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Capitolo 33
Triangolo isoscele e suoi teoremi

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“La simmetria è quel concetto attraverso cui l’uomo, attraverso i secoli, ha tentato di comprendere e creare ordine, bellezza e perfezione.”
— Hermann Weyl

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Il triangolo isoscele è il primo esempio non banale di figura simmetrica: la presenza di due lati congruenti gli conferisce un asse di simmetria, e da quest’unica caratteristica geometrica discendono numerose proprietà — tutte dimostrabili con i criteri di congruenza che abbiamo introdotto nel capitolo precedente. Questo capitolo è dunque il primo banco di prova del metodo dimostrativo della geometria sintetica: i criteri di congruenza diventano strumenti operativi, e producono teoremi non banali.

Vedremo il teorema diretto del triangolo isoscele (gli angoli alla base sono congruenti) e il suo inverso; ne dedurremo come conseguenza il cosiddetto teorema delle tre cose (in un triangolo isoscele bisettrice dell’angolo al vertice, mediana e altezza relative alla base coincidono); e infine inquadreremo il triangolo equilatero come caso particolare.

33.1 Definizione e proprietà

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Definizione 33.1 — Triangolo isoscele

Si chiama triangolo isoscele un triangolo che ha almeno due lati congruenti. I due lati congruenti si chiamano lati obliqui (o semplicemente lati); il terzo lato si chiama base; gli angoli adiacenti alla base sono detti angoli alla base, e l’angolo opposto alla base è detto angolo al vertice.

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Figura 33.1: Triangolo isoscele \(\triangle ABC\) di base \(BC\). I due lati obliqui \(AB\) e \(AC\) sono congruenti (trattini rossi). L’angolo al vertice è \(\widehat {A}\); gli angoli alla base sono \(\widehat {B}\) e \(\widehat {C}\).

Conviene sottolineare due aspetti della definizione.

In molti enunciati di questo capitolo useremo il triangolo isoscele \(\triangle ABC\) con base \(BC\) e angolo al vertice in \(A\): salvo avviso contrario, è questa la configurazione di riferimento.

33.2 Teorema diretto del triangolo isoscele

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Il teorema fondamentale del triangolo isoscele lega la congruenza dei lati alla congruenza degli angoli alla base.

Teorema 33.1 — diretto del triangolo isoscele

In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti.

Ipotesi. \(\triangle ABC\) con \(AB \cong AC\).

Tesi. \(\widehat {B} \cong \widehat {C}\).

Dimostrazione. Sia \(AM\) la bisettrice dell’angolo al vertice \(\widehat {A}\), dove \(M\) è il punto di intersezione della bisettrice con il lato \(BC\). Confrontiamo i due triangoli \(\triangle ABM\) e \(\triangle ACM\). Si ha:

Per il primo criterio di congruenza (LAL), \(\triangle ABM \cong \triangle ACM\). In particolare i due angoli corrispondenti \(\widehat {ABM}\) e \(\widehat {ACM}\) sono congruenti, ovvero \(\widehat {B} \cong \widehat {C}\).

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Figura 33.2: Dimostrazione del teorema diretto: la bisettrice \(AM\) dell’angolo al vertice divide il triangolo isoscele \(\triangle ABC\) in due triangoli \(\triangle ABM\) e \(\triangle ACM\) congruenti per il primo criterio (LAL).

Conseguenze immediate: il teorema delle “tre cose”

La dimostrazione del teorema diretto ha prodotto, come “effetto collaterale”, una congruenza fra molti più elementi di quanto richiesto dalla tesi. Possiamo trarne un risultato di grande importanza pratica.

Teorema 33.2 — delle tre cose

In un triangolo isoscele, la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana relativa alla base e altezza relativa alla base.

Ipotesi. \(\triangle ABC\) con \(AB \cong AC\); \(AM\) è la bisettrice di \(\widehat {A}\) (\(M \in BC\)).

Tesi. \(M\) è il punto medio di \(BC\) (cioè \(AM\) è mediana); inoltre \(AM \perp BC\) (cioè \(AM\) è altezza).

Dimostrazione. Dalla dimostrazione del teorema diretto sappiamo che \(\triangle ABM \cong \triangle ACM\). In particolare:

Corollario 33.1

In un triangolo isoscele, la bisettrice dell’angolo al vertice, la mediana relativa alla base, l’altezza relativa alla base e l’asse della base coincidono.

