113 Aree e volumi dei solidi notevoli

“

Se due solidi, “tagliati” parallelamente a uno stesso piano, intersecano ciascun piano parallelo in sezioni di area uguale, allora hanno volume uguale. È il principio di Bonaventura Cavalieri (1635), un’idea cosi semplice e così potente da costituire il primo passo storico verso il calcolo integrale.”

— Bonaventura Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635) — enunciato originale del principio degli “indivisibili”

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113.1 Introduzione motivazionale

In questo capitolo riuniamo tutte le formule per area e volume dei solidi notevoli incontrati nei capitoli precedenti (111, 112), in una sintesi sistematica utile come riferimento.

Introduciamo poi il principio di Cavalieri, un risultato cardinale della geometria solida che permette di confrontare i volumi di solidi diversi senza bisogno di calcoli integrali. Storicamente, è il primo strumento generale per il calcolo di volumi (XVII secolo), e prelude direttamente al calcolo integrale di Newton e Leibniz, che vedremo nel cap. 151.

113.2 Prisma e parallelepipedo

Prisma retto:

\[ A_\ell = 2p \cdot h, \qquad A_{\text {tot}} = A_\ell + 2 A_b, \qquad V = A_b \cdot h. \]

Volume del prisma obliquo. Per il principio di Cavalieri (vedi sotto), un prisma obliquo ha lo stesso volume di un prisma retto con base e altezza uguali. La formula $V = A_b \cdot h$ vale per qualunque prisma (con $h$ = distanza fra i piani delle basi, non lunghezza degli spigoli laterali).

113.3 Piramide

Per una piramide regolare di base di area $A_b$ e perimetro $2p$, altezza $h$, apotema $a_p$:

Piramide regolare:

\[ a_p^2 = h^2 + a_b^2 \quad \text {($a_b$ = apotema della base)}, \]

\[ A_\ell = \frac {1}{2} \cdot 2p \cdot a_p = p \cdot a_p, \qquad A_{\text {tot}} = A_\ell + A_b, \]

\[ V = \frac {1}{3} A_b \cdot h. \]

Volume di piramide qualunque. Anche se la piramide non è retta o non è regolare, la formula $V = (1/3) A_b h$ è valida, purché $h$ sia la distanza dall’apice al piano della base. Questo si dimostra col principio di Cavalieri.

Tronco di piramide

Per un tronco di piramide regolare di basi di aree $A_b, A'_b$ (con $A_b > A'_b$), perimetri $2p, 2p'$, apotemi delle basi $a_b, a'_b$, altezza $h$:

Tronco di piramide regolare:

\[ a_p = \sqrt {h^2 + (a_b - a'_b)^2}, \]

\[ A_\ell = \frac {1}{2}(2p + 2p') a_p = (p + p') a_p, \]

\[ V = \frac {h}{3}\left (A_b + A'_b + \sqrt {A_b \cdot A'_b}\right ). \]

Verifica del caso limite: se $A'_b = 0$ (tronco $\to $ piramide intera), $V = (h/3)(A_b + 0 + 0) = (1/3) A_b h$. $\checkmark$

113.4 Cilindro

Cilindro retto:

\[ A_\ell = 2\pi r h, \qquad A_{\text {tot}} = 2\pi r (h + r), \qquad V = \pi r^2 h. \]

Coerenza col prisma. Il cilindro è il “limite” del prisma regolare quando il numero di lati della base tende a infinito. Le formule $V = A_b h$ e $A_\ell = 2p h$ valgono in entrambi i casi, con $A_b = \pi r^2$ e $2p = 2\pi r$ per il cilindro.

113.5 Cono

Per un cono retto di raggio $r$, altezza $h$, apotema $a = \sqrt {r^2 + h^2}$:

Cono retto:

\[ A_\ell = \pi r a, \qquad A_{\text {tot}} = \pi r (a + r), \qquad V = \frac {1}{3} \pi r^2 h. \]

Coerenza con la piramide. Il cono è il “limite” della piramide regolare per $n \to \infty $ lati di base. Le formule $V = (1/3) A_b h$ e $A_\ell = (1/2)(2p) a_p$ valgono in entrambi i casi.

