116 Vettori nello spazio: prodotto scalare e vettoriale

“

Un vettore nello spazio ha tre componenti, e quindi tre dimensioni in cui muoversi. Le operazioni che lo coinvolgono si raddoppiano: oltre al prodotto scalare (che restituisce un numero, indipendente dalla dimensione), nello spazio compare il prodotto vettoriale, che a due vettori associa un terzo vettore, perpendicolare a entrambi. Una nuova operazione, una novità della tridimensionalità.”

— Adattato da Josiah Willard Gibbs, Vector Analysis (1881) — prima trattazione moderna del calcolo vettoriale tridimensionale, con la notazione che usiamo ancora oggi

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116.1 Introduzione motivazionale

I vettori nel piano (cap. 73 e seguenti) si sono rivelati uno strumento potente per descrivere spostamenti, forze, velocità. Nello spazio aggiungiamo una terza componente: un vettore \(\vec {v}\) di \(\mathbb{R} ^3\) ha tre numeri \((v_1, v_2, v_3)\).

Le operazioni di base — somma, prodotto per scalare, modulo — si generalizzano in modo immediato. Ma nello spazio nasce una nuova operazione, il prodotto vettoriale, che non esiste nel piano: a due vettori associa un terzo vettore, perpendicolare a entrambi.

Il prodotto vettoriale è centrale in fisica (momento angolare, forza di Lorentz, lavoro torsionale), in cinematica del moto rotatorio, e in computer grafica (calcolo delle normali alle superfici per illuminazione). In matematica, è lo strumento per esprimere parallelismo, perpendicolarità, equazioni di piani.

116.2 Vettori nello spazio: componenti

Definizione 116.1 — Vettore in \(\mathbb{R} ^3\)

Un vettore nello spazio è una terna ordinata di numeri reali \(\vec {v} = (v_1, v_2, v_3)\). I tre numeri si chiamano componenti (o coordinate) del vettore.

Notazione. Useremo la notazione \(\vec {v}\) (freccia sopra) o, in alternativa, \(\mathbf {v}\) (grassetto). Per le componenti scriveremo equivalentemente \(\vec {v} = (v_1, v_2, v_3)\) oppure \(\vec {v} = v_1 \hat {i} + v_2 \hat {j} + v_3 \hat {k}\), dove \(\hat {i}, \hat {j}, \hat {k}\) sono i versori degli assi (cap. 115).

Vettore associato a un segmento orientato

Dati due punti \(A = (x_A, y_A, z_A)\) e \(B = (x_B, y_B, z_B)\), il vettore \(\vec {AB}\) (segmento orientato da \(A\) a \(B\)) ha componenti:

Modulo di un vettore

Definizione 116.2 — Modulo o norma

Il modulo (o norma, o lunghezza) di un vettore \(\vec {v} = (v_1, v_2, v_3)\) è

\[ |\vec {v}| = \sqrt {v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}. \]

Versore di un vettore

Dato un vettore \(\vec {v} \ne \vec {0}\), il suo versore (vettore unitario nella stessa direzione) è

116.3 Operazioni con vettori

Somma di vettori

Somma: dati \(\vec {u} = (u_1, u_2, u_3)\) e \(\vec {v} = (v_1, v_2, v_3)\),

\[ \vec {u} + \vec {v} = (u_1 + v_1, \, u_2 + v_2, \, u_3 + v_3). \]

Proprietà: commutativa (\(\vec {u} + \vec {v} = \vec {v} + \vec {u}\)), associativa, elemento neutro \(\vec {0} = (0,0,0)\), opposto \(-\vec {v} = (-v_1, -v_2, -v_3)\).

Prodotto per scalare

Prodotto per scalare: dato \(\lambda \in \mathbb{R} \) e \(\vec {v} = (v_1, v_2, v_3)\),

\[ \lambda \vec {v} = (\lambda v_1, \, \lambda v_2, \, \lambda v_3). \]

Combinazione lineare

Un’espressione del tipo \(\lambda \vec {u} + \mu \vec {v} + \nu \vec {w}\) con \(\lambda , \mu , \nu \in \mathbb{R} \) si chiama combinazione lineare dei vettori \(\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}\).

