1. Calcolo letterale
Prodotti notevoli
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
\[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
\[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \]
\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
\[ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
Trinomio caratteristico
\[ x^2 + (a+b)\,x + ab = (x+a)(x+b) \]
Somma e differenza di cubi
\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \]
\[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]
Binomio di Newton
\[ (a+b)^n = \sum _{k=0}^{n}\binom {n}{k} a^{n-k} b^k \]
2. Equazioni e disequazioni
Equazione di secondo grado (\(ax^2+bx+c=0\))
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
\[ x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt {\Delta }}{2a} \]
\[ x_{1,2} = \frac {-\tfrac {b}{2} \pm \sqrt {\tfrac {\Delta }{4}}}{a} \quad \text {(formula ridotta)} \]
Relazioni di Viète
\[ x_1 + x_2 = -\frac {b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac {c}{a} \]
\[ a x^2 + b x + c = a(x-x_1)(x-x_2) \]
Valore assoluto
\[ |x| < k \iff -k < x < k \quad (k>0) \]
\[ |x| > k \iff x < -k \,\lor \, x > k \quad (k>0) \]
3. Radicali e potenze
Proprietà delle potenze
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac {a^m}{a^n} = a^{m-n} \]
\[ (a^m)^n = a^{mn} \qquad (ab)^n = a^n b^n \]
\[ a^{-n} = \frac {1}{a^n} \qquad a^{1/n} = \sqrt [n]{a} \]
Proprietà dei radicali
\[ \sqrt [n]{a^m} = a^{m/n} \]
\[ \sqrt [n]{a}\cdot \sqrt [n]{b} = \sqrt [n]{ab} \qquad \frac {\sqrt [n]{a}}{\sqrt [n]{b}} = \sqrt [n]{\tfrac {a}{b}} \]
\[ \sqrt [n]{\sqrt [m]{a}} = \sqrt [nm]{a} \]
Razionalizzazione
\[ \frac {1}{\sqrt {a}} = \frac {\sqrt {a}}{a} \qquad \frac {1}{\sqrt {a}\pm \sqrt {b}} = \frac {\sqrt {a}\mp \sqrt {b}}{a-b} \]
4. Esponenziali e logaritmi
Definizione di logaritmo
\[ \log _a b = c \iff a^c = b \quad (a>0,\, a\neq 1,\, b>0) \]
Proprietà dei logaritmi
\[ \log _a(xy) = \log _a x + \log _a y \]
\[ \log _a\!\left (\tfrac {x}{y}\right ) = \log _a x - \log _a y \]
\[ \log _a(x^n) = n\log _a x \]
\[ \log _a x = \frac {\log _b x}{\log _b a} \quad \text {(cambio base)} \]
Logaritmi notevoli
\[ \log _a 1 = 0 \qquad \log _a a = 1 \qquad a^{\log _a x} = x \]
5. Geometria piana
Aree dei poligoni
\[ A_{\text {rett}} = b\cdot h \qquad A_{\triangle } = \tfrac {1}{2}\,b\,h \]
\[ A_{\text {trap}} = \tfrac {1}{2}(B+b)\,h \qquad A_{\text {rombo}} = \tfrac {1}{2}\,d_1 d_2 \]
Formula di Erone (\(p\) semiperimetro)
\[ A_{\triangle } = \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
Teorema di Pitagora (\(c\) ipotenusa)
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Teoremi di Euclide
\[ c_1^2 = i \cdot p_1 \qquad h^2 = p_1 \cdot p_2 \]
Cerchio (raggio \(r\))
\[ C = 2\pi r \qquad A = \pi r^2 \]
\[ \ell _{\text {arco}} = r\,\alpha \quad A_{\text {settore}} = \tfrac {1}{2} r^2 \alpha \quad (\alpha \text { in rad}) \]
