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Capitolo 27
Sistemi lineari di tre o più equazioni

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L’arte di risolvere un sistema lineare consiste nel ridurlo, riga dopo riga, finché non resta che una sola equazione semplice.”

— adattamento da Carl Friedrich Gauss, Theoria motus corporum coelestium (1809)

____________________________________________________________________________________

27.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo 26 abbiamo studiato i sistemi lineari di due equazioni in due incognite, con i tre metodi classici di sostituzione, riduzione e confronto, e con la regola di Cramer per \(2\times 2\).

I problemi reali, però, raramente si esprimono con due sole equazioni: in cinetica chimica i bilanci di massa di una reazione coinvolgono spesso quattro o cinque specie; in statica un’asta in equilibrio dà tre equazioni (somma delle forze in \(x\), in \(y\) e dei momenti); nell’ingegneria elettrica le leggi di Kirchhoff producono sistemi con tante incognite quanti sono i lati indipendenti del circuito. La generalizzazione naturale è dunque un sistema di \(n\) equazioni in \(n\) incognite.

In questo capitolo studiamo i sistemi lineari \(3\times 3\): i metodi di sostituzione e riduzione (eliminazione gaussiana), il calcolo del determinante di una matrice \(3\times 3\) con la regola di Sarrus, e la regola di Cramer generalizzata. Daremo poi un cenno a sistemi più grandi e al concetto di matrice associata, che approfondiremo in geometria analitica nel capitolo 116.

27.2 Sistemi di tre equazioni in tre incognite

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Definizione 27.1 — Sistema lineare \(3\times 3\)

Un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ha la forma

\[ \begin {cases} a_{11}\,x + a_{12}\,y + a_{13}\,z = b_1 \\ a_{21}\,x + a_{22}\,y + a_{23}\,z = b_2 \\ a_{31}\,x + a_{32}\,y + a_{33}\,z = b_3 \end {cases} \]

dove \(a_{ij}, b_i\in \mathbb{R} \) sono i coefficienti e \(x,y,z\) sono le incognite. Una soluzione del sistema è una terna ordinata \((x_0, y_0, z_0)\) che soddisfa tutte e tre le equazioni simultaneamente.

Definizione 27.2 — Classificazione

Come per i sistemi \(2\times 2\), un sistema lineare può essere:

Nota  — Lettura geometrica

Ogni equazione lineare in tre variabili rappresenta un piano nello spazio (lo vedremo nel capitolo 117). Risolvere un sistema \(3\times 3\) equivale a cercare l’intersezione di tre piani:

[Picture]

Figura 27.1: Lettura geometrica di un sistema \(3\times 3\): tre piani nello spazio. Tre casi tipici: (a) i piani si intersecano in un solo punto (soluzione unica); (b) due piani paralleli rendono impossibile l’intersezione comune; (c) i tre piani condividono una retta (infinite soluzioni, una per ogni punto della retta).

27.3 Metodo di sostituzione

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L’idea è la stessa del caso \(2\times 2\): si ricava un’incognita da un’equazione e la si sostituisce nelle altre, riducendo passo dopo passo il numero di incognite.

Procedura  — Metodo di sostituzione per \(3\times 3\)

1.
Da una delle equazioni si ricava un’incognita (per esempio \(x\)) in funzione delle altre due.
2.
Si sostituisce nell’espressione delle altre due equazioni, ottenendo un sistema \(2\times 2\) nelle incognite rimanenti (\(y, z\)).
3.
Si risolve il sistema \(2\times 2\) (con qualunque dei metodi del capitolo 26).
4.
Si sostituiscono i valori trovati nell’espressione di \(x\) per chiudere il calcolo.

Esempio 27.1 — Sostituzione passo passo

Risolvere \(\begin {cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end {cases}\).

Soluzione. Dalla prima equazione: \(x = 6 - y - z\). Sostituiamo nelle altre due:

\[ \begin {cases} (6-y-z) - y + 2z = 5 \\ 2(6-y-z) + y - z = 1 \end {cases} \iff \begin {cases} -2y + z = -1 \\ -y - 3z = -11 \end {cases} \]

È un sistema \(2\times 2\) in \(y, z\). Per sostituzione: dalla prima \(z = 2y - 1\). Sostituendo nella seconda:

\[ -y - 3(2y - 1) = -11 \iff -y - 6y + 3 = -11 \iff -7y = -14 \iff y = 2. \]

Allora \(z = 2(2) - 1 = 3\) e \(x = 6 - 2 - 3 = 1\).