Decomposizione canonica: ogni vettore \(\vec {v} = (v_1, v_2, v_3)\) si scrive come combinazione lineare dei versori degli assi:

\[ \vec {v} = v_1 \hat {i} + v_2 \hat {j} + v_3 \hat {k}. \]

Parallelismo

Vettori paralleli: \(\vec {u}\) e \(\vec {v}\) (non nulli) sono paralleli (\(\vec {u} \parallel \vec {v}\)) se esiste \(\lambda \in \mathbb{R} \) con \(\vec {u} = \lambda \vec {v}\).

Equivalentemente: le loro componenti sono proporzionali:

\[ \frac {u_1}{v_1} = \frac {u_2}{v_2} = \frac {u_3}{v_3} \]

(dove ogni rapporto è ben definito).

116.4 Prodotto scalare

Definizione 116.3 — Prodotto scalare

Dati \(\vec {u} = (u_1, u_2, u_3)\) e \(\vec {v} = (v_1, v_2, v_3)\), il prodotto scalare (o prodotto interno) è il numero reale

\[ \vec {u} \cdot \vec {v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3. \]

Nome. Si chiama “scalare” perché il risultato non è un vettore ma uno scalare (un numero reale).

Interpretazione geometrica

Prodotto scalare e angolo: per ogni \(\vec {u}, \vec {v}\) non nulli,

\[ \vec {u} \cdot \vec {v} = |\vec {u}| \, |\vec {v}| \cos \theta , \]

dove \(\theta \in [0, \pi ]\) è l’angolo fra i due vettori.

Dimostrazione (cenno). Si parte dal teorema del coseno (cap. 107) applicato al triangolo formato dai vettori \(\vec {u}, \vec {v}, \vec {v}-\vec {u}\):

Espandendo \(|\vec {v}-\vec {u}|^2\) in componenti e semplificando si ottiene la formula.

Conseguenze

Criterio di perpendicolarità:

\[ \vec {u} \perp \vec {v} \iff \vec {u} \cdot \vec {v} = 0 \]

(per \(\vec {u}, \vec {v} \ne \vec {0}\)). In particolare \(\hat {i} \cdot \hat {j} = \hat {j} \cdot \hat {k} = \hat {i} \cdot \hat {k} = 0\).

Modulo da prodotto scalare:

\[ |\vec {v}|^2 = \vec {v} \cdot \vec {v}. \]

Proprietà del prodotto scalare

Per ogni \(\vec {u}, \vec {v}, \vec {w} \in \mathbb{R} ^3\) e \(\lambda \in \mathbb{R} \):

simmetria: \(\vec {u} \cdot \vec {v} = \vec {v} \cdot \vec {u}\);
distributività: \(\vec {u} \cdot (\vec {v} + \vec {w}) = \vec {u} \cdot \vec {v} + \vec {u} \cdot \vec {w}\);
omogeneità: \((\lambda \vec {u}) \cdot \vec {v} = \lambda (\vec {u} \cdot \vec {v})\);
positività: \(\vec {v} \cdot \vec {v} \ge 0\), con uguaglianza \(\iff \vec {v} = \vec {0}\).

Proiezione di un vettore su un altro

Proiezione scalare di \(\vec {u}\) lungo la direzione di \(\vec {v}\):

\[ \text {proj}_{\vec {v}}(\vec {u}) = \frac {\vec {u} \cdot \vec {v}}{|\vec {v}|}. \]

È la lunghezza segnata (positiva o negativa) della proiezione di \(\vec {u}\) su \(\vec {v}\).

Proiezione vettoriale di \(\vec {u}\) su \(\vec {v}\):

\[ \vec {\text {proj}}_{\vec {v}}(\vec {u}) = \frac {\vec {u} \cdot \vec {v}}{|\vec {v}|^2} \vec {v}. \]

116.5 Prodotto vettoriale

Definizione 116.4 — Prodotto vettoriale

Dati \(\vec {u} = (u_1, u_2, u_3)\) e \(\vec {v} = (v_1, v_2, v_3)\), il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) \(\vec {u} \times \vec {v}\) è il vettore

\[ \vec {u} \times \vec {v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1). \]

Proprietà geometriche

Proprietà cardinali del prodotto vettoriale:

\(\vec {u} \times \vec {v}\) è perpendicolare sia a \(\vec {u}\) sia a \(\vec {v}\);
\(|\vec {u} \times \vec {v}| = |\vec {u}| \, |\vec {v}| \operatorname{sen} \theta \), dove \(\theta \in [0, \pi ]\) è l’angolo fra i due vettori; questo è il modulo dell’area del parallelogramma costruito su \(\vec {u}\) e \(\vec {v}\);
il verso di \(\vec {u} \times \vec {v}\) è dato dalla regola della mano destra: pollice \(= \vec {u}\), indice \(= \vec {v}\), medio \(= \vec {u} \times \vec {v}\).