Il quarto elemento (l’asse della base) coincide con gli altri tre perché è una retta perpendicolare a \(BC\) passante per il suo punto medio: esattamente la retta su cui giace \(AM\).

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Figura 33.3: Nel triangolo isoscele \(\triangle ABC\) di base \(BC\), il segmento \(AM\) è contemporaneamente bisettrice dell’angolo al vertice, mediana relativa a \(BC\), altezza relativa a \(BC\) e — prolungato in retta — asse di \(BC\).

Asse di simmetria

La retta che contiene \(AM\) è dunque asse di simmetria del triangolo isoscele: ripiegando il triangolo lungo questa retta, il lato \(AB\) si sovrappone esattamente al lato \(AC\), e così il vertice \(B\) va su \(C\). Tutte le proprietà del triangolo isoscele si possono leggere come manifestazioni di questa simmetria assiale.

33.3 Teorema inverso

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Il teorema diretto afferma: “se due lati sono congruenti, allora i due angoli alla base sono congruenti”. È naturale chiedersi se valga il viceversa: se due angoli sono congruenti, i lati opposti sono congruenti? La risposta è affermativa, ma — come si è visto nel Capitolo 29 — il viceversa va dimostrato a parte.

Teorema 33.3 — inverso del triangolo isoscele

Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora il triangolo è isoscele e i lati opposti agli angoli congruenti sono fra loro congruenti.

Ipotesi. \(\triangle ABC\) con \(\widehat {B} \cong \widehat {C}\).

Tesi. \(AB \cong AC\) (e dunque \(\triangle ABC\) è isoscele su base \(BC\)).

Dimostrazione. Costruiamo la bisettrice dell’angolo \(\widehat {A}\), che incontra il lato \(BC\) in un punto \(M\). Confrontiamo i triangoli \(\triangle ABM\) e \(\triangle ACM\). Si ha:

I tre dati corrispondono a un lato (\(AM\)) e ai due angoli adiacenti (\(\widehat {BAM}\) in \(A\) e \(\widehat {B}\) in \(B\) nel primo triangolo; \(\widehat {CAM}\) in \(A\) e \(\widehat {C}\) in \(C\) nel secondo). Per il secondo criterio di congruenza (ALA), \(\triangle ABM \cong \triangle ACM\). In particolare \(AB \cong AC\).

Attenzione!

Si confronti la dimostrazione del teorema diretto con quella del teorema inverso: la costruzione (tracciare la bisettrice dell’angolo al vertice) è la stessa, ma il criterio che si applica è diverso. Nel teorema diretto si parte da due lati e un angolo ed è naturale invocare il LAL. Nel teorema inverso si parte da un lato (quello comune) e due angoli, e si usa l’ALA. Questa dualità è tipica: spesso un enunciato e il suo inverso si dimostrano con criteri di congruenza diversi, applicati alla stessa configurazione.

Caratterizzazione del triangolo isoscele

Il teorema diretto e il suo inverso si possono unire in un unico enunciato caratterizzante:

Teorema 33.4 — caratterizzazione del triangolo isoscele

Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti. I lati congruenti sono opposti agli angoli congruenti.

È un esempio importante di proposizione del tipo “se e solo se” (cfr. Capitolo 29): equivalenza fra una proprietà sui lati e una proprietà sugli angoli. In molte dimostrazioni successive useremo questo teorema senza specificare quale dei due versi (diretto o inverso) stiamo invocando.

33.4 Triangolo equilatero come caso particolare

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Quando un triangolo isoscele ha la base congruente ai lati obliqui, è equilatero: i tre lati sono fra loro congruenti. Applicando il teorema diretto su ogni coppia di lati congruenti, si ottiene immediatamente il seguente risultato.

Corollario 33.2 — Triangolo equilatero

In un triangolo equilatero i tre angoli interni sono congruenti.

Dimostrazione. Sia \(\triangle ABC\) equilatero, cioè \(AB \cong BC \cong CA\). Considerando \(AB \cong AC\) il triangolo è isoscele su base \(BC\), dunque \(\widehat {B} \cong \widehat {C}\) (teorema diretto). Considerando \(AB \cong BC\) il triangolo è isoscele su base \(AC\), dunque \(\widehat {A} \cong \widehat {C}\). Da queste due congruenze, \(\widehat {A} \cong \widehat {B} \cong \widehat {C}\).

