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Capitolo 115
Coordinate cartesiane nello spazio \(\mathbb{R} ^3\)

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Aggiungere un terzo asse al piano cartesiano è semplice in apparenza, profondo in sostanza: ogni punto dello spazio si descrive con tre numeri, ogni figura solida diventa un’equazione o un sistema di equazioni. La geometria classica e l’algebra si fondono come nel piano, ma con una dimensione in più che apre prospettive immense — dall’astronomia alla cinematica del moto curvo, dalla computer grafica alla relatività speciale.”

— Adattato da René Descartes, lettera a Mersenne (1638) — estensione dell’idea cartesiana del piano allo spazio tridimensionale

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115.1 Introduzione motivazionale

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Con questo capitolo apriamo la parte di geometria analitica nello spazio: useremo le coordinate cartesiane per descrivere punti, rette, piani e superfici, riducendo problemi geometrici a problemi algebrici (come fatto nel piano in cap. 69, 70).

Il principio è semplice: nello spazio servono tre numeri reali per descrivere la posizione di un punto, contro i due del piano. Otteniamo lo spazio cartesiano \(\mathbb{R} ^3\), in cui ogni punto è una terna ordinata \((x, y, z)\).

Le applicazioni sono ovunque: cinematica tridimensionale (un punto materiale ha posizione \((x(t), y(t), z(t))\) al tempo \(t\)), grafica al computer, GPS, fisica delle particelle, modellazione architettonica. In questo capitolo introduciamo le coordinate, la distanza fra due punti e il punto medio di un segmento.

115.2 Sistema di coordinate cartesiane in \(\mathbb{R} ^3\)

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Definizione 115.1 — Sistema cartesiano nello spazio

Si chiama sistema di coordinate cartesiane nello spazio una terna di rette orientate \(Ox, Oy, Oz\), mutuamente perpendicolari, che si intersecano in un punto \(O\) detto origine. Si fissa un’unità di misura comune sui tre assi.

A ogni punto \(P\) dello spazio si associa la terna ordinata \((x, y, z)\) di coordinate, dove:

Orientazione: terna destrorsa

Convenzione standard (terna destrorsa): la terna \((Ox, Oy, Oz)\) è orientata in modo che, ruotando \(Ox\) verso \(Oy\) di \(\pi /2\) in senso antiorario (visto dall’estremità positiva di \(Oz\)), si sovrapponga esattamente a \(Oy\). Equivalentemente: applicando la regola della mano destra, pollice = \(x\), indice = \(y\), medio = \(z\).

Importanza. L’orientazione fissata garantisce coerenza nei calcoli (per esempio nel prodotto vettoriale, cap. 116). Una terna sinistrorsa (riflessa) richiederebbe segni opposti in molte formule.

[Picture]

Figura 115.1: Sistema cartesiano tridimensionale (terna destrorsa \(Ox, Oy, Oz\)). A ogni punto \(P\) corrisponde una terna ordinata \((x, y, z)\) delle sue proiezioni sui tre assi. L’asse \(y\) è disegnato in prospettiva, “uscente” dal piano della pagina.

Piani coordinati e ottanti

I tre assi \(Ox, Oy, Oz\) generano tre piani coordinati:

Lo spazio viene così diviso in otto regioni dette ottanti, identificate dai segni di \(x, y, z\). Il primo ottante è quello con \(x, y, z > 0\) (l’analogo del primo quadrante del piano).

Punti particolari

Punti notevoli:

115.3 Distanza fra due punti

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Definizione 115.2 — Distanza euclidea in \(\mathbb{R} ^3\)

Dati due punti \(A = (x_A, y_A, z_A)\) e \(B = (x_B, y_B, z_B)\) nello spazio, la loro distanza è

\[ d(A, B) = \sqrt {(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}. \]

Derivazione

La formula si ricava con due applicazioni di Pitagora. Proiettiamo \(A\) e \(B\) sul piano \(xy\) ottenendo \(A' = (x_A, y_A, 0)\) e \(B' = (x_B, y_B, 0)\). Nel piano \(xy\), la distanza \(A'B'\) è:

\[ d(A', B') = \sqrt {(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]

