“Non c’è una via regia per la geometria.”
— Euclide a Tolomeo I
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Il capitolo precedente ha tratteggiato il metodo con cui costruire una teoria geometrica: alcuni concetti accettati senza definizione, alcuni enunciati accettati senza dimostrazione, e a partire da questi due nuclei un’intera architettura di proposizioni dimostrate. In questo capitolo entriamo nel dettaglio di quell’architettura, distinguendo con precisione i tipi di enunciati che incontreremo — definizioni, assiomi, teoremi, lemmi, corollari — e analizzando la struttura interna di un teorema e della sua dimostrazione.
Acquisire questo linguaggio non è un esercizio di pedanteria: è la condizione preliminare per leggere e scrivere matematica con consapevolezza. Quando il libro di testo afferma “per il teorema di Pitagora si ha…”, occorre saper riconoscere che cosa è stato realmente dimostrato, sotto quali ipotesi e con quali conseguenze. Se le ipotesi non sono soddisfatte, il teorema non si applica.
Abbiamo già discusso, nel Capitolo 28, perché ogni teoria abbia bisogno di concetti primitivi. Una volta accettati, da essi si possono costruire nuove nozioni mediante definizioni.
Definizione 29.1 — Definizione matematica
Una buona definizione deve soddisfare due requisiti:
Esempio 29.1 — Una definizione ben posta e una mal posta
Consideriamo due tentativi di definizione di triangolo equilatero.
In una definizione, l’espressione “si dice” o “si chiama” separa il termine nuovo dalla sua caratterizzazione. È utile leggerla mentalmente come un se e solo se:
“\(T\) è un triangolo equilatero” \(\iff \) “\(T\) è un triangolo con i tre lati congruenti”.
Questa equivalenza è ciò che rende le definizioni utilizzabili nelle dimostrazioni, sia per riconoscere se un oggetto rientra in una categoria, sia per dedurne le proprietà.
Una volta scelti i concetti primitivi, occorre stabilire quali proprietà siano loro attribuite. Queste proprietà sono fissate dagli assiomi (o postulati).
Definizione 29.2 — Assioma
Storicamente la parola postulato (dal latino postulare, “richiedere”) era riservata da Euclide agli enunciati specifici della geometria, mentre nozione comune indicava i principi logici universali. Nella matematica contemporanea le due parole sono usate come sinonimi, e in questa dispensa le considereremo intercambiabili.
Gli assiomi non sono né “veri in sé” né “ovvi”: sono scelte che il matematico fa per dare struttura alla teoria. Cambiando assiomi si ottengono teorie diverse, tutte logicamente coerenti. La geometria che studieremo è quella euclidea, ma esistono geometrie “non euclidee” (sferica, iperbolica) costruite su assiomi differenti, che descrivono comunque situazioni geometriche reali (la superficie di una sfera, ad esempio, o lo spaziotempo della relatività generale).
Esempio 29.2 — Alcuni postulati della geometria euclidea
Riportiamo, nel linguaggio moderno, alcuni postulati che assumeremo come fondamento.
Si noti che questi enunciati non si dimostrano: si assumono.
Attenzione!
Assioma non significa “ovvio”. Il quinto postulato di Euclide è stato per duemila anni al centro di una vera e propria battaglia matematica: molti studiosi tentarono di dimostrarlo a partire dagli altri quattro, sospettando che fosse “meno fondamentale”. Solo nell’Ottocento Lobacevskij, Bolyai e Gauss mostrarono che il quinto postulato è indipendente dagli altri: si possono costruire geometrie coerenti in cui esso non vale (le geometrie non euclidee). Un assioma è dunque una scelta della teoria, non una verità auto-evidente.
Il cuore della geometria razionale è il teorema. Un teorema è un enunciato la cui verità non è assunta, ma dimostrata a partire dagli assiomi e da teoremi già stabiliti.
Definizione 29.3 — Teorema
Un teorema è un’affermazione della forma
in cui:
La struttura “se \(H\) allora \(T\)” è onnipresente in matematica e merita attenzione. Riconoscere correttamente quale parte di un enunciato è ipotesi e quale è tesi è la prima abilità da sviluppare.
Esempio 29.3 — Riconoscere ipotesi e tesi
Consideriamo il classico teorema del triangolo isoscele.
Enunciato. In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti.
Riscriviamolo nella forma “se … allora …”.
Se un triangolo è isoscele (ipotesi \(H\)), allora i suoi angoli alla base sono congruenti (tesi \(T\)).
L’ipotesi è la proprietà che si assume riguardo al triangolo (avere due lati congruenti); la tesi è ciò che si vuole dimostrare (la congruenza dei due angoli alla base). La dimostrazione consisterà in una sequenza di passaggi logici che, partendo dall’ipotesi, conduce alla tesi.
Quando ci si trova davanti a un teorema da dimostrare, è utile organizzare il lavoro secondo lo schema seguente.
Procedura — Dimostrazione di un teorema
Esempio 29.4 — Una dimostrazione completa
Dimostriamo il seguente enunciato.
Se due rette \(r\) e \(s\) distinte si intersecano in un punto \(P\), allora \(P\) è l’unico punto comune a \(r\) e \(s\).
