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Capitolo 32
Triangoli: classificazione e criteri di congruenza

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“Se non puoi risolvere il problema dato, c’è sempre un problema affine più facile che puoi risolvere: trovalo.”
— George Pólya

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Geometria i triangoli

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Geometria triangoli

Il triangolo è la figura più semplice fra i poligoni: tre punti non allineati, tre segmenti, tre angoli. Eppure quasi tutta la geometria elementare può essere ricondotta allo studio dei triangoli. Ne è una buona ragione il fatto che ogni poligono possa essere decomposto in triangoli con poche linee, e che molte proprietà delle figure più complesse seguano da proprietà dei loro “triangoli costituenti”. Un’altra ragione, più profonda, è che i triangoli godono di una stupefacente proprietà di rigidità: una volta fissati alcuni elementi (tre lati, oppure due lati e l’angolo compreso, ecc.), tutto il triangolo è determinato. Sono i criteri di congruenza a esprimere matematicamente questa rigidità.

In questo capitolo definiamo i triangoli, li classifichiamo per lati e per angoli, introduciamo i loro elementi notevoli (bisettrici, mediane, altezze, assi) e infine dimostriamo i tre criteri di congruenza. Da qui in avanti, riconoscere quale criterio si può applicare a una specifica configurazione sarà la chiave di tutte le dimostrazioni di geometria sintetica.

32.1 Definizione e classificazione

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Definizione 32.1 — Triangolo

Si chiama triangolo la figura piana costituita da tre punti non allineati \(A\), \(B\), \(C\) e dai tre segmenti \(AB\), \(BC\), \(CA\) che li congiungono a due a due. I tre punti sono i vertici, i tre segmenti i lati, e i tre angoli convessi formati dai lati nei rispettivi vertici sono gli angoli interni del triangolo. Si denota \(\triangle ABC\).

La notazione tradizionale fissa una corrispondenza fra vertici, lati opposti e angoli:

Si osservi che il lato \(a\) è quello che “non tocca” il vertice \(A\), perché è opposto ad esso. Questa convenzione è in vigore in tutta la geometria del triangolo.

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Figura 32.1: Triangolo \(\triangle ABC\) con la convenzione standard delle notazioni: lato \(a\) opposto al vertice \(A\), angolo interno \(\alpha \) in \(A\), e così per gli altri vertici.

Classificazione rispetto ai lati

Definizione 32.2 — Classificazione per lati

Rispetto alla congruenza dei lati, un triangolo si dice:

Si osservi che, secondo la nostra definizione, ogni triangolo equilatero è anche isoscele (poiché ha più di due lati congruenti, ne ha sicuramente due). Questa scelta è coerente con il principio per cui le classificazioni in matematica sono sempre per inclusione quando ciò è possibile: un teorema dimostrato per gli isosceli vale automaticamente anche per gli equilateri.

Classificazione rispetto agli angoli

Definizione 32.3 — Classificazione per angoli

Rispetto agli angoli interni, un triangolo si dice:

Vedremo nel Capitolo 35 che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto: di conseguenza, un triangolo non può avere più di un angolo retto né più di un angolo ottuso. La classificazione per angoli è dunque ben definita: ogni triangolo cade in una sola delle tre categorie.

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Figura 32.2: In alto: classificazione per angoli (acutangolo, rettangolo, ottusangolo). In basso: classificazione per lati (scaleno, isoscele, equilatero). I trattini sui lati indicano coppie di lati congruenti.

Combinare le due classificazioni

Un triangolo ha sempre una caratterizzazione rispetto ai lati e una rispetto agli angoli: le due classificazioni si combinano. Non tutte le combinazioni, tuttavia, sono possibili.

32.2 Bisettrici mediane altezze assi

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A ogni vertice di un triangolo si associano alcuni segmenti notevoli, ognuno con una propria definizione e proprie proprietà. Sono quattro: bisettrice, mediana, altezza, asse.

