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Capitolo 34
Rette parallele e perpendicolari

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“I postulati della geometria non sono né giudizi sintetici a priori né fatti sperimentali. Sono convenzioni.”
— Henri Poincaré, La scienza e l’ipotesi

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Tra tutte le posizioni reciproche di due rette del piano, due meritano un nome proprio e uno studio sistematico: la perpendicolarità (intersezione ad angolo retto) e il parallelismo (assenza di intersezione). Sono entrambe relazioni di posizione che ogni studente conosce dalla scuola media; il compito di queste pagine è darne una definizione rigorosa e ricavarne le proprietà essenziali — fra cui la prima costruzione di luogo geometrico (l’asse di un segmento) e il primo grande snodo logico della geometria, il quinto postulato di Euclide.

Il filo conduttore è il riconoscimento, in ogni passaggio, di quale criterio di congruenza si stia applicando. Continueremo a sfruttare i tre criteri stabiliti nel Capitolo 32 per dedurre le proprietà di figure progressivamente più ricche.

34.1 Rette perpendicolari

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Definizione 34.1 — Rette perpendicolari

Due rette \(r\) e \(s\) del piano si dicono perpendicolari se, intersecandosi in un punto \(P\), formano quattro angoli retti. Si scrive

\[ r \perp s . \]

Due rette perpendicolari formano quattro angoli, due a due opposti al vertice; per il teorema degli angoli opposti al vertice (Capitolo 31), se uno dei quattro angoli è retto, anche il suo opposto al vertice lo è. Inoltre i due angoli adiacenti a un retto sono supplementari di un retto, dunque anch’essi retti. Basta quindi sapere che un solo angolo dei quattro è retto per concludere che tutti e quattro lo sono: la definizione richiede una sola verifica.

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Figura 34.1: Due rette \(r\) e \(s\) perpendicolari nel punto \(P\). Il quadratino in \(P\) segnala l’angolo retto; gli altri tre angoli formati sono anch’essi retti, per gli angoli opposti al vertice e i supplementari di angoli retti.

Esistenza e unicità della perpendicolare

Un risultato fondamentale, di cui faremo continuamente uso, è il seguente.

Teorema 34.1 — Esistenza e unicità della perpendicolare

Sia \(r\) una retta del piano e \(P\) un punto qualsiasi del piano (appartenente o no a \(r\)). Esiste una e una sola retta \(s\) passante per \(P\) e perpendicolare a \(r\).

Dimostrazione (cenni). Si distinguono due casi.

Caso 1: \(P \in r\). Si scelgano su \(r\) due punti \(A\) e \(B\) ai lati di \(P\) con \(PA \cong PB\). Si scelga un punto \(Q\) del piano non appartenente a \(r\), equidistante da \(A\) e \(B\) (la costruzione con il compasso garantisce la sua esistenza). Il triangolo \(\triangle AQB\) è isoscele su base \(AB\) con vertice \(Q\); per il teorema delle tre cose (Capitolo 33), la retta \(QP\) è altezza relativa alla base, dunque perpendicolare ad \(AB\) e quindi a \(r\).

Caso 2: \(P \notin r\). La costruzione è simile: si scelgono su \(r\) due punti \(A\) e \(B\) in modo che \(PA \cong PB\) (basta tracciare una circonferenza di centro \(P\) che incontri \(r\) in due punti). Il triangolo \(\triangle APB\) è isoscele su base \(AB\). La retta che congiunge \(P\) con il punto medio \(M\) di \(AB\) è anche altezza, dunque perpendicolare a \(r\).

L’unicità segue dal fatto che, se per assurdo esistessero due rette distinte perpendicolari a \(r\) passanti per \(P\), si formerebbe un triangolo con due angoli retti, in contraddizione con il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto (Capitolo 35).