Ipotesi. \(r\) e \(s\) sono rette distinte e \(P \in r \cap s\).
Tesi. Non esiste un secondo punto \(Q \neq P\) con \(Q \in r \cap s\).
Dimostrazione. Procediamo per assurdo: supponiamo che esista un punto \(Q \neq P\) tale che \(Q \in r\) e \(Q \in s\). Allora \(r\) e \(s\) sarebbero entrambe rette passanti per i due punti distinti \(P\) e \(Q\). Ma per il primo postulato di sezione 29.2, per due punti distinti passa una sola retta. Dovrebbe quindi essere \(r = s\), contro l’ipotesi che \(r\) e \(s\) siano distinte. La supposizione \(Q \neq P\) porta a contraddizione: deve allora essere \(P\) l’unico punto comune.
In matematica si distinguono diverse strategie con cui costruire la catena logica di una dimostrazione. Le più diffuse sono le seguenti.
Queste tecniche sono trattate in modo sistematico nel modulo di logica (Capitolo 6); qui ne facciamo uso operativo.
Non tutti i teoremi hanno la stessa importanza nell’economia di una teoria. La tradizione matematica distingue alcuni casi particolari.
Definizione 29.4 — Lemma, corollario, teorema inverso
La distinzione è puramente di rilievo e di funzione: dal punto di vista logico, un lemma e un teorema sono indistinguibili; sono entrambi affermazioni dimostrate. La parola “lemma” segnala soltanto al lettore che si tratta di un risultato strumentale, da non considerare come obiettivo principale.
Esempio 29.5 — Teorema diretto e teorema inverso del triangolo isoscele
Il Capitolo 33 sarà dedicato proprio a questi enunciati. Anticipiamoli a titolo illustrativo.
Teorema diretto. Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.
Teorema inverso. Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il triangolo è isoscele (il lato opposto al terzo angolo è la base).
Si noti che entrambi gli enunciati sono validi, ma ciascuno ha bisogno di una dimostrazione propria. La validità del teorema diretto non garantisce quella dell’inverso; l’inverso va provato separatamente.
Esempio 29.6 — Un teorema inverso che non vale
Consideriamo l’enunciato:
Se un quadrilatero è un quadrato, allora ha tutti i lati congruenti.
È un teorema vero, di immediata dimostrazione a partire dalla definizione di quadrato. Il suo inverso sarebbe:
Se un quadrilatero ha tutti i lati congruenti, allora è un quadrato.
Questo enunciato è falso: un rombo non quadrato (cioè un rombo con angoli non retti) ha tutti i lati congruenti ma non è un quadrato. Un solo controesempio basta a confutare l’inverso. La verità del teorema diretto e la verità del suo inverso sono indipendenti.
Attenzione!
Condizione necessaria, condizione sufficiente. Un teorema “se \(H\) allora \(T\)” afferma che \(H\) è una condizione sufficiente per \(T\) (basta avere \(H\) per garantire \(T\)); equivalentemente, \(T\) è una condizione necessaria per \(H\). Quando vale anche l’inverso “se \(T\) allora \(H\)”, si dice che \(H\) è condizione necessaria e sufficiente per \(T\), e si scrive \(H \iff T\) (“\(H\) se e solo se \(T\)”). Tornerà spesso, in questo corso, leggere enunciati con la formula “… se e solo se …”: segnala che il risultato vale in entrambe le direzioni.
Esempio 29.7 — Riconoscere la struttura di un enunciato
Nei seguenti enunciati, individua ipotesi e tesi.
(a) “Se due triangoli hanno due lati e l’angolo compreso ordinatamente congruenti, allora sono congruenti.”
Ipotesi: due triangoli hanno due lati e l’angolo compreso ordinatamente congruenti.
Tesi: i due triangoli sono congruenti.
(b) “In un parallelogramma le diagonali si bisecano.”
Riformulazione: “Se un quadrilatero è un parallelogramma, allora le sue diagonali si
bisecano.”
Ipotesi: il quadrilatero è un parallelogramma.
Tesi: le diagonali si bisecano (cioè si tagliano scambievolmente a metà).
(c) “Tre punti non allineati individuano uno e un solo piano.”
Si tratta di un postulato, non di un teorema: non ha dimostrazione, è assunto.
Esempio 29.8 — Una dimostrazione per assurdo
Dimostriamo il seguente enunciato.
Per un punto \(P\) esterno a una retta \(r\) passa al massimo una retta perpendicolare a \(r\) in un fissato punto \(H \in r\).
Ipotesi. \(r\) è una retta, \(H \in r\), \(P\) è un punto esterno a \(r\).
Tesi. Esiste al più una retta \(s\) passante per \(P\) e perpendicolare a \(r\) in \(H\).
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano due rette distinte \(s_1\) e \(s_2\), entrambe passanti per \(P\) e per \(H\), ed entrambe perpendicolari a \(r\) in \(H\). Le rette \(s_1\) e \(s_2\) avrebbero allora due punti distinti in comune (\(P\) e \(H\)), e per il primo postulato dovrebbero coincidere, contro l’ipotesi che siano distinte. La supposizione è insostenibile: la retta perpendicolare a \(r\) passante per \(H\), se esiste e passa per \(P\), è unica.
Esercizio 29.1
Riepilogo
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