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Capitolo 69
Piano cartesiano: distanza tra punti e punto medio

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Tutti i problemi della geometria possono essere ricondotti a una forma tale che è sufficiente conoscere la lunghezza di certi segmenti per costruirli.”

— René Descartes, La Géométrie (1637)

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69.1 Introduzione motivazionale

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Nel 1637 René Descartes pubblicò La Géométrie come appendice al Discours de la méthode. In poche decine di pagine cambiò per sempre la matematica: introdusse l’idea — per noi oggi così naturale da sembrare banale — che ogni punto del piano si possa identificare con una coppia di numeri reali. Lo stesso anno, indipendentemente, Pierre de Fermat sviluppò un’idea simile, ma fu il sistema di Cartesio a imporsi.

Da quel momento, la geometria, che per due millenni aveva parlato la lingua di Euclide (postulati, costruzioni con riga e compasso, dimostrazioni puramente sintetiche), poté essere “tradotta” nel linguaggio dell’algebra: ogni punto \(\leftrightarrow \) una coppia di numeri, ogni retta \(\leftrightarrow \) un’equazione, ogni curva \(\leftrightarrow \) una relazione tra coordinate. Problemi geometrici complessi (intersezioni, distanze, tangenze) diventarono manipolazioni algebriche calcolabili in modo meccanico.

Questo ponte tra algebra e geometria è la geometria analitica, ed è quello che studiamo in questa parte del corso. Il prezzo da pagare è il bagaglio algebrico (equazioni, sistemi, disequazioni); il guadagno è la possibilità di trattare in modo unitario rette, parabole, circonferenze, ellissi, iperboli, e — più avanti — curve di qualsiasi forma.

In questo primo capitolo gettiamo le fondamenta: stabiliamo il sistema di coordinate, definiamo la distanza tra due punti (che è semplicemente il teorema di Pitagora “analitico”, 59), il punto medio di un segmento, il baricentro di un triangolo, e una formula generale per l’area di un poligono note solo le coordinate dei suoi vertici. Tutto da qui in poi (70 retta, 74 parabola, 75 circonferenza, …) si appoggia su queste poche formule.

69.2 Sistema di coordinate cartesiane

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Definizione 69.1 — Sistema di riferimento cartesiano

Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel piano è una coppia di rette orientate, perpendicolari tra loro, dotate ciascuna della stessa unità di misura. Le due rette si chiamano assi e si denotano abitualmente:

Il punto di incontro dei due assi si chiama origine e si indica con \(O\).

Definizione 69.2 — Coordinate di un punto

Dato un punto \(P\) del piano, si dicono sue coordinate cartesiane la coppia ordinata di numeri reali \((x_P, y_P)\) ottenuta come segue:

Scriviamo \(P(x_P, y_P)\) o \(P = (x_P, y_P)\).

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Figura 69.1: Sistema di assi cartesiani ortogonali. Il punto \(P(2.5, 1.5)\) è nel I quadrante (entrambe le coordinate positive); \(Q(-2, -1.5)\) nel III (entrambe negative). Le linee tratteggiate mostrano le proiezioni di un punto sui due assi.

Nota  — Quadranti

Gli assi dividono il piano in \(4\) regioni dette quadranti, numerati in senso antiorario partendo dal quadrante in alto a destra:

Casi particolari: i punti dell’asse \(x\) hanno ordinata nulla — \(P(x, 0)\); i punti dell’asse \(y\) hanno ascissa nulla — \(P(0, y)\); l’origine è \(O(0, 0)\).

Nota  — Corrispondenza biunivoca punti–coppie

La corrispondenza “punto del piano \(\leftrightarrow \) coppia ordinata \((x, y)\in \mathbb{R} ^2\)” è biunivoca: a ogni punto corrisponde una sola coppia e viceversa. Questa è la traduzione algebrica della geometria, e identifica il piano euclideo con \(\mathbb{R} ^2\).

Tutto quello che segue — distanze, rette, curve, intersezioni — è ottenuto sfruttando questa identificazione: passare da “problema geometrico nel piano” a “problema algebrico in \(\mathbb{R} ^2\)” e viceversa.

