“
Un poliedro è una pietra preziosa sfaccettata: facce piane, spigoli netti, vertici acuti. Eulero scoprì che fra
queste tre quantità — \(V\), \(S\), \(F\) — c’è una relazione cristallina, \(V - S + F = 2\), valida per ogni poliedro convesso. È il primo
invariante topologico della storia, e prelude alla teoria moderna delle superfici.”
— Leonhard Euler, lettera a Goldbach del 1750 — prima formulazione esplicita della relazione \(V - S + F = 2\)
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In questo capitolo iniziamo lo studio sistematico dei poliedri, le figure solide delimitate da poligoni piani. Sono gli oggetti più semplici della geometria solida: scatole, dadi, prismi triangolari, piramidi, tetraedri. In natura li troviamo nei cristalli (la cui forma esterna riflette la struttura geometrica reticolare degli atomi), nelle costruzioni umane (case, edifici, casse di trasporto), nei materiali da imballaggio.
Studieremo le tre famiglie principali:
Per ciascuna famiglia definiremo gli elementi (basi, facce, spigoli, vertici, altezza, apotema) e introdurremo le formule per area di superficie e volume (queste ultime in dettaglio nel cap. 113).
Definizione 111.1 — Poliedro
Convenzione. In questo capitolo ci limiteremo ai poliedri convessi: poliedri tali che, presi due punti qualunque del solido, il segmento che li unisce è ancora interamente contenuto nel solido. I poliedri convessi sono per esempio cubi, parallelepipedi, piramidi, tetraedri. Esempi di poliedri non convessi: la “stella” a punte, alcuni cristalli.
Elementi: per un poliedro, denotiamo
Verifica su esempi:
Significato. La formula di Eulero è un’identità topologica: dipende solo dalla “forma generale” del poliedro (essere convesso, o più in generale topologicamente equivalente a una sfera), non dalla specifica geometria (lunghezze, angoli). Per superfici diverse dalla sfera (es. il toro = “ciambella”), \(V - S + F\) assume valori diversi (per il toro: \(0\)). È il primo esempio storico di invariante topologico.
Definizione 111.2 — Area totale e volume di un poliedro
Le formule specifiche dipendono dal tipo di poliedro; vedremo cilindri e coni in cap. 112 e una sintesi delle formule in cap. 113.
Definizione 111.3 — Prisma
Classificazione dei prismi:
In base al numero di lati della base: prisma triangolare (\(3\) lati), quadrangolare (\(4\)), pentagonale (\(5\)), esagonale (\(6\)), \(n\)-gonale.
Per un prisma a base \(n\)-gonale:
Verifica di Eulero: \(V - S + F = 2n - 3n + (n+2) = 2\). \(\checkmark\)
In un prisma retto, le facce laterali sono rettangoli con base = lato della base, altezza = altezza \(h\) del prisma. L’area laterale totale è:
Area laterale di un prisma retto:
dove \(2p\) è il perimetro della base e \(h\) l’altezza del prisma.
Area totale: \(A_{\text {tot}} = A_\ell + 2 A_{\text {base}}\).
Definizione 111.4 — Parallelepipedo
Tipologie di parallelepipedo:
In un parallelepipedo rettangolo di dimensioni \(a, b, c\):
Diagonale della base (rettangolo): \(d_{\text {base}} = \sqrt {a^2 + b^2}\).
Diagonale del parallelepipedo (segmento che congiunge vertici opposti):
Dimostrazione. Due applicazioni di Pitagora: prima si calcola la diagonale della base \(d_{\text {base}}\) nel triangolo rettangolo con cateti \(a\) e \(b\); poi nel triangolo rettangolo formato da \(d_{\text {base}}\), dall’altezza \(c\) e dalla diagonale del parallelepipedo, si ottiene \(d^2 = d_{\text {base}}^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2\).
Il cubo è il parallelepipedo regolare per eccellenza:
Cubo di spigolo \(\ell \):
Definizione 111.5 — Piramide
Si chiama piramide il poliedro delimitato da:
La altezza \(h\) della piramide è la distanza dal vertice \(V\) al piano della base.
Verifica di Eulero: \(V - S + F = (n+1) - 2n + (n+1) = 2\). \(\checkmark\)
Definizione 111.6 — Apotema della piramide regolare
Relazione fra altezza piramide \(h\), apotema della base \(a_b\) (= distanza dal centro della base a un lato), e apotema della piramide \(a_p\):
(Pitagora nel triangolo rettangolo con cateti \(h\) e \(a_b\) e ipotenusa \(a_p\).)
In una piramide regolare, le \(n\) facce laterali sono triangoli isosceli congruenti, ciascuno di base = lato della base e altezza = apotema \(a_p\). L’area di una faccia è \((\ell \cdot a_p)/2\); sommando:
Area laterale di una piramide regolare:
dove \(2p\) è il perimetro della base e \(a_p\) l’apotema della piramide.
