modifica
{ [punto] : A,B,C [convenzione] }
{ [segmento] : a,b,c [convenzione] }
{ [retta] r,s,t [convenzione] }
{ [semirette] Ar [convenzione] }
{ [angolo] : $alpha,beta,gamma,hat(AOB), hat(A)$ [convenzione] }
{ [piano] $pi$ [convenzione] }
{  [arco] $stackrel(nn)(AB),stackrel(nn)(APB)$ [convenzione] }
{ $cong$ [congruente] : sovrapponibili [definizione] { $=$ [uguale] : sovrapposti [definizione] }
{ $dot=$ [equivalente] : stessa superficie [definizione] }
{ $~~$ simile ottenibile per [similitudine] cioe' [omotetia] e/o [isometria] }
{ $sigma_(a,o)$ [simmetria] assiale o centrale}
{nel  [triangolo] i nomi dei lati minuscoli di quelli dei vertici opposti ; angoli: greco del vertice [convenzione] }
{ [poligono] : la parte di piano costituita da una poligonale chiusa non intrecciata e dai suoi punti interni}
{per due punti qualsiasi del [piano] passa una e una sola [retta] : $forall(A,B) in pi EE! r// (A,B) in r $ [postulato] 1 della [retta] }
{su una [retta] ci sono almeno due punti $ r, EEA,EEB,//(A,B)inr$ [postulato] 2 della [retta] }
{per ogni [retta] del piano esiste almeno un punto del piano che non le appartiene $rinpiEEB//Binpinotinr$ [postulato] 3 della [retta] }
{dati tre punti non allienati esiste ed e' unico un piano che li contiene$ bar(A,B,Cinr)$ $ EE!pi//(A,B,C)inpi$ [postulato] 1 del [piano] }
{dati due punti qualsiasi di un piano il segmento che li unisce appartiene al piano$forall (A,B)inpi, ABinpi$ [postulato] 2 del [piano] }
{La retta e' un insieme ordinato di punti e fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro puntoretta e poligonali [postulato] dell'ordinamento della [retta] { [semiretta] O unito(successivi) oppure O unito precedenti [definizione] }
{ [segmento] AB:(A$le$punti$le$B) [definizione] }
{segm. [consecutivi] : se hanno in comune soltanto un estremo [definizione] }
{segm. [adiacenti] : se consecutivi e appartengono alla stessa retta [definizione] }
{ [poligonale] : insieme di segmenti consecutivi [definizione] }
{ [semipiano] : una delle due parti di piano tagliate da una retta [definizione] }
{ [angolo] : una delle due parti di piano individuata da due semirette [definizione] }
{ [angolo] [consecutivo] due angoli con in comune un vertice e un lato [definizione] }
{ [angolo] [adiacente] : consecutivi con lati non in comune su stessa retta (in pratica un angolo piatto) [definizione] }
{ [angolo] [piatto] : i sui lati appartengono alla stessa retta (180°) [definizione] }
{ [angolo] [giro] : coincide con il piano (360°) [definizione] }
{figura [convessa] per due punti qualsiasi la congiungente e' sempre interna [definizione] }
{figura [concava] esistono almeno due punti per i quali la congiungente non e' interna [definizione] }
{ [cerchio] tutti i punti interni e compresi nella [circonferenza] [definizione] }
{ [punto medio] del segmento pm(AB) il punto che lo divide in due segmenti congruenti [definizione] }
{ [bisettrice] la semiretta che divide l'angolo in due angoli congruenti [definizione] }
{$(ABpmCD,CDcongFG)rarr(ABpmCDcongABpmFG)$ [assioma] di [sostituzione] (o transititiva'): posso sostituire ad un segmento uno ad esso $cong$ }
{$(ABcongkCD,CDcongFG)rarr(ABcongkFG)$ [assioma] di [sostituzione] : posso sostituire ad un segmento uno ad esso $cong$ }
