Una tabella di frequenze riporta tutti i dati di una rilevazione, ma non sempre li rende
immediatamente comprensibili: di fronte a una colonna di numeri, l’occhio fatica a riconoscere
strutture, tendenze, anomalie. Una rappresentazione grafica, quando è ben costruita, comunica in
pochi secondi quello che una tabella esprimerebbe in pagine.
La frase di Tukey posta in apertura ci ricorda però che i grafici non sono soltanto belli: sono
anche rivelatori. Un buon grafico fa emergere ciò che non sapevamo di cercare. Un cattivo grafico,
viceversa, può nascondere o distorcere informazioni che la tabella conteneva. In questo capitolo
presentiamo i quattro grafici fondamentali della statistica descrittiva — diagrammi a barre,
istogrammi, areogrammi, diagrammi cartesiani — e dedichiamo una sezione finale alla lettura
critica, che è abilità indispensabile in un’epoca in cui i grafici sono parte integrante
dell’informazione quotidiana.
Un diagramma a barre (o a colonne se le barre sono verticali) rappresenta una
distribuzione di frequenza tramite barre rettangolari di larghezza costante, la cui
lunghezza (o altezza, nel caso a colonne) è proporzionale alla frequenza assoluta, relativa
o percentuale della corrispondente modalità.
È il grafico standard per i caratteri qualitativi (sconnessi o ordinati) e quantitativi discreti con
un numero limitato di modalità. Le barre devono essere separate fra loro da uno spazio bianco:
questa convenzione grafica esprime visivamente l’idea che le modalità sono distinte, non parti di un
continuo.
Figura 41.1: Diagramma a colonne (barre verticali) della distribuzione dei colori preferiti in
una classe di \(11\) studenti (esempio illustrativo). L’altezza di ciascuna colonna è proporzionale
alla frequenza assoluta della modalità. Le barre sono separate per indicare che si tratta di
modalità distinte di un carattere qualitativo.
Quando si usano le barre
I diagrammi a barre sono il grafico più leggibile: l’occhio confronta facilmente lunghezze (più delle
aree o degli angoli), e in poche frazioni di secondo si percepiscono ordinamenti e rapporti. Per
questo sono il grafico raccomandato per quasi tutti i casi in cui la moda e la struttura comparativa
sono il punto di interesse.
Conviene ordinare le barre in ordine decrescente di frequenza (diagramma di Pareto) quando il
carattere è qualitativo sconnesso e si vuole mettere in evidenza la modalità più frequente. Per i
caratteri ordinati o quantitativi, va invece rispettato l’ordine naturale delle modalità
sull’asse.
Quando il carattere è quantitativo continuo (o discreto con molte modalità raggruppate per
classi), il diagramma a barre non basta: occorre rappresentare anche il fatto che le classi sono
contigue, cioè non c’è separazione fra l’estremo superiore di una e l’estremo inferiore della
successiva. Si usa allora l’istogramma.
Definizione 41.2 — Istogramma
Un istogramma rappresenta una distribuzione di frequenza per classi tramite rettangoli
adiacenti, le cui basi sono le classi (sull’asse delle ascisse) e le altezze sono proporzionali
alle frequenze. I rettangoli sono contigui: due classi adiacenti hanno il lato comune in un
singolo punto.
L’istogramma differisce dal diagramma a colonne per due ragioni:
rettangoli adiacenti, senza spazio fra una colonna e l’altra, perché le classi sono contigue;
larghezza variabile possibile: se le classi non sono di uguale ampiezza, l’altezza
dell’istogramma deve essere la densità di frequenza \(f_i / h_i\) (con \(h_i\) l’ampiezza della \(i\)-esima
classe), in modo che l’area di ciascun rettangolo sia proporzionale alla frequenza.
Quando tutte le classi hanno la stessa ampiezza, le due opzioni (altezza = frequenza, oppure
altezza = densità) sono equivalenti e si usa la prima per semplicità.
Figura 41.2: Istogramma della distribuzione per classi delle altezze in cm di \(30\) studenti (esempio
dal Capitolo 38). I rettangoli sono adiacenti, senza spazio fra l’uno e l’altro, perché le classi
sono contigue.
Poligono di frequenza
Un grafico ottenuto a partire dall’istogramma è il poligono di frequenza: si collegano con segmenti i
punti medi dei lati superiori dei rettangoli, ottenendo una spezzata che dà una rappresentazione
“lineare” della distribuzione. È utile soprattutto per confrontare visivamente più distribuzioni
sovrapposte.
