“In medio stat virtus.”
— Aristotele (sentenza latina tradizionale)
____________________________________________________________________________________
Una tabella di frequenze fornisce una descrizione completa di un insieme di dati, ma è spesso ingombrante: davanti a una distribuzione di mille misurazioni, si vuole un singolo numero che ne sintetizzi il comportamento. Gli indici di posizione (o di tendenza centrale) rispondono a questa esigenza: rappresentano il “valore tipico” della distribuzione, attorno al quale i dati si concentrano.
I tre indici classici sono la media, la mediana e la moda. Ciascuno cattura un’idea diversa di “centro”: la media è il baricentro aritmetico, la mediana è il valore centrale per posizione, la moda è il valore più frequente. Sono indici fra loro indipendenti: per uno stesso insieme di dati possono assumere valori molto diversi, e la scelta dell’indice più appropriato dipende dal tipo di carattere e dalla forma della distribuzione. La sentenza aristotelica posta in apertura — la virtù sta nel mezzo — ne è una traduzione filosofica: identificare il “mezzo giusto” è il problema centrale di questo capitolo.
L’indice più noto e usato è la media aritmetica, che corrisponde all’idea intuitiva di “ripartire equamente” una grandezza fra tutte le unità statistiche.
Definizione 39.1 — Media aritmetica
Siano \(x_1, x_2, \dots , x_N\) i valori di un carattere quantitativo rilevati su \(N\) unità statistiche. Si chiama media aritmetica il numero
Quando i dati sono organizzati in una distribuzione di frequenza con \(k\) modalità distinte \(x_1, x_2, \dots , x_k\) di frequenza assoluta \(f_1, f_2, \dots , f_k\), la formula si riscrive in modo equivalente come
Questa forma è particolarmente comoda quando i dati provengono da una tabella di frequenza, perché evita di sommare uno per uno i singoli valori.
La media aritmetica gode di alcune proprietà importanti, che la rendono lo strumento più usato in statistica.
Gli scarti positivi e quelli negativi si compensano esattamente: la media è il “baricentro” della distribuzione.
Esempio 39.1 — Verifica della proprietà degli scarti nulli
Sui valori \(4, 6, 8, 10, 12\) la media è
Gli scarti dalla media sono \(-4, -2, 0, +2, +4\); sommandoli:
Attenzione!
Outlier e media. Considera la serie \(2, 3, 4, 5, 6\): la media è \(4\), un valore “ragionevolmente al centro” dei dati. Modifica ora un solo valore: \(2, 3, 4, 5, 96\). La media diventa \(\bar {x} = (2+3+4+5+96)/5 = 22\), un numero che nessuno dei dati approssima bene. Un solo valore anomalo ha trascinato la media lontano dal grosso della distribuzione. Per questa ragione, in presenza di outlier o di distribuzioni fortemente asimmetriche, la media va usata con cautela; vedremo come la mediana sia molto più robusta in queste situazioni.
Talvolta i valori da mediare non hanno tutti la stessa “importanza”: alcuni contano di più, altri di meno. È il caso tipico delle medie scolastiche in cui un voto del compito in classe pesa più di un voto di una verifica orale, o delle medie ponderate dei prezzi pesati per le quantità.
Definizione 39.2 — Media ponderata
Siano \(x_1, x_2, \dots , x_k\) dei valori e \(w_1, w_2, \dots , w_k\) dei numeri positivi detti pesi. Si chiama media ponderata il numero
La media ponderata si riduce alla media aritmetica nel caso particolare in cui tutti i pesi sono uguali. Inoltre, la media “per distribuzione di frequenza” che abbiamo visto nella sezione precedente,
è essa stessa una media ponderata: i pesi sono le frequenze assolute \(f_i\), e la somma dei pesi è \(N\).
Esempio 39.2 — Media ponderata dei voti
Uno studente ha sostenuto in matematica tre prove: un’interrogazione orale (voto \(7\), peso \(1\)), un compito scritto (voto \(6\), peso \(2\)) e un compito finale di recupero (voto \(8\), peso \(3\)). Calcoliamo la media ponderata.
Impostazione algebrica.
Calcolo.
