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Capitolo 3
Connettivi logici e tavole di verità

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“

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È impossibile che uno stesso predicato appartenga e insieme non appartenga al medesimo soggetto, e sotto lo stesso rispetto.”

— Aristotele, Metafisica, libro IV

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3.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente abbiamo imparato a parlare di insiemi: a dire “\(x\) appartiene” oppure “\(x\) non appartiene”. Una volta che abbiamo un vocabolario per gli oggetti matematici, ci serve anche un vocabolario per le frasi che li riguardano: come si combinano, come si negano, quando una frase è conseguenza di un’altra.

Dire “\(\sqrt {2}\) non è razionale”, “se \(n\) è pari allora \(n^2\) è pari”, “\(x>0\) e \(y>0\) implica \(xy>0\)” significa usare delle particelle precise — non, se…allora, e, o — che in matematica hanno un significato fissato una volta per tutte. Capire questo linguaggio è il primo passo verso la dimostrazione: senza connettivi univoci non c’è ragionamento univoco.

In questo capitolo introduciamo i cinque connettivi fondamentali (negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione) e lo strumento delle tavole di verità, che permette di ridurre il significato di qualsiasi enunciato composto a una semplice tabella di simboli. È uno strumento meccanico ma potentissimo: ci consentirà di riconoscere quando due frasi dicono la stessa cosa e quando una è conseguenza dell’altra.

3.2 Proposizioni

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Definizione 3.1 — Proposizione

Una proposizione (o enunciato) è una frase dichiarativa che può essere classificata come vera oppure falsa, in modo univoco e indipendentemente da chi la pronuncia.

Indicheremo le proposizioni con lettere minuscole (\(p\), \(q\), \(r\), \(\ldots \)) e useremo i simboli V e F (oppure \(1\) e \(0\)) per indicare i due possibili valori di verità.

Esempio 3.1 — Frasi che sono proposizioni

Sono proposizioni:

Esempio 3.2 — Frasi che NON sono proposizioni

Non sono proposizioni:

Attenzione!

Una proposizione è vera o falsa indipendentemente dal fatto che noi sappiamo quale dei due valori abbia. La frase “esistono infinite coppie di primi gemelli” è una proposizione: o è vera o è falsa, anche se a oggi nessuno sa quale delle due cose.

Nota  — Due principi cardine

La logica classica si fonda su due principi che useremo implicitamente in tutto il libro:

1.
principio di non contraddizione: nessuna proposizione può essere insieme vera e falsa;
2.
principio del terzo escluso: ogni proposizione è vera oppure falsa (non c’è un terzo caso possibile).

Sono i due principi richiamati da Aristotele nella citazione di apertura.

Le proposizioni \(p\), \(q\), \(\ldots \) scritte “così come sono” si dicono atomiche o semplici. Combinandole con i connettivi che introdurremo nelle prossime sezioni si ottengono proposizioni composte.

3.3 Negazione

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Il primo e più semplice connettivo è la negazione: opera su una sola proposizione e ne inverte il valore di verità.

Definizione 3.2 — Negazione

La negazione di una proposizione \(p\) è la proposizione \(\lnot p\) (si legge “non \(p\)”), che è vera quando \(p\) è falsa e falsa quando \(p\) è vera.

La regola si riassume in una tabella, detta tavola di verità del connettivo:

\[ \begin {array}{|c|c|} \hline p & \lnot p \\ \hline \text {V} & \text {F} \\ \text {F} & \text {V} \\ \hline \end {array} \]

Esempio 3.3

Se \(p\): “\(7\) è primo” (vera), allora \(\lnot p\): “\(7\) non è primo” (falsa). Se \(q\): “\(\pi \) è razionale” (falsa), allora \(\lnot q\): “\(\pi \) non è razionale” (vera).

Attenzione!