Poi, considerando il triangolo rettangolo \(A B' B\) (con il segmento verticale \(B'B = |z_B - 0| = z_B\), e \(A B' \cdot \) con cateto in più \(|z_A|\)… ricomponiamo):

Ricomposizione corretta. Sia \(H = (x_B, y_B, z_A)\), la proiezione di \(B\) sul piano orizzontale alla quota di \(A\). Il triangolo \(AHB\) è rettangolo in \(H\) (perché \(HB\) è verticale e \(AH\) orizzontale). I cateti sono:

Per Pitagora:

\[ AB^2 = AH^2 + HB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2. \]

Formula della distanza in \(\mathbb{R} ^3\):

\[ d(A, B) = \sqrt {(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}. \]

È la generalizzazione naturale della formula nel piano (cap. 69): si aggiunge il termine \((z_B - z_A)^2\).

Distanza dall’origine

In particolare, la distanza di un punto \(P = (x, y, z)\) dall’origine \(O\) è:

\[ |OP| = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}. \]

Si chiama anche modulo del vettore posizione \(\vec {OP}\) (vedi cap. 116).

Proprietà della distanza

Proprietà (per ogni \(A, B, C \in \mathbb{R} ^3\)):

Sono le proprietà che definiscono una distanza (o metrica) in senso astratto: \(\mathbb{R} ^3\) con la distanza euclidea è uno spazio metrico.

115.4 Punto medio di un segmento

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Definizione 115.3 — Punto medio

Dati \(A = (x_A, y_A, z_A)\) e \(B = (x_B, y_B, z_B)\), il punto medio \(M\) del segmento \(AB\) ha coordinate

\[ M = \left ( \frac {x_A + x_B}{2}, \, \frac {y_A + y_B}{2}, \, \frac {z_A + z_B}{2} \right ). \]

Dimostrazione. Il punto medio è caratterizzato da \(|MA| = |MB|\) e da appartenere al segmento \(AB\). Si verifica direttamente sostituendo le coordinate di \(M\): le distanze sono entrambe uguali a metà di \(|AB|\).

Generalizzazione: punto che divide un segmento in un rapporto. Il punto \(P\) che divide \(AB\) secondo il rapporto \(AP : PB = k : (1-k)\) (con \(k \in [0, 1]\)) ha coordinate:

\[ P = ((1-k) A + k B) = (x_A + k(x_B - x_A), \, y_A + k(y_B - y_A), \, z_A + k(z_B - z_A)). \]

Per \(k = 1/2\) si riottiene il punto medio.

Baricentro di un sistema di punti

Baricentro (o centro di massa) di \(n\) punti \(P_1, \ldots , P_n\) con masse uguali:

\[ G = \frac {1}{n}\left ( \sum _i x_i, \, \sum _i y_i, \, \sum _i z_i \right ). \]

In particolare, il baricentro di un triangolo con vertici \(A, B, C\) è

\[ G = \frac {A + B + C}{3} = \left ( \frac {x_A + x_B + x_C}{3}, \, \ldots \right ). \]

115.5 Esempi svolti

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Esempio 115.1 — Distanza di due punti

Calcolare la distanza fra \(A = (1, 2, 3)\) e \(B = (4, 6, 7)\).

Algebra: \(d(A, B) = \sqrt {(4-1)^2 + (6-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt {9 + 16 + 16} = \sqrt {41} \approx 6{,}40\).

Esempio 115.2 — Punto medio

Determinare il punto medio del segmento di estremi \(A = (-2, 5, 0)\) e \(B = (4, 1, 6)\).

Algebra: \(M = ((-2+4)/2, (5+1)/2, (0+6)/2) = (1, 3, 3)\).

Verifica: \(d(A, M) = \sqrt {9 + 4 + 9} = \sqrt {22}\) e \(d(B, M) = \sqrt {9 + 4 + 9} = \sqrt {22}\). \(\checkmark\)

Esempio 115.3 — Distanza dall’origine

Calcolare la distanza dall’origine del punto \(P = (2, -3, 6)\).