Caso particolare: \(\vec {u} \times \vec {v} = \vec {0}\) se e solo se \(\vec {u}\) e \(\vec {v}\) sono paralleli (incluso il caso in cui uno è nullo). Da qui un criterio operativo:

Proprietà algebriche

Per ogni \(\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}\) e \(\lambda \):

anticommutatività: \(\vec {u} \times \vec {v} = -\vec {v} \times \vec {u}\);
distributività: \(\vec {u} \times (\vec {v} + \vec {w}) = \vec {u} \times \vec {v} + \vec {u} \times \vec {w}\);
omogeneità: \((\lambda \vec {u}) \times \vec {v} = \lambda (\vec {u} \times \vec {v})\);
\(\vec {u} \times \vec {u} = \vec {0}\);
non associativo: in generale \((\vec {u} \times \vec {v}) \times \vec {w} \ne \vec {u} \times (\vec {v} \times \vec {w})\).

Versori degli assi

Tabella dei prodotti vettoriali fra versori:

\[ \hat {i} \times \hat {j} = \hat {k}, \qquad \hat {j} \times \hat {k} = \hat {i}, \qquad \hat {k} \times \hat {i} = \hat {j}, \]

\[ \hat {j} \times \hat {i} = -\hat {k}, \qquad \hat {k} \times \hat {j} = -\hat {i}, \qquad \hat {i} \times \hat {k} = -\hat {j}, \]

\[ \hat {i} \times \hat {i} = \hat {j} \times \hat {j} = \hat {k} \times \hat {k} = \vec {0}. \]

Schema mnemonico. Disponendo \(\hat {i}, \hat {j}, \hat {k}\) in ciclo, il prodotto di due consecutivi (in senso ciclico) dà il successivo; in senso anticiclico dà l’opposto.

116.6 Prodotto misto e applicazioni

Definizione 116.5 — Prodotto misto

Dati tre vettori \(\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}\), il prodotto misto è lo scalare

\[ [\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}] = \vec {u} \cdot (\vec {v} \times \vec {w}). \]

Calcolo con il determinante

\[ [\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}] = \det \begin {pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end {pmatrix}. \]

Interpretazione geometrica

Volume del parallelepipedo: il valore assoluto del prodotto misto è il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori \(\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}\) con un vertice comune:

\[ V = |[\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}]|. \]

Volume del tetraedro: il tetraedro con un vertice comune e gli altri tre alle estremità dei vettori ha volume:

\[ V_{\text {tetraedro}} = \frac {1}{6} |[\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}]|. \]

(Un tetraedro è \(1/6\) del parallelepipedo associato.)

Complanarità

Criterio di complanarità: tre vettori \(\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}\) sono complanari (cioè giacciono in uno stesso piano) se e solo se

\[ [\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}] = 0. \]

Geometria. Tre vettori complanari “schiacciano” il parallelepipedo a volume zero.

Proprietà del prodotto misto

Permutazione ciclica (invariante): \([\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}] = [\vec {v}, \vec {w}, \vec {u}] = [\vec {w}, \vec {u}, \vec {v}]\);
Permutazione anticiclica (cambia segno): \([\vec {v}, \vec {u}, \vec {w}] = -[\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}]\);
Nullità: \([\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}] = 0 \iff \) vettori complanari.

116.7 Esempi svolti

Esempio 116.1 — Prodotto scalare e angolo

Calcolare l’angolo fra \(\vec {u} = (1, 2, 3)\) e \(\vec {v} = (4, 5, 6)\).

Prodotto scalare: \(\vec {u} \cdot \vec {v} = 4 + 10 + 18 = 32\).

Moduli: \(|\vec {u}| = \sqrt {14}\), \(|\vec {v}| = \sqrt {77}\).

Coseno: \(\cos \theta = 32/\sqrt {14 \cdot 77} = 32/\sqrt {1078} \approx 0{,}9746\).

Angolo: \(\theta = \arccos (0{,}9746) \approx 12.93°\).

Esempio 116.2 — Verifica di perpendicolarità

Stabilire se i vettori \(\vec {u} = (1, 2, -2)\) e \(\vec {v} = (4, -1, 1)\) sono perpendicolari.

Prodotto scalare: \(\vec {u} \cdot \vec {v} = 4 - 2 - 2 = 0\).