34.2 Asse di un segmento come luogo geometrico

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L’asse di un segmento è stato introdotto nel Capitolo 30 come la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio. Ora ne dimostriamo la caratterizzazione come luogo geometrico: l’asse è l’insieme di tutti e soli i punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.

Definizione 34.2 — Asse di un segmento

Si chiama asse del segmento \(AB\) la retta perpendicolare ad \(AB\) passante per il suo punto medio \(M\).

Teorema 34.2 — Caratterizzazione dell’asse

Sia \(AB\) un segmento e \(a\) il suo asse. Un punto \(P\) del piano appartiene ad \(a\) se e solo se è equidistante dagli estremi del segmento:

\[ P \in a \iff PA \cong PB . \]

Dimostrazione. La dimostrazione si articola nelle due direzioni dell’“se e solo se”.

Direzione \((\Rightarrow )\): se \(P \in a\), allora \(PA \cong PB\). Sia \(P\) un punto dell’asse \(a\) (distinto da \(M\), perché per \(M\) il fatto è banale: \(MA \cong MB\) per definizione di punto medio). Confrontiamo i triangoli \(\triangle PAM\) e \(\triangle PBM\). Si ha:

Per il primo criterio di congruenza (LAL), \(\triangle PAM \cong \triangle PBM\). In particolare, \(PA \cong PB\).

Direzione \((\Leftarrow )\): se \(PA \cong PB\), allora \(P \in a\). Sia \(P\) un punto con \(PA \cong PB\). Il triangolo \(\triangle PAB\) è isoscele su base \(AB\). Per il teorema delle tre cose (Capitolo 33), la mediana, l’altezza e l’asse della base coincidono. La perpendicolare ad \(AB\) condotta da \(P\) incontra \(AB\) nel suo punto medio \(M\) e coincide con la retta \(PM\); questa retta è dunque l’asse di \(AB\). Quindi \(P \in a\).

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Figura 34.2: L’asse \(a\) del segmento \(AB\) è il luogo dei punti \(P\) del piano equidistanti dagli estremi: \(PA \cong PB\). La dimostrazione si svolge confrontando i triangoli \(\triangle PAM\) e \(\triangle PBM\) tramite il primo criterio di congruenza.

Nota

Il teorema appena dimostrato è la nostra prima vera caratterizzazione di un luogo geometrico: un insieme di punti definito da una proprietà comune. Altri luoghi geometrici fondamentali che incontreremo sono la bisettrice di un angolo (luogo dei punti equidistanti dai due lati) e la circonferenza (luogo dei punti equidistanti da un centro). Riconoscere una figura geometrica come luogo è una delle abilità più produttive nella risoluzione dei problemi.

34.3 Distanza punto-retta

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Definizione 34.3 — Distanza punto-retta

Sia \(r\) una retta e \(P\) un punto del piano. La distanza di \(P\) dalla retta \(r\), denotata \(d(P, r)\), è la lunghezza del segmento di perpendicolare condotto da \(P\) alla retta \(r\).

La definizione richiede l’esistenza e unicità della perpendicolare da \(P\) a \(r\), garantite dal teorema della sezione 34.1. Se \(P \in r\), allora \(d(P, r) = 0\).

Il segmento di perpendicolare è quello che minimizza la distanza fra \(P\) e i punti di \(r\): ogni altro segmento \(PQ\) (con \(Q \in r\)) è più lungo della perpendicolare. Lo enuncia il prossimo teorema.

Teorema 34.3 — Minimalità della distanza

Sia \(P\) un punto esterno alla retta \(r\), \(H\) il piede della perpendicolare condotta da \(P\) a \(r\), e \(Q\) un qualunque punto di \(r\) distinto da \(H\). Allora \(PH < PQ\).