Definizione 32.4 — Elementi notevoli di un triangolo

Dato un triangolo \(\triangle ABC\), relativamente al vertice \(A\) (e in modo analogo per gli altri vertici) si definiscono:

Bisettrice e mediana sono interne al triangolo. L’altezza è interna solo nei triangoli acutangoli: nei triangoli rettangoli due delle tre altezze coincidono con i cateti, e in quelli ottusangoli due altezze cadono sui prolungamenti dei lati opposti, quindi esterne al triangolo.

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Figura 32.3: Elementi notevoli relativi al vertice \(A\) e al lato \(BC\): bisettrice (arancione), mediana (verde, fino al punto medio di \(BC\)), altezza (rosso tratteggiato, perpendicolare a \(BC\)) e asse del lato \(BC\) (viola punteggiato, perpendicolare per il punto medio).

Punti notevoli: anticipazione

Quando si tracciano i tre segmenti omologhi di una stessa famiglia (le tre bisettrici, le tre mediane, le tre altezze, i tre assi) accade un fatto rimarchevole: essi si incontrano sempre in un punto. Si dimostrerà nei capitoli successivi che esistono dunque quattro punti caratteristici di ogni triangolo:

Le dimostrazioni di esistenza di questi punti si appoggiano sui criteri di congruenza che andiamo ora a stabilire.

32.3 Primo criterio di congruenza

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I tre criteri di congruenza, nella tradizione liceale italiana, sono noti con la sigla che ricorda gli elementi che li costituiscono: LAL (lato-angolo-lato), ALA (angolo-lato-angolo), LLL (lato-lato-lato).

Teorema 32.1 — Primo criterio di congruenza — LAL

Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo da essi compreso, allora i due triangoli sono congruenti.

Ipotesi. Nei triangoli \(\triangle ABC\) e \(\triangle A'B'C'\) si ha

\[ AB \cong A'B' , \qquad AC \cong A'C' , \qquad \widehat {A} \cong \widehat {A'} . \]

Tesi. \(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\) (cioè \(BC \cong B'C'\), \(\widehat {B} \cong \widehat {B'}\), \(\widehat {C} \cong \widehat {C'}\)).

Dimostrazione. Trasportiamo rigidamente \(\triangle A'B'C'\) sopra \(\triangle ABC\) in modo da far coincidere \(A'\) con \(A\), e la semiretta \(A'B'\) con la semiretta \(AB\). Per ipotesi \(AB \cong A'B'\), dunque dopo questa sovrapposizione \(B'\) va a coincidere con \(B\). Per ipotesi \(\widehat {A} \cong \widehat {A'}\): la semiretta \(A'C'\) va dunque a coincidere con la semiretta \(AC\). Per ipotesi \(AC \cong A'C'\), dunque \(C'\) va a coincidere con \(C\). I due triangoli, sovrapposti su due lati e sul vertice di mezzo, sono congruenti.

Attenzione!

Sul fondamento del primo criterio. La dimostrazione per “sovrapposizione” che abbiamo presentato è quella classica dell’Euclide. Essa fa uso, in modo implicito, dell’esistenza dei movimenti rigidi del piano, cioè dell’idea che si possa trasportare una figura senza deformarla. Nella sistemazione moderna (Hilbert) questa proprietà è un assioma, non un teorema: in altre parole, il primo criterio di congruenza è equivalente ad accettare l’invarianza delle figure per movimento rigido. Lo presentiamo come teorema seguendo la tradizione liceale italiana, ma il lettore tenga presente che il suo statuto logico è in realtà più vicino a quello di un postulato.

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Figura 32.4: Primo criterio (LAL): due triangoli con due lati congruenti (segnalati dai trattini doppi e tripli) e l’angolo compreso congruente (segnalato dall’arco verde) sono congruenti.

32.4 Secondo criterio di congruenza

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Il secondo criterio si fonda sul primo: dato il primo criterio, si dimostra il secondo per assurdo.

Teorema 32.2 — Secondo criterio di congruenza — ALA

Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti, allora i due triangoli sono congruenti.

Ipotesi. Nei triangoli \(\triangle ABC\) e \(\triangle A'B'C'\) si ha

\[ AB \cong A'B' , \qquad \widehat {A} \cong \widehat {A'} , \qquad \widehat {B} \cong \widehat {B'} . \]

Tesi. \(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\).