Confronto con la media aritmetica semplice. La media aritmetica (senza pesi) sarebbe
La media ponderata è più alta perché il voto più alto (\(8\)) ha il peso maggiore.
Esempio 39.3 — Media degli ordini di grandezza
Una scuola ha tre sezioni, con il seguente numero di studenti e voto medio in matematica:
| Sezione | N. studenti | Voto medio |
| A | \(20\) | \(6.5\) |
| B | \(25\) | \(7.2\) |
| C | \(15\) | \(6.0\) |
Calcoliamo il voto medio di matematica nell’intera scuola.
Errore comune. La media aritmetica dei tre voti medi delle sezioni:
sarebbe un calcolo sbagliato: tratterebbe le tre sezioni come se avessero la stessa numerosità.
Calcolo corretto: media ponderata. I pesi sono le numerosità.
Il voto medio della scuola è \(\bar {x}_w \approx 6.67\), leggermente più alto della media semplice dei tre voti medi. La differenza nasce dal fatto che la sezione B, che ha il voto medio più alto, è anche la più numerosa.
La media aritmetica ha lo svantaggio di essere sensibile ai valori estremi. La mediana è un indice più robusto: si basa sulla posizione dei dati ordinati, non sui loro valori.
Definizione 39.3 — Mediana
Sia \(x_1, x_2, \dots , x_N\) un insieme di \(N\) valori di un carattere quantitativo (o qualitativo ordinato), ordinati in modo crescente. La mediana è il valore che divide la distribuzione ordinata in due metà di uguale numerosità:
se \(N\) è dispari, la mediana è il valore di posto \(\dfrac {N+1}{2}\):
se \(N\) è pari, la mediana è la media aritmetica dei due valori centrali, di posto \(N/2\) e \(N/2 + 1\):
La mediana si interpreta così: il \(50\,{\% }\) dei dati ha valore \(\leq \text {Med}\), e il \(50\,{\% }\) ha valore \(\geq \text {Med}\). È il “valore centrale per posizione”.
La proprietà che rende la mediana preziosa è la robustezza: variazioni anche grandi dei valori estremi non la modificano, purché non spostino l’ordinamento dei valori centrali.
Esempio 39.4 — Robustezza della mediana rispetto agli outlier
Consideriamo due serie:
Sostituendo un singolo dato “corretto” (\(6\)) con uno fortemente anomalo (\(96\)), la media si è spostata di \(18\) unità, ma la mediana è rimasta invariata. La mediana ha conservato il suo significato di “valore centrale”, mentre la media è stata trascinata via dall’outlier.
Esempio 39.5 — Mediana per \(N\) pari
Calcoliamo la mediana dei valori \(3, 7, 2, 8, 5, 10\).
Passo 1: ordinare i valori.
Passo 2: \(N = 6\) è pari, i valori centrali sono di posto \(N/2 = 3\) e \(N/2 + 1 = 4\): cioè \(5\) e \(7\).
Passo 3: media dei due centrali.
Quando i dati sono organizzati in una tabella di frequenza per modalità \(x_1 < x_2 < \dots < x_k\), la mediana si trova individuando la modalità in corrispondenza della quale la frequenza cumulata supera per la prima volta il \(50\,{\% }\) (o il valore \(N/2\) in termini assoluti).
Esempio 39.6 — Mediana dei voti
Riprendiamo l’esempio dei voti del Capitolo 38: \(25\) studenti distribuiti come segue.
| Voto \(x_i\) | \(f_i\) | \(F_i\) | \(\Phi _i^{\%}\) |
| \(4\) | \(2\) | \(2\) | \(8\,{\% }\) |
| \(5\) | \(4\) | \(6\) | \(24\,{\% }\) |
| \(6\) | \(7\) | \(13\) | \(52\,{\% }\) |
| \(7\) | \(6\) | \(19\) | \(76\,{\% }\) |
| \(8\) | \(4\) | \(23\) | \(92\,{\% }\) |
| \(9\) | \(2\) | \(25\) | \(100\,{\% }\) |
\(N = 25\) è dispari, dunque la mediana è il valore di posto \((N+1)/2 = 13\). Dalla colonna \(F_i\) si vede che il \(13\)-esimo valore è un \(6\) (entra nella cumulata che va da \(7\) a \(13\)). Quindi \(\text {Med} = 6\).