69.3 Distanza tra due punti

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Teorema 69.1 — Distanza tra due punti

Siano \(A(x_A, y_A)\) e \(B(x_B, y_B)\) due punti del piano cartesiano. La loro distanza è

\[ d(A, B) = \overline {AB} = \sqrt {(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]
\[ \overline {AB} = \sqrt {(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]

Dimostrazione. Consideriamo il punto \(C(x_B, y_A)\): ha la stessa ascissa di \(B\) e la stessa ordinata di \(A\). Il triangolo \(ABC\) è rettangolo in \(C\) (perché \(AC\) è parallelo all’asse \(x\) e \(BC\) all’asse \(y\)). I due cateti hanno lunghezze

\[ \overline {AC} = |x_B - x_A|,\qquad \overline {BC} = |y_B - y_A|. \]

Applicando il teorema di Pitagora (59):

\[ \overline {AB}^{\,2} = \overline {AC}^{\,2} + \overline {BC}^{\,2} = (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2, \]

da cui la formula. (Nei quadrati le barre del valore assoluto sono superflue: \(|x|^2 = x^2\).)

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Figura 69.2: Distanza tra due punti: \(\overline {AB}\) è l’ipotenusa del triangolo rettangolo con cateti orizzontale e verticale di lunghezze \(|x_B-x_A|\) e \(|y_B-y_A|\). Pitagora dà la formula.

Nota  — Casi particolari

Esempio 69.1 — Distanza tra due punti

\(A(2, 3)\), \(B(5, 7)\):

\[ \overline {AB} = \sqrt {(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt {9 + 16} = \sqrt {25} = 5. \]

Esempio 69.2 — Coordinate negative

\(A(-3, 2)\), \(B(4, -1)\):

\[ \overline {AB} = \sqrt {(4-(-3))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt {49 + 9} = \sqrt {58}. \]

69.4 Punto medio di un segmento

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Teorema 69.2 — Punto medio

Il punto medio \(M\) del segmento di estremi \(A(x_A, y_A)\) e \(B(x_B, y_B)\) ha coordinate

\[ M = \left (\frac {x_A + x_B}{2},\ \frac {y_A + y_B}{2}\right ). \]
\[ x_M = \frac {x_A + x_B}{2},\qquad y_M = \frac {y_A + y_B}{2}. \]

Dimostrazione. Proiettiamo \(A, B, M\) sull’asse \(x\). Le proiezioni sono \(A'(x_A, 0)\), \(B'(x_B, 0)\), \(M'(x_M, 0)\). Per il teorema di Talete (61), la proiezione del punto medio è il punto medio delle proiezioni: quindi \(x_M = (x_A + x_B)/2\). Analogo ragionamento sulla proiezione sull’asse \(y\).

Esempio 69.3 — Punto medio

\(A(-1, 4)\), \(B(5, -2)\):

\[ M = \left (\frac {-1+5}{2},\ \frac {4+(-2)}{2}\right ) = (2, 1). \]

Nota  — Problema inverso: trovare un estremo

Data una coppia (estremo, punto medio), è facile ricavare l’altro estremo: dalla formula \(x_M = (x_A+x_B)/2\) segue \(x_B = 2x_M - x_A\), e analogamente \(y_B = 2y_M - y_A\). Esempio: \(A(2,3)\), \(M(5,1)\), allora \(B = (2\cdot 5 - 2,\ 2\cdot 1 - 3) = (8, -1)\).

Esempio 69.4 — Verifica con la distanza

Se \(M\) è il punto medio di \(\overline {AB}\), allora \(\overline {AM} = \overline {MB} = \overline {AB}/2\). Per \(A(0,0)\), \(B(6,8)\): \(M = (3, 4)\). Distanze: \(\overline {AM} = \sqrt {9+16}=5\), \(\overline {MB} = \sqrt {9+16}=5\), \(\overline {AB} = \sqrt {36+64} = 10\). \(\checkmark\)

69.5 Baricentro di un triangolo

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Definizione 69.3 — Baricentro

Il baricentro \(G\) di un triangolo \(ABC\) è il punto di intersezione delle tre mediane (segmenti che congiungono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto).