Vale anche l’inverso, come conseguenza diretta del teorema inverso del triangolo isoscele.

Corollario 33.3

Un triangolo è equilatero se e solo se ha i tre angoli congruenti.

Quando, nel Capitolo 35, dimostreremo che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, potremo concludere che in un triangolo equilatero ciascun angolo misura esattamente

\[ \frac {180\,{^\circ }}{3} = 60\,{^\circ } . \]

Nota

Si noti il rapporto fra le tre nozioni: scaleno \(\Leftrightarrow \) tre lati distinti \(\Leftrightarrow \) tre angoli distinti; isoscele \(\Leftrightarrow \) due lati congruenti \(\Leftrightarrow \) due angoli congruenti; equilatero \(\Leftrightarrow \) tre lati congruenti \(\Leftrightarrow \) tre angoli congruenti. La classificazione per lati e quella per angoli sono dunque, dal punto di vista logico, equivalenti: ogni proprietà sui lati ha un corrispettivo sugli angoli, e viceversa. Questa equivalenza è un fatto profondo che useremo costantemente.

Esempi svolti

Esempio 33.1 — Calcolo numerico nel triangolo isoscele

Un triangolo isoscele \(\triangle ABC\) ha l’angolo al vertice \(\widehat {A} = 40\,{^\circ }\). Determinare gli angoli alla base.

Impostazione. Siano \(\widehat {B}\) e \(\widehat {C}\) gli angoli alla base. Per il teorema diretto, \(\widehat {B} \cong \widehat {C}\); chiamiamo \(x\) la loro misura comune. La somma degli angoli interni di un triangolo è \(180\,{^\circ }\):

\[ \widehat {A} + \widehat {B} + \widehat {C} = 180\,{^\circ } . \]

Sostituendo:

\[ 40\,{^\circ } + x + x = 180\,{^\circ } , \qquad 2x = 140\,{^\circ } . \]

Risoluzione.

\[ x = \frac {140\,{^\circ }}{2} = 70\,{^\circ } . \]

Quindi \(\widehat {B} = \widehat {C} = 70\,{^\circ }\).

Esempio 33.2 — Riconoscere l’isoscelia a partire dagli angoli

In un triangolo \(\triangle ABC\) si ha \(\widehat {A} = 50\,{^\circ }\) e \(\widehat {B} = 65\,{^\circ }\). Mostriamo che \(\triangle ABC\) è isoscele e determiniamo quali lati sono congruenti.

Calcolo del terzo angolo.

\[ \widehat {C} = 180\,{^\circ } - \widehat {A} - \widehat {B} = 180\,{^\circ } - 50\,{^\circ } - 65\,{^\circ } = 65\,{^\circ } . \]

Conclusione. Si ha \(\widehat {B} \cong \widehat {C}\). Per il teorema inverso del triangolo isoscele, i lati opposti a questi angoli sono congruenti: \(AC \cong AB\). Dunque \(\triangle ABC\) è isoscele su base \(BC\).

Esempio 33.3 — Una dimostrazione con doppia isoscelia

Si abbia un triangolo isoscele \(\triangle ABC\) con \(AB \cong AC\). Sui lati obliqui prendiamo due punti \(D\) (su \(AB\)) ed \(E\) (su \(AC\)) tali che \(BD \cong CE\). Dimostriamo che \(\triangle ABE \cong \triangle ACD\).

Ipotesi. \(AB \cong AC\); \(D \in AB\), \(E \in AC\); \(BD \cong CE\).

Tesi. \(\triangle ABE \cong \triangle ACD\).

Dimostrazione. Confrontiamo \(\triangle ABE\) e \(\triangle ACD\). Si ha:

Per il primo criterio di congruenza (LAL) applicato ai triangoli \(\triangle ABE\) e \(\triangle ACD\) (lati \(AB\) e \(AE\) per il primo, \(AC\) e \(AD\) per il secondo, con angolo compreso \(\widehat {A}\)), si conclude \(\triangle ABE \cong \triangle ACD\).

