161 Progressioni aritmetiche

“

Si racconta che il piccolo Gauss, a nove anni, di fronte all’esercizio di sommare i primi cento numeri naturali, scrisse \(5050\) in pochi istanti. Aveva accoppiato i termini estremi: \(1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, \ldots \), ognuno di somma \(101\), e moltiplicato per il numero di coppie. La regola, formalizzata, vale per ogni progressione aritmetica e si attribuisce sin dall’antichità a Pitagora e a Diofanto.”

— Aneddoto biografico di Carl Friedrich Gauss (1777–1855), riportato da E. T. Bell, Men of Mathematics (1937)

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161.1 Introduzione motivazionale

Una progressione aritmetica è una successione in cui ogni termine si ottiene dal precedente sommando un numero fissato (ragione). È il caso più semplice di successione ricorsiva, e modella ogni fenomeno in cui c’è un aumento (o decremento) costante: il prezzo annuale di una merce con rincaro fisso, il numero di gradini di una scalinata, gli istanti regolari di un orologio.

Nel capitolo successivo (162) tratteremo l’analoga famiglia delle progressioni geometriche, dove la regola di costruzione è moltiplicativa anziché additiva.

Nota storica. Le progressioni aritmetiche sono fra gli oggetti aritmetici più antichi: appaiono già nei papiri egizi (Rhind, 1650 a.C., problema 64) e nella matematica babilonese, con problemi pratici di divisione di beni in parti decrescenti. Diofanto (III sec. d.C.) le studiò sistematicamente. La formula della somma è una delle prime gemme di tutta la matematica, una conseguenza diretta della simmetria della disposizione dei termini — come scoperse, secondo la leggenda, il bambino Gauss.

161.2 Definizione e ragione

Definizione 161.1 — Progressione aritmetica

Una successione \((a_n)\) si dice progressione aritmetica se la differenza fra ogni termine e il precedente è costante: esiste \(d \in \mathbb{R} \) (detto ragione) tale che

\[ a_{n+1} - a_n = d \quad \text {per ogni } n \in \mathbb{N} . \]

Equivalentemente: \(a_{n+1} = a_n + d\) (definizione ricorsiva).

Segno della ragione: \(d > 0\) \(\rightarrow \) progressione crescente; \(d < 0\) \(\rightarrow \) decrescente; \(d = 0\) \(\rightarrow \) costante.

Esempio 161.1 — Esempi numerici

\(1, 4, 7, 10, 13, \ldots \) — primo termine \(1\), ragione \(3\).
\(5, 1, -3, -7, -11, \ldots \) — primo termine \(5\), ragione \(-4\).
\(1.5, 2.0, 2.5, 3.0, \ldots \) — primo termine \(1.5\), ragione \(0.5\).
I numeri pari: \(0, 2, 4, 6, 8, \ldots \) — primo termine \(0\), ragione \(2\). Generalizzazione: i numeri della forma \(a + n d\).

Riconoscere una progressione aritmetica

Procedura — Verifica di progressione aritmetica

Data una successione, calcolare \(a_{n+1} - a_n\) per qualche valore di \(n\). Se la differenza è sempre la stessa, la successione è una progressione aritmetica e tale differenza è la ragione.

Esempio 161.2 — Verifica

\(3, 8, 13, 18, 23, \ldots \). Differenze: \(8-3=5\), \(13-8=5\), \(18-13=5\), \(23-18=5\). Progressione aritmetica con ragione \(5\).

\(1, 4, 9, 16, 25, \ldots \) (quadrati). Differenze: \(3, 5, 7, 9, \ldots \). Non costante: non è una progressione aritmetica. (È una progressione quadratica: le differenze prime formano una progressione aritmetica.)

161.3 Termine \(n\)-esimo

Formula del termine generale (progressione aritmetica):

\[ a_n = a_0 + n d, \qquad n \in \mathbb{N} . \]

(Se la convenzione di partenza è \(a_1\) anziché \(a_0\), la formula è \(a_n = a_1 + (n - 1) d\).)

Verifica per induzione. Per \(n = 0\): \(a_0 + 0 \cdot d = a_0\) \(\checkmark \). Se vale \(a_n = a_0 + n d\), allora \(a_{n+1} = a_n + d = a_0 + n d + d = a_0 + (n+1) d\) \(\checkmark \).