Dimostrazione. Ragioniamo per assurdo: supponiamo che \(\triangle ABC\) e \(\triangle A'B'C'\) non siano congruenti. Tra i lati corrispondenti, in particolare, almeno uno dei due lati \(AC\) e \(A'C'\) deve essere diverso dall’altro (poiché su due lati e un angolo basterebbe il primo criterio per la congruenza). Sia, ad esempio, \(AC > A'C'\).

Sul lato \(AC\) del primo triangolo, prendiamo il punto \(D\) tale che \(AD \cong A'C'\) (esiste ed è unico). Si considerino i triangoli \(\triangle ABD\) e \(\triangle A'B'C'\). Per ipotesi:

\[ AB \cong A'B' , \qquad \widehat {A} \cong \widehat {A'} , \qquad AD \cong A'C' . \]

Per il primo criterio di congruenza, \(\triangle ABD \cong \triangle A'B'C'\). In particolare,

\[ \widehat {ABD} \cong \widehat {A'B'C'} . \]

Ma per ipotesi \(\widehat {ABC} \cong \widehat {A'B'C'}\), dunque

\[ \widehat {ABD} \cong \widehat {ABC} . \]

Le due semirette \(BD\) e \(BC\) formano allora con \(BA\) lo stesso angolo dalla stessa parte: per il postulato di trasporto degli angoli, esse devono coincidere. Ma allora \(D\) giace sulla semiretta \(BC\) e, dato che giace anche sul segmento \(AC\), deve essere \(D = C\). Si ha quindi \(AC \cong AD \cong A'C'\), contro l’ipotesi \(AC > A'C'\). La supposizione è insostenibile.

Pertanto \(AC \cong A'C'\), e per il primo criterio i due triangoli sono congruenti.

Secondo criterio generalizzato

Una variante utile del secondo criterio, dimostrabile a partire dal teorema della somma degli angoli interni di un triangolo (Capitolo 35), è la seguente.

Teorema 32.3 — Secondo criterio generalizzato — LAA

Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato, un angolo adiacente a quel lato e l’angolo opposto al lato, allora i due triangoli sono congruenti.

La dimostrazione si riconduce al secondo criterio osservando che, se due angoli di un triangolo sono assegnati, anche il terzo è determinato (perché la somma è un angolo piatto, dunque costante); pertanto la conoscenza di un angolo adiacente al lato e dell’angolo opposto equivale alla conoscenza dei due angoli adiacenti al lato.

32.5 Terzo criterio di congruenza

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Il terzo criterio è il più sorprendente dei tre: garantisce che un triangolo è univocamente determinato dalle sole lunghezze dei suoi tre lati, senza informazioni angolari.

Teorema 32.4 — Terzo criterio di congruenza — LLL

Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, allora i due triangoli sono congruenti.

Ipotesi. Nei triangoli \(\triangle ABC\) e \(\triangle A'B'C'\) si ha

\[ AB \cong A'B' , \qquad BC \cong B'C' , \qquad CA \cong C'A' . \]

Tesi. \(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\).

Dimostrazione (cenni). L’idea della dimostrazione classica è la seguente. Si trasporti \(\triangle A'B'C'\) in modo che \(A'\) coincida con \(A\) e \(B'\) con \(B\) (possibile per il fatto che \(A'B' \cong AB\)), e tale che \(C'\) vada in un punto \(C''\) dalla parte opposta di \(C\) rispetto alla retta \(AB\). Si ottengono allora due triangoli, \(\triangle ABC\) e \(\triangle ABC''\), con lati corrispondenti congruenti. Considerando il quadrilatero \(ACBC''\), si osserva che i triangoli \(\triangle ACC''\) e \(\triangle BCC''\) sono isosceli (per la congruenza dei lati). Si conclude, usando il teorema sugli angoli alla base del triangolo isoscele (che dimostreremo nel Capitolo 33), che gli angoli \(\widehat {ACB}\) e \(\widehat {AC''B}\) sono congruenti, da cui per il primo criterio i due triangoli originari sono congruenti.