Esercizio 33.1

1.
In un triangolo isoscele l’angolo al vertice misura \(36\,{^\circ }\). Quanto misurano gli angoli alla base?
2.
In un triangolo isoscele un angolo alla base misura \(72\,{^\circ }\). Quanto misurano l’angolo al vertice e l’altro angolo alla base?
3.
Stabilisci, sulla base degli angoli interni, se i seguenti triangoli sono isosceli e, in caso affermativo, qual è la base.
(a)
\(\widehat {A} = 80\,{^\circ }\), \(\widehat {B} = 50\,{^\circ }\), \(\widehat {C} = 50\,{^\circ }\);
(b)
\(\widehat {A} = 45\,{^\circ }\), \(\widehat {B} = 90\,{^\circ }\), \(\widehat {C} = 45\,{^\circ }\);
(c)
\(\widehat {A} = 70\,{^\circ }\), \(\widehat {B} = 55\,{^\circ }\), \(\widehat {C} = 55\,{^\circ }\);
(d)
\(\widehat {A} = 60\,{^\circ }\), \(\widehat {B} = 60\,{^\circ }\), \(\widehat {C} = 60\,{^\circ }\).
4.
Vero o falso? Motiva la risposta.
(a)
Un triangolo rettangolo isoscele ha gli angoli alla base di \(45\,{^\circ }\).
(b)
In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è perpendicolare alla base.
(c)
In ogni triangolo isoscele tutte e tre le mediane si bisecano a vicenda.
(d)
In un triangolo equilatero la bisettrice di ogni angolo coincide con la mediana e con l’altezza relativa al lato opposto.
(e)
Esiste un triangolo isoscele in cui l’angolo al vertice è retto.
5.
Sia \(\triangle ABC\) isoscele su base \(BC\). Sui lati obliqui prendi due punti \(M\) (su \(AB\)) ed \(N\) (su \(AC\)) tali che \(AM \cong AN\). Dimostra che \(BM \cong CN\).
6.
Sia \(\triangle ABC\) isoscele su base \(BC\). Dalla base, prolungata da entrambi i lati, prendi due segmenti \(BD \cong CE\) con \(D\) dal lato di \(B\) e \(E\) dal lato di \(C\). Dimostra che \(\triangle ADE\) è isoscele.
7.
Sia \(\triangle ABC\) isoscele su base \(BC\) e sia \(M\) il punto medio di \(BC\). Sia \(P\) un punto qualsiasi del segmento \(AM\). Dimostra che \(\triangle PBC\) è isoscele e che \(PB \cong PC\).
8.
Sia \(\triangle ABC\) isoscele su base \(BC\). Le bisettrici degli angoli alla base \(\widehat {B}\) e \(\widehat {C}\) si incontrano in un punto \(I\). Dimostra che \(\triangle IBC\) è isoscele e che \(IB \cong IC\).
9.
Sia \(\triangle ABC\) equilatero. Sui lati \(AB\), \(BC\), \(CA\) prendi tre punti \(P\), \(Q\), \(R\) tali che \(AP \cong BQ \cong CR\). Dimostra che \(\triangle PQR\) è equilatero. (Suggerimento: applica più volte il primo criterio agli opportuni sotto-triangoli.)
10.
Sia \(\triangle ABC\) un triangolo isoscele su base \(BC\). Si traccino le altezze relative ai due lati obliqui \(BH\) (su \(AC\)) e \(CK\) (su \(AB\)). Dimostra che \(BH \cong CK\).
11.
Dimostra il seguente teorema: se in un triangolo due mediane sono congruenti, allora il triangolo è isoscele. (Suggerimento: si tratta di una proprietà che useremo solo intuitivamente; la dimostrazione completa richiede ulteriori risultati.)
12.
Considera un triangolo \(\triangle ABC\) isoscele su base \(BC\) con \(\widehat {A} = 20\,{^\circ }\). Su \(AB\) prendi un punto \(D\) tale che \(AD \cong BC\). Determina, con un ragionamento che coinvolge isoscele successivi, la misura dell’angolo \(\widehat {ACD}\).
13.
Spiega in che senso il teorema diretto e il teorema inverso del triangolo isoscele insieme costituiscono una caratterizzazione (cioè un “se e solo se”). Riformula l’enunciato congiunto in entrambe le forme equivalenti: “… se e solo se …” e “\(H \Leftrightarrow T\)”.

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