“
La geometria è lo studio delle proprietà di una figura che restano invariate sotto l’azione di un gruppo di
trasformazioni.”
— Felix Klein, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen — Programma di Erlangen (1872)
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Finora abbiamo studiato la geometria delle figure “statiche”: punti, rette, triangoli, fissi nel piano. Adesso introduciamo un punto di vista nuovo: la geometria delle trasformazioni. Una trasformazione del piano è una corrispondenza che a ogni punto \(P\) del piano associa un punto \(P'\) (sua immagine); applicata a una figura, la trasformazione la sposta, la specchia, la ruota, la ingrandisce.
L’idea è antichissima — sta dietro alle costruzioni di Euclide — ma fu Felix Klein, nel 1872 (Programma di Erlangen), a metterla al centro della geometria: ogni “geometria” è caratterizzata dal suo gruppo di trasformazioni e dalle proprietà che esse lasciano invariate. Per la geometria euclidea del piano, il gruppo principale è quello delle isometrie (traslazioni, simmetrie, rotazioni) — trasformazioni che preservano le distanze; per la geometria della similitudine si aggiungono le omotetie (che preservano i rapporti tra lunghezze).
In geometria analitica, ogni trasformazione si descrive con equazioni di trasformazione — formule che danno le coordinate dell’immagine in funzione delle coordinate del punto di partenza:
Per le trasformazioni elementari trattate in questo capitolo le funzioni \(\varphi \) e \(\psi \) sono semplicissime — lineari o affini in \(x, y\).
In questo capitolo:
Definizione 73.1 — Traslazione
La traslazione di vettore \(\vec {v} = (a, b)\) è la trasformazione \(T_{\vec {v}}\) che a ogni punto \(P(x, y)\) associa il punto \(P'(x + a, y + b)\). In formule:
Nota — Proprietà delle traslazioni
Teorema 73.1 — Equazione trasformata di una curva
Sia \(\mathcal {C}\) una curva di equazione \(F(x, y) = 0\), e \(T_{\vec v}\) la traslazione di vettore \(\vec v = (a, b)\). La curva trasformata \(\mathcal {C}' = T_{\vec v}(\mathcal {C})\) ha equazione
Dimostrazione. Un punto \((x', y')\) appartiene a \(\mathcal {C}'\) se e solo se è l’immagine di un punto \((x, y)\in \mathcal {C}\). Dalle formule di trasformazione: \(x = x' - a\), \(y = y' - b\). La condizione \(F(x, y) = 0\) diventa \(F(x' - a,\ y' - b) = 0\). Rinominando \((x', y')\) in \((x, y)\) si ottiene l’enunciato.
Attenzione! — Segno: la traslazione di \(\vec v\) richiede di sostituire \(-\vec v\)
È un punto delicato. Se la curva originale è \(y = x^2\) e la trasliamo del vettore \((2, 3)\), la nuova equazione è \(y - 3 = (x - 2)^2\), non \(y + 3 = (x + 2)^2\). Mnemonico: per spostare a destra, sottrai.
Esempio 73.1 — Traslazione di una parabola
La parabola \(y = x^2\), traslata di \(\vec v = (2, 3)\), diventa \(y - 3 = (x-2)^2\), ovvero \(y = (x-2)^2 + 3\). Il vertice passa da \((0, 0)\) a \((2, 3)\).
Esempio 73.2 — Traslazione di una retta
La retta \(r: 2x - y + 5 = 0\), traslata di \(\vec v = (1, -3)\), diventa: sostituiamo \(x \to x - 1\), \(y \to y + 3\):
La retta trasformata è \(y = 2x\), parallela alla originale (stesso \(m=2\)) ma passante per l’origine.
Definizione 73.2 — Simmetria assiale
La simmetria assiale rispetto a una retta \(r\) (asse della simmetria) è la trasformazione \(S_r\) che a ogni punto \(P\) associa il punto \(P'\) tale che \(r\) sia l’asse del segmento \(\overline {PP'}\) — cioè \(r\) è perpendicolare a \(PP'\) e passa per il suo punto medio.
Equivalentemente: \(P\) e \(P'\) sono equidistanti da \(r\), dalle parti opposte.
Teorema 73.2 — Simmetrie rispetto agli assi e alle bisettrici
Le formule analitiche delle simmetrie rispetto alle quattro rette notevoli sono:
Dimostrazione. Per esempio per l’asse \(x\): \(P(x, y)\) deve avere immagine \(P'\) equidistante dall’asse, dalla parte opposta. Distanza di \(P\) dall’asse \(x\) è \(|y|\); il punto simmetrico ha la stessa ascissa (perché la perpendicolare all’asse \(x\) è verticale) e ordinata opposta. Quindi \(P' = (x, -y)\). Analogo per gli altri casi (verifica per esercizio).