Negare una proposizione non significa dire il contrario nel linguaggio comune. La negazione di “tutti gli studenti sono presenti” non è “tutti gli studenti sono assenti”: è “esiste almeno uno studente assente” (lo vedremo a fondo nel capitolo sui quantificatori).

Teorema 3.1 — Doppia negazione

Per ogni proposizione \(p\) vale \(\lnot (\lnot p) = p\).

Dimostrazione. Confrontiamo le colonne nella tavola di verità:

\[ \begin {array}{|c|c|c|} \hline p & \lnot p & \lnot (\lnot p) \\ \hline \text {V} & \text {F} & \text {V} \\ \text {F} & \text {V} & \text {F} \\ \hline \end {array} \]

Le colonne di \(p\) e di \(\lnot (\lnot p)\) coincidono riga per riga: le due proposizioni hanno lo stesso valore di verità in ogni caso, dunque coincidono.

3.4 Congiunzione e disgiunzione

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I due connettivi binari più semplici corrispondono al nostro “e” e al nostro “o”.

Definizione 3.3 — Congiunzione

La congiunzione di \(p\) e \(q\) è la proposizione \(p\land q\) (si legge “\(p\) e \(q\)”), che è vera quando entrambe \(p\) e \(q\) sono vere, e falsa in tutti gli altri casi.

Definizione 3.4 — Disgiunzione

La disgiunzione (inclusiva) di \(p\) e \(q\) è la proposizione \(p\lor q\) (si legge “\(p\) o \(q\)”), che è vera quando almeno una fra \(p\) e \(q\) è vera, e falsa solo quando entrambe sono false.

Le tavole di verità sono:

\[ \begin {array}{|c|c||c|c|} \hline p & q & p\land q & p\lor q \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {V} \\ \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {V} \\ \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {F} \\ \hline \end {array} \]

Attenzione!

La disgiunzione logica \(\lor \) è inclusiva: “\(p\) o \(q\)” è vera anche quando lo sono entrambe. Nel linguaggio comune “o” è talvolta esclusiva (“prendi il caffè o il tè” di solito significa “uno solo dei due”). In matematica si usa \(\lor \) in senso inclusivo; il caso esclusivo, indicato \(p\veebar q\) o XOR, è vero solo se esattamente una delle due è vera.

Esempio 3.4 — Lettura concreta

Siano \(p\): “\(6\) è pari” (V) e \(q\): “\(6\) è primo” (F). Allora:

Il legame con la teoria degli insiemi (capitolo 2) è diretto: se interpretiamo \(p\) come “\(x\in A\)” e \(q\) come “\(x\in B\)”, allora \(p\land q\) corrisponde a \(x\in A\cap B\) e \(p\lor q\) a \(x\in A\cup B\). La figura 3.1 lo visualizza.

[Picture]

Figura 3.1: Lettura insiemistica di congiunzione e disgiunzione. A sinistra, la regione colorata è l’intersezione \(A\cap B\) (gli \(x\) per cui \(p\) e \(q\) sono vere). A destra, l’unione \(A\cup B\) (gli \(x\) per cui \(p\) o \(q\) è vera).

3.5 Implicazione

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L’implicazione è il connettivo del ragionamento: corrisponde al “se…allora…”.

Definizione 3.5 — Implicazione

L’implicazione “se \(p\) allora \(q\)” è la proposizione \(p\Rightarrow q\), che è falsa soltanto nel caso in cui \(p\) sia vera e \(q\) sia falsa, e vera in tutti gli altri casi. \(p\) si dice ipotesi (o antecedente), \(q\) si dice tesi (o conseguente).

La tavola di verità è:

\[ \begin {array}{|c|c||c|} \hline p & q & p\Rightarrow q \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} \\ \text {F} & \text {V} & \text {V} \\ \text {F} & \text {F} & \text {V} \\ \hline \end {array} \]

Attenzione!

