60 Primo e secondo teorema di Euclide

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Capitolo 60
Primo e secondo teorema di Euclide

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Nei triangoli rettangoli il quadrato sul lato che sottende l’angolo retto è uguale ai rettangoli compresi tra l’ipotenusa e ciascuna delle parti in cui essa è divisa dalla perpendicolare condotta dall’angolo retto sull’ipotenusa.”

— Euclide, Elementi, libro VI, proposizione 8 (parafrasi)

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60.1 Introduzione motivazionale

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Il teorema di Pitagora del capitolo precedente mette in relazione i quadrati costruiti sui tre lati di un triangolo rettangolo. I teoremi di Euclide fanno qualcosa di simile, ma con un attore in più: l’altezza relativa all’ipotenusa, che divide l’ipotenusa in due segmenti (le proiezioni dei cateti). Da questa altezza nascono due belle relazioni metriche.

Geometricamente, i due teoremi affermano che:

Primo teorema: ciascun cateto è “medio proporzionale” tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.
Secondo teorema: l’altezza relativa all’ipotenusa è “medio proporzionale” tra le due proiezioni dei cateti.

In termini di aree: ciascun quadrato sul cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la sua proiezione; il quadrato sull’altezza è equivalente al rettangolo delle due proiezioni.

In questo capitolo enunciamo e dimostriamo i due teoremi di Euclide (utilizzando la similitudine, che richiamiamo brevemente: l’approfondimento è nel capitolo 62), mostriamo la loro relazione con Pitagora e le applicazioni pratiche (calcolo di altezza, proiezioni, lati a partire da dati parziali).

60.2 Setup geometrico

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Definizione 60.1 — Configurazione di base

Sia $ABC$ un triangolo rettangolo in $C$. Sia $H$ il piede della perpendicolare condotta da $C$ all’ipotenusa $AB$. Allora:

$CH$ si chiama altezza relativa all’ipotenusa, di lunghezza $h$.
$AH$ si chiama proiezione del cateto $CA$ sull’ipotenusa, di lunghezza $p$.
$BH$ si chiama proiezione del cateto $CB$ sull’ipotenusa, di lunghezza $q$.
Si ha $AB = p + q$ (l’ipotenusa è somma delle due proiezioni).

Le lunghezze dei cateti sono $b = CA$ e $a = CB$, e dell’ipotenusa $c = AB$.

[Picture] — Figura 60.1: Configurazione standard per i teoremi di Euclide: triangolo rettangolo $ABC$ con angolo retto in $C$, altezza $CH$ relativa all’ipotenusa, proiezioni $AH=p$ e $BH=q$ dei cateti sull’ipotenusa. Vale $c = p+q$.

Nota — Tre triangoli simili

L’altezza $CH$ divide il triangolo rettangolo $ABC$ in due triangoli rettangoli: $AHC$ (retto in $H$) e $BHC$ (retto in $H$). Tutti e tre i triangoli $ABC$, $AHC$, $BHC$ sono simili tra loro: hanno gli stessi angoli (il dimostrare questo richiede solo la somma degli angoli di un triangolo). Questa similitudine è la chiave per i teoremi di Euclide.

60.3 Primo teorema di Euclide

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Teorema 60.1 — Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo, ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa:

\[ c : a = a : q,\qquad c : b = b : p, \]

ovvero $a^2 = c\cdot q$ e $b^2 = c\cdot p$.