Per mostrare la composizione di una popolazione — cioè quanta parte rappresenta ciascuna
modalità rispetto al totale — si usa spesso il diagramma a torta (o areogramma).
Definizione 41.3 — Diagramma a torta
Un diagramma a torta rappresenta una distribuzione di frequenza tramite settori
circolari di un cerchio, dove l’ampiezza angolare di ciascun settore è proporzionale alla
frequenza percentuale della corrispondente modalità. Per una modalità con frequenza
percentuale \(\phi _i^{\%}\), l’angolo del settore è
La somma degli angoli dei settori è \(360\,{^\circ }\), l’intero giro, in corrispondenza del fatto che le frequenze
percentuali sommano a \(100\,{\% }\).
Figura 41.3: Diagramma a torta della distribuzione del colore preferito (esempio illustrativo).
L’ampiezza di ciascun settore è proporzionale alla frequenza percentuale della modalità. La
somma degli angoli è \(360\,{^\circ }\).
Pregi e limiti del diagramma a torta
Il diagramma a torta è efficacissimo nel comunicare l’idea di composizione: si vede a colpo d’occhio
quale modalità è “la fetta più grande”. Ha però alcuni limiti che ne sconsigliano l’uso in molti
contesti:
l’occhio umano confronta male le aree e gli angoli (rispetto alle lunghezze): differenze
sottili fra settori vicini sono difficili da cogliere;
con più di \(5\)–\(7\) modalità il diagramma diventa illeggibile;
non si presta bene al confronto fra più distribuzioni: due torte affiancate sono difficili da
paragonare.
Per queste ragioni, in molti contesti professionali si raccomanda di preferire diagrammi a barre
orizzontali ai diagrammi a torta, specie quando le modalità sono numerose.
I diagrammi cartesiani si usano per rappresentare coppie di valori: a ciascuna unità statistica si
associa un punto nel piano, le cui coordinate corrispondono ai valori di due caratteri. Sono
il grafico fondamentale per studiare la relazione fra due variabili (correlazione, trend
temporali).
Definizione 41.4 — Diagramma a dispersione (scatter
plot)
Dato un insieme di \(N\) coppie di valori \((x_i, y_i)\), il diagramma a dispersione è la rappresentazione
di queste coppie come punti nel piano cartesiano, con \(x_i\) sull’asse delle ascisse e \(y_i\) sull’asse
delle ordinate.
La forma generale del diagramma a dispersione suggerisce la presenza (o l’assenza) di una relazione
fra le due variabili: punti distribuiti lungo una linea (retta o curva) indicano una correlazione, punti
dispersi senza tendenza indicano assenza di relazione.
Figura 41.4: Diagramma a dispersione (scatter plot) che illustra la relazione fra ore di studio
settimanali e voto (su scala arbitraria) in un’ipotetica indagine. La nuvola di punti mostra
una tendenza crescente, e la retta tratteggiata sintetizza la relazione: a più ore di studio
corrispondono in media voti più alti. È un esempio di correlazione positiva.
Diagrammi di linea per serie temporali
Un caso particolare del diagramma cartesiano è il diagramma di linea, usato quando l’asse \(x\)
rappresenta il tempo. I punti \((t_i, y_i)\) vengono uniti da segmenti, ottenendo una “linea spezzata” che
mostra l’evoluzione del fenomeno nel tempo. È il grafico tipico delle quotazioni di borsa, della
temperatura giornaliera, dell’andamento di un’epidemia, ecc.
I grafici sono potenti strumenti di comunicazione, ma proprio per questo possono essere usati
per ingannare. Riconoscere i trucchi più comuni è una competenza essenziale di cittadinanza
nell’era dell’informazione visiva.
Origine arbitraria e scala compressa
Uno dei trucchi più diffusi è far cominciare l’asse delle ordinate da un valore diverso da zero. Una
piccola variazione percentuale, su una scala che parte non da zero ma da un valore vicino al minimo
dei dati, viene amplificata visivamente fino a sembrare drammatica.
Figura 41.5: Stessa serie di dati (vendite: \(75\), \(77\), \(79\) unità in tre anni), rappresentata in due modi.
A sinistra: con asse delle ordinate a partire da zero. La crescita è modesta. A destra: con asse
troncato a partire da \(75\). La stessa crescita appare “esplosiva”. Una piccola scelta tipografica
produce due narrazioni completamente diverse.
Altri trucchi comuni
Scala non lineare (logaritmica) non dichiarata: appiattisce o amplifica variazioni in
modo asimmetrico.