Equivalentemente: cerchiamo la modalità in corrispondenza della quale \(\Phi _i^{\%}\) supera per la prima volta il \(50\,{\% }\). È il voto \(6\), con \(\Phi _3^{\%} = 52\,{\% }\).
L’indice più semplice da definire — anche se non sempre il più utile — è la moda.
Definizione 39.4 — Moda
La moda di una distribuzione è la modalità con la frequenza massima, cioè la modalità che si presenta più volte.
La moda è l’unico indice di posizione applicabile ai caratteri qualitativi sconnessi (es. colore preferito, marca dell’auto): non avendo i valori un ordinamento naturale, non si può definire una mediana, né tantomeno una media. La moda invece esiste sempre, perché basta sapere quale modalità è più frequente.
Definizione 39.5 — Distribuzioni secondo la moda
Una distribuzione si dice:
Se tutte le modalità hanno la stessa frequenza, la moda non è definita (o si dice che la distribuzione è amodale).
Esempio 39.7 — Moda di distribuzioni diverse
Consideriamo tre distribuzioni di colori preferiti:
Per distribuzioni per classi (caratteri continui o discreti raggruppati), si parla di classe modale: è la classe con la frequenza assoluta maggiore. Bisogna fare attenzione al fatto che, se le classi hanno ampiezze diverse, la classe modale va individuata sulla base della densità di frequenza (\(f_i\) diviso ampiezza della classe), non della sola frequenza assoluta.
I tre indici non sono intercambiabili: ciascuno cattura un aspetto diverso della distribuzione, e per uno stesso insieme di dati possono assumere valori molto diversi. La scelta dell’indice “giusto” dipende dal tipo di carattere e dalla forma della distribuzione.
| Tipo di carattere | Media | Mediana | Moda |
| Qualitativo sconnesso | \(\times \) | \(\times \) | \(\checkmark \) |
| Qualitativo ordinato | \(\times \) | \(\checkmark \) | \(\checkmark \) |
| Quantitativo discreto | \(\checkmark \) | \(\checkmark \) | \(\checkmark \) |
| Quantitativo continuo | \(\checkmark \) | \(\checkmark \) | \(\checkmark \) |
Il simbolo \(\checkmark \) indica che l’indice è ben definito; il simbolo \(\times \) che non lo è. Per i caratteri qualitativi sconnessi (come “colore preferito”) solo la moda è significativa. Per i caratteri ordinati ma non quantitativi (come “giudizio” espresso in “insufficiente / sufficiente / buono / ottimo”) si possono usare mediana e moda, ma non la media (non avrebbe senso fare la “somma” di un “insufficiente” e di un “buono”). Per i caratteri quantitativi tutti e tre gli indici sono definiti.
Anche per caratteri quantitativi, la media non è sempre l’indice migliore. Si preferisce la mediana quando:
Un classico esempio è il reddito medio di una popolazione: i pochi redditi altissimi alzano fortemente la media, che diventa poco rappresentativa del cittadino tipico. Per questo gli istituti di statistica pubblicano spesso, accanto al reddito medio, anche il reddito mediano, che riflette meglio la condizione della metà della popolazione.
Esempio 39.8 — Reddito di una piccola popolazione
In un piccolo paese di \(10\) abitanti, i redditi annui (in migliaia di euro) sono:
Calcoliamo media e mediana.
Media.
La media è \(69800~€\) all’anno: un valore che nessuno degli abitanti (eccetto il decimo) avvicina nemmeno.
Mediana. \(N = 10\) pari, i valori centrali sono il quinto e il sesto: \(22\) e \(23\).
La mediana è \(22500~€\): descrive molto meglio la situazione tipica del paese.
Conclusione. Per descrivere “quanto si vive bene” in questo paese, la mediana è di gran lunga più informativa della media. La media, presa da sola, suggerirebbe una falsa idea di benessere diffuso.