Le ultime due righe sono il punto più delicato per chi inizia. Se l’ipotesi \(p\) è falsa, l’implicazione \(p\Rightarrow q\) si considera vera qualunque sia \(q\). È la cosiddetta implicazione vacua: “se sono sulla Luna, allora \(2+2=4\)” è una implicazione vera, perché la premessa è falsa e dunque l’implicazione non è mai messa alla prova.

Nota  — Perché questa convenzione

L’idea è che \(p\Rightarrow q\) esprime una promessa: “se si verifica \(p\), allora si verificherà \(q\)”. La promessa è violata solo se \(p\) accade ma \(q\) non accade. Se \(p\) non accade affatto, la promessa non è stata messa alla prova e quindi non è stata infranta: la consideriamo vera.

Esempio 3.5 — Quattro casi

Sia \(p\): “\(n\) è multiplo di \(4\)”; \(q\): “\(n\) è pari”. Verifichiamo \(p\Rightarrow q\) per quattro scelte di \(n\):

Per nessun \(n\) multiplo di \(4\) accade \(q\) falso: l’implicazione resta sempre vera. Se trovassimo anche un solo \(n\) multiplo di \(4\) ma dispari, avremmo \(p\) V e \(q\) F, e l’implicazione diventerebbe falsa (è il controesempio).

Definizione 3.6 — Condizione necessaria, sufficiente

Se \(p\Rightarrow q\), si dice che \(p\) è condizione sufficiente per \(q\), e che \(q\) è condizione necessaria per \(p\). Cioè: per avere \(q\) basta avere \(p\); e per poter avere \(p\) è indispensabile che valga \(q\).

Esempio 3.6

“Se piove allora la strada è bagnata” (\(p\Rightarrow q\)): la pioggia è sufficiente a bagnare la strada (basta che piova); la strada bagnata è necessaria se piove (non si dà pioggia senza strada bagnata). Ma la strada bagnata può avere altre cause (un’autobotte), quindi non è sufficiente a concludere che piova.

Definizione 3.7 — Inversa, contraria, contrapposta

Data l’implicazione \(p\Rightarrow q\), si chiamano:

Teorema 3.2 — Legge di contrapposizione

Per ogni \(p\), \(q\) vale

\[ (p\Rightarrow q) \equiv (\lnot q \Rightarrow \lnot p), \]

ovvero un’implicazione e la sua contrapposta hanno la stessa tavola di verità.

Dimostrazione. Costruiamo entrambe le colonne:

\[ \begin {array}{|c|c||c|c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q & \lnot q & \lnot p & \lnot q\Rightarrow \lnot p \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {V} \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {F} \\ \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {F} & \text {V} & \text {V} \\ \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \hline \end {array} \]

Le colonne di \(p\Rightarrow q\) e \(\lnot q\Rightarrow \lnot p\) coincidono riga per riga.

Nota

La legge di contrapposizione è alla base della dimostrazione per assurdo: per provare \(p\Rightarrow q\) si può equivalentemente provare \(\lnot q\Rightarrow \lnot p\). La affronteremo nel dettaglio nel capitolo sulle tecniche di dimostrazione.

Attenzione!

L’inversa \(q\Rightarrow p\) e la contraria \(\lnot p\Rightarrow \lnot q\), invece, non sono in generale equivalenti a \(p\Rightarrow q\). Se “piove \(\Rightarrow \) strada bagnata” è vera, “strada bagnata \(\Rightarrow \) piove” può essere falsa (autobotte). Confondere implicazione e inversa è uno degli errori logici più frequenti.

3.6 Doppia implicazione

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Definizione 3.8 — Doppia implicazione

La doppia implicazione (o biimplicazione, “se e solo se”) è la proposizione \(p\Leftrightarrow q\), vera quando \(p\) e \(q\) hanno lo stesso valore di verità (entrambe V oppure entrambe F), falsa altrimenti.