Teorema 69.3 — Coordinate del baricentro

Il baricentro \(G\) del triangolo di vertici \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\), \(C(x_C, y_C)\) ha coordinate

\[ G = \left (\frac {x_A + x_B + x_C}{3},\ \frac {y_A + y_B + y_C}{3}\right ). \]
\[ x_G = \frac {x_A+x_B+x_C}{3},\qquad y_G = \frac {y_A+y_B+y_C}{3}. \]

Dimostrazione (idea). Si dimostra in geometria euclidea che il baricentro divide ogni mediana in rapporto \(2:1\) a partire dal vertice (proprietà \(2:1\) del baricentro). Sia \(M_A\) il punto medio del lato \(BC\): \(M_A = ((x_B+x_C)/2,\ (y_B+y_C)/2)\). Il baricentro \(G\) è sul segmento \(AM_A\), a distanza \(2/3\) da \(A\):

\[ G = A + \tfrac {2}{3}(M_A - A) = \tfrac {1}{3}A + \tfrac {2}{3}M_A. \]

Sostituendo:

\[ x_G = \tfrac {1}{3}x_A + \tfrac {2}{3}\cdot \tfrac {x_B+x_C}{2} = \tfrac {x_A + x_B + x_C}{3}, \]

e analogamente per \(y_G\).

Nota  — Media aritmetica delle coordinate

La formula del baricentro è semplicemente la media aritmetica delle coordinate dei vertici. Si generalizza al baricentro di un poligono di \(n\) vertici (purché si tratti del baricentro geometrico delle masse puntiformi uguali ai vertici, non del baricentro dell’area piena):

\[ G = \left (\frac {x_1+x_2+\cdots +x_n}{n},\ \frac {y_1+y_2+\cdots +y_n}{n}\right ). \]

Esempio 69.5 — Baricentro di un triangolo

\(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\), \(C(3, 6)\):

\[ G = \left (\frac {0+6+3}{3},\ \frac {0+0+6}{3}\right ) = (3, 2). \]

(Il triangolo è isoscele; il baricentro è sull’asse di simmetria.)

69.6 Area di un poligono nel piano cartesiano

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Per calcolare l’area di un triangolo o di un poligono note solo le coordinate dei vertici, possiamo applicare la formula della scarpa (in inglese shoelace, dal modo in cui si calcola intrecciando le coordinate, come i lacci di una scarpa). È dovuta nella forma generale a Gauss (1795) ed è uno degli strumenti più potenti della geometria analitica elementare.

Teorema 69.4 — Area di un triangolo dalle coordinate dei vertici

Sia \(T\) il triangolo di vertici \(A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C)\). La sua area vale

\[ \mathrm {Area}(T) = \frac {1}{2}\,\bigl |\,x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)\,\bigr |. \]

Equivalentemente, in forma di determinante:

\[ \mathrm {Area}(T) = \frac {1}{2}\,\left |\det \!\begin {pmatrix} x_B - x_A & y_B - y_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A \end {pmatrix}\right |. \]
\[ \mathrm {Area}(T) = \tfrac {1}{2}\bigl |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)\bigr |. \]

Dimostrazione (idea). Si traslano i tre vertici portando \(A\) nell’origine: i nuovi vertici sono \(A'(0,0)\), \(B'(x_B-x_A, y_B-y_A)\), \(C'(x_C-x_A, y_C-y_A)\). L’area di un triangolo di vertici \(O, B', C'\) è

\[ \tfrac {1}{2}|x_{B'} \cdot y_{C'} - x_{C'}\cdot y_{B'}|, \]

formula che si ricava da \(\mathrm {Area} = b\cdot h/2\) con un calcolo diretto (oppure dalla formula del prodotto vettoriale di due vettori, anticipata qui). Sviluppando l’espressione si ottiene la forma simmetrica nei tre vertici dell’enunciato.

Nota  — Caso generale: poligono di \(n\) vertici

Per un poligono \(P_1 P_2 \cdots P_n\) con vertici elencati nell’ordine ciclico (ad es. antiorario), la formula della scarpa generale dà:

\[ \mathrm {Area} = \frac {1}{2}\,\biggl |\sum _{i=1}^{n}(x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1}\cdot y_i)\biggr |, \]

dove gli indici si intendono ciclici (cioè \(P_{n+1} = P_1\)). Il valore assoluto rende il risultato indipendente dal verso di percorrenza.

Esempio 69.6 — Area di un triangolo

Vertici \(A(1, 1), B(5, 2), C(3, 6)\):

\[ \mathrm {Area} = \tfrac {1}{2}|1\cdot (2-6) + 5\cdot (6-1) + 3\cdot (1-2)| = \tfrac {1}{2}|-4 + 25 - 3| = \tfrac {18}{2} = 9. \]

Esempio 69.7 — Area di un quadrilatero

Vertici (in ordine antiorario): \(P_1(0,0), P_2(4,0), P_3(5,3), P_4(1,4)\).