Dimostrazione (via similitudine). I triangoli $ABC$ e $BHC$ sono simili (entrambi hanno l’angolo retto e condividono l’angolo in $B$). La similitudine genera le proporzioni tra lati corrispondenti:

\[ \dfrac {AB}{CB} = \dfrac {CB}{HB} \iff \dfrac {c}{a} = \dfrac {a}{q} \iff a^2 = c\cdot q. \]

Analogamente, dalla similitudine tra $ABC$ e $AHC$: $b^2 = c\cdot p$.

\[ a^2 = c\cdot q,\qquad b^2 = c\cdot p. \]

Nota — Interpretazione in aree (versione di Euclide)

La forma originale di Euclide (Elementi, libro VI, prop. 8) è in termini di aree: “il quadrato sul cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa”. Quindi:

\[ \text {Area}(\text {quadrato di lato } a) = \text {Area}(\text {rettangolo } c \times q), \]

\[ \text {Area}(\text {quadrato di lato } b) = \text {Area}(\text {rettangolo } c \times p). \]

È l’enunciato in linguaggio metrico “alla greca”, precedente l’uso dell’algebra.

60.4 Secondo teorema di Euclide

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Teorema 60.2 — Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:

\[ p : h = h : q, \]

ovvero $h^2 = p\cdot q$.

Dimostrazione (via similitudine). I due triangoli $AHC$ e $BHC$ sono simili (entrambi rettangoli in $H$; in $AHC$ l’angolo in $A$ corrisponde all’angolo in $C$ in $BHC$, poiché entrambi sono complementari dello stesso angolo). La similitudine dà:

\[ \dfrac {AH}{CH} = \dfrac {CH}{BH} \iff \dfrac {p}{h} = \dfrac {h}{q} \iff h^2 = p\cdot q. \]

\[ h^2 = p\cdot q. \]

Nota — Interpretazione in aree

“Il quadrato sull’altezza è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.” (Euclide, libro VI, prop. 13.)

60.5 Relazioni tra Pitagora ed Euclide

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I tre teoremi (Pitagora e i due di Euclide) sono fortemente legati: in particolare, Pitagora è una conseguenza dei due teoremi di Euclide.

Dimostrazione (di Pitagora da Euclide). Per il primo teorema di Euclide: $a^2 = c\cdot q$ e $b^2 = c\cdot p$. Sommando:

\[ a^2 + b^2 = c\cdot q + c\cdot p = c\cdot (p + q) = c\cdot c = c^2. \]

È un’altra dimostrazione del teorema di Pitagora!

Nota — Schema delle relazioni

\[ \begin {array}{l} a^2 = c\cdot q \qquad \text {(1° Euclide su $a$)}\\ b^2 = c\cdot p \qquad \text {(1° Euclide su $b$)}\\ h^2 = p\cdot q \qquad \text {(2° Euclide)}\\ a^2 + b^2 = c^2 \qquad \text {(Pitagora, conseguenza)}\\ \dfrac {a\cdot b}{c} = h \qquad \text {(area doppia: due modi di calcolarla)} \end {array} \]

L’ultima relazione si ricava notando che l’area del triangolo si può calcolare come $\tfrac {a\cdot b}{2}$ (base e altezza sui cateti) oppure come $\tfrac {c\cdot h}{2}$ (base ipotenusa e altezza relativa); uguagliando, $ab = ch$, da cui $h = \tfrac {ab}{c}$.

60.6 Applicazioni dei teoremi

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I teoremi di Euclide sono utilissimi quando si conoscono alcuni elementi di un triangolo rettangolo (proiezioni, altezza, cateti) e si vogliono trovare gli altri. Le relazioni $a^2=c\cdot q$, $b^2=c\cdot p$, $h^2=p\cdot q$, $ab=ch$, $p+q=c$ formano un sistema che lega tutti gli elementi.

Procedura — Da due elementi a tutti gli altri

Conoscendo due qualsiasi tra $\{a, b, c, h, p, q\}$ (di solito non tre arbitrari per evitare ridondanze), si possono calcolare tutti gli altri usando i due teoremi di Euclide, Pitagora, e $p+q=c$.

Esempio 60.1 — Conoscendo cateto e proiezione

In un triangolo rettangolo, un cateto misura $6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e la sua proiezione sull’ipotenusa misura $3{,}6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Trovare ipotenusa, altezza relativa e altro cateto.