Esempio 161.3 — Calcolo di termini lontani

Progressione aritmetica con \(a_1 = 7\) e ragione \(d = 3\). Calcolare \(a_{20}\) e \(a_{100}\).

\(a_n = 7 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n + 4\). Quindi \(a_{20} = 64\), \(a_{100} = 304\).

Problema inverso: dati due termini, trovare \(a_0\) e \(d\)

Esempio 161.4 — Problema inverso

Sappiamo che in una progressione aritmetica \(a_4 = 13\) e \(a_9 = 33\). Determinare \(a_0\) e \(d\).

\(d = (a_9 - a_4)/(9 - 4) = (33 - 13)/5 = 4\). \(a_0 = a_4 - 4 d = 13 - 16 = -3\). Formula: \(a_n = -3 + 4 n\).

Verifica: \(a_4 = -3 + 16 = 13\) \(\checkmark \), \(a_9 = -3 + 36 = 33\) \(\checkmark \).

Proprietà: media aritmetica

In una progressione aritmetica, ogni termine (eccetto il primo e l’ultimo) è la media aritmetica dei suoi due vicini:

Dimostrazione: \(a_{n-1} + a_{n+1} = (a_n - d) + (a_n + d) = 2 a_n\). (Da qui il nome “aritmetica”.)

161.4 Somma dei primi \(n\) termini

Sia \(S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) la somma dei primi \(n\) termini di una progressione aritmetica con primo termine \(a_1\), \(n\)-esimo termine \(a_n\) e ragione \(d\).

La regola di Gauss

Somma dei primi \(n\) termini:

\[ S_n = \frac {n (a_1 + a_n)}{2}. \]

In parole: la somma è il numero di termini moltiplicato per la media fra il primo e l’ultimo.

Forma alternativa con \(a_1\) e \(d\)

Esempio 161.5 — Gauss bambino

\(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\). Progressione con \(a_1 = 1\), \(a_{100} = 100\), \(n = 100\). \(S = 100 \cdot (1 + 100)/2 = 100 \cdot 101/2 = 5050\).

Generalizzazione: \(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac {n(n+1)}{2}\).

Esempio 161.6 — Somma dei numeri dispari

\(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)\). Progressione aritmetica con \(a_1 = 1\), \(a_n = 2n - 1\), ragione \(d = 2\), numero di termini \(n\). Somma:

\[ S_n = \frac {n(1 + 2n - 1)}{2} = \frac {n \cdot 2n}{2} = n^2. \]

Sorprendente: la somma dei primi \(n\) numeri dispari è il quadrato di \(n\). È un risultato già noto a Pitagora (V sec. a.C.), ottenuto per via geometrica: ogni nuovo dispari completa un quadrato. Si visualizza con i “gnomoni”.

Esempio 161.7 — Numeri pari

\(2 + 4 + 6 + \cdots + 2 n = 2 (1 + 2 + \cdots + n) = 2 \cdot n(n+1)/2 = n(n+1)\).

161.5 Problemi con progressioni aritmetiche

Esempio 161.8 — Scalinata

Una scalinata ha \(30\) gradini. Il primo è alto \(15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), e ogni gradino successivo è di \(1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) più alto. Quanto è alto in totale l’edificio (somma delle altezze)?

\(a_1 = 15\), \(d = 1\), \(n = 30\). \(a_{30} = 15 + 29 = 44\). \(S_{30} = 30 \cdot (15 + 44)/2 = 30 \cdot 29.5 = 885\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } \approx 8.85\,{\mathrm{m} }\).

Esempio 161.9 — Risparmio progressivo

Una persona inizia a risparmiare il primo giorno \(1\) euro, il secondo \(2\) euro, il terzo \(3\) euro, e così via. Quanto avrà risparmiato dopo un anno (365 giorni)?

\(a_1 = 1\), \(a_{365} = 365\), \(S_{365} = 365 \cdot (1 + 365)/2 = 365 \cdot 183 = 66795\) euro. Sorprendentemente cospicuo: piccoli incrementi sommati danno cifre molto grandi.

Esempio 161.10 — Interpolazione

Inserire \(3\) medi aritmetici fra \(4\) e \(20\): trovare i numeri \(a_2, a_3, a_4\) tali che \(4, a_2, a_3, a_4, 20\) formi una progressione aritmetica.