Algebra: \(|OP| = \sqrt {4 + 9 + 36} = \sqrt {49} = 7\).

Curiosità. \((2, -3, 6, 7)\) è una terna pitagorica tridimensionale (con \(2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2\)), analoga alle terne \((3, 4, 5)\) del piano.

Esempio 115.4 — Baricentro di un triangolo nello spazio

Calcolare il baricentro del triangolo di vertici \(A = (1, 0, 2)\), \(B = (3, 4, -1)\), \(C = (5, 2, 5)\).

Algebra: \(G = ((1+3+5)/3, (0+4+2)/3, (2-1+5)/3) = (3, 2, 2)\).

Esempio 115.5 — Distanza fra spigoli sghembi di un parallelepipedo

Un parallelepipedo rettangolo ha vertici opposti \(O = (0,0,0)\) e \(P = (3, 4, 5)\). Calcolare la diagonale.

Algebra: \(|OP| = \sqrt {9 + 16 + 25} = \sqrt {50} = 5\sqrt {2} \approx 7{,}07\).

Esempio 115.6 — Verifica della disuguaglianza triangolare

Verificare la disuguaglianza triangolare per \(A = (0,0,0)\), \(B = (1, 0, 0)\), \(C = (0, 1, 0)\).

Distanze: \(d(A,B) = 1\), \(d(B,C) = \sqrt {1+1} = \sqrt {2} \approx 1{,}414\), \(d(A,C) = 1\).

Disuguaglianza: \(d(A,C) \le d(A,B) + d(B,C) \iff 1 \le 1 + \sqrt {2} \approx 2{,}414\). \(\checkmark\)(Stretta: il triangolo non è degenere.)

Esempio 115.7 — Allineamento di tre punti

Stabilire se i punti \(A = (1, 2, 3)\), \(B = (3, 5, 6)\), \(C = (5, 8, 9)\) sono allineati.

Strategia. Tre punti sono allineati se uno è combinazione lineare degli altri due con coefficienti che sommano a \(1\), oppure equivalentemente se \(\vec {AB}\) e \(\vec {AC}\) sono paralleli (proporzionali).

Vettori: \(\vec {AB} = B - A = (2, 3, 3)\); \(\vec {AC} = C - A = (4, 6, 6)\).

Verifica proporzionalità: \(\vec {AC} = 2 \vec {AB}\). Sì, allineati. (E \(C\) è all’esterno del segmento \(AB\), dalla parte di \(B\).)

