114 Poliedri regolari

“

Cinque, e solo cinque. La dimostrazione, vecchia di duemila anni, occupa le ultime pagine degli Elementi di Euclide e si chiude in una scatola di vincoli combinatori: la somma degli angoli intorno a un vertice deve essere strettamente minore di \(2\pi \). Cinque soluzioni di un sistema di disuguaglianze, cinque solidi che Platone associò agli elementi del cosmo. Non c’è altrove in matematica un fatto così piccolo che ha generato tanto pensiero.”

— Adattato da Euclide, Elementi libro XIII (ca. 300 a.C.) — ultimo libro della grande opera, dedicato interamente ai cinque poliedri regolari

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114.1 Introduzione motivazionale

In questo capitolo studiamo i poliedri regolari, una famiglia molto particolare di solidi che la geometria classica ha sempre considerato con un mix di stupore e venerazione: ne esistono soltanto cinque.

Sono i poliedri “massimamente simmetrici”: tutte le facce sono poligoni regolari congruenti, e in ogni vertice si incontrano lo stesso numero di facce. Cubi, tetraedri, ottaedri sono i tre più familiari; ai due rimanenti — il dodecaedro e l’icosaedro — è dedicato l’intero libro XIII degli Elementi di Euclide. Platone li associò agli elementi cosmici nel Timeo, da cui il nome di solidi platonici.

La loro classificazione — soltanto cinque, dimostrato in tempi antichissimi — è uno dei primi risultati di combinatoria geometrica, e ha rappresentato per millenni un esempio mirabile di come da poche condizioni semplici si possano dedurre conclusioni inaspettate.

114.2 Definizione di poliedro regolare

Definizione 114.1 — Poliedro regolare

Un poliedro convesso si dice regolare se:

1.: tutte le facce sono poligoni regolari congruenti;
2.: in ogni vertice si incontrano lo stesso numero di facce (cioè i vertici sono “equivalenti”).

114.3 I cinque solidi platonici

I cinque poliedri regolari:


Solido	Faccia	\(V\)	\(S\)	\(F\)	Facce/vertice

Tetraedro	triangolo (3)	\(4\)	\(6\)	\(4\)	\(3\)
Cubo (esaedro)	quadrato (4)	\(8\)	\(12\)	\(6\)	\(3\)
Ottaedro	triangolo (3)	\(6\)	\(12\)	\(8\)	\(4\)
Dodecaedro	pentagono (5)	\(20\)	\(30\)	\(12\)	\(3\)
Icosaedro	triangolo (3)	\(12\)	\(30\)	\(20\)	\(5\)

Dualità

Coppie duali:

Cubo \(\leftrightarrow \) Ottaedro: i centri delle facce di un cubo sono i vertici di un ottaedro, e viceversa.
Dodecaedro \(\leftrightarrow \) Icosaedro: i centri delle facce di uno sono i vertici dell’altro.
Tetraedro \(\leftrightarrow \) Tetraedro: il tetraedro è auto-duale; i centri delle facce di un tetraedro regolare formano un altro tetraedro regolare (più piccolo).

Effetto della dualità sui numeri. Nei poliedri duali si scambiano \(V \leftrightarrow F\) (e \(S\) resta invariato): cubo \((8, 12, 6) \leftrightarrow \) ottaedro \((6, 12, 8)\); dodecaedro \((20, 30, 12) \leftrightarrow \) icosaedro \((12, 30, 20)\). Coerente!

Angoli diedri

Angoli diedri dei solidi platonici (fra due facce adiacenti):


Solido	Angolo diedro

Tetraedro	\(\arccos (1/3) \approx 70{,}53°\)
Cubo	\(90°\)
Ottaedro	\(\arccos (-1/3) \approx 109{,}47°\)
Dodecaedro	\(\arccos (-\sqrt {5}/5) \approx 116{,}57°\)
Icosaedro	\(\arccos (-\sqrt {5}/3) \approx 138{,}19°\)

Coerenza dualità: gli angoli diedri di solidi duali sono supplementari (sommano a \(180°\)):

114.4 Dimostrazione della classificazione (perché solo cinque)

Teorema di classificazione di Euclide: esistono esattamente cinque poliedri regolari convessi.