La moda è l’indice di scelta quando:
Sapere la posizione relativa di media, mediana e moda è già una prima informazione sulla forma della distribuzione, prima ancora di disegnarne un grafico.
Esempio 39.9 — Tutti e tre gli indici per una distribuzione di voti
Calcoliamo media, mediana e moda della distribuzione dei voti del Capitolo 38 (\(N=25\)):
| Voto \(x_i\) | \(f_i\) | \(f_i \cdot x_i\) |
| \(4\) | \(2\) | \(8\) |
| \(5\) | \(4\) | \(20\) |
| \(6\) | \(7\) | \(42\) |
| \(7\) | \(6\) | \(42\) |
| \(8\) | \(4\) | \(32\) |
| \(9\) | \(2\) | \(18\) |
| Totale | \(\mathbf {25}\) | \(\mathbf {162}\) |
Media aritmetica.
Mediana. Per \(N = 25\) (dispari), la mediana è il valore di posto \((N+1)/2 = 13\). Dalla cumulata, il \(13\)-esimo valore cade nella modalità \(6\): \(\text {Med} = 6\).
Moda. La modalità con frequenza massima è \(6\) (frequenza \(7\)): \(\text {Mo} = 6\).
Confronto. Si ha \(\text {Mo} = \text {Med} = 6 < \bar {x} = 6.48\). La media è leggermente più alta della mediana e della moda: la distribuzione è dunque leggermente asimmetrica positiva (coda a destra), il che si spiega col fatto che ci sono qualche voto alto (\(8\), \(9\)) che “trascina” la media verso destra senza modificare mediana e moda.
Esempio 39.10 — Media ponderata in un problema reale
Un acquirente compra tre tipi di mele a prezzi diversi:
Qual è il prezzo medio al chilo che ha effettivamente pagato?
Impostazione. È una media ponderata dei tre prezzi, con pesi le quantità acquistate.
Confronto. La media aritmetica dei tre prezzi (senza pesi) sarebbe
un valore più alto del prezzo effettivamente pagato. Per il bilancio reale (totale speso \(28~€\) per \(12\,{\mathrm{kg} }\)), conta solo la media ponderata.
Esempio 39.11 — Asimmetria di una distribuzione di frequenza
Una distribuzione di salari mensili (in centinaia di euro) in un’azienda di \(50\) dipendenti:
| Salario | \(f_i\) |
| \(12\) | \(10\) |
| \(14\) | \(15\) |
| \(16\) | \(12\) |
| \(18\) | \(8\) |
| \(20\) | \(3\) |
| \(50\) | \(2\) |
Calcolo della media.
Mediana. \(N = 50\), valori centrali di posto \(25\) e \(26\). Le frequenze cumulate sono \(10, 25, 37, 45, 48, 50\): il \(25\)-esimo valore cade nella modalità \(14\) (la cumulata raggiunge \(25\) proprio in \(14\)); il \(26\)-esimo cade già in \(16\). Quindi
Moda. Modalità con frequenza massima: \(14\) (frequenza \(15\)). \(\text {Mo} = 14\).
Confronto. \(\text {Mo} = 14 < \text {Med} = 15 < \bar {x} = 16.52\): ordine tipico di una distribuzione asimmetrica positiva, con i due salari da \(50\) (centinaia di euro) che fanno da outlier e trascinano la media verso destra.
Esercizio 39.1
| Voto | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| \(f_i\) | \(2\) | \(5\) | \(10\) | \(8\) | \(5\) | \(2\) | \(0\) |
Calcola media, mediana e moda. È una distribuzione simmetrica?
| Verifica | Voto | Peso |
| Compito 1 | \(6\) | \(1\) |
| Compito 2 | \(7\) | \(2\) |
| Interrogazione | \(8\) | \(1\) |
| Compito finale | \(5\) | \(2\) |
| Classe | \(f_i\) |
| \([0, 10)\) | \(4\) |
| \([10, 20)\) | \(12\) |
| \([20, 30)\) | \(18\) |
| \([30, 40)\) | \(8\) |
| \([40, 50]\) | \(3\) |
Determina la classe modale e la classe mediana (cioè quella in cui cade la mediana).
Riepilogo
Scelta dell’indice:
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli911x.svg)