Nota

La piena dimostrazione del terzo criterio richiede il teorema del triangolo isoscele, che vedremo nel prossimo capitolo. La storia mostra che logicamente è possibile invertire l’ordine: alcuni autori (fra cui Hilbert) presentano il terzo criterio in modo autonomo, e ne deducono successivamente le proprietà del triangolo isoscele. Per chiarezza espositiva noi seguiamo l’ordine tradizionale.

32.6 Applicazione dei criteri di congruenza

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Riconoscere quale criterio si possa applicare a una specifica configurazione è la chiave del metodo dimostrativo della geometria sintetica. Una strategia generale per impostare una dimostrazione è la seguente.

Procedura  — Dimostrare la congruenza di due triangoli

1.
Identifica i due triangoli in gioco. Sono spesso due “mezze figure” ottenute tracciando una linea ausiliaria (diagonale, mediana, altezza, asse).
2.
Elenca le ipotesi. Quali lati e quali angoli sono dati come congruenti? Quali si possono dedurre da fatti già noti (es. lato comune, angoli opposti al vertice, angoli adiacenti)?
3.
Conta gli elementi. Servono tre elementi corrispondenti congruenti, di cui almeno uno deve essere un lato.
4.
Scegli il criterio: LAL (due lati + l’angolo compreso), ALA (un lato + i due angoli adiacenti), LLL (i tre lati).
5.
Concludi. Stabilita la congruenza dei due triangoli, deduci da essa le congruenze di tutti gli altri elementi corrispondenti (lati, angoli, mediane, altezze, bisettrici, …).

Esempio 32.1 — Diagonale di un parallelogramma — anticipazione

Si abbia un quadrilatero \(ABCD\) in cui \(AB \cong CD\) e \(AD \cong BC\). Dimostriamo che la diagonale \(BD\) divide il quadrilatero in due triangoli congruenti.

Ipotesi. \(AB \cong CD\), \(AD \cong BC\).

Tesi. \(\triangle ABD \cong \triangle CDB\).

Dimostrazione. Consideriamo i due triangoli \(\triangle ABD\) e \(\triangle CDB\). Si ha:

Per il terzo criterio di congruenza (LLL), \(\triangle ABD \cong \triangle CDB\). In particolare, anche gli angoli corrispondenti sono congruenti: \(\widehat {ABD} \cong \widehat {CDB}\) e \(\widehat {ADB} \cong \widehat {CBD}\).

Esempio 32.2 — Triangoli rettangoli con cateti congruenti

Dimostriamo che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i due cateti.

Ipotesi. \(\triangle ABC\) e \(\triangle A'B'C'\) con \(\widehat {C} \cong \widehat {C'} \cong \) retto, \(CA \cong C'A'\), \(CB \cong C'B'\).

Tesi. \(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\).

Dimostrazione. I due triangoli hanno due lati corrispondenti congruenti (\(CA \cong C'A'\) e \(CB \cong C'B'\)) e l’angolo compreso, \(\widehat {C} \cong \widehat {C'}\), anch’esso congruente (entrambi retti). Per il primo criterio di congruenza, \(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\).

Si osservi che in geometria del triangolo rettangolo questo criterio prende a volte il nome di criterio dei cateti: è semplicemente l’applicazione del LAL al caso \(\widehat {C} = \) retto.

Esempi svolti

Esempio 32.3 — Riconoscere il criterio applicabile

Per ciascuna delle seguenti coppie di triangoli, determiniamo quale criterio (se ne esiste uno) garantisce la loro congruenza.

(a) \(\triangle ABC\) e \(\triangle DEF\) con \(AB \cong DE\), \(\widehat {A} \cong \widehat {D}\), \(\widehat {B} \cong \widehat {E}\).

Si ha un lato (\(AB\) e \(DE\)) e i due angoli ad esso adiacenti (\(\widehat {A}, \widehat {B}\) e \(\widehat {D}, \widehat {E}\)). Si applica il secondo criterio (ALA).