La tavola di verità:

\[ \begin {array}{|c|c||c|} \hline p & q & p\Leftrightarrow q \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} \\ \text {F} & \text {V} & \text {F} \\ \text {F} & \text {F} & \text {V} \\ \hline \end {array} \]

Teorema 3.3 — Spezzamento della doppia implicazione

Per ogni \(p\), \(q\) vale

\[ (p\Leftrightarrow q) \equiv (p\Rightarrow q) \land (q\Rightarrow p). \]

Dimostrazione. Si confrontano le quattro righe:

\[ \begin {array}{|c|c||c|c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q & q\Rightarrow p & (p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p) & p\Leftrightarrow q \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {F} \\ \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {F} \\ \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \hline \end {array} \]

Le due colonne coincidono riga per riga.

Nota  — Conseguenza pratica

Per dimostrare “\(p\) se e solo se \(q\)” è quasi sempre conveniente provare separatamente le due implicazioni: prima “se \(p\) allora \(q\)”, poi “se \(q\) allora \(p\)”. È la stessa idea della doppia inclusione tra insiemi vista nel capitolo precedente.

Esempio 3.7

“Un numero intero è pari se e solo se il suo quadrato è pari”. È un teorema: dovremo dimostrare entrambe le frecce, \(\Rightarrow \) (se \(n\) è pari, \(n^2\) è pari) e \(\Leftarrow \) (se \(n^2\) è pari, \(n\) è pari, la parte più sottile).

3.7 Tavole di verità

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Costruire la tavola di verità di una proposizione composta significa elencare tutti i possibili valori delle proposizioni atomiche che la compongono e calcolare passo passo il valore di verità del tutto.

Procedura  — Costruzione di una tavola di verità

1.
Si elencano le proposizioni atomiche \(p_1,\,p_2,\,\ldots ,\,p_n\) contenute nella formula.
2.
Si scrivono nelle prime \(n\) colonne tutte le \(2^n\) combinazioni di valori di verità (V/F) di \(p_1,\ldots ,p_n\).
3.
Si aggiungono colonne intermedie per le sotto-formule, calcolate seguendo l’ordine di precedenza dei connettivi.
4.
L’ultima colonna è il valore della formula completa per ciascuna combinazione.

L’ordine di precedenza usuale (dal più stretto al più largo) è:

\[ \lnot \;>\; \land \;>\; \lor \;>\; \Rightarrow \;>\; \Leftrightarrow . \]

Le parentesi forzano un raggruppamento diverso, come nell’algebra.

Esempio 3.8 — Tavola di una formula con tre atomi

Costruiamo la tavola di verità di \((p\land q)\Rightarrow r\).

Soluzione. Le proposizioni atomiche sono tre, quindi servono \(2^3=8\) righe.

\[ \begin {array}{|c|c|c||c||c|} \hline p & q & r & p\land q & (p\land q)\Rightarrow r \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {V} & \text {V} & \text {F} & \text {V} & \text {F} \\ \text {V} & \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {V} \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {V} \\ \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {F} & \text {V} \\ \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {V} \\ \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {V} \\ \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {V} \\ \hline \end {array} \]

La formula è falsa solo nella seconda riga, in cui \(p\) e \(q\) sono entrambe vere ma \(r\) è falsa: in quel caso la promessa “se \(p\) e \(q\), allora \(r\)” è infranta.

[Picture]

Figura 3.2: Albero di valutazione della formula \((p\lor q)\land \lnot r\) nel caso \(p=\text {V}\), \(q=\text {F}\), \(r=\text {F}\). Si parte dai valori atomici alle foglie e si applicano i connettivi risalendo fino alla radice.

Definizione 3.9 — Tautologia, contraddizione

Una proposizione composta si dice:

Esempio 3.9 — Tautologie classiche

Sono tautologie:

Si verifica costruendone la tavola di verità: la colonna finale è tutta V.

Definizione 3.10 — Equivalenza logica

Due proposizioni \(\varphi \) e \(\psi \) si dicono logicamente equivalenti, e si scrive \(\varphi \equiv \psi \), se hanno la stessa tavola di verità (cioè se \(\varphi \Leftrightarrow \psi \) è una tautologia).