Soluzione: \((x, y, z) = (1, 2, 3)\). Verifica: \(1+2+3=6\) \(\checkmark\); \(1-2+6=5\) \(\checkmark\); \(2+2-3=1\) \(\checkmark\).

27.4 Metodo di riduzione

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Il metodo di riduzione (o eliminazione gaussiana) procede combinando linearmente le equazioni per eliminare via via le incognite. È sistematico e si presta bene a sistemi più grandi.

Procedura  — Eliminazione gaussiana

1.
Si scrive il sistema in forma ordinata.
2.
Si elimina una incognita (di solito \(x\)) dalle equazioni 2 e 3, sommando o sottraendo multipli dell’equazione 1.
3.
Si ottiene un sistema \(2\times 2\) in \(y\) e \(z\) (le equazioni 2 e 3 modificate). Si elimina \(y\) dalla terza equazione, sommando o sottraendo un multiplo della seconda.
4.
Si ottiene un’equazione in una sola incognita (\(z\)), si risolve, e si torna indietro: \(y\) dalla seconda, poi \(x\) dalla prima. È il cosiddetto “ritorno all’indietro” (back substitution).

Esempio 27.2 — Riduzione passo passo

Risolvere \(\begin {cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end {cases}\) (lo stesso di prima).

Soluzione. Passo 1: eliminiamo \(x\) dalle equazioni 2 e 3.

Il sistema diventa

\[ \begin {cases} x + y + z = 6 \\ -2y + z = -1 \\ -y - 3z = -11 \end {cases} \]

Passo 2: eliminiamo \(y\) dalla terza equazione. Moltiplichiamo la terza per \(-2\) e sottraiamo (o equivalentemente: terza \(\cdot 2\) \(-\) seconda):

\[ \text {terza}\cdot 2 - \text {seconda}: \quad (-2y - 6z) - (-2y + z) = -22 - (-1) \iff -7z = -21 \iff z = 3. \]

Passo 3 (ritorno all’indietro): da \(-2y+z=-1\) con \(z=3\): \(-2y=-4 \Rightarrow y=2\). Da \(x+y+z=6\) con \(y=2, z=3\): \(x = 1\).

Soluzione: \((1, 2, 3)\) — coerente con il metodo precedente.

Nota  — Forma a scala

L’obiettivo dell’eliminazione è ridurre la matrice dei coefficienti a una forma “a scala” triangolare:

\[ \begin {pmatrix} \boxed {*} & * & * & \mid * \\ 0 & \boxed {*} & * & \mid * \\ 0 & 0 & \boxed {*} & \mid * \end {pmatrix}, \]

dove i pivot (gli elementi nei riquadri) sono non nulli. La fase “in avanti” produce la forma a scala; la fase “all’indietro” risolve per ciascuna incognita partendo dall’ultima. Questo metodo si generalizza a sistemi \(n\times n\) ed è la base di tutti gli algoritmi numerici per risolvere sistemi lineari su computer.

27.5 Determinanti di matrici 3×3

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Per estendere la regola di Cramer ai sistemi \(3\times 3\) ci serve il determinante di una matrice \(3\times 3\). Nel capitolo 26 abbiamo visto quello \(2\times 2\):

\[ \det \begin {pmatrix} a & b \\ c & d \end {pmatrix} = ad - bc. \]

Per le matrici \(3\times 3\) c’è una formula altrettanto compatta, nota come regola di Sarrus.

Definizione 27.3 — Determinante \(3\times 3\), regola di Sarrus

Data la matrice

\[ A = \begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end {pmatrix}, \]

il suo determinante è

\begin{align*} \det A = \;& a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} \\ & - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}. \end{align*}

Procedura  — Regola di Sarrus in pratica

Si scrivono le prime due colonne della matrice di nuovo a destra:

\[ \begin {array}{|ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end {array} \]

Si sommano i prodotti delle tre diagonali “discendenti” (\(a_{11}a_{22}a_{33}\), \(a_{12}a_{23}a_{31}\), \(a_{13}a_{21}a_{32}\)) e si sottraggono i prodotti delle tre diagonali “ascendenti” (\(a_{13}a_{22}a_{31}\), \(a_{11}a_{23}a_{32}\), \(a_{12}a_{21}a_{33}\)).

[Picture]

Figura 27.2: Regola di Sarrus per il determinante \(3\times 3\). Si ripetono le prime due colonne a destra; si sommano i prodotti delle tre diagonali discendenti (in blu) e si sottraggono i prodotti delle tre diagonali ascendenti (in rosso).

