“Il principiante che inciampi non sui contenuti ma sulle convenzioni di calcolo è come un atleta
zoppicato dai lacci: sa correre, ma non riesce a farlo.”
— adattamento didattico (parafrasi)
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Questo capitolo è un ripasso compatto dei saperi matematici acquisiti nella scuola media. Non sostituisce un libro di scuola media: è pensato per chi affronta il liceo e vuole verificare di avere i prerequisiti algebrici e aritmetici saldi prima di entrare nei capitoli successivi (calcolo letterale avanzato, equazioni, disequazioni, geometria analitica).
Ogni sezione è breve, frutto di una sintesi: definizioni essenziali, formule da ricordare in box evidenziato, un esempio per fissare il metodo. Se una sezione ti risulta poco chiara, è il segnale che ti serve studiare meglio l’argomento corrispondente su un testo di scuola media.
La matematica si articola tradizionalmente in alcuni grandi rami:
I rami non sono compartimenti stagni: l’algebra usa l’aritmetica, la geometria analitica unisce algebra e geometria, l’analisi usa tutte le altre. Il programma di liceo costruisce gli strumenti necessari ad attraversare questa rete.
Gli insiemi numerici si costruiscono per estensioni successive, ciascuna per soddisfare un’operazione che nel precedente non era sempre possibile.
Catena di inclusioni: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \) (ogni intero è razionale, ogni naturale è intero).
Le quattro operazioni base (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) soddisfano queste proprietà:
Regola dei segni in \(\mathbb{Z} \):
Esempio 1.1
Applicare la distributiva Calcolare \(7 \cdot 23\) scomponendo \(23 = 20 + 3\): \(7 \cdot 23 = 7 \cdot (20 + 3) = 7 \cdot 20 + 7 \cdot 3 = 140 + 21 = 161\).
Divisione per zero: non è definita. \(a / 0\) non ha senso matematico (\(0\) non ha inverso moltiplicativo).
Definizione 1.1 — Potenza
Proprietà delle potenze (\(a, b \neq 0\), \(m, n \in \mathbb{Z} \)):
Notazione scientifica: ogni numero positivo si può scrivere come \(a \cdot 10^n\) con \(1 \leq a < 10\) e \(n \in \mathbb{Z} \) (es. \(4.56 \cdot 10^7\), \(3.14 \cdot 10^{-5}\)). È la base della notazione scientifica usata in fisica.
Esempio 1.2
Semplificare \((2^3)^4 \cdot 2^{-5} = 2^{12} \cdot 2^{-5} = 2^7 = 128\).
\(a\) divide \(b\) (scritto \(a \mid b\)) se esiste \(k \in \mathbb{Z} \) tale che \(b = k \cdot a\). Allora \(a\) è un divisore di \(b\) e \(b\) è un multiplo di \(a\).
Criteri di divisibilità (utilissimi per il calcolo mentale):
Definizione 1.2 — MCD e mcm
Calcolo via scomposizione in fattori primi:
Esempio 1.3
MCD e mcm di 12 e 18 \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3^2\). \(\operatorname {MCD}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6\). \(\operatorname {mcm}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36\). Verifica: \(\operatorname {MCD} \cdot \operatorname {mcm} = 6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18\). \(\checkmark\)
Definizione 1.3 — Numero primo
Primi inferiori a \(30\): \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\).
Crivello di Eratostene: algoritmo per trovare tutti i primi fino a un limite \(N\). Si scrivono i numeri da \(2\) a \(N\), si cerchia \(2\) e si cancellano i suoi multipli; si cerchia il prossimo non cancellato (\(3\)) e si cancellano i suoi multipli; si procede fino a \(\sqrt {N}\). I numeri rimasti cerchiati o non cancellati sono i primi.
Legge 1.1 — Teorema fondamentale dell’aritmetica
Esempio 1.4
Fattorizzazione di 120 \(120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\).
Una frazione \(\dfrac {a}{b}\) (con \(b \neq 0\)) rappresenta un numero razionale. \(a\) è il numeratore, \(b\) il denominatore.
Frazioni equivalenti: \(\dfrac {a}{b} = \dfrac {a \cdot k}{b \cdot k}\) per ogni \(k \neq 0\) (proprietà invariantiva: moltiplicare/dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero non altera il valore).
Riduzione ai minimi termini: dividere numeratore e denominatore per \(\operatorname {MCD}(a, b)\). La frazione risultante è irriducibile.
Operazioni con frazioni:
Esempio 1.5
Somma di frazioni \(\dfrac {2}{3} + \dfrac {1}{4} = \dfrac {2 \cdot 4 + 3 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \dfrac {8 + 3}{12} = \dfrac {11}{12}\).
Un numero razionale, scritto in forma decimale, può essere:
Quando si ottiene un decimale finito vs periodico: dato \(a/b\) con frazione irriducibile, \(b\) contiene solo i fattori primi \(2\) e \(5\) \(\Rightarrow \) decimale finito; altrimenti periodico.
Frazione generatrice: ogni decimale (finito o periodico) si può riportare a frazione. Algoritmi noti per periodici:
Esempio 1.6
Frazione generatrice di \(0.\overline {27}\) \(0.\overline {27} = 27/99 = 3/11\) (ridotta ai minimi termini).
Il rapporto fra due grandezze omogenee \(a\) e \(b\) (con \(b \neq 0\)) è il quoziente \(a:b = a/b\).