Soluzione. Sia $b=6$, $p=3{,}6$. Per il primo teorema di Euclide: $b^2 = c\cdot p$, da cui $c = \tfrac {b^2}{p} = \tfrac {36}{3{,}6} = 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Allora $q = c - p = 10 - 3{,}6 = 6{,}4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.

Altro cateto: $a^2 = c\cdot q = 10\cdot 6{,}4 = 64 \Rightarrow a = 8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Altezza: $h^2 = p\cdot q = 3{,}6\cdot 6{,}4 = 23{,}04 \Rightarrow h = 4{,}8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.

Verifica con Pitagora: $a^2+b^2 = 64+36 = 100 = c^2$. $\checkmark$. E con l’area: $h = \tfrac {ab}{c} = \tfrac {8\cdot 6}{10} = 4{,}8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. $\checkmark$

60.7 Esempi svolti

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Esempio 60.2 — Conoscendo le due proiezioni

In un triangolo rettangolo, le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano $4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e $9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Trovare cateti, altezza e ipotenusa.

Soluzione. $p = 4$, $q = 9$, $c = p+q = 13$.

Altezza: $h = \sqrt {pq} = \sqrt {36} = 6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.
Cateto $b$: $b = \sqrt {c\cdot p} = \sqrt {13\cdot 4} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}\approx 7{,}21\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.
Cateto $a$: $a = \sqrt {c\cdot q} = \sqrt {13\cdot 9} = \sqrt {117} = 3\sqrt {13}\approx 10{,}82\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.

Esempio 60.3 — Conoscendo altezza e una proiezione

In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è $12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e una proiezione $9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Trovare l’altra proiezione e i cateti.

Soluzione. Per il secondo teorema: $h^2 = pq$, dunque $q = \tfrac {h^2}{p} = \tfrac {144}{9} = 16\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Ipotenusa: $c = 9+16 = 25\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.

Cateto $b$ (corrispondente a $p=9$): $b = \sqrt {c\cdot p} = \sqrt {25\cdot 9} = 15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.
Cateto $a$ (corrispondente a $q=16$): $a = \sqrt {c\cdot q} = \sqrt {25\cdot 16} = 20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.

(Terna $(15, 20, 25) = 5\cdot (3, 4, 5)$.)

Esempio 60.4 — Conoscendo i due cateti

Un triangolo rettangolo ha cateti $8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e $15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Calcolare ipotenusa, altezza e proiezioni.

Soluzione. Pitagora: $c = \sqrt {64+225} = \sqrt {289} = 17\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. (Terna $(8, 15, 17)$.)

Altezza: $h = \tfrac {ab}{c} = \tfrac {8\cdot 15}{17} = \tfrac {120}{17}\approx 7{,}06\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.
Proiezione di $b=8$: $p = \tfrac {b^2}{c} = \tfrac {64}{17}\approx 3{,}76\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.
Proiezione di $a=15$: $q = \tfrac {a^2}{c} = \tfrac {225}{17}\approx 13{,}24\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$.

Verifica: $p+q = \tfrac {64+225}{17} = \tfrac {289}{17} = 17 = c$. $\checkmark$

Esempio 60.5 — Costruzione del medio proporzionale

Dati due segmenti di lunghezze $p$ e $q$, costruire un segmento di lunghezza $h = \sqrt {pq}$.

Soluzione. (Costruzione classica con riga e compasso.) Si accostano $p$ e $q$ su una semiretta, ottenendo un segmento $AB$ di lunghezza $p+q$, con $H$ il punto di separazione. Si traccia la semicirconferenza di diametro $AB$ (raggio $\tfrac {p+q}{2}$, centro nel punto medio di $AB$). Dal punto $H$ si traccia la perpendicolare ad $AB$, che incontra la semicirconferenza in un punto $C$. La distanza $CH$ è il medio proporzionale cercato: $CH^2 = AH\cdot HB = pq$, quindi $CH = \sqrt {pq}$.

