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“C’è un fatto, o se preferite, una legge, che governa tutti i fenomeni naturali noti finora. Non si
conosce eccezione a questa legge — è esatta per quanto ne sappiamo. La legge si chiama
conservazione dell’energia.”
— Richard P. Feynman, La fisica di Feynman
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Nei capitoli precedenti abbiamo descritto il moto (cap. 3) e individuato le leggi che lo governano: la seconda legge della dinamica (cap. 6) permette in linea di principio di prevedere il moto di un punto materiale a partire dalle forze che agiscono su di esso. La risoluzione concreta del problema \(\vec{F}_{\!\text{ris}} = m\,\vec{a} \) è però spesso laboriosa, e in molte situazioni non interessa il dettaglio istante per istante, ma una relazione globale: ad esempio, conoscendo l’altezza da cui un sasso cade, vorremmo sapere a quale velocità arriva al suolo, senza dover scrivere la legge oraria del moto.
In questo capitolo introduciamo due concetti che rendono possibile questo passaggio: il lavoro di una forza e l’energia di un punto materiale. Il loro legame — il teorema delle forze vive — traduce la seconda legge della dinamica in una formulazione integrale, collegando il prodotto forza-spostamento alla variazione di una quantità scalare caratteristica del moto. Quando le forze in gioco sono conservative, il quadro si arricchisce con la nozione di energia potenziale e culmina nel principio di conservazione dell’energia meccanica: una grandezza che, in opportune condizioni, mantiene un valore costante durante il moto.
L’energia è una nozione che attraversa tutta la fisica e va ben oltre la meccanica: la incontreremo ancora nello studio della termodinamica (cap. 12), dell’elettromagnetismo, della relatività ristretta (cap. 19) e della fisica quantistica. Quando avremo terminato il corso, sarà uno dei principi unificanti più potenti che avremo a disposizione.
Consideriamo un punto materiale che si sposta lungo una traiettoria sotto l’azione di una forza \(\vec {F}\) costante. Quanto la forza “contribuisce” al moto? La sola intensità non basta: dipende anche da come la forza è orientata rispetto allo spostamento. Spingere un carrello in avanti è più efficace di spingerlo lateralmente, anche a parità di forza applicata.
Definizione 8.1 — Lavoro di una forza costante
Sia un punto materiale soggetto a una forza costante \(\vec {F}\) che subisce uno spostamento \(\vec{s} \). Si chiama lavoro compiuto dalla forza la grandezza scalare
dove \(\theta \) è l’angolo formato dai vettori \(\vec {F}\) e \(\vec{s} \).
Il lavoro si misura nel SI in joule (\({\mathrm{J} } = {\mathrm{N} }\cdot {\mathrm{m} }\)), in onore di James Prescott Joule, che nel XIX secolo stabilì sperimentalmente l’equivalenza fra lavoro meccanico e calore. Un joule è il lavoro compiuto da una forza di un newton il cui punto di applicazione si sposta di un metro nella stessa direzione: per dare un’idea, sollevare di un metro una mela di circa \(100\,{\mathrm{g} }\) richiede un lavoro di circa \(1\,{\mathrm{J} }\).
Il lavoro è una grandezza scalare, ma può essere positivo, negativo o nullo a seconda dell’angolo \(\theta \) fra forza e spostamento:
Attenzione!
Nel linguaggio quotidiano “lavoro” evoca fatica e sforzo. Il significato fisico è diverso: una forza che agisce su un corpo fermo non compie lavoro (non c’è spostamento), e una forza perpendicolare allo spostamento neppure. Reggere uno zaino fermo sulle spalle richiede sforzo muscolare, ma il lavoro fisico è nullo. Allo stesso modo, la forza centripeta che mantiene la Luna in orbita non compie lavoro perché è sempre perpendicolare alla velocità della Luna — e quindi al suo spostamento.
La definizione (8.1) si scrive in modo più sintetico utilizzando il prodotto scalare fra due vettori (cap. 2). Ricordiamo che, dati due vettori \(\vec {a}\) e \(\vec {b}\) formanti un angolo \(\theta \), il loro prodotto scalare è il numero \(\vec {a}\cdot \vec {b} = \lvert \vec {a}\rvert\,\lvert \vec {b}\rvert\,\cos \theta \).