Teorema 3.4 — Leggi di De Morgan per i connettivi

Per ogni \(p\), \(q\) valgono:

\[ \lnot (p\land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q, \qquad \lnot (p\lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q. \]

Dimostrazione (della prima). Si confrontano le colonne:

\[ \begin {array}{|c|c||c|c|c|c|} \hline p & q & p\land q & \lnot (p\land q) & \lnot p\lor \lnot q & \text {coincidono?} \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {F} & \text {F} & \checkmark \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {V} & \checkmark \\ \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {V} & \text {V} & \checkmark \\ \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {V} & \checkmark \\ \hline \end {array} \]

Le due colonne corrispondono riga per riga, quindi le due proposizioni sono logicamente equivalenti. La seconda legge si dimostra in modo analogo.

Nota

Le leggi di De Morgan per i connettivi sono il duale logico delle leggi di De Morgan per gli insiemi (capitolo 2): scambiare \(\land \) con \(\lor \) corrisponde, sul versante insiemistico, a scambiare \(\cap \) con \(\cup \), e la negazione corrisponde al complemento.

\[ \lnot (p\land q) \equiv \lnot p\lor \lnot q, \qquad \lnot (p\lor q) \equiv \lnot p\land \lnot q. \]

Teorema 3.5 — Implicazione tramite disgiunzione

Per ogni \(p\), \(q\) vale

\[ (p\Rightarrow q) \equiv (\lnot p \lor q). \]

Dimostrazione. Tavola:

\[ \begin {array}{|c|c||c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q & \lnot p & \lnot p\lor q \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {F} & \text {V} \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {F} \\ \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \hline \end {array} \]

Le due colonne coincidono.

Nota

Questa equivalenza è preziosa: permette di negare un’implicazione applicando De Morgan. Infatti

\[ \lnot (p\Rightarrow q) \equiv \lnot (\lnot p\lor q) \equiv p\land \lnot q. \]

“Non è vero che se \(p\) allora \(q\)” equivale a “\(p\) e non \(q\)”: è esattamente il controesempio, cioè un caso in cui l’ipotesi è verificata ma la tesi no.

3.8 Esempi svolti

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Esempio 3.10 — Negare un’implicazione

Negare la frase: “se un numero naturale è multiplo di \(6\), allora è multiplo di \(4\)”.

Soluzione. Posto \(p\): “\(n\) è multiplo di \(6\)” e \(q\): “\(n\) è multiplo di \(4\)”, la frase è \(p\Rightarrow q\). La negazione è

\[ \lnot (p\Rightarrow q) \equiv p\land \lnot q, \]

cioè: “esiste un numero naturale multiplo di \(6\) ma non multiplo di \(4\)”. Un controesempio: \(n=6\), multiplo di \(6\) ma non di \(4\). Quindi la frase di partenza è falsa.

Esempio 3.11 — Verifica di una tautologia: modus ponens

Verificare che \(\bigl ((p\Rightarrow q)\land p\bigr )\Rightarrow q\) è una tautologia.

Soluzione. Tavola di verità:

\[ \begin {array}{|c|c||c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q & (p\Rightarrow q)\land p & \bigl ((p\Rightarrow q)\land p\bigr )\Rightarrow q \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {V} \\ \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {F} & \text {V} \\ \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {V} \\ \hline \end {array} \]

L’ultima colonna è tutta V: la formula è una tautologia. È il principio di inferenza più elementare: se sappiamo che \(p\Rightarrow q\) e che \(p\), possiamo concludere \(q\).

Esempio 3.12 — Contrapposta e dimostrazione indiretta

Sia data l’implicazione: “se \(n^2\) è pari, allora \(n\) è pari”. Riformularla tramite la contrapposta.

