è \(300\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). A che ora e a quale distanza da \(A\) si incrociano?
3.: Un’auto in MRU passa per \(x_1 = 20\,{\mathrm{m} }\) all’istante \(t_1 = 2.0\,{\mathrm{s} }\) e per \(x_2 = 80\,{\mathrm{m} }\) all’istante \(t_2 = 6.0\,{\mathrm{s} }\). Determinare velocità e legge oraria.
4.: Un’auto accelera da ferma con \(a = 2.5\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\) costante. Quanto spazio percorre nei primi \(8.0\,{\mathrm{s} }\)? Quale velocità raggiunge?
5.: Un’auto viaggia a \(108\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\) e frena con decelerazione costante \(a = -6.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\). Calcolare lo spazio di frenata e il tempo necessario a fermarsi.
6.: Un sasso viene lasciato cadere in un pozzo. Si sente il rumore dell’impatto sul fondo dopo \(2.5\,{\mathrm{s} }\) dal lancio. Trascurando il tempo di propagazione del suono, determinare la profondità del pozzo.
7.: Una pallina viene lanciata verticalmente verso l’alto da terra con velocità iniziale \(v_0\). Sapendo che raggiunge un’altezza massima di \(20\,{\mathrm{m} }\), calcolare \(v_0\) e il tempo totale di volo.
8.: Un blocco scivola lungo un piano inclinato liscio di lunghezza \(2.0\,{\mathrm{m} }\) e angolo \(30\,{^\circ }\). Partendo da fermo, con quale velocità arriva alla base?
9.: Un punto materiale si muove di moto armonico con ampiezza \(A = 0.10\,{\mathrm{m} }\) e periodo \(T = 0.50\,{\mathrm{s} }\). Determinare la pulsazione \(\omega \), la frequenza \(f\) e la posizione del punto agli istanti \(t = 0\), \(t = T/4\), \(t = T/2\), supponendo \(\varphi = 0\).