In componenti, se \(\vec {F} = (F_x, F_y, F_z)\) e \(\vec{s} = (\Delta x, \Delta y, \Delta z)\), si ha
La formulazione vettoriale generalizza la definizione precedente a qualunque sistema di riferimento e qualunque orientazione di forza e spostamento, e la rende particolarmente comoda nei conti per componenti.
Nota
Quando agiscono più forze, il lavoro totale è la somma algebrica dei lavori delle singole forze. Equivalentemente, è il lavoro della risultante:
Questa proprietà segue dalla linearità del prodotto scalare e si rivelerà fondamentale nel teorema delle forze vive.
Esempio 8.1 — Spinta inclinata su pavimento orizzontale
Una cassa di massa \(m = 20\,{\mathrm{kg} }\) viene spinta su un pavimento orizzontale con una forza di modulo \(F = 50\,{\mathrm{N} }\) inclinata di \(\theta = 30\,{^\circ }\) verso il basso rispetto al piano. La cassa si sposta di \(s = 4.0\,{\mathrm{m} }\). Determinare il lavoro compiuto dalla forza, dalla forza peso e dalla reazione normale.
Soluzione
Per la (8.1), \(L _F = F\,s\,\cos \theta \). La forza peso è verticale, perpendicolare allo spostamento orizzontale, quindi \(L _{\vec{F}_{\!P} } = 0\). Anche la reazione normale è verticale: \(L _{\vec{N} } = 0\).
Sostituendo i valori:
La forza spingente compie un lavoro positivo (motore) di circa \(173\,{\mathrm{J} }\); le altre due forze non contribuiscono.
Cosa succede se la forza non è costante lungo il moto? Per esempio, la forza elastica di una molla cresce in modulo al crescere della deformazione; la forza gravitazionale fra due corpi varia con la distanza. In questi casi la (8.1) non è direttamente applicabile, ma può essere generalizzata con un’idea analoga a quella usata in cinematica per ricavare lo spostamento dal grafico \(v\)-\(t\) (cap. 3).
Limitiamoci, per semplicità, a un moto unidimensionale lungo l’asse \(x\), con forza \(F(x)\) diretta lungo l’asse e dipendente dalla sola posizione. Suddividiamo l’intervallo \([x_1, x_2]\) in tanti piccoli sotto-intervalli di larghezza \(\Delta x_i\), abbastanza piccoli perché la forza vi si possa considerare praticamente costante, di valore \(F(x_i)\). Il lavoro su ciascun sotto-intervallo vale circa \(F(x_i)\,\Delta x_i\) e il lavoro totale si ottiene sommando:
Geometricamente, ogni addendo è l’area di un rettangolino di base \(\Delta x_i\) e altezza \(F(x_i)\). Al limite per intervalli sempre più piccoli, la somma diventa l’area sottesa dal grafico \(F(x)\) tra \(x_1\) e \(x_2\).
Nota
Questa idea è la stessa che permette di calcolare lo spostamento come area sottesa al grafico \(v\)-\(t\). La somma di rettangolini sempre più sottili è la base intuitiva del concetto di integrale, che lo studente affronterà in modo sistematico al quinto anno. Per i nostri scopi, l’area sottesa è il modo geometrico di calcolare il lavoro di una forza non costante, finché sappiamo disegnare il grafico \(F(x)\).
Compiere un dato lavoro in un’ora o in un secondo non è la stessa cosa: il tempo impiegato è una caratteristica importante del processo. Per quantificarla si introduce la potenza.
Definizione 8.2 — Potenza media e istantanea
L’unità SI della potenza è il watt (\({\mathrm{W} } = {\mathrm{J} / \mathrm{s} }\)), in onore di James Watt, l’inventore della macchina a vapore moderna. Un’unità di uso comune è il cavallo vapore (CV), pari a circa \(735\,{\mathrm{W} }\).