115.6 Esercizi proposti

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Esercizio 115.1

1.
Calcolare la distanza fra i seguenti punti:
(a)
\(A = (0,0,0)\), \(B = (3, 4, 12)\);
(b)
\(A = (1, -1, 2)\), \(B = (4, 3, -2)\);
(c)
\(A = (2, 5, -3)\), \(B = (5, 1, 9)\);
(d)
\(A = (-1, -2, -3)\), \(B = (1, 2, 3)\).
2.
Determinare il punto medio dei seguenti segmenti:
(a)
\(A = (4, 0, -2)\), \(B = (-2, 6, 4)\);
(b)
\(A = (0, 0, 0)\), \(B = (10, 8, 6)\);
(c)
\(A = (1.5, -2.5, 3)\), \(B = (4.5, 1.5, -5)\).
3.
Trovare le coordinate del punto che divide il segmento \(AB\) in due parti tali che \(AP : PB = 2 : 3\):
  • \(A = (1, 2, 3)\), \(B = (11, 12, 13)\).
4.
Calcolare il baricentro dei triangoli di vertici:
(a)
\(A = (0,0,0)\), \(B = (6, 0, 0)\), \(C = (0, 6, 0)\);
(b)
\(A = (1, 1, 1)\), \(B = (2, 3, 4)\), \(C = (5, 5, 1)\).
5.
Calcolare la distanza dall’origine dei seguenti punti, e identificare quelli equidistanti:
(a)
\(P_1 = (3, 0, 4)\);
(b)
\(P_2 = (1, 2, 2\sqrt {5})\);
(c)
\(P_3 = (-3, 4, 0)\);
(d)
\(P_4 = (2, 2, 1)\).
6.
Stabilire se i punti sono allineati:
(a)
\(A = (1, 0, 0)\), \(B = (2, 1, 1)\), \(C = (4, 3, 3)\);
(b)
\(A = (0, 0, 0)\), \(B = (1, 2, 3)\), \(C = (2, 4, 7)\);
(c)
\(A = (-1, 1, 0)\), \(B = (1, 0, 2)\), \(C = (3, -1, 4)\).
7.
Un cubo di spigolo \(4\) ha un vertice nell’origine e gli spigoli adiacenti allineati con gli assi. Determinare:
(a)
le coordinate degli \(8\) vertici;
(b)
la lunghezza della diagonale del cubo;
(c)
il centro del cubo.
8.
Un tetraedro regolare ha vertici \(A = (1,1,1)\), \(B = (1, -1, -1)\), \(C = (-1, 1, -1)\), \(D = (-1, -1, 1)\). Verificare che è regolare (cioè tutte le distanze a coppie sono uguali). Qual è lo spigolo? E lo spigolo della sfera circoscritta? (Suggerimento: il centro è l’origine, il raggio è la distanza di un vertice dall’origine.)
9.
Dati due punti \(A\) e \(B\), descrivere geometricamente l’insieme dei punti \(P\) tali che:
(a)
\(d(P, A) = d(P, B)\) (piano mediano, parallelo all’asse di simmetria \(AB\));
(b)
\(d(P, A) = r\) con \(r > 0\) fissato (sfera).
10.
Determinare il punto \(P\) dell’asse \(z\) equidistante da \(A = (1, 2, 0)\) e \(B = (3, 0, -2)\).
11.
Mostrare che, dati tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo \(\ell \) posti nelle posizioni \(A = (0,0,0)\), \(B = (\ell , 0, 0)\), \(C = (\ell /2, \ell \sqrt {3}/2, 0)\), le coordinate del quarto vertice \(D\) (sopra il piano \(z = 0\)) sono \(D = (\ell /2, \ell \sqrt {3}/6, \ell \sqrt {6}/3)\).
12.
Un parallelepipedo ha vertici opposti \(A = (0, 0, 0)\) e \(G = (6, 8, 10)\), con spigoli paralleli agli assi. Calcolare diagonale, centro, e tutti i vertici.
13.
Sfida (sfera per quattro punti). Dati quattro punti non complanari nello spazio, esiste un’unica sfera che li contiene. Per i punti \(A = (0,0,0)\), \(B = (2,0,0)\), \(C = (0,2,0)\), \(D = (0,0,2)\), determinarne il centro e il raggio. (Suggerimento: il centro è equidistante dai quattro punti; risolvere il sistema \(|PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = |PD|^2\).)
14.
Mostrare che, dati i tre vertici di un triangolo, le tre mediane si incontrano nel baricentro \(G = (A + B + C)/3\) e ognuna passa per esso dividendola in rapporto \(2:1\). (Verificare nel caso \(A = (0,0,0)\), \(B = (6, 0, 0)\), \(C = (0, 6, 0)\).)
15.
Una nave si trova in posizione \(A = (10, 4, 0)\) (in coordinate chilometriche, con \(z\) = quota sopra il livello del mare e \(z = 0\) = mare). Un aereo è in posizione \(B = (15, 7, 2)\) (a \(2\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) di quota). Calcolare la loro distanza. Quanti chilometri “a vista” (orizzontali, ignorando la quota) sono?
16.
Sfida (distanza punto-piano). Anticipiamo cap. 117. Il piano \(z = 0\) (piano orizzontale) ha distanza \(|z_P|\) dal punto \(P = (x_P, y_P, z_P)\). Mostrare che questa è la lunghezza della perpendicolare al piano. (Caso semplice del calcolo della distanza generale.)

115.7 Riepilogo del capitolo

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