Una proporzione è un’uguaglianza fra due rapporti: \(a:b = c:d\), dove \(a, d\) sono gli estremi e \(b, c\) i medi.
Proprietà fondamentale: \(a:b = c:d \iff a \cdot d = b \cdot c\).
Altre proprietà:
Percentuale: \(x\%\) significa \(x/100\). Per calcolare il \(p\%\) di una quantità \(Q\): \(Q \cdot p/100\).
Esempio 1.7
Risolvere una proporzione \(3 : 8 = x : 24 \Rightarrow x = 3 \cdot 24 / 8 = 9\).
L’insieme \(\mathbb{Q} \) dei razionali è “denso” (fra due razionali distinti ce n’è sempre un altro), ma non basta a misurare tutte le lunghezze. Storicamente, il problema emerse coi pitagorici.
Legge 1.2 — \(\sqrt {2}\) non è razionale
La diagonale di un quadrato di lato \(1\) ha lunghezza \(\sqrt {2}\). Si dimostra (per assurdo) che \(\sqrt {2} \notin \mathbb{Q} \).
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo \(\sqrt {2} = a/b\) con \(a, b\) interi positivi e \(\operatorname {MCD}(a, b) = 1\) (frazione ridotta). Allora \(2 = a^2/b^2\), da cui \(a^2 = 2b^2\): \(a^2\) è pari, quindi anche \(a\) è pari, \(a = 2k\). Sostituendo: \(4k^2 = 2b^2\), \(b^2 = 2k^2\), dunque \(b^2\) è pari, \(b\) è pari. Ma allora \(\operatorname {MCD}(a, b) \geq 2\), contraddizione.
Servono numeri “nuovi”, non esprimibili come frazione: i numeri irrazionali. Esempi celebri: \(\sqrt {2}, \sqrt {3}, \pi , e\).
L’insieme dei reali \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text {irrazionali}\}\) è completo: a ogni punto della retta corrisponde un reale e viceversa. Lo studio rigoroso (\(\mathbb{R} \) tramite sezioni di Dedekind o successioni di Cauchy) appartiene all’analisi.
Definizione 1.4 — Monomio
Grado: somma degli esponenti delle lettere. \(3x^2y\) ha grado \(3\); \(-7a^3b^2\) ha grado \(5\).
Monomi simili: hanno la stessa parte letterale (stessi esponenti per ogni lettera). Esempio: \(3xy\) e \(-5xy\) sono simili; \(3xy\) e \(3x^2y\) no.
Operazioni:
Grado del polinomio: massimo grado fra i suoi monomi. Polinomio ordinato: monomi disposti per gradi decrescenti (o crescenti) di una stessa lettera. Polinomio completo: contiene tutti i gradi da \(0\) al grado massimo (eventualmente con coefficienti nulli, da esplicitare se necessario per algoritmi).
Operazioni:
Identità algebriche da memorizzare tutte: rendono il calcolo letterale molto più veloce e sono la chiave per la scomposizione dei polinomi (capitolo successivo).
Differenza e somma di cubi (utili nella scomposizione):
Triangolo di Tartaglia (o di Pascal): fornisce i coefficienti di \((a + b)^n\) per ogni \(n \in \mathbb{N} \):
Ogni numero è la somma dei due sopra. La riga \(n\)-esima dà i coefficienti binomiali \(\binom {n}{0}, \binom {n}{1}, \ldots , \binom {n}{n}\).
Esempio 1.8
Applicare un prodotto notevole Sviluppare \((3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4\).
Esercizio 1.1
Riepilogo
Insiemi numerici — \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \). Estensioni successive per rendere chiuse le operazioni: \(\mathbb{Z} \) per la sottrazione, \(\mathbb{Q} \) per la divisione, \(\mathbb{R} \) per le radici e i limiti.
Operazioni e proprietà — Commutativa, associativa, distributiva. Regola dei segni per \(\mathbb{Z} \). Divisione per zero non definita.
Potenze — Proprietà fondamentali: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), \((ab)^n = a^n b^n\). Estensioni a esponente \(0\) e negativo. Notazione scientifica.
Divisibilità, MCD, mcm — Criteri di divisibilità (per \(2, 3, 5, 9, 10, 11\)). Calcolo di MCD e mcm tramite scomposizione in fattori primi. Identità \(\operatorname {MCD} \cdot \operatorname {mcm} = a \cdot b\).
Numeri primi — Definizione, crivello di Eratostene, teorema fondamentale dell’aritmetica (esistenza e unicità della fattorizzazione).
Frazioni — Proprietà invariantiva, riduzione ai minimi termini, operazioni. Confronto tramite riduzione a denominatore comune.
Numeri decimali — Finiti, periodici semplici, periodici misti. Frazione generatrice. Criterio sui fattori primi di \(b\) per distinguere finiti/periodici.
Rapporti, proporzioni, percentuali — Proprietà fondamentale \(a \cdot d = b \cdot c\). Percentuale \(= /100\).
Numeri irrazionali — \(\sqrt {2}, \pi , e\) ecc.; non esprimibili come frazione. Dimostrazione per assurdo dell’irrazionalità di \(\sqrt {2}\). Insieme \(\mathbb{R} \) completo.
Calcolo letterale — Monomi (coefficiente, parte letterale, grado, simili). Polinomi (somma, prodotto, divisione algoritmica).
Prodotti notevoli — \((a \pm b)^2\), \((a \pm b)(a \mp b)\), \((a \pm b)^3\), cubi somma/differenza, quadrato di trinomio. Triangolo di Tartaglia.