Quando il punto materiale si muove con velocità \(\vec{v} \) sotto l’azione di una forza \(\vec {F}\), la potenza istantanea ha un’espressione particolarmente elegante. In un piccolo intervallo \(\Delta t\) lo spostamento è \(\vec{s} \approx \vec{v} \,\Delta t\), e il lavoro vale \(\Delta L = \vec {F}\cdot \vec{s} = \vec {F}\cdot \vec{v} \,\Delta t\). Dividendo per \(\Delta t\):
Esempio 8.2 — Potenza di un’auto
Un’auto di massa \(m = 1200\,{\mathrm{kg} }\) accelera da ferma fino a \(v = 30\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) (circa \(108\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\)) in \(\Delta t = 10\,{\mathrm{s} }\), lungo un tratto rettilineo orizzontale. Trascurando le resistenze, calcolare la potenza media sviluppata dal motore.
Soluzione
Algebricamente, il lavoro compiuto dalla forza motrice si traduce, come vedremo nel § 8.2.2, nella variazione di energia cinetica \(L = \tfrac {1}{2}\,m\,v^2 - 0\). La potenza media vale dunque
Sostituendo:
Un corpo in moto ha la capacità di compiere lavoro: una palla scagliata può rompere un vetro, un’auto in corsa può deformare un guard-rail, l’acqua di un fiume può far girare una ruota. Quanto più una massa è grande e quanto più è veloce, tanto maggiore è la sua capacità di compiere lavoro. Questa capacità si chiama energia cinetica.
Definizione 8.3 — Energia cinetica
L’energia cinetica si misura in joule, come il lavoro: \({\mathrm{kg} }\cdot ({\mathrm{m} / \mathrm{s} })^2 = {\mathrm{kg} \mathrm{m} ^{2} / \mathrm{s} ^{2} } = {\mathrm{J} }\). È una grandezza scalare e sempre non negativa: si annulla solo quando il corpo è fermo.
Notiamo due aspetti importanti:
Esempio 8.3 — Energia cinetica di un proiettile e di un’auto
Confrontare l’energia cinetica di un proiettile di massa \(m_1 = 10\,{\mathrm{g} }\) con velocità \(v_1 = 400\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), di un’auto di massa \(m_2 = 1000\,{\mathrm{kg} }\) alla velocità \(v_2 = 50\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\), e di un transatlantico di massa \(m_3 = 5\times 10^{7}\,{\mathrm{kg} }\) alla velocità \(v_3 = 20\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\).
Soluzione
Convertiamo le velocità in \({\mathrm{m} / \mathrm{s} }\): \(v_2 = 50/3.6 \approx 13.9\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) e \(v_3 = 20/3.6 \approx 5.56\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).
Algebricamente, \(E_k = \tfrac {1}{2}\,m\,v^2\) per ciascun corpo. Sostituendo:
Il proiettile, pur leggerissimo, ha energia comparabile a quella di un’automobile lanciata a velocità modesta; il transatlantico, pur lento, supera entrambi di molti ordini di grandezza.
La connessione fondamentale tra lavoro ed energia cinetica è il seguente teorema, storicamente noto come “teorema delle forze vive” (vis viva), terminologia che risale a Leibniz nel 1686.
Teorema 8.1 — Teorema delle forze vive
Il lavoro totale compiuto dalla forza risultante che agisce su un punto materiale, durante un suo qualunque spostamento, è uguale alla variazione di energia cinetica del punto stesso:
Diamo una giustificazione del teorema nel caso di moto rettilineo con forza risultante costante \(F\) diretta come lo spostamento. Dalle leggi del MRUA (cap. 3) abbiamo \(v_{\text {f}}^2 = v_{\text {i}}^2 + 2\,a\,s\), ovvero \(a\,s = (v_{\text {f}}^2 - v_{\text {i}}^2)/2\). Moltiplicando per \(m\):
cioè \(L = F\,s = \tfrac {1}{2}\,m\,v_{\text {f}}^2 - \tfrac {1}{2}\,m\,v_{\text {i}}^2 = \Delta E_k \). La dimostrazione si estende, con strumenti più avanzati, a qualunque tipo di moto e di forza.
Nota
Il segno del lavoro totale ha un significato preciso: se \(L _{\text {tot}} > 0\) l’energia cinetica aumenta e il corpo accelera (in modulo); se \(L _{\text {tot}} < 0\) l’energia cinetica diminuisce e il corpo decelera; se \(L _{\text {tot}} = 0\) il modulo della velocità resta invariato (la direzione può però cambiare, come nel moto circolare uniforme).