\(5\) termini con \(a_1 = 4\), \(a_5 = 20\). \(d = (20 - 4)/4 = 4\). Quindi \(a_2 = 8, a_3 = 12, a_4 = 16\).

161.6 Esempi svolti

Esempio 161.11 — Determinare \(n\) noto \(S_n\)

Quanti sono i primi numeri naturali la cui somma vale \(2926\)?

\(S_n = n(n+1)/2 = 2926 \Rightarrow n(n+1) = 5852\). Risolvendo \(n^2 + n - 5852 = 0\): \(n = (-1 + \sqrt {1 + 23408})/2 = (-1 + 153)/2 = 76\). Verifica: \(76 \cdot 77/2 = 2926\) \(\checkmark \).

Esempio 161.12 — Somma di una progressione aritmetica

Calcolare \(S = 7 + 11 + 15 + 19 + \cdots + 99\).

Progressione con \(a_1 = 7\), \(d = 4\). Quanti termini? \(99 = 7 + (n-1) \cdot 4 \Rightarrow n - 1 = 23 \Rightarrow n = 24\). \(S = 24 \cdot (7 + 99)/2 = 24 \cdot 53 = 1272\).

Esempio 161.13 — Problema applicativo: prestito a rate

Un prestito di \(12000\) euro va restituito in \(24\) rate mensili decrescenti, in modo che la prima sia di \(700\) euro e ogni rata successiva diminuisca dello stesso importo (ragione \(d < 0\)). Determinare \(d\) e l’importo dell’ultima rata.

Somma di tutte le rate \(= 12000\). \(S_{24} = 24 \cdot (700 + a_{24})/2 = 12 (700 + a_{24}) = 12000 \Rightarrow a_{24} = 1000 - 700 = 300\).

Ragione: \(a_{24} = 700 + 23 d \Rightarrow d = (300 - 700)/23 = -400/23 \approx -17.39\) euro/mese.

Verifica: \(a_{24} = 700 + 23 \cdot (-17.39) = 700 - 400 = 300\) \(\checkmark \).

L’ultima rata è di \(300\) euro.

Esempio 161.14 — Somma di numeri in un intervallo

Calcolare la somma dei multipli di \(7\) compresi fra \(100\) e \(1000\).

Primo multiplo \(\ge 100\): \(\lceil 100/7 \rceil \cdot 7 = 15 \cdot 7 = 105\). Ultimo \(\le 1000\): \(\lfloor 1000/7 \rfloor \cdot 7 = 142 \cdot 7 = 994\). Numero di termini: \((994 - 105)/7 + 1 = 128\). Somma: \(S = 128 \cdot (105 + 994)/2 = 128 \cdot 549.5 = 70336\).

Esempio 161.15 — Costruzione di un quadrato

Mostrare che i primi \(n\) numeri dispari, disposti come “gnomoni” (cornici angolari), costruiscono un quadrato \(n \times n\). (Pitagora.)

Il primo dispari \(1\) è il primo quadrato \(1 \times 1\). Il secondo dispari \(3\) aggiunto forma un quadrato \(2 \times 2 = 4\) (\(1 + 3 = 4\)). Il terzo dispari \(5\) forma \(3 \times 3 = 9\) (\(1 + 3 + 5 = 9\)). E così via: \(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2\), conforme alla formula generale.

Esempio 161.16 — Termine medio di una progressione

In una progressione aritmetica di \(11\) termini, sappiamo che la somma totale è \(99\). Determinare il termine centrale (sesto).

Per simmetria: \(S_{11} = 11 \cdot (a_1 + a_{11})/2 = 11 \cdot a_6\) (dove \(a_6\) è la media fra \(a_1\) e \(a_{11}\), ovvero il termine medio per progressione aritmetica). Da \(11 a_6 = 99\), \(a_6 = 9\).

161.7 Esercizi proposti

Esercizio 161.1

1.

Stabilire se le seguenti successioni sono progressioni aritmetiche; in caso affermativo, indicare ragione e formula esplicita:

(a): \(2, 5, 8, 11, 14, \ldots \);
(b): \(10, 7, 4, 1, -2, \ldots \);
(c): \(1, 2, 4, 8, 16, \ldots \);
(d): \(3, 3, 3, 3, \ldots \);
(e): \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots \).