Attenzione!  — Solo per \(3\times 3\)

La regola di Sarrus funziona esclusivamente per matrici \(3\times 3\). Per matrici più grandi si usano metodi diversi (sviluppo di Laplace, eliminazione gaussiana modificata) che vedremo in eventuale corso superiore.

Esempio 27.3 — Calcolo di un determinante

Calcolare \(\det \begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end {pmatrix}\).

Soluzione.

\(\det = 40 - 39 = 1\).

27.6 Cramer per sistemi 3×3

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La regola di Cramer si generalizza al caso \(3\times 3\) con la stessa idea: sostituire la colonna dei coefficienti dell’incognita cercata con la colonna dei termini noti.

Teorema 27.1 — Regola di Cramer per sistemi \(3\times 3\)

Dato il sistema

\[ \begin {cases} a_{11}\,x + a_{12}\,y + a_{13}\,z = b_1 \\ a_{21}\,x + a_{22}\,y + a_{23}\,z = b_2 \\ a_{31}\,x + a_{32}\,y + a_{33}\,z = b_3 \end {cases} \]

con matrice dei coefficienti \(A = (a_{ij})\), sia \(D=\det A\).

\[ x = \dfrac {D_x}{D},\quad y = \dfrac {D_y}{D},\quad z = \dfrac {D_z}{D} \qquad (D\neq 0). \]

Esempio 27.4 — Cramer su un esempio

Risolvere con Cramer \(\begin {cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end {cases}\).

Soluzione.

Da cui \(x = \tfrac {7}{7}=1\), \(y = \tfrac {14}{7}=2\), \(z = \tfrac {21}{7}=3\). Risultato: \((1, 2, 3)\) — coerente con i metodi precedenti.

Nota  — Quando conviene Cramer

Cramer è elegante e dà la soluzione in forma “chiusa”, ma richiede di calcolare quattro determinanti \(3\times 3\). Per i conti manuali è spesso più rapido il metodo di riduzione, che richiede meno operazioni. Cramer rimane utilissimo per studiare quando un sistema è risolvibile in funzione di parametri (analisi parametrica).

27.7 Esempi svolti

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Esempio 27.5 — Sistema determinato

Risolvere \(\begin {cases} 2x + y - z = 4 \\ x - y + z = 1 \\ x + 2y + z = 7 \end {cases}\) con il metodo di riduzione.

Soluzione. Sommiamo le prime due: \((2x+y-z)+(x-y+z) = 4+1 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \tfrac {5}{3}\).

Sommiamo equazione 2 ed equazione 3: \((x-y+z)+(x+2y+z) = 1+7 \Rightarrow 2x + y + 2z = 8\). Sostituendo \(x=\tfrac {5}{3}\): \(\tfrac {10}{3} + y + 2z = 8 \Rightarrow y + 2z = \tfrac {14}{3}\).

Sottraiamo equazione 2 da equazione 3: \((x+2y+z) - (x-y+z) = 7-1 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2\).

Da \(y + 2z = \tfrac {14}{3}\): \(2z = \tfrac {14}{3} - 2 = \tfrac {8}{3} \Rightarrow z = \tfrac {4}{3}\).

Soluzione: \(\left (\tfrac {5}{3}, 2, \tfrac {4}{3}\right )\). Verifica nella prima equazione: \(2\cdot \tfrac {5}{3} + 2 - \tfrac {4}{3} = \tfrac {10}{3} + 2 - \tfrac {4}{3} = \tfrac {10-4}{3} + 2 = 2 + 2 = 4\). \(\checkmark\)

Esempio 27.6 — Sistema impossibile

Risolvere \(\begin {cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 5 \\ x + y - z = 0 \end {cases}\).

Soluzione. La seconda equazione è il doppio della prima nei coefficienti: ma il termine noto non lo è (\(2\cdot 1 = 2 \neq 5\)). Quindi prima e seconda equazione sono incompatibili: se \(x+y+z=1\), allora \(2(x+y+z)=2\neq 5\). Sistema impossibile, nessuna soluzione.

Esempio 27.7 — Sistema indeterminato

Risolvere \(\begin {cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ 3x + 0y + 2z = 5 \end {cases}\).

Soluzione. Notiamo che la terza equazione è la somma delle prime due: \((x+y+z)+(2x-y+z) = 3x+2z = 3+2 = 5\). \(\checkmark\)Quindi la terza non porta informazione nuova: il sistema ha due equazioni indipendenti in tre incognite, e quindi infinite soluzioni dipendenti da un parametro.