Esempio 8.4 — Velocità all’impatto di un sasso in caduta
Un sasso di massa \(m = 0.50\,{\mathrm{kg} }\) viene lasciato cadere da una quota \(h = 15\,{\mathrm{m} }\). Trascurando l’attrito dell’aria, calcolare la velocità con cui arriva al suolo usando il teorema delle forze vive.
Soluzione
L’unica forza in gioco è la forza peso \(\vec{F}_{\!P} \), parallela e concorde allo spostamento, che vale \(\Delta y = h\) (la quota diminuisce di \(h\), ma il vettore peso è nello stesso verso del moto, quindi \(\theta = 0\)). Il lavoro della forza peso è
Per il teorema delle forze vive, \(L _{\vec{F}_{\!P} } = \tfrac {1}{2}\,m\,v^2 - 0\), da cui
Sostituendo: \(v = \sqrt {2\cdot 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\cdot 15\,{\mathrm{m} }} \approx 17\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).
Il risultato non dipende dalla massa, in pieno accordo con la legge della caduta dei gravi (cap. 3). Notiamo come il teorema permetta di ricavare \(v\) senza calcolare il tempo di caduta: una scorciatoia molto utile.
Per certe forze — la forza peso, la forza elastica, la forza gravitazionale, la forza di Coulomb — il lavoro compiuto durante uno spostamento dipende solo dalle posizioni di partenza e di arrivo, non dal cammino percorso per andare dall’una all’altra. Per altre — l’attrito dinamico, la resistenza dell’aria — il lavoro dipende invece dall’intera traiettoria: percorrendo un tragitto più lungo, si dissipa più energia.
Definizione 8.4 — Forza conservativa
Una formulazione equivalente: una forza è conservativa se e solo se il lavoro che compie lungo un qualunque cammino chiuso (con \(A = B\)) è nullo. Infatti, se il lavoro non dipende dal cammino, allora andare da \(A\) a \(B\) per una via e tornare per un’altra produce lavori opposti, la cui somma è nulla.
Quando una forza è conservativa, ad ogni posizione \(P\) del punto materiale è possibile associare un numero \(E_{p} (P)\), detto energia potenziale, tale che il lavoro compiuto dalla forza nello spostamento da \(A\) a \(B\) è
L’energia potenziale è definita a meno di una costante additiva: ciò che ha significato fisico sono le sue differenze, non i valori assoluti. Si fissa un livello di riferimento (un punto in cui \(E_{p} = 0\)) e si misurano le altre energie potenziali rispetto ad esso.
Attenzione!
Il segno meno nella (8.7) è cruciale: quando l’energia potenziale diminuisce, la forza compie lavoro positivo. Una palla che cade perde quota e quindi energia potenziale gravitazionale, mentre la forza peso compie un lavoro motore (positivo).
Le forze non conservative, di cui l’attrito dinamico è il prototipo, non ammettono un’energia potenziale. Il lavoro dell’attrito su un blocco che striscia su un tavolo è proporzionale alla lunghezza del cammino percorso ed è sempre negativo: percorrere un giro chiuso non riporta a lavoro nullo, e parte dell’energia meccanica iniziale viene dissipata in calore.
Vicino alla superficie terrestre, la forza peso è costante: \(\vec{F}_{\!P} = -m\,g \,\hat{\jmath} \) se l’asse \(y\) è verticale e orientato verso l’alto. Calcoliamo il lavoro della forza peso quando il punto materiale si sposta da una quota \(y_1\) a una quota \(y_2\), lungo un cammino qualunque.
Consideriamo dapprima un cammino verticale: lo spostamento ha solo la componente \(\Delta y = y_2 - y_1\), quindi \(L = \vec{F}_{\!P} \cdot \vec{s} = -m\,g \,(y_2 - y_1)\). Nel caso di un cammino inclinato, la componente orizzontale dello spostamento è perpendicolare alla forza peso e non contribuisce al lavoro: solo la componente verticale conta, e il risultato è il medesimo. La forza peso è dunque conservativa: il suo lavoro dipende solo dal dislivello \(\Delta y\).
Confrontando con la (8.7),
si identifica l’energia potenziale gravitazionale (in approssimazione locale, ovvero per \(g \) costante):
Si sceglie comunemente la costante in modo che \(E_{p} = 0\) a una quota di riferimento (il pavimento, il livello del mare, il piano della scrivania): tutte le quote diventano allora positive verso l’alto e negative verso il basso.