Dimostrazione (cenni). Nel triangolo \(\triangle PHQ\) rettangolo in \(H\), il segmento \(PQ\) è l’ipotenusa. Si dimostra (cfr. Capitolo 59, teorema di Pitagora) che l’ipotenusa è sempre maggiore di ciascun cateto. Una dimostrazione più elementare, che non richiede Pitagora, si basa sul fatto che in un triangolo a ogni lato maggiore si oppone un angolo maggiore (teorema di confronto, Capitolo 35): l’angolo retto in \(H\) è il più grande, dunque il lato opposto \(PQ\) è il più lungo.

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Figura 34.3: La distanza \(d(P,r)\) è la lunghezza del segmento di perpendicolare \(PH\). Ogni altro segmento \(PQ\) con \(Q \in r\) è più lungo della perpendicolare: \(PH < PQ_1\) e \(PH < PQ_2\).

34.4 Rette parallele

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Definizione 34.4 — Rette parallele

Due rette distinte del piano si dicono parallele se non hanno punti in comune. Si scrive

\[ r \parallel s . \]

Si noti la differenza fondamentale con la perpendicolarità: la perpendicolarità è una nozione locale (riguarda gli angoli formati in un punto), mentre il parallelismo è globale (riguarda l’intero comportamento delle rette in tutto il piano). Per stabilire che \(r \parallel s\) occorre dimostrare che “nessun punto” del piano appartiene a entrambe le rette: si tratta di un’affermazione universale, e dunque tipicamente difficile da verificare in modo diretto.

Nota

Convenzioni alternative. Alcuni testi includono nella definizione di rette parallele anche le rette coincidenti (con la convenzione che una retta è parallela a sé stessa). Questa scelta rende la relazione di parallelismo una relazione di equivalenza e semplifica alcuni enunciati. In queste dispense seguiamo la convenzione tradizionale del liceo: le rette parallele sono distinte. Quando ci si vorrà riferire all’altra accezione, lo si dirà esplicitamente.

Esistenza di rette parallele

Esistono rette parallele? Sì, e il teorema di esistenza è dimostrabile senza ricorrere al quinto postulato.

Teorema 34.4 — Esistenza di rette parallele

Per ogni retta \(r\) del piano e ogni punto \(P\) esterno a \(r\), esiste almeno una retta passante per \(P\) e parallela a \(r\).

Dimostrazione (cenni). Si conduca da \(P\) la perpendicolare \(t\) alla retta \(r\) (esiste ed è unica, per il teorema di esistenza-unicità della perpendicolare). Si conduca da \(P\) la perpendicolare \(s\) alla retta \(t\). Si dimostra che \(s\) e \(r\) sono parallele: se si incontrassero in un punto \(Q\), nel triangolo \(\triangle PQH\) (dove \(H\) è il piede della perpendicolare \(t\) su \(r\)) si avrebbero due angoli retti, in contraddizione con il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto. Dunque \(s \parallel r\).

34.5 Quinto postulato di Euclide

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Il teorema della sezione precedente garantisce l’esistenza di almeno una parallela passante per un punto esterno a una retta. Resta da chiedersi se ce ne sia una sola, o se possano essercene di più. È una questione storicamente delicatissima.

Postulato 34.1 — Quinto postulato — forma di Playfair

Per un punto \(P\) esterno a una retta \(r\) passa una e una sola retta parallela a \(r\).

La formulazione qui adottata è dovuta al matematico scozzese John Playfair (\(1748\)–\(1819\)) ed è oggi quella standard. La formulazione originaria di Euclide (Postulato V degli Elementi) è meno trasparente:

“Se una retta che cade su due rette forma gli angoli interni dalla stessa parte minori di due retti, le due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte in cui gli angoli sono minori di due retti.”

Le due formulazioni sono equivalenti: ciascuna implica l’altra, fermi restando gli altri postulati.

Lo statuto storico del quinto postulato

Il quinto postulato è il più discusso della storia della matematica. Per oltre duemila anni i matematici hanno tentato di dimostrarlo a partire dagli altri quattro, sospettando che fosse meno fondamentale o “meno evidente” di quelli. Tentativi celebri sono quelli di Proclo (V secolo), Saccheri (\(1733\)), Lambert (\(1766\)): tutti senza successo.