Dimostrazione (di Euclide, libro XIII). Sia \(p\) il numero di lati di ciascuna faccia (\(p \ge 3\)) e \(q\) il numero di facce che si incontrano in ciascun vertice (\(q \ge 3\)). Ogni angolo di una faccia (poligono regolare di \(p\) lati) misura

In ogni vertice del poliedro si incontrano \(q\) facce, con angoli che sommano a \(q \theta _p\). Affinché il vertice sia “a punta” (non piatto), la somma deve essere strettamente minore di \(2\pi \) (altrimenti i poligoni stenderebbero in un piano):

Osservazione cruciale. La dimostrazione mostra anche perché non esistano poliedri regolari con facce esagonali: l’angolo interno di un esagono regolare è \(120°\), e tre esagoni in un vertice formano già \(360°\) (tassellazione del piano, non vertice di poliedro). Per questo gli alveari (formazione esagonale) tassellano una superficie piana ma non possono “chiudersi” in un poliedro regolare.

114.5 Formule per i solidi platonici

Per uno spigolo unitario \(\ell = 1\), i poliedri regolari hanno valori notevoli di area e volume:

Formule per spigolo \(\ell \):


Solido	Area totale	Volume

Tetraedro	\(\sqrt {3}\,\ell ^2\)	\(\dfrac {\sqrt {2}}{12}\ell ^3 \approx 0{,}118\,\ell ^3\)

Cubo	\(6\ell ^2\)	\(\ell ^3\)

Ottaedro	\(2\sqrt {3}\,\ell ^2\)	\(\dfrac {\sqrt {2}}{3}\ell ^3 \approx 0{,}471\,\ell ^3\)

Dodecaedro	\(3\sqrt {25 + 10\sqrt {5}}\,\ell ^2\)	\(\dfrac {15 + 7\sqrt {5}}{4}\ell ^3 \approx 7{,}66\,\ell ^3\)

Icosaedro	\(5\sqrt {3}\,\ell ^2\)	\(\dfrac {5(3 + \sqrt {5})}{12}\ell ^3 \approx 2{,}18\,\ell ^3\)

Dimostrazione (volume del tetraedro). Sia \(\ell \) lo spigolo. L’area di una faccia (triangolo equilatero) è \(A_b = \ell ^2 \sqrt {3}/4\). L’altezza del tetraedro si calcola così: il piede della perpendicolare dall’apice cade nel baricentro della base; la sua distanza da un vertice della base è \((2/3) \cdot (\ell \sqrt {3}/2) = \ell \sqrt {3}/3\). Per Pitagora:

114.6 Esempi svolti

Esempio 114.1 — Volume di un tetraedro di spigolo dato

Calcolare volume e area totale di un tetraedro regolare di spigolo \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Volume: \(V = (\sqrt {2}/12) \cdot 216 = 18\sqrt {2} \approx 25.46\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\).

Area totale: \(A = \sqrt {3} \cdot 36 = 36\sqrt {3} \approx 62.35\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).

Esempio 114.2 — Dualità cubo-ottaedro

In un cubo di spigolo \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), i centri delle facce formano un ottaedro regolare. Calcolare lo spigolo di questo ottaedro.

Geometria. I centri di due facce adiacenti del cubo si trovano a distanza pari al lato del cubo, ma misurata fra due punti centrali di facce con angolo retto. Concretamente: sia \(C_1\) il centro della faccia inferiore (\(z = 0\)) e \(C_2\) il centro di una faccia laterale (per esempio \(x = 4\)). Coordinate: \(C_1 = (2, 2, 0)\), \(C_2 = (4, 2, 2)\). Distanza: \(\sqrt {4 + 0 + 4} = 2\sqrt {2}\).

Spigolo dell’ottaedro: \(\ell ' = 2\sqrt {2} \approx 2.83\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Verifica numero vertici. L’ottaedro ha \(6\) vertici = \(6\) centri delle facce del cubo. \(\checkmark\)

Esempio 114.3 — Sfera circoscritta a un cubo

Calcolare il rapporto fra il raggio della sfera circoscritta a un cubo di spigolo \(\ell \) e lo spigolo stesso.

Geometria. La sfera circoscritta passa per gli \(8\) vertici del cubo. Il suo centro è il centro del cubo. Il raggio è la distanza dal centro a un vertice = metà della diagonale del cubo.

Calcolo: \(R = \ell \sqrt {3}/2\), dunque \(R/\ell = \sqrt {3}/2 \approx 0{,}866\).

Esempio 114.4 — Verifica della formula di classificazione

Verificare che \(p = 6, q = 3\) non darebbe un poliedro regolare.

Calcolo: \(1/6 + 1/3 = 1/2\), esattamente uguale a \(1/2\) (non strettamente maggiore).