{$ABcongCD,A'B'congC'D' rarr AB+-A'B'congCD+-C'D'$ somme o differenze di [segmento] /i a due a due $cong$ sono a loro volta $cong$}
{$ABcongCDrarrkABcongkCD$ multipli o sottomultipli di [segmento] /i tra loro $cong$ sono a loro volta $cong$}
{ [bisettrice] : divide in due l' [angolo] al [vertice] [definizione] [triangolo] danno [incentro] }
{ [mediana] : [vertice] - [pm] (lato) [definizione] [triangolo] danno [baricentro] }
{ [altezza] : incontra il lato opposto al [vertice] (o il suo prolungamento) danno [ortocentro] formando due angoli retti [triangolo] }
{ [triangolo] [scaleno] :un qualsiasi }
{ [triangolo] [isoscele] : $harr$ (almeno) 2 lati $cong$ $harr$ 2 angoli $cong$ }
{ [triangolo] [equilatero] :3 lati congruenti $harr$ 3 angoli $cong$ }
{ [triangolo] [acutangolo] : 3 angoli $<90°$ }
{ [triangolo] [rettangolo] : 1 angolo $=90°$ }
{ [triangolo] [ottusangolo] : 1 angolo $>90°$ }
{1°criterio [criterio] di [congruenza] per il [triangolo] : [LAL] (dim: lo si va' a sovrapporre in quel vertice }
{2°criterio [criterio] di [congruenza] per il [triangolo] : [ALA] (dim:A,A' e B,B' si sovrappongono per hp,$1/2$rAC sovrapponibile a $1/2$rA'C' per stesso angolo, idem altro }
{3° criterio [criterio] di [congruenza] per il [triangolo] : [LLL] (dim: sovrapponibili) }
{nel [triangolo] ogni angolo esterno > somma degli altri due interni}
{nel [triangolo] A lato maggiore si oppone angolo maggiore }
{nel [triangolo] disuguaglianza triangolare: a-b < c < a+b}
{$ABC,CAcongBC rarr hat(CAB)conghat(ABC)$ :in un [triangolo] [isosceleˆ gli angoli alla base sono $cong$ dim:si prolungano i lati $cong$ di una quantita' $cong$ etc.. (TEO degli angoli alla base del tr. isosc.)}
{$ABC,hat(CAB)conghat(ABC) rarr CAcongBC$ : un [triangolo] con due angoli congruenti e' [isoscele] (teo inverso)}
{ABC [triangolo] [isoscele] $rarr$ [bisettrice] $-=$ [altezza] $-=$ [mediana] }
{ $ABC,CAcongBCcongCA rarr hat(CAB)conghat(ABC)conghat(BCA)$ :in un [triangolo] [equilatero] gli angoli sono tutti $cong$ }
{$hat(CAB)conghat(ABC)rarr CAcongBC$ Se in un [triangolo] due angoli sono $cong$ i lati ad essi opposti sono $cong$}
{ABC $rarr hat(B_(ext))>hat(A),hat(B_(ext))>hat(C)$ in un [triangolo] un [angolo] esterno e' sempre maggiore degli altri due angoli interni: $hat(C_(ext)conghat(A)+hat(B)$teo angolo esterno della somma}
{in un qualsiasi [triangolo] $hat(A)+hat(B)+hat(C)=pi$}
{nel [triangolo] ABC,BC>AC $rarrhat(A)>hat(B)$ angoli opposti a lati maggiori sono maggiori, quindi ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore, e VICEVERSA}
{corollario all'angolo maggiore nel [triangolo] [rettangolo] : l' [ipotenusa] e' maggiore dei singoli [cateto] /i }
{ [triangolo] ABC $rarr$ AB-BC < AC < AB+BC (ammesso si possa fare AB-BC):DIS. TRIANGOLARE }
{$1^o$ criterio [congruenza] $cong$ del [triangolo] [rettangolo] : due cateti $cong$ }
{$2^o$ criterio [congruenza] $cong$ del [triangolo] [rettangolo] :un cateto e un acuto $cong$}
{$3^o$ criterio [congruenza] $cong$ del [triangolo] [rettangolo] : l'ipotenusa e un acuto $cong$}
{$4^o$ criterio [congruenza] $cong$ del [triangolo] [rettangolo] :l'ipotenusa e un cateto $cong$}
{ [asse] [circocentro] [triangolo] }
{ [retta] : [perpendicolare] o [ortogonale] se dividono il piano in 4 angoli retti}