Nel XIX secolo Nikolaj Lobacevskij (\(1829\)), János Bolyai (\(1832\)) e — privatamente — Carl Friedrich Gauss giunsero alla stessa conclusione: il quinto postulato non si dimostra. Esso è indipendente dagli altri quattro, nel senso che si possono costruire geometrie coerenti in cui esso non vale. Queste sono le geometrie non euclidee:

La geometria che studiamo in questa dispensa è quella euclidea, fondata sul quinto postulato nella forma di Playfair.

Attenzione!

La frase “il quinto postulato è equivalente a…” è uno strumento potente. Sono equivalenti al quinto postulato, fra gli altri, tutti i seguenti enunciati:

Ognuno di questi enunciati, assunto come assioma, implica gli altri e il quinto postulato. È una constatazione del XIX secolo che ha cambiato il volto della geometria.

34.6 Criterio di parallelismo

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Per stabilire concretamente se due rette sono parallele, ricorriamo a una terza retta — la trasversale — che le interseca entrambe e produce angoli che si possono confrontare.

Definizione 34.5 — Trasversale e angoli formati

Una retta \(t\) che interseca due rette distinte \(r\) e \(s\) in due punti distinti \(A\) (su \(r\)) e \(B\) (su \(s\)) si dice trasversale. Si formano in tutto otto angoli, quattro in \(A\) e quattro in \(B\), classificati come segue rispetto alla coppia \((r, s)\) e alla trasversale \(t\):

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Figura 34.4: Due rette \(r\) e \(s\) tagliate dalla trasversale \(t\). Si formano otto angoli, etichettati da \(1\) a \(8\). Coppie di alterni interni: \((3, 5)\) e \((4, 6)\). Coppie di alterni esterni: \((1, 7)\) e \((2, 8)\). Coppie di corrispondenti: \((1, 5)\), \((2, 6)\), \((3, 7)\), \((4, 8)\). Coppie di coniugati interni: \((3, 6)\) e \((4, 5)\). Coppie di coniugati esterni: \((1, 8)\) e \((2, 7)\).

Il criterio di parallelismo

Teorema 34.5 — Criterio di parallelismo

Due rette \(r\) e \(s\) tagliate da una trasversale \(t\) sono parallele se e solo se formano una coppia di angoli alterni interni congruenti.

L’enunciato è un “se e solo se” e, come tale, dovrebbe essere dimostrato in entrambe le direzioni. Tuttavia le due direzioni hanno uno statuto logico differente, che merita di essere reso esplicito.

Direzione \((\Leftarrow )\): se gli alterni interni sono congruenti, allora \(r \parallel s\).

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che \(r\) e \(s\) non siano parallele: si incontreranno allora in un punto \(C\), da un lato (diciamo a destra) della trasversale \(t\). Si forma il triangolo \(\triangle ABC\), in cui \(\widehat {BAC}\) (angolo in \(A\) verso destra) e \(\widehat {ABC}\) (angolo in \(B\) verso destra) sono angoli interni del triangolo. Ma questi due angoli sono coniugati interni della trasversale; e poiché per ipotesi gli alterni interni sono congruenti, i coniugati interni sono supplementari (sommano a un piatto). I due angoli interni del triangolo \(\triangle ABC\) sommano dunque a un angolo piatto, e il terzo angolo (in \(C\)) dovrebbe essere nullo. Questo è impossibile per un triangolo non degenere. Dunque \(r\) e \(s\) non possono incontrarsi: sono parallele.

Direzione \((\Rightarrow )\): se \(r \parallel s\), allora gli alterni interni sono congruenti.