Interpretazione geometrica: tre esagoni regolari in un vertice sommano \(3 \cdot 120° = 360°\), cioè un giro intero. Il vertice è “piatto”: la configurazione tassella il piano (alveare delle api), non chiude un poliedro.

Esempio 114.5 — Tetraedro inscritto in un cubo

Mostrare che i \(4\) vertici alternati di un cubo formano un tetraedro regolare. Calcolarne lo spigolo per cubo di spigolo \(\ell \).

Costruzione. Etichettiamo i vertici del cubo come \(A, B, C, D, E, F, G, H\) in modo standard (faccia inferiore \(ABCD\), faccia superiore \(EFGH\) con \(A\) sotto \(E\)). Scegliamo i \(4\) vertici alternati \(A, C, F, H\) (quelli con la somma delle coordinate pari, per esempio).

Spigolo del tetraedro: distanza fra due dei \(4\) vertici scelti = diagonale di una faccia del cubo = \(\ell \sqrt {2}\).

Verifica congruenza. Tutte le \(6\) coppie (\(A\)-\(C\), \(A\)-\(F\), \(A\)-\(H\), \(C\)-\(F\), \(C\)-\(H\), \(F\)-\(H\)) sono diagonali di faccia, congruenti: spigolo \(\ell \sqrt {2}\).

Rapporto fra volumi. Volume cubo \(= \ell ^3\). Volume tetraedro = \((\sqrt {2}/12)(\ell \sqrt {2})^3 = (\sqrt {2}/12) \cdot 2\sqrt {2} \ell ^3 = (4/12)\ell ^3 = \ell ^3/3\). Rapporto: cubo / tetraedro = \(3\).

Esempio 114.6 — Angolo diedro del cubo

Mostrare che l’angolo diedro fra due facce di un cubo è \(90°\).

Geometria. Le due facce condividono uno spigolo. Tracciando la sezione normale (perpendicolare a uno spigolo) si ottiene un triangolo nei piani delle due facce: ognuno è formato da una semiretta orizzontale e una verticale. L’angolo fra loro è \(\pi /2\).

Conclusione: \(\arccos (0) = \pi /2 = 90°\).

114.7 Esercizi proposti

Esercizio 114.1

1.

Calcolare volume e area totale per ciascun solido platonico di spigolo \(2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\):

(a): tetraedro;
(b): cubo;
(c): ottaedro;
(d): icosaedro.

2.

Verificare la formula di Eulero per ciascun solido platonico (sostituendo i valori di \(V, S, F\)).

3.

Per il dodecaedro regolare, calcolare:

(a): il numero di vertici e di spigoli partendo da \(F = 12\) e dal fatto che ogni faccia ha \(5\) lati e ogni vertice ha \(3\) facce (suggerimento: \(2S = 5F\) e \(2S = qV\) con \(q = 3\));
(b): la verifica di Eulero.

4.

Mostrare, usando la disuguaglianza \(1/p + 1/q > 1/2\), che non esistono poliedri regolari con \(p \ge 6\).

5.

Calcolare il raggio della sfera inscritta in un cubo di spigolo \(\ell \). (Suggerimento: la sfera è tangente alle facce; il raggio è \(\ell /2\).)

6.

Calcolare il raggio della sfera circoscritta a un tetraedro regolare di spigolo \(\ell \). (Suggerimento: il centro è sul segmento dal vertice al baricentro della base opposta; usare proporzionalità nel triangolo formato.)

7.

Mostrare che, in un ottaedro regolare di spigolo \(\ell \), la distanza fra due vertici opposti (cioè la diagonale dell’ottaedro) è \(\ell \sqrt {2}\).

8.

Un dado da gioco è un cubo. Esiste un dado a \(12\) facce (\(1, 2, \ldots , 12\), su un dodecaedro) e a \(20\) facce (su un icosaedro). Quanti spigoli ha:

(a): il dado a \(12\) facce?
(b): il dado a \(20\) facce?
(c): un ottaedro?

9.

Sfida (sezione aurea). Mostrare che il rapporto fra spigolo del dodecaedro regolare e spigolo del cubo in cui è inscritto è connesso alla sezione aurea \(\phi = (1 + \sqrt {5})/2\). (Risultato classico; richiede coordinate cartesiane in \(\mathbb{R} ^3\).)

10.

Riconoscere quali dei seguenti solidi sono regolari (rispondere SÌ/NO con giustificazione):

(a): piramide quadrata con apice equidistante da tutti i vertici di base;
(b): prisma esagonale regolare;
(c): antiprisma quadrato (due quadrati ruotati di \(45°\) collegati da triangoli);
(d): ottaedro regolare.