(È il classico “estrarre la radice quadrata geometricamente” usato fin dall’antichità.)

60.8 Esercizi proposti

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Esercizio 60.1

1.: In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura $13\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e una proiezione $5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Calcola: il cateto relativo, l’altra proiezione, l’altezza e l’altro cateto.
2.: Le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa misurano $9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e $16\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Trova l’altezza relativa all’ipotenusa e i due cateti.
3.: In un triangolo rettangolo, un cateto è $12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e l’altezza relativa all’ipotenusa è $9{,}6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Trova: ipotenusa, proiezioni, altro cateto.
4.: Verifica che in un triangolo rettangolo $30°-60°-90°$ con ipotenusa $10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$, valgono i due teoremi di Euclide. (Suggerimento: i cateti sono $5$ e $5\sqrt {3}$; calcola le proiezioni e l’altezza.)
5.: Un triangolo isoscele rettangolo ha l’ipotenusa $12\sqrt {2}$ cm. Trova l’altezza relativa all’ipotenusa. (Suggerimento: per simmetria $p=q$.)
6.: Costruisci con riga e compasso (descrivendo i passaggi): (a) il medio proporzionale tra due segmenti di lunghezze $4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e $9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$; (b) un segmento di lunghezza $\sqrt {6}$ (suggerimento: medio proporzionale tra $2$ e $3$); (c) un quadrato equivalente a un dato rettangolo di lati $6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e $8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ (suggerimento: il lato del quadrato è $\sqrt {6\cdot 8}$).
7.: Dimostra direttamente, senza usare Pitagora, che da $a^2+b^2=c^2$ (primo Euclide applicato due volte) si ricava $ab = ch$ (utilizzando l’area). (Suggerimento: due modi di calcolare l’area del triangolo.)
8.: In un triangolo rettangolo i due cateti misurano $15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$ e $20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }$. Verifica che le proiezioni e l’altezza calcolate con Euclide e Pitagora coincidano.
9.: (Discussione.) Si può applicare un “primo teorema di Euclide” a un triangolo qualunque (non rettangolo)? In caso negativo, qual è il sostituto generale? (Risposta breve: serve la trigonometria — capitolo 107 — con il teorema del coseno.)

60.9 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Setup: triangolo rettangolo $ABC$ con angolo retto in $C$. Altezza $CH=h$ sull’ipotenusa $AB$. Proiezioni $AH=p$, $BH=q$, con $p+q=c$ (ipotenusa).
Primo teorema di Euclide: $a^2 = c\cdot q$ e $b^2 = c\cdot p$ (cateto medio proporzionale fra ipotenusa e sua proiezione).
Secondo teorema di Euclide: $h^2 = p\cdot q$ (altezza medio proporzionale fra le due proiezioni).
Pitagora dai due Euclide: $a^2+b^2 = c(p+q) = c^2$.
Identità dell’area: $ab = ch$, da cui $h = \dfrac {ab}{c}$.
Conoscendo due elementi tra $\{a, b, c, h, p, q\}$, gli altri quattro si calcolano con i teoremi di Euclide, Pitagora e $p+q=c$.
Applicazione classica: costruire geometricamente il medio proporzionale di due lunghezze (e quindi estrarre una radice quadrata) tramite il secondo teorema di Euclide e la semicirconferenza di diametro $p+q$.
I teoremi di Euclide sono lo strumento metrico che, insieme a Pitagora, riempie tutto il quadro dei triangoli rettangoli; la generalizzazione a triangoli qualsiasi richiede la trigonometria (capitolo 107).

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Capitolo 60 Primo e secondo teorema di Euclide

60.1 Introduzione motivazionale

60.2 Setup geometrico

60.3 Primo teorema di Euclide

60.4 Secondo teorema di Euclide

60.5 Relazioni tra Pitagora ed Euclide

60.6 Applicazioni dei teoremi

60.7 Esempi svolti

60.8 Esercizi proposti

60.9 Riepilogo del capitolo

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