(b) \(\triangle ABC\) e \(\triangle DEF\) con \(AB \cong DE\), \(BC \cong EF\), \(\widehat {A} \cong \widehat {D}\).

Qui i dati sono “lato, lato, angolo non compreso”. Questa configurazione non è in generale sufficiente a stabilire la congruenza (può dare luogo a due triangoli diversi, fenomeno noto come “caso ambiguo” in trigonometria). Nessun criterio dei tre principali si applica direttamente.

(c) \(\triangle ABC\) e \(\triangle DEF\) con \(AB \cong DE\), \(AC \cong DF\), \(BC \cong EF\).

Tre lati congruenti: si applica il terzo criterio (LLL).

(d) \(\triangle ABC\) e \(\triangle DEF\) con \(\widehat {A} \cong \widehat {D}\), \(\widehat {B} \cong \widehat {E}\), \(\widehat {C} \cong \widehat {F}\).

Tre angoli congruenti: i due triangoli sono simili, non necessariamente congruenti (saranno congruenti solo se anche un lato coincide). Nessun criterio di congruenza si applica.

Esempio 32.4 — Una dimostrazione articolata

Si abbia un triangolo \(\triangle ABC\) isoscele su base \(BC\) (cioè \(AB \cong AC\)). Sia \(M\) il punto medio di \(BC\). Dimostriamo che la mediana \(AM\) è anche altezza relativa a \(BC\).

Ipotesi. \(AB \cong AC\); \(M\) punto medio di \(BC\).

Tesi. \(AM \perp BC\).

Dimostrazione. Consideriamo i triangoli \(\triangle ABM\) e \(\triangle ACM\). Si ha:

Per il terzo criterio (LLL), \(\triangle ABM \cong \triangle ACM\). In particolare gli angoli \(\widehat {AMB}\) e \(\widehat {AMC}\) sono congruenti. Ma essi sono anche adiacenti, perché \(B\), \(M\), \(C\) sono allineati: dunque la loro somma è un angolo piatto. Due angoli adiacenti congruenti misurano ciascuno la metà di un piatto, cioè un retto. Quindi \(\widehat {AMB} \cong \widehat {AMC} \cong \) retto, ovvero \(AM \perp BC\).