6. Geometria solida
Prisma e cilindro
\[ V = A_b \cdot h \]
Piramide e cono
\[ V = \tfrac {1}{3}\,A_b \cdot h \]
Sfera (raggio \(r\))
\[ A = 4\pi r^2 \qquad V = \tfrac {4}{3}\pi r^3 \]
Cilindro (raggio \(r\), altezza \(h\))
\[ A_\ell = 2\pi r h \qquad V = \pi r^2 h \]
Cono (raggio \(r\), altezza \(h\), apotema \(a\))
\[ A_\ell = \pi r a \qquad V = \tfrac {1}{3}\pi r^2 h \]
7. Geometria analitica
Distanza tra due punti
\[ d(A,B) = \sqrt {(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \]
Punto medio
\[ M = \left (\tfrac {x_A+x_B}{2},\,\tfrac {y_A+y_B}{2}\right ) \]
Retta
\[ y = mx + q \qquad ax + by + c = 0 \]
\[ m = \tfrac {y_B - y_A}{x_B - x_A} \]
Parallelismo e perpendicolarità
\[ r \parallel s \iff m_r = m_s \]
\[ r \perp s \iff m_r \cdot m_s = -1 \]
Distanza punto-retta
\[ d(P,r) = \frac {|a x_P + b y_P + c|}{\sqrt {a^2+b^2}} \]
Parabola (\(y = ax^2+bx+c\))
\[ V = \left (-\tfrac {b}{2a},\,-\tfrac {\Delta }{4a}\right ) \quad F = \left (-\tfrac {b}{2a},\,\tfrac {1-\Delta }{4a}\right ) \]
Circonferenza
\[ x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \]
\[ C = \left (-\tfrac {a}{2},-\tfrac {b}{2}\right ),\ r = \sqrt {\tfrac {a^2+b^2}{4}-c} \]
Ellisse e iperbole canoniche
\[ \tfrac {x^2}{a^2} + \tfrac {y^2}{b^2} = 1 \qquad \tfrac {x^2}{a^2} - \tfrac {y^2}{b^2} = 1 \]
8. Goniometria e trigonometria
Identità fondamentale
\[ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \]
\[ \tan x = \frac {\sin x}{\cos x} \]
Formule di addizione
\[ \sin (\alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[ \cos (\alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \]
\[ \tan (\alpha \pm \beta ) = \frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta } \]
Formule di duplicazione
\[ \sin (2\alpha ) = 2\sin \alpha \cos \alpha \]
\[ \cos (2\alpha ) = \cos ^2\alpha - \sin ^2\alpha = 1 - 2\sin ^2\alpha \]
Formule di bisezione
\[ \sin \!\tfrac {\alpha }{2} = \pm \sqrt {\tfrac {1-\cos \alpha }{2}} \]
\[ \cos \!\tfrac {\alpha }{2} = \pm \sqrt {\tfrac {1+\cos \alpha }{2}} \]
Teorema dei seni
\[ \frac {a}{\sin \alpha } = \frac {b}{\sin \beta } = \frac {c}{\sin \gamma } = 2R \]
Teorema del coseno (Carnot)
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \]
Area del triangolo
\[ A = \tfrac {1}{2}\,a\,b\,\sin \gamma \]
9. Successioni e progressioni
Progressione aritmetica (ragione \(d\))
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
\[ S_n = \tfrac {n}{2}(a_1 + a_n) \]
Progressione geometrica (ragione \(q\))
\[ a_n = a_1\, q^{n-1} \]
\[ S_n = a_1\,\frac {1-q^n}{1-q} \quad (q\neq 1) \]
\[ S_\infty = \frac {a_1}{1-q} \quad (|q|<1) \]
10. Calcolo combinatorio
Permutazioni semplici
\[ P_n = n! \]
Disposizioni
\[ D_{n,k} = \frac {n!}{(n-k)!} \quad D'_{n,k} = n^k \]
Combinazioni e coefficiente binomiale
\[ C_{n,k} = \binom {n}{k} = \frac {n!}{k!(n-k)!} \]
