“Non entri chi non conosce la geometria.”
— Scritta che, secondo la tradizione, stava sulla porta dell’Accademia di Platone
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Prova a spiegare a qualcuno che cos’è un rombo. Probabilmente dirai: “è un parallelogramma con i lati tutti uguali”. Benissimo: ma che cos’è un parallelogramma? “Un quadrilatero con i lati opposti paralleli.” E che cosa vuol dire paralleli? “Due rette che non si incontrano mai.” E che cos’è una retta?
A questo punto ci si ferma. Ogni parola si spiega usando altre parole, più semplici; ma non si può andare avanti all’infinito, e non vale nemmeno girare in tondo (come fa il vocabolario, quando spiega “veloce” con “rapido” e “rapido” con “veloce”). Prima o poi si arriva a parole così semplici che non c’è niente di più semplice con cui spiegarle. Queste parole si chiamano concetti primitivi: non si definiscono, si impara a usarle.
In geometria i concetti primitivi sono tre, e li conosci da sempre: punto, retta e piano. Di essi non daremo una definizione: diremo come si disegnano, come si indicano e, soprattutto, quali regole rispettano (“per due punti passa una sola retta”, e così via). Queste regole di partenza, che si accettano senza dimostrarle, si chiamano assiomi o postulati.
Tutto il resto della geometria si costruisce da lì, un passo alla volta: ogni parola nuova viene definita con quelle già note, ogni affermazione nuova viene dimostrata a partire da quelle già stabilite. È il modo di procedere inventato dai Greci più di duemila anni fa, ed è il motivo per cui ciò che dimostreremo quest’anno era vero ai tempi di Euclide e lo sarà ancora fra altri duemila anni.
Le rappresentazioni che adottiamo per i tre enti fondamentali sono quelle abituali fin dalle scuole medie. Pur non essendo definizioni in senso stretto, le riportiamo qui in forma di descrizioni operative, utili a fissare la notazione e a orientare l’intuizione.
Definizione 28.1 — Enti geometrici fondamentali
In geometria si assumono come concetti primitivi le nozioni di punto, retta e piano, che indicheremo nel modo seguente.
Quando un punto \(P\) appartiene a una retta \(r\) scriviamo \(P \in r\) e diciamo che \(r\) passa per \(P\), oppure che \(P\) giace su \(r\). Allo stesso modo \(P \in \alpha \) indica che il punto appartiene al piano. La relazione di appartenenza è anch’essa un concetto primitivo: non si definisce, si usa.
Le proprietà fondamentali che legano fra loro punti, rette e piani sono fissate dagli assiomi della geometria, di cui presenteremo una selezione nel prossimo capitolo. A titolo di esempio, riportiamo qui due affermazioni che useremo costantemente:
Queste affermazioni non sono dimostrabili: sono postulati, cioè regole che la teoria assume su punti, rette e piani.
Lo spazio in cui ambientiamo la geometria di queste dispense è lo spazio euclideo tridimensionale. È uno spazio idealizzato, che possiede alcune proprietà che lo rendono particolarmente comodo da trattare e che riflettono in buona approssimazione la nostra esperienza quotidiana.
Una figura geometrica è semplicemente un sottoinsieme dello spazio: un triangolo, un cerchio, un poliedro, una retta sono tutte figure geometriche, e così pure un singolo punto o un piano nella sua interezza. Studiare una figura significa studiare le relazioni fra i punti che la compongono — distanze, angoli, parallelismi, simmetrie — e le relazioni con altre figure.
Attenzione!
Attenzione: spazio fisico e spazio geometrico. Lo spazio euclideo è un modello matematico dello spazio fisico, non lo spazio fisico stesso. La fisica del XX secolo (relatività generale) ha mostrato che lo spazio in cui viviamo non è esattamente euclideo: in presenza di masse esso si curva. Tuttavia, su scale ordinarie le deviazioni sono talmente piccole da non essere percepibili, e l’approssimazione euclidea resta lo strumento principale dell’ingegneria, dell’architettura e della fisica classica.
Una teoria assiomatica si articola sempre nei medesimi quattro elementi.