Calcolo i termini \(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i\):

\begin{align*} & x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0, \\ & x_2 y_3 - x_3 y_2 = 4\cdot 3 - 5\cdot 0 = 12, \\ & x_3 y_4 - x_4 y_3 = 5\cdot 4 - 1\cdot 3 = 17, \\ & x_4 y_1 - x_1 y_4 = 1\cdot 0 - 0\cdot 4 = 0. \end{align*}

Somma: \(0+12+17+0 = 29\). Area = \(29/2 = 14.5\).

Attenzione!  — Allineamento dei vertici

Se i tre punti \(A, B, C\) sono allineati (cioè giacciono sulla stessa retta), il triangolo \(ABC\) degenera in un segmento e ha area zero. La formula della scarpa lo cattura naturalmente: \(\mathrm {Area}(ABC) = 0 \iff A, B, C\) allineati. Questo è anche il test di allineamento di tre punti in geometria analitica.

69.7 Esempi svolti

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Esempio 69.8 — Triangolo isoscele – verifica

Verificare che il triangolo di vertici \(A(0, 0), B(4, 0), C(2, 3)\) è isoscele.

Soluzione.

\[ \overline {AC} = \sqrt {4+9} = \sqrt {13},\quad \overline {BC} = \sqrt {4+9} = \sqrt {13},\quad \overline {AB} = 4. \]

\(\overline {AC} = \overline {BC}\): isoscele sulla base \(AB\).

Esempio 69.9 — Triangolo equilatero?

Verificare se il triangolo \(A(0, 0), B(2, 0), C(1, \sqrt {3})\) è equilatero.

Soluzione.

\[ \overline {AB} = 2,\quad \overline {AC} = \sqrt {1+3} = 2,\quad \overline {BC} = \sqrt {1+3} = 2. \]

Tutti uguali: equilatero.

Esempio 69.10 — Triangolo rettangolo: verifica

Verificare che il triangolo \(A(1, 1), B(5, 1), C(1, 4)\) è rettangolo.

Soluzione.

\[ \overline {AB}^2 = 16,\quad \overline {AC}^2 = 9,\quad \overline {BC}^2 = 16 + 9 = 25. \]

\(\overline {AB}^2 + \overline {AC}^2 = \overline {BC}^2\): rettangolo (inverso di Pitagora, 59), con ipotenusa \(BC\) e angolo retto in \(A\).

Esempio 69.11 — Mediana e baricentro

Triangolo \(A(0, 0), B(6, 0), C(0, 6)\). Trovare il punto medio \(M\) di \(BC\), la mediana \(AM\) e il baricentro \(G\).

Soluzione.

\[ M = \left (\tfrac {6+0}{2}, \tfrac {0+6}{2}\right ) = (3, 3),\qquad G = \left (\tfrac {0+6+0}{3}, \tfrac {0+0+6}{3}\right ) = (2, 2). \]

Verifica del rapporto \(2:1\): \(G\) deve dividere \(AM\) in rapporto \(2:1\) a partire da \(A\). Componenti: \(\overline {AG} = \sqrt {8}\), \(\overline {AM} = \sqrt {18}\). Rapporto \(\overline {AG}/\overline {AM} = \sqrt {8/18} = 2/3\). \(\checkmark\)

Esempio 69.12 — Area di un triangolo

Vertici \(A(-2, 1), B(3, 4), C(2, -3)\). Calcolare l’area.

Soluzione.

\[ \mathrm {Area} = \tfrac {1}{2}|(-2)(4-(-3)) + 3(-3-1) + 2(1-4)| = \tfrac {1}{2}|-14 - 12 - 6| = \tfrac {32}{2} = 16. \]

Esempio 69.13 — Quattro punti allineati?

Stabilire se i punti \(P(1,2), Q(3,6), R(5,10)\) sono allineati.

Soluzione. Usiamo il test di allineamento: il triangolo \(PQR\) deve avere area zero.

\[ \mathrm {Area} = \tfrac {1}{2}|1(6-10) + 3(10-2) + 5(2-6)| = \tfrac {1}{2}|-4 + 24 - 20| = 0. \]

Sì, allineati.