Nota — Simmetria rispetto a una retta orizzontale o verticale generica
(Mnemonico: la coordinata che cambia deve avere come “media” con \(y'\) il valore \(k\) — cioè \(y + y' = 2k\).)
Esempio 73.3 — Simmetria di un punto
Simmetrico di \(P(3, -2)\) rispetto a:
Esempio 73.4 — Curva simmetrica
Trasforma la parabola \(y = (x-1)^2 + 2\) con la simmetria rispetto all’asse \(x\).
Soluzione. La trasformazione è \(x \to x\), \(y \to -y\). Sostituendo \(y \to -y\):
È una parabola rivolta verso il basso, con vertice \((1, -2)\).
Definizione 73.3 — Simmetria centrale
La simmetria centrale rispetto a un punto \(C\) (centro della simmetria) è la trasformazione \(S_C\) che a ogni punto \(P\) associa il punto \(P'\) tale che \(C\) sia il punto medio del segmento \(\overline {PP'}\).
Teorema 73.3 — Formule della simmetria centrale
La simmetria di centro \(C(x_0, y_0)\) trasforma \(P(x, y)\) in
In particolare, rispetto all’origine: \(x' = -x\), \(y' = -y\).
Dimostrazione. Imponendo che \(C\) sia punto medio di \(PP'\): \(x_0 = (x + x')/2\) e \(y_0 = (y + y')/2\), da cui \(x' = 2x_0 - x\) e \(y' = 2y_0 - y\).
Nota — Simmetria centrale come rotazione di 180°
La simmetria centrale di centro \(C\) coincide con la rotazione di \(180°\) attorno a \(C\). Si può ricavare anche come composizione di due simmetrie assiali rispetto a due rette perpendicolari per \(C\).
Esempio 73.5 — Curva simmetrica rispetto all’origine
Trasformare la retta \(y = 2x + 3\) con la simmetria rispetto all’origine.
Soluzione. Sostituiamo \(x \to -x\), \(y \to -y\):
È una retta parallela alla originale, con intercetta opposta. (Curiosità: il punto \((0, 3)\) va in \((0, -3)\).)
Esempio 73.6 — Centro di simmetria di una curva
Verificare che la curva \(y = x^3\) ha l’origine come centro di simmetria: cioè, il simmetrico rispetto all’origine di ogni suo punto è ancora sulla curva.
Soluzione. Punto generico: \((x_0, y_0)\) con \(y_0 = x_0^3\). Simmetrico: \((-x_0, -y_0)\). Sostituiamo nell’equazione: \(-y_0 = (-x_0)^3 = -x_0^3 = -y_0\). \(\checkmark\)
Definizione 73.4 — Rotazione
La rotazione di centro \(O\) e angolo \(\theta \) è la trasformazione che a ogni punto \(P\) associa il punto \(P'\) tale che \(\overline {OP'} = \overline {OP}\) e l’angolo \(\widehat {POP'} = \theta \) (con \(\theta \) orientato in senso antiorario).
Teorema 73.4 — Rotazioni notevoli intorno all’origine
Per un angolo \(\theta \) generico, le formule (più avanzate, dimostrate in trigonometria, 94) sono:
Si verifica facilmente che per \(\theta = 90°\) (\(\cos 90° = 0\), \(\sin 90° = 1\)) si ritrova \(x' = -y\), \(y' = x\).
Esempio 73.7 — Rotazione di un quadrato
Sia \(Q\) il quadrato di vertici \(A(1, 0), B(2, 0), C(2, 1), D(1, 1)\). Trovare l’immagine \(Q'\) per rotazione di \(+90°\) intorno all’origine.
Soluzione. \((x, y) \to (-y, x)\). Quindi:
\(Q'\) è ancora un quadrato congruente al primo, ruotato.
Le trasformazioni viste finora (traslazioni, simmetrie, rotazioni) sono tutte isometrie: conservano le distanze. La prossima famiglia di trasformazioni — le omotetie — non è di isometrie: cambia la scala. Ma conserva le proporzioni e le forme: trasforma una figura in una simile (62).
Definizione 73.5 — Omotetia
L’omotetia di centro \(C\) e rapporto \(k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) è la trasformazione \(H_{C,k}\) che a ogni punto \(P\) associa il punto \(P'\) tale che:
Teorema 73.5 — Formule dell’omotetia
L’omotetia di centro \(C(x_0, y_0)\) e rapporto \(k\) trasforma \(P(x, y)\) in
In particolare, l’omotetia di centro l’origine e rapporto \(k\) è semplicemente \(x' = k x\), \(y' = k y\).