Il punto delicato di tutta la costruzione è il legame fra l’esperienza e la teoria. La nostra intuizione di punto, retta e piano nasce dall’osservazione del mondo: i bordi degli oggetti, i raggi di luce, le superfici lisce. Ma una volta scelti gli assiomi, la teoria procede in modo indipendente dall’esperienza: un teorema di geometria si dimostra ragionando, non misurando.
Esempio 28.1 — Metodo induttivo e metodo deduttivo a confronto
Si vuole stabilire la proprietà: “la somma degli angoli interni di un triangolo vale \(180\,{^\circ }\)”.
Solo il secondo approccio offre una garanzia logica. Il primo è una conferma sperimentale, utile come motivazione e come verifica, ma non come dimostrazione.
La sistemazione assiomatica della geometria che useremo in questa dispensa risale a Euclide di Alessandria, vissuto attorno al \(300\) a.C. La sua opera, gli Elementi, è una raccolta in \(13\) libri che comprende non solo la geometria piana e solida, ma anche la teoria dei rapporti e dei numeri.
Gli Elementi aprono con un elenco di \(23\) definizioni (la prima recita: “punto è ciò che non ha parti”), seguite da \(5\) postulati (specifici della geometria) e da \(5\) nozioni comuni (di carattere logico generale, come “cose uguali a una stessa cosa sono uguali fra loro”). Da questo nucleo si deducono, in modo strettamente concatenato, oltre \(400\) proposizioni.
L’opera di Euclide ha rappresentato per oltre duemila anni il modello stesso di trattato scientifico. Ancora nell’Ottocento i ginnasi e i licei europei la usavano come libro di testo. Solo alla fine del XIX secolo il matematico tedesco David Hilbert (\(1862\)–\(1943\)) propose una nuova sistemazione, pubblicata nel \(1899\) con il titolo Grundlagen der Geometrie, che sostituiva le definizioni euclidee dei concetti primitivi con un puro elenco di assiomi: per lui non importava che cosa sono punti, rette e piani, ma soltanto quali regole rispettano. Lo disse con una battuta rimasta famosa: si dovrebbe sempre poter dire “tavoli, sedie e boccali di birra” al posto di “punti, rette e piani”.
Esempio 28.2 — Lo schema di un libro degli Elementi
Il primo libro degli Elementi di Euclide è dedicato alla geometria del triangolo e culmina con il teorema di Pitagora (Proposizione \(47\)). Per arrivare a quel risultato, Euclide dimostra in successione \(46\) proposizioni precedenti, ognuna delle quali si appoggia esclusivamente sui postulati o su proposizioni già dimostrate. Questo concatenamento rigoroso è ciò che ha reso gli Elementi un modello di chiarezza logica.
Esempio 28.3 — Posizioni reciproche di due rette nel piano
Determiniamo, sulla base della sola intuizione, in quanti modi due rette \(r\) e \(s\) possono disporsi in uno stesso piano e quanti punti di intersezione possono avere.
Esistono solo tre casi possibili.
Il fatto che non possano esistere altre situazioni — in particolare, che due rette distinte non possano avere “due o tre” punti in comune — discende dall’assioma secondo cui per due punti distinti passa una e una sola retta: se \(r\) e \(s\) avessero due punti in comune \(P\) e \(Q\), dovrebbero coincidere.
Esempio 28.4 — Quanti piani per due rette incidenti?
Mostriamo intuitivamente che, date due rette \(r\) e \(s\) incidenti in un punto \(P\), esiste uno e un solo piano che le contiene entrambe.
Scegliamo un punto \(A\) su \(r\) e un punto \(B\) su \(s\), entrambi distinti da \(P\). I tre punti \(P\), \(A\), \(B\) non sono allineati: se lo fossero, \(A\) e \(B\) giacerebbero sulla retta \(PA = r\), e quindi \(B\) apparterrebbe a \(r\); ma \(B\) appartiene anche a \(s\), perciò \(B\) sarebbe un secondo punto comune a \(r\) e \(s\) oltre a \(P\), e le due rette dovrebbero coincidere — contro l’ipotesi. Per i tre punti non allineati \(P\), \(A\), \(B\) esiste allora uno e un solo piano \(\alpha \), che contiene le rette \(PA = r\) e \(PB = s\).
Esercizio 28.1
Riepilogo
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