“
Triangoli simili sono quelli che, pur essendo di dimensioni diverse, hanno la stessa forma: cambia la scala,
ma non le proporzioni.”
— adattamento didattico
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Due figure si dicono simili se hanno la stessa forma ma possibilmente dimensioni diverse: una mappa stradale e il territorio reale, una fotografia ingrandita e l’originale, un modellino in scala e l’oggetto vero. La similitudine è uno dei concetti più importanti della geometria, e nei triangoli si esprime in modo particolarmente elegante.
In questo capitolo definiamo la similitudine tra triangoli (stessi angoli + lati proporzionali) e presentiamo i tre criteri che permettono di stabilire la similitudine senza dover verificare tutto: bastano due angoli, oppure due lati proporzionali con angolo compreso uguale, o ancora tutti e tre i lati proporzionali. Sono i tre criteri analoghi a quelli di congruenza del capitolo 32, ma applicati a una versione “relativa” (rapporto fra lati) anziché assoluta (uguaglianza fra lati).
Studiamo poi il rapporto di similitudine e come si trasforma su perimetri (linearmente) e aree (quadraticamente). Le applicazioni sono molte: lo abbiamo già visto nei teoremi di Euclide (capitolo 60), nei rapporti di Talete (capitolo 61), e lo riprenderemo in geometria solida (capitolo 113) e in trigonometria (capitolo 95).
Definizione 62.1 — Triangoli simili
Due triangoli \(ABC\) e \(A'B'C'\) si dicono simili (e si scrive \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\)) quando:
i lati corrispondenti sono proporzionali: esiste un numero \(k>0\) (il rapporto di similitudine) tale che
Nota — Ordine dei vertici
Quando scriviamo \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\), è importante l’ordine: il vertice \(A\) corrisponde ad \(A'\), \(B\) a \(B'\), \(C\) a \(C'\). Da quest’ordine si leggono le proporzioni: il lato \(AB\) corrisponde ad \(A'B'\), eccetera.
Nota — Similitudine come “congruenza modulo scala”
Se \(k = 1\), i due triangoli sono congruenti: la congruenza è il caso particolare della similitudine con rapporto \(1\). Per \(k\neq 1\), i triangoli hanno la stessa forma ma dimensioni diverse.
Una similitudine del piano è una trasformazione che combina rotazione, traslazione, riflessione e dilatazione di fattore \(k\). Mantiene gli angoli e moltiplica le distanze per \(k\).
Teorema 62.1 — Primo criterio di similitudine (AA)
Se due triangoli hanno due angoli congruenti (e quindi, automaticamente, anche il terzo, per la somma degli angoli che fa \(\ang {180}\)), allora sono simili.
Dimostrazione (idea). Avendo gli stessi angoli, il triangolo più piccolo si può “sovrapporre” al più grande con una rotazione e una opportuna dilatazione di centro nel vertice corrispondente. Quindi i lati corrispondenti sono in proporzione.
Nota — Il più usato
Il primo criterio è di gran lunga il più frequente in pratica: spesso si individuano due angoli uguali per costruzione (per esempio, due triangoli che condividono un angolo e hanno una retta parallela a un lato — Talete, capitolo 61) e da lì si conclude la similitudine. È il criterio che useremo più spesso.
Esempio 62.1 — Triangoli con un angolo comune
In un triangolo \(ABC\), sia \(H\) il piede dell’altezza dal vertice \(A\). I triangoli \(ABC\) e \(ABH\) hanno entrambi l’angolo in \(B\), e \(ABH\) ha anche l’angolo retto in \(H\). Se \(ABC\) è retto in \(A\), allora \(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = \ang {90}\), e quindi \(\widehat {ACB} = \widehat {HAB}\) (per somma a \(\ang {180}\)). Per il primo criterio: \(\triangle ABC \sim \triangle HBA\). È esattamente la similitudine usata nella dimostrazione dei teoremi di Euclide (capitolo 60).
Teorema 62.2 — Secondo criterio di similitudine (LAL)
Se due triangoli hanno due coppie di lati proporzionali e l’angolo compreso fra essi congruente, allora sono simili.
In simboli: se \(\widehat {A} = \widehat {A'}\) e \(\tfrac {AB}{A'B'} = \tfrac {AC}{A'C'}\), allora \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\).
Esempio 62.2
Triangolo \(ABC\) con \(AB = 6\), \(AC = 8\), \(\widehat {A} = \ang {60}\). Triangolo \(A'B'C'\) con \(A'B' = 9\), \(A'C' = 12\), \(\widehat {A'} = \ang {60}\). Rapporti: \(\tfrac {9}{6} = \tfrac {12}{8} = \tfrac {3}{2}\). Angolo compreso uguale. Quindi \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\) con rapporto \(\tfrac {3}{2}\).
Teorema 62.3 — Terzo criterio di similitudine (LLL)
Se due triangoli hanno tutti e tre i lati a coppie proporzionali, allora sono simili.
In simboli: se \(\tfrac {AB}{A'B'} = \tfrac {BC}{B'C'} = \tfrac {AC}{A'C'}\), allora \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\).