\[ \binom {n}{k} = \binom {n}{n-k} \quad \binom {n}{k} = \binom {n-1}{k-1}+\binom {n-1}{k} \]
11. Probabilità e statistica
Probabilità classica (Laplace)
\[ P(E) = \frac {\#\,\text {casi favorevoli}}{\#\,\text {casi possibili}} \]
Probabilità di unione
\[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \]
Probabilità condizionata
\[ P(A|B) = \frac {P(A\cap B)}{P(B)} \quad (P(B)\neq 0) \]
Eventi indipendenti
\[ P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) \]
Teorema di Bayes
\[ P(A_i|B) = \frac {P(B|A_i)\,P(A_i)}{\sum _k P(B|A_k)\,P(A_k)} \]
Distribuzione binomiale
\[ P(X=k) = \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
\[ E[X] = np \qquad \mathrm {Var}(X) = np(1-p) \]
Indici statistici
\[ \bar {x} = \frac {1}{N}\sum _{i=1}^{N} x_i \]
\[ \sigma ^2 = \frac {1}{N}\sum _{i=1}^{N}(x_i - \bar {x})^2 \]
\[ \sigma = \sqrt {\sigma ^2} \]
12. Limiti
Limiti notevoli (goniometrici)
\[ \lim _{x\to 0}\frac {\sin x}{x} = 1 \]
\[ \lim _{x\to 0}\frac {1-\cos x}{x^2} = \tfrac {1}{2} \]
\[ \lim _{x\to 0}\frac {\tan x}{x} = 1 \]
Limiti notevoli (esponenziali e logaritmici)
\[ \lim _{x\to \infty }\!\left (1+\tfrac {1}{x}\right )^{\!x} = e \]
\[ \lim _{x\to 0}\frac {\ln (1+x)}{x} = 1 \]
\[ \lim _{x\to 0}\frac {e^x - 1}{x} = 1 \]
\[ \lim _{x\to 0}\frac {(1+x)^k - 1}{x} = k \]
13. Derivate
Definizione
\[ f'(x_0) = \lim _{h\to 0}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]
Derivate fondamentali
\[ D[k] = 0 \qquad D[x^n] = n x^{n-1} \]
\[ D[\sin x] = \cos x \qquad D[\cos x] = -\sin x \]
\[ D[\tan x] = \frac {1}{\cos ^2 x} = 1+\tan ^2 x \]
\[ D[e^x] = e^x \qquad D[a^x] = a^x \ln a \]
\[ D[\ln x] = \tfrac {1}{x} \qquad D[\log _a x] = \tfrac {1}{x\ln a} \]
\[ D[\arcsin x] = \tfrac {1}{\sqrt {1-x^2}} \quad D[\arctan x] = \tfrac {1}{1+x^2} \]
Regole di derivazione
\[ D[f \pm g] = f' \pm g' \]
\[ D[f \cdot g] = f'g + fg' \]
\[ D\!\left [\tfrac {f}{g}\right ] = \tfrac {f'g - fg'}{g^2} \]
\[ D[f(g(x))] = f'(g(x))\cdot g'(x) \]
14. Integrali
Integrali immediati
\[ \int x^n\,dx = \tfrac {x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n\neq -1) \]
\[ \int \tfrac {1}{x}\,dx = \ln |x| + c \]
\[ \int e^x\,dx = e^x + c \qquad \int a^x\,dx = \tfrac {a^x}{\ln a} + c \]
\[ \int \sin x\,dx = -\cos x + c \quad \int \cos x\,dx = \sin x + c \]
\[ \int \tfrac {1}{\cos ^2 x}\,dx = \tan x + c \]
\[ \int \tfrac {1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + c \]
\[ \int \tfrac {1}{\sqrt {1-x^2}}\,dx = \arcsin x + c \]
Integrazione per parti
\[ \int f\,g'\,dx = f\,g - \int f'\,g\,dx \]
Integrazione per sostituzione
\[ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \quad (t = g(x)) \]
Teorema fondamentale del calcolo
\[ \int _a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]
Area tra due curve
\[ A = \int _a^b \big (f(x) - g(x)\big )\,dx \]
Volume di rotazione (asse \(x\))
\[ V = \pi \int _a^b \big [f(x)\big ]^2\,dx \]