Esercizio 32.1

1.
Classifica i seguenti triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli (sapendo che la somma degli angoli interni vale \(180\,{^\circ }\)).
(a)
Lati: \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
(b)
Angoli: \(60\,{^\circ }\), \(60\,{^\circ }\), \(60\,{^\circ }\).
(c)
Angoli: \(30\,{^\circ }\), \(60\,{^\circ }\), \(90\,{^\circ }\).
(d)
Angoli: \(40\,{^\circ }\), \(50\,{^\circ }\), \(90\,{^\circ }\).
(e)
Angoli: \(100\,{^\circ }\), \(50\,{^\circ }\), \(30\,{^\circ }\).
2.
Vero o falso? Motiva la risposta.
(a)
Un triangolo equilatero è isoscele.
(b)
Un triangolo isoscele è equilatero.
(c)
Un triangolo rettangolo non può essere isoscele.
(d)
Un triangolo ottusangolo può essere equilatero.
(e)
Le tre altezze di un triangolo si incontrano sempre in un punto interno al triangolo.
3.
In un triangolo rettangolo isoscele di cateti \(AC\) e \(CB\), l’angolo retto è in \(C\). Quanto valgono gli altri due angoli? Motiva la risposta.
4.
Per ciascuna delle seguenti coppie di triangoli, indica quale criterio di congruenza si può applicare (se ce n’è uno), specificando gli elementi corrispondenti.
(a)
\(\triangle ABC\) e \(\triangle DEF\): \(AB \cong DE\), \(AC \cong DF\), \(\widehat {A} \cong \widehat {D}\).
(b)
\(\triangle ABC\) e \(\triangle DEF\): \(AB \cong DE\), \(\widehat {A} \cong \widehat {D}\), \(\widehat {C} \cong \widehat {F}\).
(c)
\(\triangle ABC\) e \(\triangle DEF\): \(AB \cong DE\), \(BC \cong EF\), \(\widehat {B} \cong \widehat {E}\).
(d)
\(\triangle ABC\) e \(\triangle DEF\): \(AB \cong DF\), \(BC \cong DE\), \(AC \cong EF\).
5.
Siano \(\triangle ABC\) e \(\triangle A'B'C'\) tali che \(AB \cong A'B'\), \(\widehat {A} \cong \widehat {A'}\), \(AC \cong A'C'\). Indica quali ulteriori congruenze derivano dalla congruenza dei due triangoli.
6.
Sia \(\triangle ABC\) un triangolo qualsiasi e sia \(M\) il punto medio di \(BC\). Si prolunghi la mediana \(AM\) dalla parte di \(M\) fino ad un punto \(D\) tale che \(MD \cong AM\). Dimostra che \(\triangle ABM \cong \triangle DCM\). (Suggerimento: cerca due lati e l’angolo compreso.)
7.
Si abbia un triangolo \(\triangle ABC\) e sulle semirette \(AB\) e \(AC\) esterne al triangolo si prendano i punti \(D\) e \(E\) tali che \(BD \cong CE\). Si congiunga \(B\) con \(E\) e \(C\) con \(D\). Dimostra che \(BE \cong CD\). (Suggerimento: applica il primo criterio ai triangoli \(\triangle ABE\) e \(\triangle ACD\).)
8.
Sia \(\triangle ABC\) un triangolo isoscele con \(AB \cong AC\). Si traccia la bisettrice dell’angolo \(\widehat {A}\), che incontra \(BC\) in \(H\). Dimostra che \(\triangle ABH \cong \triangle ACH\) e dedurre che \(BH \cong HC\) e \(AH \perp BC\). (Si tratta del cosiddetto teorema delle tre cose del triangolo isoscele.)
9.
Date due rette \(r\) e \(s\) incidenti in \(O\), si prendano su \(r\) due punti \(A\) e \(B\) tali che \(OA \cong OB\), con \(O\) fra \(A\) e \(B\); analogamente su \(s\) due punti \(C\) e \(D\) con \(OC \cong OD\) e \(O\) fra \(C\) e \(D\). Dimostra che \(AC \cong BD\) e \(AD \cong BC\).
10.
Spiega perché “due triangoli con tre angoli ordinatamente congruenti” non sono necessariamente congruenti. Indica con un esempio numerico la differenza fra congruenza e similitudine.
11.
Si abbia un triangolo \(\triangle ABC\) e si tracci la mediana \(AM\) relativa a \(BC\). Si prolunghi \(AM\) oltre \(M\) di un segmento \(MD \cong AM\). Dimostra che \(\triangle ABD\) ha:
(a)
\(BD \cong AC\);
(b)
gli angoli \(\widehat {ABD}\) e \(\widehat {BAC} + \widehat {ACB}\) congruenti (anticipa il teorema dell’angolo esterno del Capitolo 35).
12.
Dato un triangolo \(\triangle ABC\), si traccino sui lati \(AB\) e \(AC\) due punti \(P\) e \(Q\) tali che \(AP \cong AQ\). Dimostra che \(\triangle APQ\) è isoscele e che \(PQ \parallel BC\) (la dimostrazione del parallelismo richiede strumenti del Capitolo 34; qui si dimostri solo l’isoscelia).
13.
Due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa congruente e un cateto congruente. Indaga (senza dimostrare con rigore, ma argomentando) se siano necessariamente congruenti. Questo risultato è noto come criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
14.
Si abbia un triangolo \(\triangle ABC\) qualunque. Detti \(M\), \(N\), \(P\) i punti medi rispettivamente di \(BC\), \(CA\), \(AB\), dimostra che \(\triangle MNP\) ha lati paralleli a quelli di \(\triangle ABC\) e che il suo perimetro è la metà del perimetro di \(\triangle ABC\). (La dimostrazione completa richiede il teorema di Talete e si vedrà nel Capitolo 61; qui si congetturi il risultato con misurazioni su un caso concreto.)

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mb13 triangoli

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