Diagramma a barre con proporzioni 3D ingannevoli: l’aggiunta della “terza
dimensione” ai rettangoli rende difficile leggere le altezze reali.
Aree proporzionali al raggio (non al quadrato del raggio): nelle infografiche,
raddoppiare il raggio di un cerchio ne quadruplica l’area, dando un’impressione esagerata
del rapporto.
Cherry-picking di intervalli temporali: scegliere l’intervallo che meglio supporta una
tesi, ignorando il contesto storico.
Assenza di scala o di unità di misura: rende impossibile interpretare numericamente
il grafico.
Confusione fra correlazione e causalità: due fenomeni correlati non implicano un
legame di causa-effetto.
Attenzione!
Tutti i grafici hanno un punto di vista. Anche un grafico scrupolosamente onesto
richiede al lettore di interpretare e contestualizzare. Le domande da farsi davanti a un
grafico sono sempre le stesse: Quali sono le unità di misura? Da dove parte l’asse? Quale
popolazione rappresenta? Quale fonte di dati? L’autore aveva interesse a comunicare una
specifica narrazione? L’epigrafe di Tukey suona allora a un’altra orecchio: il grafico ci
obbliga a notare ciò che non ci aspettavamo, ma a noi spetta verificare cosa ci sta facendo
notare e perché.
Esempi svolti
Esempio 41.1 — Costruzione di un diagramma a
torta
Su \(200\) intervistati in un sondaggio, le preferenze sui mezzi di trasporto per andare al lavoro
sono: auto \(90\), mezzi pubblici \(60\), bicicletta \(30\), a piedi \(20\). Costruiamo un diagramma a torta.
Calcolo delle frequenze percentuali.
Auto: \(90 / 200 = 0.45 = 45\,{\% }\)
Mezzi pubblici: \(60 / 200 = 0.30 = 30\,{\% }\)
Bicicletta: \(30 / 200 = 0.15 = 15\,{\% }\)
A piedi: \(20 / 200 = 0.10 = 10\,{\% }\)
Calcolo degli angoli dei settori. \(\alpha _i = \phi _i \cdot 360\,{^\circ }\):
A piedi: \(0.10 \cdot 360\,{^\circ } = 36\,{^\circ }\)
Verifica. La somma degli angoli è \(162 + 108 + 54 + 36 = 360\,{^\circ }\). \(\checkmark\)
Esempio 41.2 — Lettura critica di un grafico
Una catena di supermercati pubblica un grafico in cui le vendite del prodotto X passano
da \(1000\) a \(1020\) pezzi in un mese, e l’asse delle ordinate del grafico è troncato a partire da \(990\). Senza
il taglio dell’asse, la differenza fra \(1000\) e \(1020\) sarebbe stata di circa il \(2\%\), appena visibile sul grafico.
Con l’asse troncato, la barra di \(1020\) appare tre volte più alta di quella di \(1000\). La crescita reale
(del \(2\,{\% }\)) viene fatta percepire come un balzo del \(200\,{\% }\).
Domande critiche.
Da dove parte l’asse? Se non parte da zero, la rappresentazione esagera le differenze.
Il taglio dell’asse è segnalato visivamente (con la classica “cesoiata”)?
Quale è la variazione percentuale reale? In questo caso \((1020 - 1000)/1000 = 2\,{\% }\), un valore modesto.
Esercizio 41.1
1.
Per ciascuno dei seguenti caratteri, indica quale grafico è il più appropriato (barre,
istogramma, torta, dispersione, linea) e motiva.
(a)
Composizione percentuale della popolazione italiana per regione di residenza.
(b)
Andamento della temperatura media mensile a Torino nel \(2024\).
(c)
Distribuzione delle altezze degli studenti di una classe.
(d)
Numero di automobili vendute in Italia per marca, nel \(2024\).
(e)
Relazione fra ore di studio settimanali e voto medio di matematica.
2.
Una classe di \(30\) studenti è composta da: \(12\) maschi e \(18\) femmine.
(a)
Calcola le frequenze percentuali.
(b)
Calcola gli angoli dei settori per un diagramma a torta.
(c)
Disegna manualmente il grafico.
3.
Costruisci un diagramma a barre verticali (a colonne) per i dati: musica preferita di \(40\)
studenti — pop \(18\), rock \(10\), classica \(4\), rap \(6\), altro \(2\).
4.
In una rilevazione di pesi di \(50\) studenti (in kg), suddivisi in classi:
Classe (kg)
\(f_i\)
\([45, 55)\)
\(8\)
\([55, 65)\)
\(18\)
\([65, 75)\)
\(15\)
\([75, 85]\)
\(9\)
Costruisci l’istogramma corrispondente.