Tronco di cono

Per un tronco di cono di raggi $R, r$ e altezza $h$, apotema $a = \sqrt {h^2 + (R-r)^2}$:

Tronco di cono:

\[ A_\ell = \pi (R + r) a, \qquad V = \frac {\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2). \]

113.6 Sfera

Sfera:

\[ A_{\text {superficie}} = 4\pi r^2, \qquad V = \frac {4}{3}\pi r^3. \]

Parti della sfera

Calotta sferica di altezza $h$ su sfera di raggio $r$:

\[ A_{\text {calotta}} = 2\pi r h, \qquad V_{\text {calotta}} = \frac {\pi h^2}{3}(3r - h). \]

Zona sferica (porzione fra due piani paralleli) di altezza $h$, raggi dei cerchi $r_1, r_2$ e sfera di raggio $r$:

\[ A_{\text {zona laterale}} = 2\pi r h, \qquad V = \frac {\pi h}{6}(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2). \]

Settore sferico (parte della sfera delimitata da una calotta + un cono col vertice nel centro):

\[ V_{\text {settore}} = \frac {2}{3} \pi r^2 h. \]

Osservazione (Archimede). L’area della superficie laterale di una zona sferica è $2\pi r h$, indipendentemente dalla posizione della zona sulla sfera (purché $h$ sia fissata). Conseguenza profonda: la superficie sferica si “proietta” uniformemente sul cilindro tangente, una proprietà sfruttata in cartografia (proiezione di Lambert).

Tabella riassuntiva

Volumi (memoria di base):


Solido	Volume

Cubo (spigolo $\ell $)	$\ell ^3$
Parallelepipedo rettangolo	$a b c$
Prisma di base $A_b$, altezza $h$	$A_b \cdot h$
Piramide di base $A_b$, altezza $h$	$(1/3) A_b \cdot h$
Cilindro raggio $r$, altezza $h$	$\pi r^2 h$
Cono raggio $r$, altezza $h$	$(1/3) \pi r^2 h$
Tronco di cono $R, r, h$	$(\pi h/3)(R^2 + Rr + r^2)$
Sfera raggio $r$	$(4/3) \pi r^3$
Calotta sferica $r, h$	$(\pi h^2/3)(3r - h)$

113.7 Principio di Cavalieri

Definizione 113.1 — Principio di Cavalieri

Due solidi $S_1, S_2$ posti fra due piani paralleli, tali che per ogni piano $\sigma $ parallelo ai due piani fissati le sezioni $S_1 \cap \sigma $ e $S_2 \cap \sigma $ abbiano la stessa area, hanno lo stesso volume.

In linguaggio moderno: se due solidi hanno la stessa “funzione area-sezione” $A(z)$ (cioè la stessa area di sezione a ogni quota $z$), hanno lo stesso volume:

Conseguenze

Tre applicazioni classiche:

1.: Prisma obliquo e prisma retto con stessa base $A_b$ e stessa altezza $h$ hanno stesso volume $V = A_b h$. (Ogni piano orizzontale taglia una sezione di area $A_b$.)
2.: Volume della piramide: qualunque piramide di base $A_b$ e altezza $h$ ha volume $V = (1/3) A_b h$. Si dimostra confrontandola con una piramide a base triangolare di cui si sa calcolare il volume.
3.: Volume della sfera (Archimede): la sfera di raggio $r$ ha lo stesso volume dello “scarto” fra il cilindro di base $r$, altezza $2r$ circoscritto, e il doppio cono inscritto nello stesso cilindro. Da qui $V_{\text {sfera}} = V_{\text {cilindro}} - V_{\text {doppio cono}} = 2\pi r^3 - (2/3)\pi r^3 = (4/3)\pi r^3$.

Dimostrazione della formula $V_{\text {sfera}} = (4/3)\pi r^3$ (alla Archimede-Cavalieri)

Per Cavalieri, le due aree coincidono a ogni quota, quindi i volumi sono uguali:

Storicamente: dagli indivisibili al calcolo integrale

Il principio di Cavalieri era già implicitamente noto ad Archimede (III sec. a.C.), che lo usò per calcolare aree e volumi con il metodo di esaustione. Cavalieri (1635) lo riformulò pensando ai solidi come “somma di indivisibili” (sezioni di spessore infinitesimo). Newton e Leibniz, nel Seicento, formalizzeranno questa idea nel calcolo integrale (cap. 148):

che è la versione integrale del principio di Cavalieri (sommare le aree delle sezioni infinitesime di spessore $dz$). Cavalieri è dunque un ponte fra geometria classica e calcolo moderno.

