“
Nei triangoli rettangoli, il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale ai quadrati dei lati che
contengono l’angolo retto.”
— Euclide, Elementi, libro I, proposizione 47 (iii sec. a.C.)
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Il teorema di Pitagora è probabilmente la formula matematica più nota al mondo: \(a^2 + b^2 = c^2\). È un’identità che relaziona le aree di tre quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo, ed è una delle prime cose che chiunque ricordi di geometria.
Eppure il teorema è ben più che una formula da memorizzare: è il cuore della geometria euclidea piana. Da esso discendono la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano, le relazioni metriche di base nei poligoni, la trigonometria (capitoli 94 e seguenti), e — in una sua versione più astratta — la struttura geometrica dello spazio reale (\(\mathbb{R} ^n\) con norma euclidea).
Le sue radici sono antichissime: tavolette babilonesi del ii millennio a.C. contengono terne \(a, b, c\) con \(a^2+b^2=c^2\); gli indiani Sulbasutras (viii sec. a.C.) usavano la relazione per costruire altari. Il nome viene tradizionalmente associato a Pitagora di Samo (vi sec. a.C.), ma è probabile che Pitagora abbia ricevuto la conoscenza nei suoi viaggi e l’abbia formalizzata in scuola. Esistono oltre \(400\) dimostrazioni diverse del teorema, antiche e moderne, geometriche, algebriche e perfino interattive.
In questo capitolo enunciamo il teorema, ne diamo una dimostrazione classica per equivalenza di aree (Euclide), il suo inverso, esaminiamo le terne pitagoriche notevoli e i triangoli rettangoli speciali (\(30°-60°-90°\) e \(45°-45°-90°\)). Le applicazioni classiche (diagonale, altezza, distanza) chiudono il capitolo.
Teorema 59.1 — Teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. Equivalentemente:
dove \(a, b\) sono le lunghezze dei cateti e \(c\) è la lunghezza dell’ipotenusa.
Esistono moltissime dimostrazioni del teorema. Ne presentiamo una particolarmente elegante, basata sull’equiscomponibilità (capitolo 58).
Dimostrazione (per equiscomponibilità). Consideriamo un quadrato di lato \(a+b\). Lo possiamo scomporre in due modi diversi:
Scomposizione 1: lungo i lati \(a+b\), si tracciano segmenti di lunghezza \(a\) e \(b\) in modo da formare 4 triangoli rettangoli congruenti di cateti \(a, b\) e ipotenusa \(c\), più un quadrato centrale di lato \(c\).
Scomposizione 2: si dispongono i 4 triangoli in modo diverso, lasciando spazio per due quadrati di lato \(a\) e \(b\) rispettivamente.
In entrambe le scomposizioni il quadrato grande ha la stessa area \((a+b)^2\), e i 4 triangoli rettangoli hanno la stessa area totale \(4\cdot \tfrac {ab}{2} = 2ab\). Quindi:
Essendo entrambe uguali a \((a+b)^2 - 2ab\), segue
Teorema 59.2 — Inverso del teorema di Pitagora
Se in un triangolo \(ABC\) vale la relazione \(a^2 + b^2 = c^2\) (dove \(a, b, c\) sono le lunghezze dei lati), allora il triangolo è rettangolo, e l’angolo opposto al lato \(c\) è retto.
Dimostrazione (idea). Sia \(ABC\) con \(a^2+b^2=c^2\). Costruiamo un triangolo rettangolo \(A'B'C'\) con cateti di lunghezze \(a, b\). Per il teorema diretto, la sua ipotenusa è \(\sqrt {a^2+b^2}=c\). Quindi \(A'B'C'\) e \(ABC\) hanno tutti e tre i lati uguali: per il terzo criterio di congruenza (capitolo 32), sono congruenti. In particolare gli angoli corrispondenti coincidono, e quindi anche \(ABC\) ha un angolo retto.
Nota — Conseguenza pratica
Per stabilire se un triangolo è rettangolo, basta verificare che il quadrato del lato maggiore sia uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Esempio: lati \(5, 12, 13\): \(5^2+12^2 = 25+144 = 169 = 13^2\). Sì, è rettangolo.
Lati \(4, 5, 6\): \(4^2+5^2 = 41 \neq 36 = 6^2\). Non è rettangolo (è acutangolo, perché \(a^2+b^2 > c^2\)).
Due triangoli rettangoli con angoli notevoli appaiono ovunque e vale la pena memorizzarne le proporzioni esatte.
Teorema 59.3 — Triangolo \(45°-45°-90°\)
Un triangolo rettangolo isoscele ha gli angoli \(\ang {45}, \ang {45}, \ang {90}\). Se i cateti hanno lunghezza \(\ell \), l’ipotenusa ha lunghezza \(\ell \sqrt {2}\).
Dimostrazione. Per Pitagora: \(c = \sqrt {\ell ^2+\ell ^2} = \sqrt {2\ell ^2} = \ell \sqrt {2}\).
Teorema 59.4 — Triangolo \(30°-60°-90°\)
Un triangolo rettangolo con angoli \(\ang {30}, \ang {60}, \ang {90}\) ha cateti in rapporto \(1:\sqrt {3}\) e ipotenusa \(2\). Se il cateto più corto (opposto a \(\ang {30}\)) misura \(\ell \), allora il cateto più lungo misura \(\ell \sqrt {3}\) e l’ipotenusa \(2\ell \).