Conclusione: sono perpendicolari (\(\vec {u} \perp \vec {v}\)). \(\checkmark\)

Esempio 116.3 — Prodotto vettoriale e area

Calcolare \(\vec {u} \times \vec {v}\) e l’area del parallelogramma formato da \(\vec {u} = (1, 0, 2)\) e \(\vec {v} = (3, 1, -1)\).

Prodotto vettoriale:

\[ \vec {u} \times \vec {v} = (0 \cdot (-1) - 2 \cdot 1, \, 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1), \, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3) = (-2, 7, 1). \]

Area del parallelogramma: \(|\vec {u} \times \vec {v}| = \sqrt {4 + 49 + 1} = \sqrt {54} = 3\sqrt {6} \approx 7{,}35\).

Verifica perpendicolarità: \(\vec {u} \cdot (\vec {u} \times \vec {v}) = 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 7 + 2 \cdot 1 = 0\). \(\checkmark\)

Esempio 116.4 — Volume del parallelepipedo

Calcolare il volume del parallelepipedo con un vertice nell’origine e gli altri tre adiacenti in \(A = (1, 0, 0)\), \(B = (1, 1, 0)\), \(C = (1, 1, 1)\).

Prodotto misto:

\[ [\vec {OA}, \vec {OB}, \vec {OC}] = \det \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end {pmatrix}. \]

Sviluppando lungo la prima riga: \(1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0 + 0 = 1\).

Volume: \(V = |1| = 1\).

Verifica: in effetti il parallelepipedo è il cubo unitario (in posizione canonica), con volume \(1\).

Esempio 116.5 — Complanarità di tre vettori

Stabilire se i vettori \(\vec {u} = (1, 2, 3)\), \(\vec {v} = (4, 5, 6)\), \(\vec {w} = (7, 8, 9)\) sono complanari.

Determinante:

\[ \det \begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end {pmatrix} = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) = -3 + 12 - 9 = 0. \]

Conclusione: sono complanari.

Verifica: \(\vec {w} = 2\vec {v} - \vec {u}\), quindi \(\vec {w}\) è combinazione lineare di \(\vec {u}\) e \(\vec {v}\), dunque sta nello stesso piano.

Esempio 116.6 — Versore di un vettore e proiezione

Dato \(\vec {u} = (3, 4, 0)\), calcolare il versore \(\hat {u}\) e la proiezione vettoriale di \(\vec {v} = (1, 0, 5)\) su \(\vec {u}\).

Modulo: \(|\vec {u}| = \sqrt {9 + 16} = 5\).

Versore: \(\hat {u} = (3/5, 4/5, 0)\).

Prodotto scalare: \(\vec {v} \cdot \vec {u} = 3 + 0 + 0 = 3\).

Proiezione vettoriale: \(\vec {\text {proj}}_{\vec {u}}(\vec {v}) = (3/25)(3, 4, 0) = (9/25, 12/25, 0)\).

Esempio 116.7 — Area di un triangolo via prodotto vettoriale

Calcolare l’area del triangolo di vertici \(A = (1, 0, 0)\), \(B = (0, 1, 0)\), \(C = (0, 0, 1)\).

Strategia. L’area è metà del modulo del prodotto vettoriale \(\vec {AB} \times \vec {AC}\).

Vettori: \(\vec {AB} = B - A = (-1, 1, 0)\), \(\vec {AC} = C - A = (-1, 0, 1)\).

Prodotto vettoriale:

\[ \vec {AB} \times \vec {AC} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, \; 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1, \; (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) = (1, 1, 1). \]

Modulo: \(|\vec {AB} \times \vec {AC}| = \sqrt {3}\).

Area triangolo: \(A_\triangle = \sqrt {3}/2 \approx 0{,}866\).

116.8 Esercizi proposti

Esercizio 116.1

1.

Calcolare modulo, versore e somma di:

(a): \(\vec {u} = (3, 0, 4)\);
(b): \(\vec {v} = (1, -2, 2)\);
(c): \(\vec {u} + \vec {v}\).

2.

Calcolare il prodotto scalare e l’angolo fra:

(a): \(\vec {u} = (1, 0, 0)\) e \(\vec {v} = (0, 1, 0)\);
(b): \(\vec {u} = (1, 1, 1)\) e \(\vec {v} = (1, 1, 0)\);
(c): \(\vec {u} = (2, -3, 1)\) e \(\vec {v} = (4, 1, -2)\);
(d): \(\vec {u} = (1, 2, 3)\) e \(\vec {v} = (4, -5, 6)\).