113.8 Esempi svolti

Esempio 113.1 — Volume di una piramide qualsiasi

Una piramide ha base un triangolo di lati $5, 6, 7$ e altezza $10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Calcolare il volume.

Area della base (Erone). Semiperimetro $s = 9$, $A_b = \sqrt {9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt {216} = 6\sqrt {6} \approx 14.7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }$.

Volume: $V = (1/3) A_b h = (1/3) \cdot 6\sqrt {6} \cdot 10 = 20\sqrt {6} \approx 49.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$.

Esempio 113.2 — Rapporto fra solidi simili

Due cubi hanno spigoli in rapporto $1:3$. Qual è il rapporto fra:

1.: le aree totali?
2.: i volumi?

Risposta. Le aree scalano col quadrato del rapporto lineare: $1 : 9$. I volumi scalano col cubo: $1 : 27$.

Generalizzazione. Per qualunque famiglia di solidi simili di rapporto lineare $k$: rapporto fra aree $= k^2$, rapporto fra volumi $= k^3$.

Esempio 113.3 — Applicazione di Cavalieri: piramide e prisma

Mostrare con Cavalieri che una piramide a base triangolare ha volume $1/3$ del prisma con la stessa base e altezza.

Costruzione. Considera un prisma triangolare $ABCDEF$ (con $ABC$ base inferiore e $DEF$ base superiore). Lo si può “decomporre” in tre piramidi a base triangolare:

$P_1$: piramide $ABCD$ (base $ABC$, apice $D$);
$P_2$: piramide $BCDE$ (base $BCD$, apice $E$);
$P_3$: piramide $CDEF$ (base $CDE$, apice $F$);

(Verifica: queste tre piramidi tassellano il prisma senza sovrapposizioni.)

Mostrare che le tre piramidi hanno stesso volume. Con Cavalieri: per esempio $P_1$ e $P_2$ hanno entrambe base congruente (i triangoli $ABC$ e $BDE$ sono congruenti, perché $BC \parallel DE$ e $AB \parallel BE$… in realtà $BCD$ e $ABC$ no, ma il ragionamento di Cavalieri si applica a sezioni parallele. Lasciamo l’argomento dettagliato come esercizio.)

Conclusione: $V_{\text {piramide}} = (1/3) V_{\text {prisma}} = (1/3) A_b h$.

Esempio 113.4 — Volume per solidificazione

Una colata di metallo fuso a forma di cilindro retto ha raggio $20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e altezza $50\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Viene fusa e modellata in $1000$ palline uguali. Qual è il raggio di ogni pallina?

Volume totale: $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 400 \cdot 50 = 20\,000\,\pi \approx 62832\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$.

Volume di ogni pallina: $v = V/1000 = 20\pi \approx 62.83\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$.

Raggio della pallina: $v = (4/3)\pi r_p^3 \Rightarrow r_p^3 = 3v/(4\pi ) = 3 \cdot 20\pi /(4\pi ) = 15$, quindi $r_p = \sqrt [3]{15} \approx 2.47\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.

Esempio 113.5 — Confronto cubo-sfera con stesso volume

Un cubo e una sfera hanno lo stesso volume. Quale dei due ha superficie maggiore?

Setup. Sia $V$ il volume comune. Per il cubo: $\ell _c = V^{1/3}$, $A_c = 6\ell _c^2 = 6 V^{2/3}$. Per la sfera: $r = (3V/(4\pi ))^{1/3}$, $A_s = 4\pi r^2 = 4\pi (3V/(4\pi ))^{2/3}$.

Rapporto: $A_s/A_c = (4\pi /(6))(3/(4\pi ))^{2/3} = ?$. Numericamente $A_s/A_c \approx 0{,}806$.

Risposta: la sfera ha superficie minore. È un caso particolare del fatto generale che, fra tutti i solidi di un dato volume, la sfera è quello di minima superficie (problema isoperimetrico). La natura sfrutta questa proprietà nelle gocce, nelle bolle, in molti virus.