Area totale: \(A_{\text {tot}} = A_\ell + A_{\text {base}}\).
Definizione 111.7 — Tronco di piramide
Si chiama tronco di piramide la parte di una piramide compresa fra la base e una sezione piana parallela alla base (effettuata fra la base e l’apice). Ha:
Per un tronco di piramide regolare (cioè ottenuto da una piramide regolare), le facce laterali sono trapezi isosceli. L’altezza di un trapezio laterale si chiama apotema del tronco.
Apotema del tronco regolare: indicando con \(a_b, a'_b\) gli apotemi delle due basi (distanza dal centro al lato) e con \(h\) l’altezza del tronco:
Area laterale:
dove \(2p\) e \(2p'\) sono i perimetri delle due basi.
Esempio 111.1 — Verifica di Eulero su un ottaedro
L’ottaedro regolare ha \(8\) facce triangolari equilatere. Calcolare \(V\) e \(S\) e verificare la formula di Eulero.
Vertici. L’ottaedro è duale del cubo: ha tanti vertici quanti il cubo ha facce, cioè \(V = 6\).
Spigoli. Ogni faccia ha \(3\) lati, ogni spigolo è condiviso da \(2\) facce: \(S = 8 \cdot 3 / 2 = 12\).
Eulero: \(V - S + F = 6 - 12 + 8 = 2\). \(\checkmark\)
Esempio 111.2 — Diagonale del parallelepipedo
Un parallelepipedo rettangolo ha dimensioni \(3\,{\mathrm{m} }\), \(4\,{\mathrm{m} }\), \(12\,{\mathrm{m} }\). Calcolare la diagonale.
Pitagora doppia: \(d = \sqrt {9 + 16 + 144} = \sqrt {169} = 13\,{\mathrm{m} }\).
Curiosità. Questa è una terna pitagorica spaziale: \(3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2\). Le terne \((3, 4, 12, 13)\) e \((1, 4, 8, 9)\) sono fra le più semplici.
Esempio 111.3 — Apotema e area laterale di una piramide regolare
Una piramide regolare a base quadrata ha lato di base \(6\,{\mathrm{m} }\) e altezza \(4\,{\mathrm{m} }\). Calcolare apotema e area laterale.
Apotema della base. Per un quadrato di lato \(\ell \), l’apotema (distanza dal centro al lato) vale \(a_b = \ell /2 = 3\,{\mathrm{m} }\).
Apotema della piramide: \(a_p = \sqrt {h^2 + a_b^2} = \sqrt {16 + 9} = 5\,{\mathrm{m} }\).
Area laterale: \(A_\ell = (1/2) \cdot 2p \cdot a_p = (1/2) \cdot 24 \cdot 5 = 60\,{\mathrm{m} ^{2} }\).
Area totale: \(A_{\text {tot}} = A_\ell + \ell ^2 = 60 + 36 = 96\,{\mathrm{m} ^{2} }\).
Esempio 111.4 — Piramide a base esagonale
Una piramide regolare ha base esagonale di lato \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e apotema della piramide \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare altezza e area totale.
Apotema della base esagonale. Per un esagono regolare di lato \(\ell \), l’apotema vale \(a_b = \ell \sqrt {3}/2 = 4\sqrt {3}/2 = 2\sqrt {3} \approx 3.46\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Altezza: \(h = \sqrt {a_p^2 - a_b^2} = \sqrt {100 - 12} = \sqrt {88} = 2\sqrt {22} \approx 9.38\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Area laterale: \(A_\ell = (1/2) \cdot (6 \cdot 4) \cdot 10 = 120\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).
Area della base esagonale: \(A_b = (3\sqrt {3}/2) \ell ^2 = (3\sqrt {3}/2) \cdot 16 = 24\sqrt {3} \approx 41.57\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).
Area totale: \(A_{\text {tot}} = 120 + 24\sqrt {3} \approx 161.6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).
Esempio 111.5 — Spigolo del cubo dato il volume
Un cubo ha volume \(125\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\). Calcolare spigolo, area totale e diagonale.
Spigolo: \(\ell = \sqrt [3]{125} = 5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Area totale: \(A_{\text {tot}} = 6\ell ^2 = 150\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).
Diagonale: \(d = \ell \sqrt {3} = 5\sqrt {3} \approx 8.66\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Esempio 111.6 — Tronco di piramide quadrangolare
Un tronco di piramide regolare ha basi quadrate di lati \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), e altezza \(3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare apotema del tronco e area laterale.
Apotemi delle basi: \(a_b = 4\), \(a'_b = 2\) (metà dei lati).
Apotema del tronco: \(a_p = \sqrt {h^2 + (a_b - a'_b)^2} = \sqrt {9 + 4} = \sqrt {13} \approx 3.61\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Area laterale: \(A_\ell = (1/2)(2p + 2p') \cdot a_p = (1/2)(32 + 16)\sqrt {13} = 24\sqrt {13} \approx 86.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).
Esercizio 111.1
Riepilogo
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