3.

Stabilire se i seguenti vettori sono perpendicolari:

(a): \(\vec {u} = (1, 2, 3)\), \(\vec {v} = (3, 0, -1)\);
(b): \(\vec {u} = (2, -1, 3)\), \(\vec {v} = (1, 5, 1)\);
(c): \(\vec {u} = (1, 0, 0)\), \(\vec {v} = (0, 0, 5)\).

4.

Calcolare il prodotto vettoriale:

(a): \(\vec {u} = (1, 0, 0)\), \(\vec {v} = (0, 1, 0)\) (risultato atteso: \(\hat {k}\));
(b): \(\vec {u} = (1, 2, 3)\), \(\vec {v} = (4, 5, 6)\);
(c): \(\vec {u} = (2, -1, 1)\), \(\vec {v} = (1, 0, 3)\);
(d): \(\vec {u} = (1, 1, 1)\), \(\vec {v} = (1, 1, 1)\) (verificare: zero!).

5.

Stabilire se i vettori sono paralleli:

(a): \(\vec {u} = (2, 4, 6)\), \(\vec {v} = (1, 2, 3)\);
(b): \(\vec {u} = (1, 0, 2)\), \(\vec {v} = (3, 0, 6)\);
(c): \(\vec {u} = (1, 1, 1)\), \(\vec {v} = (1, 2, 3)\).

6.

Calcolare l’area del parallelogramma di lati i vettori:

(a): \(\vec {u} = (2, 0, 0)\) e \(\vec {v} = (0, 3, 0)\);
(b): \(\vec {u} = (1, 2, 1)\) e \(\vec {v} = (-1, 1, 2)\);
(c): \(\vec {u} = (3, 0, 4)\) e \(\vec {v} = (0, 5, 0)\).

7.

Calcolare il volume del parallelepipedo costruito su:

(a): \(\vec {u} = (1,0,0)\), \(\vec {v} = (0, 2, 0)\), \(\vec {w} = (0, 0, 3)\) (atteso: \(6\));
(b): \(\vec {u} = (2, 1, 1)\), \(\vec {v} = (1, 3, 1)\), \(\vec {w} = (1, 1, 4)\).

8.

Calcolare il volume del tetraedro di vertici:

(a): \(A = (0,0,0)\), \(B = (1,0,0)\), \(C = (0,1,0)\), \(D = (0,0,1)\);
(b): \(A = (1,1,1)\), \(B = (2,1,1)\), \(C = (1,3,1)\), \(D = (1,1,4)\).

9.

Stabilire se i seguenti vettori sono complanari (e in caso affermativo trovare \(\vec {w}\) come combinazione lineare degli altri):

(a): \(\vec {u} = (1, 0, 0)\), \(\vec {v} = (0, 1, 0)\), \(\vec {w} = (1, 1, 0)\);
(b): \(\vec {u} = (1, 2, 1)\), \(\vec {v} = (2, 1, 1)\), \(\vec {w} = (3, 3, 2)\).

10.

Calcolare la proiezione vettoriale di \(\vec {v} = (1, 2, 3)\) su \(\vec {u} = (1, 0, 0)\). (Risultato: \((1, 0, 0)\).)

11.

Trovare un vettore perpendicolare sia a \(\vec {u} = (1, 1, 0)\) sia a \(\vec {v} = (1, 0, 1)\). (Suggerimento: prodotto vettoriale.)

12.

Mostrare che \(|\vec {u} \times \vec {v}|^2 + (\vec {u} \cdot \vec {v})^2 = |\vec {u}|^2 |\vec {v}|^2\) (identità di Lagrange).

13.

In meccanica, il momento di una forza \(\vec {F}\) applicata in \(P\) rispetto a un punto \(O\) è \(\vec {M} = \vec {OP} \times \vec {F}\). Calcolare il momento per \(\vec {OP} = (1, 0, 0)\) e \(\vec {F} = (0, 1, 0)\).

14.

Mostrare con un controesempio che il prodotto vettoriale non è associativo: \((\vec {u} \times \vec {v}) \times \vec {w} \ne \vec {u} \times (\vec {v} \times \vec {w})\) per qualche scelta dei vettori.

15.