Soluzione. Posto \(p\): “\(n^2\) è pari”, \(q\): “\(n\) è pari”, vogliamo dimostrare \(p\Rightarrow q\). La contrapposta è \(\lnot q\Rightarrow \lnot p\), ovvero: “se \(n\) è dispari, allora \(n^2\) è dispari”. Quest’ultima si verifica direttamente: se \(n=2k+1\), allora

\[ n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1, \]

quindi \(n^2\) è dispari. Per la legge di contrapposizione, abbiamo provato anche l’implicazione di partenza.

Esempio 3.13 — Equivalenza logica

Stabilire se le due proposizioni

\[ \varphi : p\Rightarrow (q\land r) \qquad \text {e} \qquad \psi :(p\Rightarrow q)\land (p\Rightarrow r) \]

sono logicamente equivalenti.

Soluzione. Tre atomi, \(2^3=8\) righe:

\[ \begin {array}{|c|c|c||c|c||c|c|c|} \hline p & q & r & q\land r & \varphi & p\Rightarrow q & p\Rightarrow r & \psi \\ \hline \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {V} & \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {F} \\ \text {V} & \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {F} \\ \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {F} \\ \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {F} & \text {V} & \text {V} & \text {V} & \text {V} \\ \hline \end {array} \]

Le colonne \(\varphi \) e \(\psi \) coincidono: le due proposizioni sono logicamente equivalenti. Si può dunque “distribuire” l’implicazione rispetto alla congiunzione.

3.9 Esercizi proposti

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Esercizio 3.1

1.
Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposizioni e, per quelle che lo sono, indicane il valore di verità: (a) “\(3+5=8\)”; (b) “apri la finestra”; (c) “\(\sqrt {9}=\pm 3\)”; (d) “\(x\) è positivo”; (e) “ogni numero primo maggiore di \(2\) è dispari”; (f) “questa frase non è vera”.
2.
Date \(p\): “\(10\) è divisibile per \(5\)” (V), \(q\): “\(10\) è dispari” (F), \(r\): “\(10>20\)” (F), determina il valore di verità di: \(p\land q\), \(p\lor q\), \(\lnot q\), \(p\Rightarrow q\), \(q\Rightarrow p\), \((p\lor q)\land \lnot r\), \((p\Rightarrow q)\Leftrightarrow r\).
3.
Scrivi la tavola di verità di \((p\lor q)\land \lnot (p\land q)\) (è la disgiunzione esclusiva XOR). In quali righe la formula è vera?
4.
Costruisci la tavola di verità di \((p\Rightarrow q)\Rightarrow (\lnot q\Rightarrow \lnot p)\) e verifica che è una tautologia.
5.
Verifica con una tavola di verità la seconda legge di De Morgan: \(\lnot (p\lor q)\equiv \lnot p\land \lnot q\).
6.
Determina la negazione delle seguenti frasi, riformulandola con \(\land \) se possibile: (a) “se \(n\) è primo allora \(n\) è dispari”; (b) “se piove, esco con l’ombrello”; (c) “se \(x>0\) e \(y>0\), allora \(x+y>0\)”.
7.
Per la frase “se \(n\) è divisibile per \(4\), allora \(n\) è pari”, scrivi inversa, contraria e contrapposta. Quali sono vere e quali false? Confrontale tra loro.
8.
Stabilisci, costruendo le tavole, se le seguenti coppie sono logicamente equivalenti: (a) \(p\Rightarrow (q\lor r)\) e \((p\Rightarrow q)\lor (p\Rightarrow r)\); (b) \(\lnot (p\Leftrightarrow q)\) e \((p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\); (c) \((p\land q)\Rightarrow r\) e \(p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\).
9.
(Discussione.) Un compagno afferma: “se l’implicazione \(p\Rightarrow q\) è falsa, allora anche la sua inversa \(q\Rightarrow p\) è falsa”. È vero? Giustifica con una tavola di verità o con un controesempio.

3.10 Riepilogo del capitolo

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04 mat logica

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