Nota
La formula vale solo per dislivelli piccoli rispetto al raggio terrestre, in cui \(g \) può essere considerato costante. Per problemi astronomici (un satellite, la Luna) si dovrà ricorrere alla legge di gravitazione universale e a un’energia potenziale diversa, \(E_{p} (r) = -G\,M\,m/r\), che vedremo nel cap. 13.
Una molla ideale di costante elastica \(k\), deformata di un tratto \(x\) rispetto alla posizione di riposo, esercita la forza di richiamo \(F = -k\,x\) (legge di Hooke, cap. 6). La forza varia linearmente con la posizione: per calcolarne il lavoro non si può usare la formula della forza costante, ma si ricorre all’idea grafica del § 8.1.3.
Calcoliamo il lavoro che la forza elastica compie quando il corpo si sposta da \(x = 0\) (posizione di riposo) a una posizione generica \(x\). Sul grafico \(F\)-\(x\), la forza è la retta \(F = -k\,x\); l’area sottesa fra \(0\) e \(x\) è un triangolo di base \(x\) e altezza \(|{-k\,x}| = k\,x\), con segno negativo (l’area è sotto l’asse). Quindi
Più in generale, in uno spostamento da \(x_1\) a \(x_2\), il lavoro vale \(L = -\tfrac {1}{2}\,k\,x_2^2 - (-\tfrac {1}{2}\,k\,x_1^2) = \tfrac {1}{2}\,k\,x_1^2 - \tfrac {1}{2}\,k\,x_2^2\). Confrontando con la (8.7), si ottiene l’energia potenziale elastica:
L’origine della scala (dove \(E_{p} = 0\)) è scelta naturalmente nella posizione di riposo \(x = 0\). L’energia potenziale elastica è sempre non negativa, ed è quadratica in \(x\): deformazioni doppie corrispondono a energie quadruple.
Esempio 8.5 — Energia di una molla compressa
Una molla di costante elastica \(k = 200\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} }\) viene compressa di \(x = 5.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) rispetto alla posizione di riposo. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata?
Soluzione
Algebricamente, \({E_{p} }_{\text {el}} = \tfrac {1}{2}\,k\,x^2\). Convertendo \(x = 0.050\,{\mathrm{m} }\) e sostituendo:
La molla immagazzina \(0.25\,{\mathrm{J} }\), energia che potrà essere restituita ad un corpo che le venga messo a contatto e lasciato libero.
I concetti di lavoro, energia cinetica ed energia potenziale si riuniscono ora in un risultato di portata fondamentale.
Definizione 8.5 — Energia meccanica
L’energia meccanica include tutte le energie potenziali presenti: ad esempio, in un sistema con sia gravità sia molla, \(E_{\text{mec}} = E_k + {E_{p} }_{\text {grav}} + {E_{p} }_{\text {el}}\).
Teorema 8.2 — Conservazione dell’energia meccanica
La dimostrazione è immediata: per il teorema delle forze vive, \(L _{\text {tot}} = \Delta E_k \). Per la (8.7), se tutte le forze sono conservative, \(L _{\text {tot}} = -\Delta E_{p} \). Combinando,
La conservazione dell’energia meccanica è uno strumento di calcolo straordinariamente potente: scelti due istanti di osservazione qualunque (uno iniziale e uno finale), permette di scrivere direttamente
e di estrarre la grandezza incognita senza dover ricostruire il moto in dettaglio.
Esempio 8.6 — Velocità a fondo piano inclinato senza attrito
Un blocco di massa \(m = 2.0\,{\mathrm{kg} }\) scende, partendo da fermo, lungo un piano inclinato liscio di angolo \(\theta = 30\,{^\circ }\) e lunghezza \(\ell = 4.0\,{\mathrm{m} }\). Determinare la velocità con cui arriva alla base.
Soluzione
Sul piano agiscono la forza peso (conservativa), la reazione normale (perpendicolare al moto, lavoro nullo) e nessun attrito. L’energia meccanica si conserva.