11.

Dimostrare che il numero di facce di un poliedro regolare \(\{p, q\}\) (notazione di Schläfli: \(p\) lati per faccia, \(q\) facce in un vertice) è dato da

\[ F = \frac {4q}{2p + 2q - pq}, \]

e verificare per i cinque solidi platonici.

12.

Calcolare l’angolo diedro del tetraedro regolare a partire dalla geometria delle altezze delle facce. (Risultato: \(\arccos (1/3) \approx 70{,}53°\), vedi cap. 110.)

13.

Sfida storica. Platone nel Timeo associò ciascun solido a un elemento:

tetraedro \(\to \) fuoco;
cubo \(\to \) terra;
ottaedro \(\to \) aria;
icosaedro \(\to \) acqua;
dodecaedro \(\to \) cosmo (etere).

Discutere brevemente le ragioni geometriche/intuitive di questa associazione (per esempio: punte aguzze del tetraedro \(\to \) “brucia”).

14.

Mostrare che ogni poliedro regolare ha una sfera circoscritta (passa per tutti i vertici) e una sfera inscritta (tangente a tutte le facce), concentriche.

15.

Calcolare il volume di un dodecaedro regolare di spigolo \(1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), sfruttando la formula in tabella. Confrontare con la sfera circoscritta dello stesso “raggio approssimativo”.

16.

Sfida finale (Hales-Conway). Esistono poliedri regolari in dimensione \(4\)? In dimensione \(5\)? La risposta è data dal teorema di classificazione di Schläfli (XIX sec.): in dimensione \(4\) ce ne sono \(6\), in dimensione \(\ge 5\) solo \(3\) (analoghi del tetraedro, cubo, ottaedro). Riflettere su questo fatto: l’abbondanza in dimensione \(4\), la riduzione drastica oltre.

114.8 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Poliedro regolare: poliedro convesso con tutte le facce poligoni regolari congruenti e con lo stesso numero di facce in ogni vertice.
Teorema di classificazione (Euclide, libro XIII): esistono esattamente cinque poliedri regolari convessi.
I cinque solidi platonici:
- Tetraedro: \(4\) facce triangolari, \(4\) vertici, \(6\) spigoli;
- Cubo (esaedro): \(6\) facce quadrate, \(8\) vertici, \(12\) spigoli;
- Ottaedro: \(8\) facce triangolari, \(6\) vertici, \(12\) spigoli;
- Dodecaedro: \(12\) facce pentagonali, \(20\) vertici, \(30\) spigoli;
- Icosaedro: \(20\) facce triangolari, \(12\) vertici, \(30\) spigoli.
Disuguaglianza di Euclide per la classificazione: \(1/p + 1/q > 1/2\) con \(p\) = lati per faccia, \(q\) = facce per vertice. Solo \(5\) soluzioni intere con \(p, q \ge 3\).
Dualità: cubo \(\leftrightarrow \) ottaedro, dodecaedro \(\leftrightarrow \) icosaedro, tetraedro auto-duale. I centri delle facce di un poliedro sono i vertici del suo duale.
Angoli diedri: \(70{,}53°\) (tetraedro), \(90°\) (cubo), \(109{,}47°\) (ottaedro), \(116{,}57°\) (dodecaedro), \(138{,}19°\) (icosaedro).
Volumi per spigolo \(\ell \): \(V_{\text {tet}} = (\sqrt {2}/12)\ell ^3\), \(V_{\text {cubo}} = \ell ^3\), \(V_{\text {ott}} = (\sqrt {2}/3)\ell ^3\), \(V_{\text {dod}} \approx 7{,}66 \ell ^3\), \(V_{\text {ico}} \approx 2{,}18 \ell ^3\).
Sfera circoscritta e inscritta: esistono entrambe per ogni solido platonico, concentriche al centro di simmetria del poliedro.
Associazione di Platone: tetraedro (fuoco), cubo (terra), ottaedro (aria), icosaedro (acqua), dodecaedro (cosmo).
Generalizzazione moderna (Schläfli): in dimensione \(4\) ci sono \(6\) politopi regolari, in dimensione \(\ge 5\) solo \(3\).
Da qui in poi abbandoniamo la geometria solida “intrinseca” e passiamo alla geometria analitica nello spazio (cap. 115): coordinate cartesiane in \(\mathbb{R} ^3\), distanze, punti medi.

Capitolo 114 Poliedri regolari