Parametrizziamo: poniamo \(z = t\) (parametro libero). Dalle prime due:

\[ \begin {cases} x + y = 3 - t \\ 2x - y = 2 - t \end {cases} \]

Sommando: \(3x = 5 - 2t \Rightarrow x = \tfrac {5-2t}{3}\). Da cui \(y = 3 - t - x = 3 - t - \tfrac {5-2t}{3} = \tfrac {9 - 3t - 5 + 2t}{3} = \tfrac {4 - t}{3}\).

Soluzioni: \(\left (\tfrac {5-2t}{3},\ \tfrac {4-t}{3},\ t\right )\) per ogni \(t\in \mathbb{R} \). Una intera retta nello spazio.

Esempio 27.8 — Cramer con determinante zero

Considera il sistema \(\begin {cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + 4y + 6z = 2 \\ x + y + z = 0 \end {cases}\). Verificare con Cramer che è indeterminato.

Soluzione. Le prime due righe sono proporzionali (la seconda è il doppio della prima), e i termini noti pure (\(1\) e \(2\)): l’equazione 2 non porta informazione. \(D=0\) (due righe proporzionali implicano determinante nullo).

\[ D_x = \det \begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end {pmatrix} = 0 \]

(stesse due righe proporzionali). Idem \(D_y, D_z = 0\). Sistema indeterminato. (Per descrivere le soluzioni si parametrizza, come nell’esempio precedente.)

Esempio 27.9 — Problema applicativo

Tre fratelli hanno in totale \(84\) figurine. Anna ha il doppio di Bruno; Carla ne ha \(12\) più di Bruno. Quante figurine ha ciascuno?

Soluzione. Siano \(a, b, c\) le figurine di Anna, Bruno, Carla. Il sistema è

\[ \begin {cases} a + b + c = 84 \\ a = 2b \\ c = b + 12 \end {cases} \]

Sostituendo nella prima: \(2b + b + (b+12) = 84 \Rightarrow 4b = 72 \Rightarrow b = 18\). Allora \(a = 36\), \(c = 30\). Verifica: \(36+18+30=84\). \(\checkmark\)

27.8 Esercizi proposti

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Esercizio 27.1

1.
Calcola con la regola di Sarrus: (a) \(\det \begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end {pmatrix}\); (b) \(\det \begin {pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end {pmatrix}\); (c) \(\det \begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end {pmatrix}\) in funzione di \(a,b,c\).
2.
Risolvi con il metodo di sostituzione: (a) \(\begin {cases} x + y - z = 2 \\ 2x - y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 11 \end {cases}\); (b) \(\begin {cases} x + y + z = 0 \\ x - 2y + z = -3 \\ 2x + y - 3z = 5 \end {cases}\).
3.
Risolvi con il metodo di riduzione: (a) \(\begin {cases} x + 2y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ -x + y - z = -2 \end {cases}\); (b) \(\begin {cases} 3x - y + 2z = 7 \\ x + 2y - z = 0 \\ 2x + y + z = 5 \end {cases}\).
4.
Risolvi con Cramer: (a) \(\begin {cases} x + y + z = 4 \\ 2x - y + z = 1 \\ x + 2y - z = 2 \end {cases}\); (b) \(\begin {cases} 2x + y = 5 \\ x - z = -1 \\ y + 2z = 5 \end {cases}\) (occhio alle equazioni con coefficienti nulli).
5.
Studia il tipo del sistema (determinato/impossibile/indeterminato): (a) \(\begin {cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 6 \\ x - y + z = 1 \end {cases}\); (b) \(\begin {cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 2y - 2z = 0 \\ x - y + z = 2 \end {cases}\).
6.
Problemi: (a) La somma di tre numeri è \(20\). Il primo è il triplo del secondo, e il terzo è la differenza del primo meno il secondo. Trovali. (b) Un’auto, una moto e una bicicletta percorrono insieme \(150\) km in un’ora; l’auto fa il triplo della moto, la moto fa il doppio della bicicletta. Quanto fa ciascun mezzo?
7.
(Discussione.) Mostra, in generale, che un sistema lineare \(n\times n\) con due equazioni proporzionali nei coefficienti (e con termini noti coerenti) è indeterminato; se i termini noti non sono coerenti, è impossibile.

27.9 Riepilogo del capitolo

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