5.
Vero o falso? Motiva la risposta.
(a)
Il diagramma a barre va sempre disegnato con le barre adiacenti.
(b)
In un istogramma le aree dei rettangoli sono proporzionali alle frequenze delle
classi.
(c)
Un diagramma a torta con \(20\) modalità è efficace.
(d)
La somma degli angoli dei settori di un diagramma a torta è sempre \(360\,{^\circ }\).
(e)
Un grafico con asse troncato è sempre fuorviante.
6.
Spiega perché un diagramma a barre orizzontali è spesso preferibile a un diagramma a
torta quando le modalità sono numerose (\(> 6\)).
7.
Si presentano i seguenti dati sulla popolazione di una città:
Anno
Popolazione
\(2020\)
\(82500\)
\(2021\)
\(82800\)
\(2022\)
\(83100\)
\(2023\)
\(83500\)
\(2024\)
\(83900\)
(a)
Calcola la variazione percentuale complessiva fra il \(2020\) e il \(2024\).
(b)
Disegna un grafico di linea con asse onesto (a partire da zero).
(c)
Disegna lo stesso grafico con asse troncato a \(82000\).
(d)
Commenta come cambia la percezione della crescita.
8.
Una catena di palestre comunica: “Il nostro fatturato è cresciuto del \(50\,{\% }\) nell’ultimo
anno!”. Quali informazioni servirebbero per valutare se è un dato veramente
impressionante?
9.
Spiega la differenza fra correlazione e causalità, dando un esempio in cui due variabili sono
correlate ma non vi è alcun legame di causa-effetto.
10.
Un’azienda pubblica un’infografica in cui il fatturato del concorrente è rappresentato da un
cerchio di raggio \(2~\text {cm}\) e il proprio fatturato (il doppio) da un cerchio di raggio \(4~\text {cm}\). Qual è il
problema di questa rappresentazione? Calcola il rapporto fra le aree dei due
cerchi.
11.
Un sondaggio su \(200\) persone rivela: \(120\) approvano una certa proposta, \(60\) non la approvano, \(20\) non
rispondono. Costruisci:
(a)
un diagramma a barre verticali;
(b)
un diagramma a torta (con calcolo dei settori).
12.
Un grafico di linea mostra l’andamento della temperatura media annua di una città per \(30\)
anni. Si vede una netta crescita. Quale ulteriore informazione servirebbe per concludere che
“il clima della città si sta scaldando”?
13.
Considera i seguenti dati sull’altezza (in cm) di \(8\) studenti e sul loro voto in matematica:
Altezza
Voto
\(162\)
\(6\)
\(170\)
\(7\)
\(175\)
\(5\)
\(168\)
\(8\)
\(180\)
\(6\)
\(172\)
\(7\)
\(178\)
\(9\)
\(165\)
\(7\)
(a)
Disegna un diagramma a dispersione.
(b)
Si percepisce una correlazione fra le due variabili? Argomenta.
Riepilogo
I diagrammi a barre (o a colonne) sono adatti ai caratteri qualitativi e quantitativi
discreti: le barre sono separate, l’altezza è proporzionale alla frequenza.
Gli istogrammi si usano per caratteri continui in distribuzioni per classi: i rettangoli
sono adiacenti (le classi sono contigue). Se le classi hanno ampiezza diversa, le altezze
sono le densità di frequenza (frequenza diviso ampiezza), perché siano le aree a essere
proporzionali alle frequenze.
I diagrammi a torta (areogrammi) mostrano la composizione percentuale di una
popolazione: l’ampiezza angolare di ciascun settore è \(\alpha _i = \phi _i \cdot 360\,{^\circ }\). Efficaci con poche modalità
(\(\leq 6\)); con più modalità, è preferibile un diagramma a barre orizzontali.
I diagrammi cartesiani rappresentano coppie \((x_i, y_i)\) come punti del piano: utili per
studiare relazioni fra due variabili (correlazione) o l’evoluzione temporale (serie
storiche).
Lettura critica: occorre sempre verificare l’origine e la scala degli assi, l’eventuale
troncamento, le unità di misura, il contesto e la fonte dei dati. La correlazione fra
due variabili non implica causalità.
Trucchi grafici comuni: assi troncati senza indicazione, scale non lineari nascoste,
proporzioni 3D ingannevoli, aree proporzionali al raggio anziché al raggio al quadrato,
intervalli temporali “scelti”.
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