Esempio 113.6 — Volume residuo fra cono e cilindro

In un bicchiere cilindrico di raggio $4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e altezza $10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ si scava un cono coassiale che parte dal centro della base e ha altezza $10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e raggio della base superiore $4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ (quindi tangente al cilindro). Calcolare il volume di liquido che si può versare nel bicchiere “scavato” (cioè cilindro meno cono).

Volume cilindro: $\pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi \approx 502.7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$.

Volume cono: $(1/3)\pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi /3 \approx 167.6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$.

Volume residuo: $160\pi - 160\pi /3 = (2/3)(160\pi ) = 320\pi /3 \approx 335.1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$.

Verifica con principio di Cavalieri: il solido “cilindro meno cono” ha lo stesso volume di una semisfera di raggio $4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$? Vediamo: semisfera = $(2/3)\pi r^3 = (2/3)\pi \cdot 64 \approx 134\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$. No, qui altezza del cilindro $\ne $ raggio della sfera, quindi non si applica la corrispondenza vista nella dimostrazione di Archimede.

113.9 Esercizi proposti

Esercizio 113.1

1.

Calcolare volume e superficie:

(a): cubo di spigolo $7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$;
(b): parallelepipedo rettangolo $\SI {4} \times \SI {6} \times 9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$;
(c): prisma esagonale regolare di lato $2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e altezza $8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$;
(d): piramide regolare quadrata di lato $6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e altezza $4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$;
(e): cilindro di raggio $3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e altezza $10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$;
(f): cono di raggio $5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e altezza $12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$;
(g): sfera di raggio $6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.

2.

Un cubo ha volume $216\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$. Calcolare spigolo, area, diagonale.

3.

Una piramide regolare a base esagonale ha lato di base $4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e altezza $9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Calcolare area di base, area laterale, area totale, volume.

4.

Un tronco di piramide regolare a base quadrata ha basi di lati $8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e $4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$, altezza $6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Calcolare volume.

5.

Un cono ha volume $96\pi \,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$ e altezza $8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Calcolare raggio, apotema, area laterale.

6.

Un’urna a forma di cilindro coperto da una semisfera ha raggio $10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e l’altezza totale (cilindro + semisfera) è $30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Calcolare capacità e superficie esterna.

7.

Due cilindri hanno lo stesso volume ma raggi in rapporto $1:2$. Qual è il rapporto fra le loro altezze? Fra le loro superfici laterali?

8.

Due solidi simili hanno superfici in rapporto $4:9$. Qual è il rapporto fra:

(a): le dimensioni lineari?
(b): i volumi?

9.

Dimostrare, usando il principio di Cavalieri, che due piramidi a base congruente e stessa altezza hanno lo stesso volume (anche se hanno apici in posizioni diverse).

10.

Un solido si ottiene tagliando un cilindro di raggio $5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e altezza $8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ con un piano passante per un diametro della base superiore e tangente alla base inferiore. (Si veda un “cilindro tagliato in obliquo”.) Calcolarne il volume usando Cavalieri (suggerimento: ridurlo a metà del cilindro originale, dunque $V = (1/2)\pi r^2 h$).

11.

Sfida. In un cubo di spigolo $\ell $ è inscritto un tetraedro regolare (con vertici quattro vertici alternati del cubo). Calcolare lo spigolo del tetraedro e il rapporto fra i due volumi.

12.

Una scodella ha forma di semisfera di raggio interno $10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Se la riempiamo d’acqua, e dopo l’acqua arriva a $5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ dal bordo, qual è il volume d’acqua? (Suggerimento: volume = semisfera $-$ calotta superiore.)

13.

Una sfera è inscritta in un cono retto di apertura $60°$ (cioè l’angolo al vertice della sezione assiale è $60°$). Esprimere il volume della sfera in funzione del raggio del cono $r$. (Suggerimento: triangoli simili nella sezione assiale.)

14.

Sfida (Archimede). Mostrare che il volume della sfera di raggio $r$ sta al volume del cilindro circoscritto (cioè cilindro di raggio $r$ e altezza $2r$) come $2 : 3$. Questo è il risultato che Archimede considerava la sua più grande scoperta.