Questa direzione si dimostra usando il quinto postulato (forma di Playfair) ed è logicamente equivalente ad esso. La dimostrazione, qui omessa, procede per assurdo costruendo, se gli alterni interni non fossero congruenti, una seconda parallela passante per uno dei punti di intersezione, in contraddizione con l’unicità.

Criteri equivalenti

Il criterio in termini di alterni interni implica, per semplici considerazioni sugli angoli adiacenti e opposti al vertice, altre formulazioni equivalenti, tutte ugualmente utilizzabili nella pratica.

Corollario 34.1 — Formulazioni equivalenti del criterio di parallelismo

Due rette \(r\) e \(s\) tagliate da una trasversale sono parallele se e solo se vale una delle seguenti (e dunque tutte):

In una specifica dimostrazione si usa la formulazione più comoda — di solito quella per cui i dati del problema sono immediatamente disponibili.

Esempi svolti

Esempio 34.1 — Calcolare angoli con il criterio

Due rette parallele \(r\) e \(s\) sono tagliate da una trasversale \(t\). In uno dei punti di intersezione si forma un angolo di \(62\,{^\circ }\). Determinare le misure degli altri sette angoli.

Impostazione. Numeriamo gli otto angoli come nella Figura 34.4. Supponiamo che l’angolo dato sia \(\widehat {1} = 62\,{^\circ }\).

Deduzioni.

Esempio 34.2 — Riconoscere il parallelismo

Date due rette \(r\) e \(s\) tagliate da una trasversale \(t\), sui due punti di intersezione si misurano gli angoli formati con la trasversale dalla parte “destra”: \(\widehat {A} = 73\,{^\circ }\) (sopra) e \(\widehat {B} = 73\,{^\circ }\) (sotto). Sono \(r\) e \(s\) parallele?

Risposta. I due angoli \(\widehat {A}\) e \(\widehat {B}\), situati dalla stessa parte rispetto alla trasversale ma uno sopra (esterno) e l’altro sotto (interno), sono corrispondenti. Sono congruenti per dato, dunque le rette \(r\) e \(s\) sono parallele per il criterio di parallelismo (formulazione con corrispondenti congruenti).

Esempio 34.3 — Asse e luogo geometrico

Si abbia un segmento \(AB\) con \(\overline {AB} = 8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Determiniamo l’insieme dei punti \(P\) del piano tali che \(PA = PB = 5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Impostazione. La condizione \(PA = PB\) caratterizza i punti dell’asse di \(AB\) (per il teorema di caratterizzazione). Resta da imporre \(PA = 5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Calcolo. Detto \(M\) il punto medio di \(AB\), si ha \(MA = MB = 4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Per un punto \(P\) sull’asse, il triangolo \(\triangle PAM\) è rettangolo in \(M\) con \(PA\) ipotenusa, \(MA\) cateto, \(PM\) secondo cateto. Per il teorema di Pitagora (anticipato dal Capitolo 59):

\[ PM^2 = PA^2 - MA^2 = 25\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} } - 16\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} } = 9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }, \]

da cui \(PM = 3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Vi sono due punti che soddisfano la condizione: uno per ciascuno dei due semipiani delimitati da \(AB\), entrambi sull’asse a distanza \(3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) da \(M\).