Sfida. Mostrare il teorema delle tre normali: dati tre vettori \(\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}\) non nulli a due a due perpendicolari, allora \(\vec {u} \times \vec {v}\) è parallelo a \(\vec {w}\). (Suggerimento: il prodotto vettoriale è perpendicolare ai due fattori, quindi necessariamente parallelo all’unica direzione perpendicolare a entrambi, che è proprio \(\vec {w}\).)

16.

Sfida (formula di area-superficie del tetraedro). Dato un tetraedro di vertici \(A, B, C, D\), l’area totale della superficie è la somma delle aree delle \(4\) facce. Esprimerla in funzione dei tre vettori spigolo da \(A\): \(\vec {b} = \vec {AB}\), \(\vec {c} = \vec {AC}\), \(\vec {d} = \vec {AD}\).

17.

Sfida fisica (forza di Lorentz). Una carica \(q\) in moto con velocità \(\vec {v}\) in un campo magnetico \(\vec {B}\) subisce la forza di Lorentz \(\vec {F} = q \vec {v} \times \vec {B}\). Per \(q = 1\), \(\vec {v} = (1, 0, 0)\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) e \(\vec {B} = (0, 0, 2)\,{\mathrm{T} }\), calcolare \(\vec {F}\).

116.9 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Vettore in \(\mathbb{R} ^3\): terna ordinata \(\vec {v} = (v_1, v_2, v_3) = v_1 \hat {i} + v_2 \hat {j} + v_3 \hat {k}\).
Modulo: \(|\vec {v}| = \sqrt {v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\).
Operazioni di base: somma componente per componente, prodotto per scalare \(\lambda \vec {v}\), combinazione lineare.
Parallelismo: \(\vec {u} \parallel \vec {v} \iff \vec {u} = \lambda \vec {v}\) per qualche \(\lambda \) (componenti proporzionali).
Prodotto scalare:
\[ \vec {u} \cdot \vec {v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec {u}||\vec {v}| \cos \theta . \]
Criterio di perpendicolarità: \(\vec {u} \perp \vec {v} \iff \vec {u} \cdot \vec {v} = 0\).
Proiezione vettoriale di \(\vec {u}\) su \(\vec {v}\): \((\vec {u} \cdot \vec {v}/|\vec {v}|^2) \vec {v}\).
Prodotto vettoriale:
\[ \vec {u} \times \vec {v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1). \]

Anche calcolabile come “determinante simbolico” con \(\hat {i}, \hat {j}, \hat {k}\) nella prima riga.
Caratterizzazione geometrica del prodotto vettoriale:
- perpendicolare a entrambi i fattori;
- modulo = area del parallelogramma = \(|\vec {u}||\vec {v}|\operatorname{sen} \theta \);
- verso dato dalla regola della mano destra.
Criterio di parallelismo: \(\vec {u} \parallel \vec {v} \iff \vec {u} \times \vec {v} = \vec {0}\).
Anticommutatività: \(\vec {u} \times \vec {v} = -\vec {v} \times \vec {u}\).
Prodotto misto: \([\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}] = \vec {u} \cdot (\vec {v} \times \vec {w}) = \det (\vec {u}, \vec {v}, \vec {w})\).
Significato geometrico: \(|[\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}]| = \) volume del parallelepipedo. Volume tetraedro \(= (1/6)\) del prodotto misto.
Criterio di complanarità: \(\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}\) complanari \(\iff [\vec {u}, \vec {v}, \vec {w}] = 0\).
Nel prossimo capitolo (117) useremo questi strumenti per scrivere le equazioni del piano nello spazio.

Capitolo 116 Vettori nello spazio: prodotto scalare e vettoriale

116.1 Introduzione motivazionale

116.2 Vettori nello spazio: componenti

Vettore associato a un segmento orientato

Modulo di un vettore

Versore di un vettore

116.3 Operazioni con vettori

Somma di vettori

Prodotto per scalare

Combinazione lineare

Parallelismo

116.4 Prodotto scalare

Interpretazione geometrica

Conseguenze

Proprietà del prodotto scalare

Proiezione di un vettore su un altro

116.5 Prodotto vettoriale

Proprietà geometriche

Proprietà algebriche

Versori degli assi

116.6 Prodotto misto e applicazioni

Calcolo con il determinante

Interpretazione geometrica

Complanarità

Proprietà del prodotto misto

116.7 Esempi svolti

116.8 Esercizi proposti

116.9 Riepilogo del capitolo

Capitolo 116
Vettori nello spazio: prodotto scalare e vettoriale