2.

Calcolare il termine richiesto in ogni progressione aritmetica:

(a): \(a_1 = 5, d = 2\): calcolare \(a_{20}\);
(b): \(a_1 = 100, d = -3\): calcolare \(a_{50}\);
(c): \(a_1 = 0.5, d = 0.3\): calcolare \(a_{15}\).

3.

Problemi inversi (dati due termini, trovare \(a_1\) e \(d\)):

(a): \(a_3 = 10\), \(a_7 = 26\);
(b): \(a_5 = 0\), \(a_{12} = -21\);
(c): \(a_2 = 1.5\), \(a_8 = 7.5\).

4.

Calcolare le somme:

(a): \(1 + 2 + 3 + \cdots + 200\);
(b): \(5 + 10 + 15 + \cdots + 500\);
(c): \(2 + 4 + 6 + \cdots + 100\);
(d): \(1 + 3 + 5 + \cdots + 199\) (multipli dispari);
(e): \(-3 - 1 + 1 + 3 + \cdots + 99\).

5.

Quanti sono i primi \(n\) numeri naturali la cui somma vale:

(a): \(55\);
(b): \(210\);
(c): \(1275\).

6.

Calcolare la somma dei multipli di \(5\) compresi fra \(1\) e \(1000\).

7.

Calcolare la somma di tutti i numeri dispari di tre cifre.

8.

In una progressione aritmetica, \(a_3 = 11\) e \(S_5 = 55\). Determinare \(a_1\) e \(d\).

9.

Una scala ha \(20\) gradini. Il primo è alto \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e ognuno successivo \(2\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\) in più. Determinare l’altezza totale.

10.

Un negoziante vende il primo giorno \(3\) unità di un prodotto, il secondo \(5\), il terzo \(7\), e così via incrementando di \(2\) ogni giorno. In quanti giorni vende complessivamente \(255\) unità?

11.

Inserire quattro medi aritmetici fra \(2\) e \(27\).

12.

Sia \(S_n\) la somma dei primi \(n\) termini di una progressione aritmetica. Mostrare che, se \(S_p = q\) e \(S_q = p\) (\(p \ne q\)), allora \(S_{p+q} = -(p + q)\).

13.

Una progressione aritmetica ha la somma dei primi \(20\) termini uguale a \(1010\). Sapendo che il decimo termine è \(50\), determinare la ragione.

14.

Un’azienda ha registrato i seguenti incassi annui dal 2020 al 2024: \(50000, 55000, 60000, 65000, 70000\) euro. Verificare che formano una progressione aritmetica e prevedere (per estrapolazione lineare) gli incassi nel 2030.

15.

Mostrare che, in qualunque progressione aritmetica di un numero dispari di termini, il termine centrale è uguale alla media aritmetica di tutti i termini.

16.

Sfida (somme di potenze). Mostrare che la somma \(1^k + 2^k + \cdots + n^k\) non forma una progressione aritmetica per \(k \ge 1\). Calcolarla per \(k = 2\) e \(k = 3\) (suggerimento: \(\sum k^2 = n(n+1)(2n+1)/6\), \(\sum k^3 = [n(n+1)/2]^2\) — da dimostrarsi per induzione, vedi 163).

161.8 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Progressione aritmetica: \(a_{n+1} = a_n + d\), con \(d\) ragione.
Termine generale: \(a_n = a_0 + n d\) (oppure \(a_n = a_1 + (n-1) d\) se si parte da \(a_1\)).
Problema inverso: dati \(a_p\) e \(a_q\), si ricavano \(d = (a_q - a_p)/(q - p)\) e \(a_0\).
Proprietà della media: in una progressione aritmetica, \(a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2\).
Somma dei primi \(n\) termini (regola di Gauss):
\[ S_n = \frac {n (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac {n(n-1)}{2} d. \]
Casi notevoli:
- Numeri naturali: \(1 + 2 + \cdots + n = n(n+1)/2\).
- Numeri dispari: \(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2\) (Pitagora).
- Numeri pari: \(2 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1)\).
Nel prossimo capitolo (162) studiamo le progressioni geometriche, in cui la struttura ricorsiva è moltiplicativa anziché additiva: \(a_{n+1} = q \cdot a_n\).

Capitolo 161 Progressioni aritmetiche