{$_|_(r) per P EE$! la [perpendicolare] ad una retta passante per un punto esiste ed e' unica [retta] }
{ [piede] della [perpendicolare] : il punto di intersezione tra una [retta] e l'altra}
{ [proiezione] di un [punto] su una [retta] : il [piede] della {perpendicolare]}
{ [proiezione] di un [segmento] su una [retta:] il segmento tra le proiez. dei due punti}
{distanza [punto] - [retta] : la lunghezza del [segmento] punto-sua proiezione}
{due [retta] tagliate da una [trasversale] :2134 6578}
{alterni interni (4,6) (3,5) dalle parti opposte alla [trasversale] ma dentro le due rette }
{alterni esterni (1,7) (2,8) dalle parti opposte alla [trasversale] ma fuori le due rette }
{corrispondenti (1,5),(2,6),(3,7),(4,8) girando intorno ai rispettivi 'incroci' stanno nello stesso posto [trasversale] }
{coniugati interni (4,5),(3,6) (dalla stessa parte della trasversale (stesse scelte interna-esterna/sx-dx) [trasversale] }
{coniugati esterni (1,8),(2,7) [trasversale] }
{ postulato per la geometria euclidea: $EE$! [retta] parallela a una data e passante per un punto P}
{r//s $harr$ [alterni interni $cong$] [trasversale] }
{r//s $harr$ [corrispondenti$cong$] [trasversale] }
{r//s $harr$ [coniugati supplementari] [trasversale] }
{poligonale (semplice/intrecciata chiusa/aperta)'':figura formata da segmenti a due a due consecutivi [definizione] }
{ [semipiano] $1/2$piano : retta e una delle due regioni in cui divide il [piano] [definizione] }
{ [definizione] [angolo] : ciascuna delle due parti di piano individuate da due $1/2$rette con la stessa origine (vertice e lati dell'angolo)}
{ [definizione] [angolo] : parte di piano compresa tra due semirette dette lati}
{ [definizione] [angolo] [consecutivo] : stesso vertice piu' un lato}
{ [definizione] [angolo] [adiacente] : consecutivo e i lati non comuni appartengono alla stessa retta}
{ [definizione] [angolo] [piatto] ($hat(P)$ o $pi$)'': i suoi lati appartengono alla stessa retta}
{ [definizione] [angolo] [giro] ($hat(G)$ o $2pi$)'': coincide con l'intero piano}
{ [definizione] [angolo] [retto] ([$hat(R)$] o [$pi/2$)]'': meta' dell'angolo piatto }
{ [definizione] [angolo] [acuto] : $< hat(R)$}
{ [definizione] [angolo] angolo ottuso: $>hat(R)$ }
{$(hat(A)pmhat(B),hat(B)conghat(C)) rarr (hat(A)pmhat(B)conghat(A)pmhat(C))$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$ }
{$(hat(A)congkhat(B),hat(B)conghat(C))rarr(hat(A)congkhat(C))$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$ }
{$hat(A)conghat(A'),hat(B)conghat(B') rarr hat(A)+-hat(A')conghat(B)+-hat(B')$ somme o differenze di angoli a due a due $cong$ sono a loro volta $cong$ }
{$hat(A)conghat(B)rarrkhat(A)congkhat(B)$ multipli o sottomultipli di angoli tra loro $cong$ sono a loro volta $cong$ }
{ [angolo] [complementare] : $alpha+beta$=90°=$hat(R)$ o $pi/2$}
{supplementari:$alpha+beta$=180°=$hat(P)$ o $pi$}
{esplementari:$alpha+beta$=360°=$hat(G)$ o $2pi$}
{bisettrice:=la semiretta che divide un angolo in due parti uguali}
{angoli opposti al vertice (o.a.v.) :$alpha$ e $beta$ sono o.a.v. se hanno in comune il vertice e i loro lati appartengono alle stesse rette}
{figura concava: esiste un segmento tra due suoi punti che fuoriesce dalla figura}