Algebricamente: poniamo \(E_{p} = 0\) alla base del piano e indichiamo con \(h = \ell \,\sin \theta \) la quota iniziale. Lo stato iniziale ha \({E_k }_{\text {i}} = 0\) e \({E_{p} }_{\text {i}} = m\,g \,h\); lo stato finale ha \({E_k }_{\text {f}} = \tfrac {1}{2}\,m\,v^2\) e \({E_{p} }_{\text {f}} = 0\). La conservazione dà
Sostituendo: \(h = 4.0\,{\mathrm{m} }\cdot \sin (30\,{^\circ }) = 2.0\,{\mathrm{m} }\), e
La massa non compare nel risultato finale, e la velocità è la stessa che avrebbe il corpo cadendo verticalmente da quota \(h\): il piano inclinato cambia l’accelerazione con cui il moto si svolge, non la velocità di arrivo, perché la conservazione dell’energia coinvolge solo il dislivello.
Esempio 8.7 — Pendolo semplice
Un pendolo è costituito da un filo di lunghezza \(\ell = 1.20\,{\mathrm{m} }\) e da una massa puntiforme \(m\) all’estremità inferiore. La massa viene scostata dalla verticale di un angolo \(\theta _0 = 40\,{^\circ }\) e lasciata libera. Trascurando l’attrito, calcolare la velocità con cui transita per il punto più basso.
Soluzione
Le forze in gioco sono la forza peso (conservativa) e la tensione del filo. La tensione è in ogni istante perpendicolare al moto (diretta lungo il filo, mentre la velocità è tangente all’arco) e quindi non compie lavoro. L’energia meccanica si conserva.
Algebricamente: ponendo lo zero dell’energia potenziale nel punto più basso, l’altezza iniziale rispetto a quel punto vale
La conservazione dell’energia, fra la quota iniziale (a riposo) e il punto più basso (di massima velocità), dà
Sostituendo: \(1 - \cos (40\,{^\circ }) \approx 0.234\), quindi
In presenza di forze non conservative — attrito dinamico, resistenza viscosa — l’energia meccanica non si conserva. Per quantificarne la diminuzione, riprendiamo il teorema delle forze vive separando esplicitamente i due tipi di lavoro:
Per le forze conservative vale \(L _{\text {cons}} = -\Delta E_{p} \), quindi
Il lavoro delle forze non conservative coincide con la variazione di energia meccanica. Per le forze dissipative (attrito, viscosità) tale lavoro è negativo, e la conseguenza è una diminuzione di \(E_{\text{mec}} \): l’energia “persa” dal sistema meccanico non scompare, però; si trasforma in altre forme — principalmente calore (cap. 12) — per cui la conservazione dell’energia totale, in senso esteso, continua a valere. È questo il significato profondo del passaggio dalla meccanica alla termodinamica, di cui ci occuperemo più avanti.
Esempio 8.8 — Blocco frenato dall’attrito
Un blocco di massa \(m = 1.5\,{\mathrm{kg} }\) viene lanciato lungo un piano orizzontale con velocità iniziale \(v_0 = 6.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Il coefficiente di attrito dinamico fra blocco e piano vale \(\mu _\text {d} = 0.30\). Determinare lo spazio percorso prima di fermarsi.
Soluzione
La forza di attrito ha modulo \(\vec{F}_{\!a} = \mu _\text {d}\,m\,g \), è opposta al moto e quindi compie un lavoro
dove \(d\) è lo spazio percorso. La forza peso e la reazione normale sono perpendicolari al moto e non contribuiscono.
Algebricamente, per la (8.12) (e con \(\Delta E_{p} = 0\), perché il moto è orizzontale), il lavoro dell’attrito uguaglia la variazione di energia cinetica:
Sostituendo:
Notiamo come la massa si semplifichi: lo spazio di arresto dipende solo dalla velocità iniziale, dal coefficiente di attrito e da \(g \).
Nota
Lo stesso problema si potrebbe risolvere per via dinamica, con \(\vec{F}_{\!\text{ris}} = m\,\vec{a} \) e poi con le leggi del MRUA. Si arriverebbe alla stessa formula. Il vantaggio del metodo energetico è che non richiede di risolvere il moto dettagliatamente: scelti gli stati iniziale e finale, si scrive direttamente l’equazione fra le energie. Per problemi più complessi (curve, superfici irregolari, sistemi di più corpi) il guadagno è ancora più sensibile.
Riepilogo
Esercizio 8.1
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