Esercizio 34.1

1.
Vero o falso? Motiva la risposta.
(a)
Due rette perpendicolari a una stessa retta sono parallele tra loro.
(b)
Due rette parallele a una stessa retta sono parallele tra loro.
(c)
Per un punto passano infinite rette parallele a una retta data.
(d)
Per un punto esterno a una retta passa una sola perpendicolare.
(e)
L’asse di un segmento è la sua bisettrice.
2.
Due rette \(r\) e \(s\) sono tagliate da una trasversale \(t\). Uno degli angoli formati misura \(55\,{^\circ }\). Sapendo che \(r \parallel s\), determina le misure di tutti gli otto angoli, specificando per ciascuno il tipo (alterno interno, corrispondente, ecc.) rispetto all’angolo dato.
3.
Due rette \(r\) e \(s\) sono tagliate da una trasversale \(t\). Si misurano un angolo in \(A\) (su \(r\)) pari a \(47\,{^\circ }\) e un angolo in \(B\) (su \(s\)) pari a \(48\,{^\circ }\), situati dalla stessa parte della trasversale e sui due lati “interni” delle rette. Sono \(r\) e \(s\) parallele? Motiva.
4.
Si abbia un segmento \(AB\). Costruisci con riga e compasso l’asse di \(AB\). Spiega ogni passo della costruzione e indica quali proprietà del triangolo isoscele garantiscono la correttezza.
5.
Sia \(\triangle ABC\) un triangolo isoscele su base \(BC\) e sia \(a\) l’asse della base. Dimostra che \(A\) appartiene ad \(a\). (Suggerimento: usa il teorema di caratterizzazione dell’asse.)
6.
Sia \(\triangle ABC\) un triangolo qualsiasi. Si traccino gli assi dei tre lati. Cosa hanno in comune? Anticipando un risultato del prossimo capitolo: i tre assi sono concorrenti in un punto \(O\), detto circocentro. Spiega perché — basandoti sul teorema di caratterizzazione dell’asse — il circocentro è equidistante dai tre vertici del triangolo.
7.
Date due rette parallele \(r\) e \(s\), ogni punto di \(r\) è alla stessa distanza da \(s\). Dimostralo nel modo seguente: scelti due punti \(A, B \in r\), considera i piedi delle perpendicolari \(A'\), \(B'\) su \(s\). Mostra che \(AA' \cong BB'\) usando i criteri di congruenza.
8.
Vero o falso? Motiva.
(a)
Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora ogni altra coppia di alterni interni è congruente.
(b)
Le rette \(r\) e \(s\) sono parallele se e solo se ogni trasversale forma con esse angoli alterni interni congruenti.
9.
Un fascio di rette parallele \(r_1, r_2, r_3\) è tagliato da una trasversale \(t\). Sai che due angoli corrispondenti formati con \(r_1\) e \(r_2\) valgono entrambi \(40\,{^\circ }\). Quanto valgono i corrispondenti formati con \(r_3\) e la stessa trasversale?
10.
Sia \(\triangle ABC\) un triangolo. Si traccia per \(C\) la retta \(r\) parallela alla retta \(AB\). Sapendo che \(\widehat {A} = 50\,{^\circ }\) e \(\widehat {B} = 60\,{^\circ }\), determina la misura dei due angoli che \(r\) forma con \(CA\) e \(CB\). Quale somma ottieni e perché? (Suggerimento: questa costruzione è la base della dimostrazione classica del teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, che vedremo nel Capitolo 35.)
11.
Dimostra il seguente teorema: due rette parallele a una stessa retta sono fra loro parallele. (Suggerimento: ragiona per assurdo, supponendo che \(r\) e \(s\) — entrambe parallele a \(t\) — si incontrino in un punto \(P\); usa l’unicità della parallela passante per \(P\).)
12.
Dimostra che, se in un quadrilatero \(ABCD\) i lati opposti sono a coppie congruenti (\(AB \cong CD\) e \(AD \cong BC\)), allora i lati opposti sono anche paralleli. (Suggerimento: traccia la diagonale \(AC\), dimostra che i due triangoli sono congruenti per LLL, e deduci la congruenza degli alterni interni rispetto ai lati opposti.)
13.
Spiega in che senso il quinto postulato di Euclide non è “né più vero né meno vero” degli altri quattro. Cita una geometria non euclidea e descrivi cosa la distingue dalla geometria euclidea.
14.
Dimostra direttamente il seguente enunciato (senza usare la somma degli angoli interni del triangolo): due rette perpendicolari a una stessa retta sono parallele tra loro. (Suggerimento: applica il criterio di parallelismo con la retta comune come trasversale.)

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