{figura convessa: viceversa}
{figure congruenti: sovrapponibili}
{figure uguali: gli stessi,identici punti}
{punto medio:= quello che divide un segmento in due parti uguali}
{poligono: una poligonale chiusa (compresa) e i suoi punti interni puo' essere concavo o convesso}
{$hat(A)+hat(B)+hat(C)+hat(D)+hat(E)+...cong (n-2)pi$}
{$hat(A_e)+hat(B_e)+hat(C_e)+hat(D_e)+hat(E_e)+...cong pi$}
{regolari:$forall$lati$cong$}
{ [definizione] [trapezio] : quadrilatero con (almeno) due lati paralleli (basi) }
{ [definizione] [trapezio] [isoscele] : lati $cong$ }
{ [definizione] [trapezio] [rettangolo] : uno dei lati perp. alla base }
{rette parallele tagliate da due trasversali: a segmenti $cong$ su una corrispondono segmenti $cong$ sull'altra }
{segmento tra i punti medi di un triangolo $cong 1/2$ lato rimanente }
{ [definizione] [parallelogramma] : quadrilatero con lati opposti paralleli }
{ [definizione] rettangolo: parallelogramma con angoli $cong$ }
{ [definizione] [rombo] : [parallelogramma] con lati $cong$ }
{ [definizione] [quadrato] : [parallelogramma] con lati e angoli $cong$ }
{teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr ACDcongABC$ le diagonali del trapezio lo dividono in due triangoli $cong$ }
{teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr ABcongCD ^^ BCcongAD$ i lati opposti del parallelogramma sono $cong$ }
{teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr hat(A)conghat(C) ^^ hat(B)conghat(D)$ gli angoli opposti del [parallelogramma] sono $cong$ }
{teo:$ABCD,AB$//$CD,BC$//$AD rarr hat(A)+hat(B)=hat(B)+hat(C)=hat(C)+hat(D)=hat(D)+hat(A)=pi$ angoli adiacenti a ogni lato del //gr sono supplementari }
{diag1$nn$diag2 $-=$ pm(diag1)=pm(diag2) }
{4ro + lati opposti $cong rarr$ [//gr] [parallelogramma] }
{angoli opposti $cong rarr$ [//gr] [parallelogramma] }
{//gr,diag1$nn$diag2 $=$ pm $rarr$ [//gr] [parallelogramma] }
{2 lati opposti sono // e $cong rarr$ [//gr] [parallelogramma] }
{ABCD [//gr] + AC$cong$BD $rarr$ ABCD e' un rett. [parallelogramma] }
{ [definizione] [circonferenza] $gamma,gamma(O),gamma(O,r)$ [convenzione] }
{ [circonferenza] [teorema] per tre punti non allieneati passa una e una sola $gamma$ [convenzione] }
{ [definizione] [circonferenza] Corda $AB//(A,B)ingamma$ }
{ [definizione] [circonferenza] Diametro $AB//(A,B)ingamma(O),OinAB$}
{ [definizione] [circonferenza] $gamma$(O,r)$:={forall(A):d(A,O}
=r}
${ [definizione] [circonferenza] [cerchio] (O,r)$:={forall(A):d(A,O}
ler}
${ [definizione] [circonferenza] [asse] (A,B)$:={forall(P):d(P,A}
=d(P,B) }
${ [definizione] [circonferenza] [segmento circolare] : una delle due mezze lune ottenute tagliando un cerchio con una forbici}
{ [definizione] [circonferenza] [segmento circolare a due basi] : la parte interna di un cerchio tagliato lungo due corde parallele}
{ [definizione] [circonferenza] arco: parte di circonferenza compresa tra due punti $A,Bingamma$ si indica $stackrel(^^)(AB)$ oppure $stackrel(^^)(APB)$}
{ [definizione] [circonferenza] [settore circolare] :fetta di torta compresi lati e circonferenza}
{ [definizione] [circonferenza] [angolo al centro] $hat(AOB),(A,B)ingamma$}
{ [definizione] [circonferenza] [angolo alla $gamma$] $hat(AVB),(A,V,B)ingamma$}