Nota — Proprietà delle omotetie
Esempio 73.8 — Curva trasformata da un’omotetia
Trasformare la circonferenza \(x^2 + y^2 = 9\) (centro origine, raggio \(3\)) con l’omotetia di centro origine e rapporto \(k = 2\).
Soluzione. La trasformazione è \(x' = 2x\), \(y' = 2y\). Per esprimere la nuova curva in \((x', y')\): \(x = x'/2\), \(y = y'/2\). Sostituendo:
È una circonferenza centro origine, raggio \(6 = 2\cdot 3 = |k|\cdot \) raggio originale, come atteso.
Una delle applicazioni più frequenti delle trasformazioni in matematica scolastica è la manipolazione dei grafici di funzioni. A partire dal grafico noto di una funzione \(y = f(x)\), possiamo ottenere il grafico di funzioni “apparentate” tramite poche trasformazioni elementari, senza dover ridisegnare la curva da zero.
Teorema 73.6 — Trasformazioni elementari del grafico
Sia data una funzione \(y = f(x)\) con grafico noto. Allora:
Attenzione! — Segno orizzontale: sottrai per spostare a destra
Le traslazioni verticali sono intuitive (\(+k\) sposta in su); quelle orizzontali hanno il segno apparentemente “invertito”. \(y = f(x-h)\) con \(h > 0\) sposta il grafico a destra di \(h\). Ricordare: per spostare la curva a destra, si scrive “\(x - h\)” nella sua equazione, dove \(h\) è positivo.
Esempio 73.9 — Dal grafico di \(y = x^2\) a quello di \(y = -(x+1)^2 + 4\)
Composizione di tre trasformazioni:
Esempio 73.10 — Valori assoluti
Il grafico di \(y = |x^2 - 1|\) si ottiene dal grafico della parabola \(y = x^2 - 1\) riflettendo verso l’alto le parti che si trovano sotto l’asse \(x\). Risulta una curva con due “picchi” angolosi nei punti \((\pm 1, 0)\).
Esempio 73.11 — Composizione: traslazione + simmetria
Trovare l’immagine di \(P(3, 1)\) dopo la traslazione di \(\vec v = (-1, 2)\) seguita dalla simmetria rispetto all’asse \(x\).
Soluzione. Traslazione: \(P \to (3-1, 1+2) = (2, 3)\). Simmetria rispetto all’asse \(x\): \((2, 3) \to (2, -3)\). Risultato: \((2, -3)\).
Esempio 73.12 — Centro di simmetria di una retta
Trovare il simmetrico della retta \(r: 3x - 2y + 4 = 0\) rispetto al punto \(C(1, 2)\).
Soluzione. La simmetria rispetto a \(C\) è \(x \to 2 - x\), \(y \to 4 - y\). Sostituendo nell’equazione:
ovvero \(3x - 2y - 2 = 0\). (Stesso coefficiente angolare \(m = 3/2\), retta parallela.)
Esempio 73.13 — Punti uniti di una trasformazione
Trovare i punti uniti della simmetria \(S\) rispetto alla retta \(y = x\), cioè i punti tali che \(S(P) = P\).
Soluzione. La simmetria rispetto a \(y = x\) è \((x, y) \to (y, x)\). La condizione \(P = S(P)\) è \((x, y) = (y, x)\), ovvero \(x = y\).
I punti uniti sono tutti i punti della retta \(y = x\), ovvero della stessa retta asse della simmetria. (Naturale: tutti i punti sull’asse di una simmetria sono uniti.)
Esempio 73.14 — Omotetia su un triangolo
Triangolo \(A(1,1), B(4,1), C(2,3)\). Applicare l’omotetia di centro origine e rapporto \(k = 2\).
Soluzione. \((x, y) \to (2x, 2y)\):
Esempio 73.15 — Grafico complesso da elementare
Disegnare il grafico di \(y = 2\sqrt {x-3} + 1\) a partire dal grafico noto di \(y = \sqrt {x}\).
Soluzione. Sequenza di trasformazioni:
Il grafico finale è simile a quello originale ma “alzato” (parte da \((3, 1)\)) e “stirato” verticalmente.
Esercizio 73.1
Riepilogo
Traslazione di vettore \(\vec v = (a, b)\):
Curva trasformata: sostituire \(x \to x - a\), \(y \to y - b\) nell’equazione.
Simmetrie assiali notevoli:
Simmetria centrale di centro \(C(x_0, y_0)\):
Coincide con la rotazione di \(180°\) attorno a \(C\).
Rotazione di angolo \(\theta \) intorno all’origine:
Casi notevoli: \(+90° \to (-y, x)\); \(-90° \to (y, -x)\).
Omotetia di centro \(C\) e rapporto \(k\):
Distanze \(\times |k|\), aree \(\times k^2\). Le omotetie generano similitudini (62).
Trasformazione del grafico di \(y = f(x)\):
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