Esempio 69.14 — Punto sul piano cartesiano dato un vincolo

Trovare i punti dell’asse \(x\) che distano \(5\) unità dal punto \(A(2, 4)\).

Soluzione. Un punto sull’asse \(x\) ha la forma \(P(x, 0)\). La condizione è \(\overline {AP} = 5\):

\[ \sqrt {(x-2)^2 + (0-4)^2} = 5 \implies (x-2)^2 + 16 = 25 \implies (x-2)^2 = 9. \]

Quindi \(x - 2 = \pm 3\), ovvero \(x = 5\) o \(x = -1\). I punti sono \(P_1(5, 0)\) e \(P_2(-1, 0)\).

69.8 Esercizi proposti

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Esercizio 69.1

1.
Rappresenta nel piano cartesiano i punti: \(A(3, 2),\ B(-1, 4),\ C(0, -2),\ D(-3, -1),\ E(2, 0)\). Indica per ciascuno il quadrante o l’asse di appartenenza.
2.
Calcola la distanza tra le seguenti coppie di punti:
  • (a) \(A(1, 2)\) e \(B(4, 6)\);
  • (b) \(A(-3, 5)\) e \(B(2, -7)\);
  • (c) \(A(0, 0)\) e \(B(-1, \sqrt {3})\);
  • (d) \(A(\tfrac {1}{2}, 1)\) e \(B(\tfrac {5}{2}, 4)\).
3.
Trova il punto medio dei segmenti di estremi:
  • (a) \(A(2, 4)\) e \(B(8, -2)\);
  • (b) \(A(-3, 0)\) e \(B(5, 6)\);
  • (c) \(A(\tfrac {1}{2}, -\tfrac {3}{2})\) e \(B(\tfrac {5}{2}, \tfrac {7}{2})\).
4.
Trova le coordinate del secondo estremo del segmento di cui si conosce un estremo \(A\) e il punto medio \(M\):
  • (a) \(A(1, 3)\), \(M(4, -1)\);
  • (b) \(A(-2, 5)\), \(M(0, 0)\).
5.
Verifica se i triangoli sono equilateri, isosceli, scaleni o rettangoli (specifica tutti i tipi che si applicano):
  • (a) \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(2,2\sqrt {3})\);
  • (b) \(A(-1,1)\), \(B(3,1)\), \(C(1,5)\);
  • (c) \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(0,8)\);
  • (d) \(A(1,2)\), \(B(4,6)\), \(C(7,2)\).
6.
Calcola il perimetro e l’area del triangolo \(A(0, 0), B(6, 0), C(4, 3)\).
7.
Trova il baricentro dei triangoli:
  • (a) \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(0,6)\);
  • (b) \(A(-2,1)\), \(B(3,4)\), \(C(2,-3)\);
  • (c) \(A(1,1)\), \(B(5,1)\), \(C(3,7)\).
8.
Stabilisci se i tre punti sono allineati:
  • (a) \(A(0,0)\), \(B(2,3)\), \(C(4,6)\);
  • (b) \(A(1,2)\), \(B(3,5)\), \(C(5,8)\);
  • (c) \(A(-1,4)\), \(B(2,-2)\), \(C(5,-8)\);
  • (d) \(A(0,1)\), \(B(2,2)\), \(C(4,4)\).
9.
Calcola l’area del quadrilatero di vertici \(P_1(0,0), P_2(5,0), P_3(6,4), P_4(2,5)\) (in ordine antiorario), usando la formula della scarpa.
10.
Trova tutti i punti dell’asse \(y\) che distano \(\sqrt {29}\) dal punto \(A(2, 3)\).
11.
Trova i due punti sull’asse \(x\) che, con \(A(0, 3)\), formano un triangolo equilatero.
12.
Dato il segmento di estremi \(A(1, 2)\) e \(B(7, 8)\), trova i due punti che lo dividono in tre parti uguali.
13.
(Discussione.) Un triangolo \(ABC\) ha vertici a coordinate intere. La formula della scarpa può dare un’area irrazionale? Argomenta.
14.
(Sfida.) Trova un punto \(P\) del piano cartesiano equidistante dai tre punti \(A(0,0), B(6,0), C(0,8)\). (Suggerimento: \(P\) è il circocentro del triangolo \(ABC\).)

69.9 Riepilogo del capitolo

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