{ [circonferenza] [teorema] angoli al centro e alla $gamma$ corrispondenti se insistono sullo stesso arco}
{ [circonferenza] [teorema] angoli corrispondenti nella circonferenza sono $hat(V)=(1/2)hat(O)$ dim si parte da V su OB e altri due casi con A,B dallo stesso lato oppure da lati opposti ad OB }
{ [circonferenza] [teorema] $forall c < d $ dim: si usa la dis. triangolare}
{ [circonferenza] [teorema] $(d _|_ c) cap c -= $pm(c) il diametro perp. alla corda ne stacca il pm. dim: altezza negli isosceli }
{ [circonferenza] [teorema] $c_1 cong c_2 lrarr d(c_1,O)=d(c_2,O) $ corde $cong$ sono equidistanti dal centro e viceversa dim: cateto e ipotenusa nei rettangoli (quarto) }
{$r$ esterna $gamma harr rcapgamma=O/$ [circonferenza] }
{$r$ tg $gamma harr rcapgamma={A}
$ [circonferenza] }
{$r$ sec $gamma harr rcapgamma={A,B}
,AneB$ [circonferenza] }
{angoli al centro e angoli alla [circonferenza] sono corrispondenti se insistono sullo stesso arco }
{le due tangenti per un punto ad una circonferenza staccano segmenti $cong$ }
{ [quadrilatero] e [circonferenza] ABCD.. inscritto $hArr$ angoli opposti supplementari }
{ [quadrilatero] e [circonferenza] ABCD.. inscritto $hArr cap Assi = {O}
$ }
{ [quadrilatero] e [circonferenza] apotema: $r$ di $gamma$ inscritta in ABCD cioe' d(lato,centro) }
{ [equivalenza] A=B o A$-=$B se sono perfettamente sovrapposte }
{ [equivalenza] A$cong$B se sono sovrapponibili }
{ [equivalenza] A$stackrel(.)=$B se hanno la stessa superficie }
{ [equivalenza] $cong rarr stackrel(.)=$ }
{ [equivalenza] $stackrel(.)=$ e una relaz. di equivalenza:R,S,T }
{ [equivalenza] Riflessiva: $Astackrel(.)=A$ }
{ [equivalenza] Simmetrica: $Astackrel(.)=B rarr Bstackrel(.)=A$ }
{ [equivalenza] Transitiva: $Astackrel(.)=B,Bstackrel(.)=C rarr Astackrel(.)=C$ }
{ [equivalenza] Commutativa: $A+Bstackrel(.)=B+A$ }
{ [equivalenza] Associativa: $(A+B)+Cstackrel(.)=A+(B+C)$ }
{ [equivalenza] $Somma$ di superfici definita solo se hanno al massimo il contorno in comune }
{ [equivalenza] Differenza $A-B=C harr B+C=A $}
{ [equivalenza] $(Adot=B,Bdot=C) rarr(Adot=C)$ assioma di sostituzione (o transititiva'): posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$}
{ [equivalenza] $(Adot=kB,Bdot=C) rarr(Adot=kC)$ assioma di sostituzione: posso sostituire ad un angolo uno ad esso $cong$ }
{ [equivalenza] $Astackrel(.)=A',Bstackrel(.)=B',AcapB=A'capB'=O/ rarr A+-Bstackrel(.)=A'+-B'$ somme o differenze di figure a due a due $stackrel(.)=$ sono a loro volta $stackrel(.)=$ }
{ [equivalenza] $Adot=BrarrkAdot=kB$ multipli o sottomultipli di figure tra loro $dot=$ sono a loro volta $dot=$ }
{ [equivalenza] $Astackrel(.)=A',Bstackrel(.)=B' rarr (A+-B)stackrel(.)=(A'+B')$ }
{ [equivalenza] $Astackrel(.)=C,Bstackrel(.)=D rarr (A-B)stackrel(.)=(C-D)$ }
{ [equivalenza] $AcongA',BcongB' rarr (A+-B)cong(A'+-B')$ }
{ [equivalenza] $AcongC,BcongD rarr (A-B)cong(C-D)$}
{ [equivalenza] $A non stackrel(.)= (BsubA)$ una figura non puo' essere equivalente ad una sua parte}
{ [equivalenza] A,B equiscomponibili se somma di figure ordinatamente $cong$}
{ [equivalenza] equiscomponibili $rarr cong$}
{ [similitudine] : [omotetia] e/o [isometria] ( [definizione] )}
{ [omologo] : elementi corrispondenti in una [omotetia] [definizione] ( [similitudine] ) }