Esempio 62.3
Triangolo con lati \((3, 4, 5)\) e triangolo con lati \((6, 8, 10)\): ogni rapporto è \(\tfrac {1}{2}\). Sono simili (sono entrambi rettangoli, ma il fatto che siano rettangoli non serve: bastano i tre lati proporzionali).
Definizione 62.2 — Rapporto di similitudine
Il rapporto di similitudine (o rapporto di scala) \(k\) è il fattore comune tra i lati corrispondenti di due triangoli simili:
Nota — Lettura del rapporto
Teorema 62.4 — Rapporti per perimetri e aree
Se due triangoli sono simili con rapporto \(k\):
Dimostrazione. Sia \(\triangle A'B'C'\) ottenuto da \(\triangle ABC\) con rapporto di similitudine \(k\). Il perimetro di \(A'B'C'\) è
Per l’area, prendiamo come base un lato (es. \(BC\)) e l’altezza relativa \(h\). L’altezza di \(\triangle A'B'C'\) relativa a \(B'C'\) è \(k\cdot h\) (per la similitudine). Quindi
Nota — Generalizzazione
Il fatto che le aree scalino con il quadrato del rapporto vale per ogni figura piana (non solo triangoli). Analogamente, in tre dimensioni, i volumi di figure simili scalano con il cubo del rapporto: \(V' = k^3 V\). Approfondimento nel capitolo 113.
Esempio paradossale: una formica raddoppiata in scala lineare avrebbe un volume (e quindi un peso) \(8\) volte maggiore, ma una sezione muscolare solo \(4\) volte: non riuscirebbe più a sollevare le proprie zampe. È il motivo per cui non esistono insetti giganti in natura.
Esempio 62.4 — Riconoscere la similitudine
I triangoli \(\triangle ABC\) con lati \(4, 6, 8\) e \(\triangle DEF\) con lati \(6, 9, 12\) sono simili?
Soluzione. Verifichiamo i rapporti dei lati corrispondenti (in ordine crescente): \(\tfrac {6}{4} = \tfrac {9}{6} = \tfrac {12}{8} = \tfrac {3}{2}\). Sì, sono simili con rapporto \(\tfrac {3}{2}\).
Esempio 62.5 — Lato mancante in triangolo simile
Due triangoli sono simili. Il primo ha lati \(6\), \(9\), \(12\). Il secondo ha lato corrispondente a \(6\) pari a \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Trovare gli altri due lati.
Soluzione. Rapporto: \(k = \tfrac {8}{6} = \tfrac {4}{3}\). Quindi i lati del secondo triangolo sono \(8\), \(9\cdot \tfrac {4}{3}=12\), \(12\cdot \tfrac {4}{3}=16\). I lati sono \((8, 12, 16)\).
Esempio 62.6 — Perimetri e aree
Due triangoli simili hanno rapporto di similitudine \(k = \tfrac {2}{3}\). Se il primo ha perimetro \(36\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e area \(54\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\), calcolare perimetro e area del secondo.
Soluzione. Il perimetro è proporzionale: \(P_2 = k\cdot P_1 = \tfrac {2}{3}\cdot 36 = 24\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). L’area è proporzionale al quadrato: \(A_2 = k^2\cdot A_1 = \tfrac {4}{9}\cdot 54 = 24\,{\mathrm{centi}^{2} \mathrm{m} }\).
Esempio 62.7 — Talete come similitudine
In un triangolo \(ABC\), una retta parallela a \(BC\) taglia \(AB\) in \(D\) con \(AD = 4\) e \(AB = 10\). Trovare il rapporto di similitudine tra \(\triangle ADE\) e \(\triangle ABC\).
Soluzione. Per il primo criterio (AA): \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) (condividono l’angolo \(A\) e hanno \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) per parallele tagliate da trasversale). Rapporto: \(k = \tfrac {AD}{AB} = \tfrac {4}{10} = \tfrac {2}{5}\). Quindi \(DE = \tfrac {2}{5}\cdot BC\), area di \(\triangle ADE = \tfrac {4}{25}\cdot \) area di \(\triangle ABC\).
Esempio 62.8 — Misura via similitudine
Un albero proietta un’ombra di \(15\,{\mathrm{m} }\). Allo stesso istante, un bastone di \(1{,}50\,{\mathrm{m} }\) proietta un’ombra di \(2{,}25\,{\mathrm{m} }\). Quanto è alto l’albero?
Soluzione. I due triangoli rettangoli (albero-terreno-ombra e bastone-terreno-ombra) sono simili (per il primo criterio: angolo retto + angolo del sole comune). Rapporto: \(k = \tfrac {\text {ombra albero}}{\text {ombra bastone}} = \tfrac {15}{2{,}25} = \tfrac {20}{3}\). Allora l’albero è alto \(1{,}50\cdot \tfrac {20}{3} = 10\,{\mathrm{m} }\).
Esercizio 62.1
Riepilogo
Tre criteri di similitudine:
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