Dimostrazione (idea). Il triangolo \(30°-60°-90°\) è metà di un triangolo equilatero (diviso dall’altezza). Se il lato dell’equilatero è \(2\ell \), il triangolo ha cateto corto \(\ell \) (metà lato), ipotenusa \(2\ell \) (lato intero). Per Pitagora il cateto lungo è \(\sqrt {(2\ell )^2 - \ell ^2} = \sqrt {3\ell ^2} = \ell \sqrt {3}\).
Definizione 59.1 — Terna pitagorica
Una terna pitagorica è una terna di interi positivi \((a, b, c)\) tali che \(a^2 + b^2 = c^2\). Si dice primitiva se \(\operatorname{MCD} (a, b, c) = 1\).
Esempio 59.1 — Terne pitagoriche notevoli
Le terne primitive più piccole:
Verifica per \((3, 4, 5)\): \(9+16=25\). \(\checkmark\)
Da ogni terna primitiva si ottengono infinite terne moltiplicando per un intero. Es. da \((3,4,5)\): \((6,8,10)\), \((9,12,15)\), \(\ldots \)
Teorema 59.5 — Formula di Euclide per le terne primitive
Tutte le terne pitagoriche primitive \((a, b, c)\) si ottengono prendendo due interi \(m > n > 0\) coprimi e di parità opposta, e ponendo
Esempio 59.2
Con \(m=2, n=1\): \((a, b, c) = (3, 4, 5)\).
Con \(m=3, n=2\): \((a, b, c) = (5, 12, 13)\).
Con \(m=4, n=1\): \((a, b, c) = (15, 8, 17)\).
Con \(m=4, n=3\): \((a, b, c) = (7, 24, 25)\).
Teorema 59.6 — Diagonale del quadrato
La diagonale di un quadrato di lato \(\ell \) ha lunghezza \(d = \ell \sqrt {2}\).
Dimostrazione. La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli con cateti \(\ell \). Per Pitagora: \(d = \sqrt {\ell ^2 + \ell ^2} = \ell \sqrt {2}\).
(È, storicamente, il primo esempio di numero irrazionale: per \(\ell =1\), \(d=\sqrt {2}\), e questo è il numero che fece “inciampare” Ippaso, capitolo 15.)
Teorema 59.7 — Altezza del triangolo equilatero
L’altezza di un triangolo equilatero di lato \(\ell \) misura \(h = \dfrac {\ell \sqrt {3}}{2}\).
Dimostrazione. L’altezza divide il triangolo equilatero in due triangoli rettangoli \(30-60-90\). Per Pitagora: \(h^2 + (\ell /2)^2 = \ell ^2 \Rightarrow h^2 = \ell ^2 - \tfrac {\ell ^2}{4} = \tfrac {3\ell ^2}{4} \Rightarrow h = \tfrac {\ell \sqrt {3}}{2}\).
Teorema 59.8 — Formula della distanza nel piano cartesiano
La distanza tra due punti \(A(x_1, y_1)\) e \(B(x_2, y_2)\) nel piano cartesiano è
Dimostrazione. Si considera il triangolo rettangolo con vertici \(A\), \(B\) e \(C(x_2, y_1)\) (il punto con ascissa di \(B\) e ordinata di \(A\)). I cateti sono lunghi \(|x_2-x_1|\) e \(|y_2-y_1|\); l’ipotenusa è \(AB\). Per Pitagora, \(AB^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2\).
Nota — Pitagora è la struttura del piano cartesiano
La formula della distanza è una delle prime cose che useremo nel capitolo di geometria analitica (69). È, in pratica, il teorema di Pitagora “in forma analitica”. Tutta la geometria metrica del piano cartesiano poggia su Pitagora.
Esempio 59.3 — Ipotenusa nota i cateti
Un triangolo rettangolo ha cateti \(9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare l’ipotenusa.
Soluzione. \(c = \sqrt {9^2 + 12^2} = \sqrt {81+144} = \sqrt {225} = 15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). È la terna \((9, 12, 15) = 3\cdot (3,4,5)\).
Esempio 59.4 — Cateto noto ipotenusa e altro cateto
Un triangolo rettangolo ha ipotenusa \(17\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e un cateto \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare l’altro cateto.
Soluzione. \(b = \sqrt {17^2-8^2} = \sqrt {289-64} = \sqrt {225}=15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). (Terna \((8, 15, 17)\).)
Esempio 59.5 — Diagonale di un rettangolo
Calcolare la diagonale di un rettangolo di lati \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Soluzione. La diagonale è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti \(6\) e \(8\): \(d = \sqrt {36+64} = \sqrt {100} = 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Esempio 59.6 — Diagonale di un cubo
Calcolare la diagonale di un cubo di spigolo \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Soluzione. La diagonale di una faccia è \(5\sqrt {2}\) cm (Pitagora 2D). La diagonale del cubo è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti \(5\) (spigolo) e \(5\sqrt {2}\) (diagonale faccia):
Esempio 59.7 — Verifica di un triangolo rettangolo
Stabilire se un triangolo di lati \(20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(21\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(29\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) è rettangolo.
Soluzione. Verifica: \(20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2\). Sì, è rettangolo (è la terna \((20, 21, 29)\), primitiva).
Esempio 59.8 — Distanza nel piano cartesiano
Calcolare la distanza tra \(A(2, 3)\) e \(B(7, 15)\).
Soluzione.
Esercizio 59.1
Riepilogo
Applicazioni classiche:
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