{ [poligono] [simile] $rarr$ angolo [omologo] $cong$ e lato omologo in [proporzione] ( [similitudine] )}
{1° [criterio] [similitudine] [triangolo] : $alphabeta$ $cong$ $alpha'beta' rArr ABC~~A'B'C' $ due triangoli sono simili se hanno rispettivi due angoli $cong$ }
{2° [criterio] [similitudine] [triangolo] : $ (alpha cong alpha' )^^ ((b')/b=(c')/c) rArr ABC~~A'B'C'$ due triangoli sono simili se hanno un angolo compreso e i due lati rispettivamente $cong$ e proporzionali}
{3° [criterio] [similitudine] [triangolo] : $(a')/a = (b')/b = (c')/c rArr ABC~~A'B'C'$ due triangoli sono simili se hanno i lati rispettivamente proporzionali}
{ [teorema] "rapporto di [similitudine] applicato alle [altezza] ": $ABC~~DEF rarr (b')/b = (h')/h $ in [triangolo] [simile] le basi stanno fra loro come le rispettive altezze}
{ [teorema] "Perimetri di triangoli simili" $(A'B'C')~~(ABC) rArr (2pABC cong 2pA'B'C')$ i [perimetro] nei [triangolo] [simile] sono nella stessa proporzione dei lati [omologo] }
{ [teorema] "Aree di triangoli simili" $(ABC)/(A'B'C')= (B'C')^2/(BC)^2= ((B'C')/(BC))^2$ il rapporto tra le aree di due triangoli simili e' uguale al quadrato del rapporto di similitudine; [area] [triangolo] [similitudine] }
{ [Euclide] [primo] con [similitudine] : $i/c_(1,2) = c_(1,2)/p_(1,2)$, In un triangolo rettangolo ogni cateto e' medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa; $c_(1,2)^2=ip_(1,2)$ }
{ [Euclide] [secondo] con [similitudine] : $p_1/h = h/p_2$ In un triangolo rettangolo l'altezza relativa alla ipotenusa e' media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotesusa $h^2=p_1p_2$ }
{ [definizione] [isometria] : conserva le distanze: $(AB rarr A'B') rArr (AB cong A'B')$> [similitudine] }
{ [isometria] $rArr$ conserva angoli e parallelismi o ortogonalita' [similitudine] }
{ [simmetria] $rArr$ [isometria] $rArr$ conserva distanze e angoli }
{ [definizione] [centro] di [simmetria] O di una [figura] $Gamma$ : il pto O / $sigma_O(P inGamma) in Gamma $}
{ [teorema] ABCD:[//gr] $O=d_1nnnd_2$ e' [c.s.] (centro di simmetria) ovvero $sigma_O(ABCD)=ABCD$ L'intersezione delle diagonale del parallelogramma e' suo [c.s.] }
{ O: centro di simmetria [convenzione] }
{ [simmetria] [assiale] $simga_a rArr$ [isometria] }
{ [definizione] due [triangolo] con i tre angoli rispettivamente $cong$ e con i lati, opposti agli angoli $cong$, in proporzione, si dicono [simile] ; [similitudine] }
{ [definizione] [omologo] : [corrispondente] in una [similitudine] }
{ [Talete] [teorema] dato un fascio di rette parallele i segmenti su una trasversale sono nelle stesse proporzioni dei corrispondenti sull'altra}
{ [teorema] una retta parallela ad un lato divide gli altri due in segmenti proporzionali [triangolo] }
{ [teorema] una bisettrice divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati [triangolo] }
{ [analitica] [retta] per due punti $(x-x_1)/(x_1-x_2)=(y-y_1)/(y_1-y_2)$}
{ [analitica] [retta] m= $(Deltay)/(Deltax)$}
{ [analitica] [retta] m della perpendicolare= $-1/m$}
{ [analitica] distanza [punto] [retta] $d=(|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$}
{ [analitica] d(A,B) = $sqrt((x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2)$}
{ [analitica] $(y-y_0) = m(x-x_0)$}