15.

Un cono ha volume $24\pi \,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }$ e raggio di base $3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Calcolarne l’altezza e la superficie totale.

16.

Sfida (problema di Galileo). Un cilindro contiene una semisfera, entrambi di raggio $r$. Se si scava dal cilindro un cono coassiale con stessa base e stessa altezza, lo spazio rimasto fra cilindro e cono ha lo stesso volume della semisfera (dimostrazione vista nel principio di Cavalieri). Verificarlo numericamente per $r = 6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.

113.10 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Volume = area-di-base $\times $ altezza (per prismi e cilindri): $V = A_b h$.
Volume = un terzo di area-di-base $\times $ altezza (per piramidi e coni): $V = (1/3) A_b h$.
Tronchi di piramide/cono: formule che si riducono al caso intero quando una base ha area zero.
Sfera: $V = (4/3)\pi r^3$, $A = 4\pi r^2$. Rapporto col cilindro circoscritto: $2:3$ (Archimede).
Calotta sferica: $A_{\text {cal}} = 2\pi r h$, $V_{\text {cal}} = (\pi h^2 /3)(3r-h)$.
Principio di Cavalieri: due solidi con stesse sezioni parallele a ogni quota hanno lo stesso volume. È un ponte fra geometria classica e calcolo integrale.
Conseguenze del principio:
- volume del prisma obliquo = volume del prisma retto (con stessa base e altezza);
- volume di una piramide qualunque = $(1/3) A_b h$;
- volume della sfera = differenza fra cilindro circoscritto e doppio cono inscritto (dimostrazione di Archimede-Cavalieri).
Solidi simili di rapporto lineare $k$: rapporto aree $= k^2$, rapporto volumi $= k^3$.
Problema isoperimetrico: fra solidi di volume dato, la sfera ha superficie minima. Esempio della natura: gocce, bolle.
Nel prossimo capitolo (114) studiamo i poliedri regolari (Platone): tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro, icosaedro. Sono solo cinque, e Cartesio nel ’600 lo dimostrò.


Solido	Volume

Cubo (spigolo \(\ell \))	\(\ell ^3\)
Parallelepipedo rettangolo	\(a b c\)
Prisma di base \(A_b\), altezza \(h\)	\(A_b \cdot h\)
Piramide di base \(A_b\), altezza \(h\)	\((1/3) A_b \cdot h\)
Cilindro raggio \(r\), altezza \(h\)	\(\pi r^2 h\)
Cono raggio \(r\), altezza \(h\)	\((1/3) \pi r^2 h\)
Tronco di cono \(R, r, h\)	\((\pi h/3)(R^2 + Rr + r^2)\)
Sfera raggio \(r\)	\((4/3) \pi r^3\)
Calotta sferica \(r, h\)	\((\pi h^2/3)(3r - h)\)

Capitolo 113
Aree e volumi dei solidi notevoli

113.1 Introduzione motivazionale

113.2 Prisma e parallelepipedo

113.3 Piramide

Tronco di piramide

113.4 Cilindro

113.5 Cono

Tronco di cono

113.6 Sfera

Parti della sfera

Tabella riassuntiva

113.7 Principio di Cavalieri

Conseguenze

Dimostrazione della formula \(V_{\text {sfera}} = (4/3)\pi r^3\) (alla Archimede-Cavalieri)

Storicamente: dagli indivisibili al calcolo integrale

113.8 Esempi svolti

113.9 Esercizi proposti

113.10 Riepilogo del capitolo

Capitolo 113 Aree e volumi dei solidi notevoli

113.1 Introduzione motivazionale

113.2 Prisma e parallelepipedo

113.3 Piramide

Tronco di piramide

113.4 Cilindro

113.5 Cono

Tronco di cono

113.6 Sfera

Parti della sfera

Tabella riassuntiva

113.7 Principio di Cavalieri

Conseguenze

Dimostrazione della formula \(V_{\text {sfera}} = (4/3)\pi r^3\) (alla Archimede-Cavalieri)

Storicamente: dagli indivisibili al calcolo integrale

113.8 Esempi svolti

113.9 Esercizi proposti

113.10 Riepilogo del capitolo

Capitolo 113
Aree e volumi dei solidi notevoli