“
L’area di qualunque cerchio è uguale a quella di un triangolo rettangolo che abbia uno dei cateti pari al raggio
del cerchio e l’altro pari alla sua circonferenza.”
— Archimede, Sulla misura del cerchio, Proposizione 1 (iii sec. a.C.)
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Nei capitoli precedenti abbiamo imparato a calcolare aree e perimetri di figure piane delimitate da segmenti: rettangoli, triangoli, trapezi, poligoni regolari (64). Adesso facciamo un salto qualitativo e ci occupiamo della prima figura piana curva della geometria: il cerchio.
La differenza è sottile ma profonda. La lunghezza di un segmento, o il perimetro di un poligono, si ottengono sommando lunghezze rettilinee; il loro calcolo è una questione di aritmetica elementare. Ma quanto è “lunga” una linea curva? E che area racchiude? La risposta, già intuita da Archimede nel iii sec. a.C., richiede un’idea nuova: passare al limite, approssimando il cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti di numero di lati sempre maggiore.
Da questa idea, sviluppata rigorosamente nel xvii sec. dal calcolo infinitesimale, emerge la costante più famosa della matematica: il numero \(\pi \). Tutte le formule di questo capitolo (lunghezza della circonferenza, area del cerchio, area del settore, lunghezza dell’arco) ruotano attorno a \(\pi \) e al raggio \(r\).
In questo capitolo enunciamo (senza dimostrazione completa) le due formule fondamentali \(C = 2\pi r\) e \(A = \pi r^2\), le motiviamo con il metodo di esaustione di Archimede, e ne deriviamo le formule per archi e settori. Queste formule saranno usate continuamente in geometria solida (volumi di cilindri, coni, sfere) e in geometria analitica (75).
Definizione 65.1 — Numero \(\pi \)
Il numero pi (simbolo \(\pi \)) è il rapporto costante tra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi e il suo diametro:
Il fatto sorprendente è che questo rapporto è lo stesso per ogni cerchio, indipendentemente dalle dimensioni. È un teorema antico — discendente dal fatto che tutti i cerchi sono simili tra loro (62) — e di esso si può dare una dimostrazione rigorosa con il metodo di esaustione.
Il valore di \(\pi \) è
È un numero irrazionale (dimostrato da Lambert, 1761) e perfino trascendente (dimostrato da Lindemann, 1882): non può essere ottenuto come radice di nessuna equazione algebrica a coefficienti razionali. La sua trascendenza implica l’impossibilità della famosa “quadratura del cerchio” con riga e compasso, problema rimasto aperto per duemila anni.
Nota — Cenni storici
Archimede (iii sec. a.C.): con poligoni regolari di \(96\) lati inscritti e circoscritti dimostra
ovvero \(3.1408 < \pi < 3.1429\). Le sue tecniche sono le radici del calcolo integrale moderno.
Nota — Il metodo di esaustione di Archimede
Inscrivendo e circoscrivendo nel cerchio poligoni regolari con sempre più lati, i loro perimetri (rispettivamente per difetto e per eccesso) si avvicinano arbitrariamente alla circonferenza. La stessa cosa vale per le aree. Questa idea — fare un “limite” di poligoni — è la versione greca del moderno passaggio al limite (127).
Teorema 65.1 — Lunghezza della circonferenza
La lunghezza \(C\) di una circonferenza di raggio \(r\) (o, equivalentemente, di diametro \(d = 2r\)) è
Dimostrazione (idea, metodo di esaustione). Sia \(P_n\) il perimetro del poligono regolare con \(n\) lati inscritto nella circonferenza, e \(Q_n\) il perimetro del poligono regolare circoscritto. Per costruzione, \(P_n < C < Q_n\) per ogni \(n\). Si dimostra che entrambe le successioni \(P_n\) e \(Q_n\) tendono allo stesso valore al crescere di \(n\) (vedi 127). Tale valore comune è, per definizione, la lunghezza della circonferenza \(C\). Inoltre il rapporto \(P_n/(2r)\) tende a una costante (lo stesso per tutti i cerchi, per similitudine): tale costante è il numero \(\pi \). Quindi \(C = 2\pi r\).
Esempio 65.1 — Lunghezza di una ruota
La ruota di una bicicletta ha diametro \(70\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Quanto è lunga la sua circonferenza?
Soluzione. \(C = \pi d = \pi \cdot 70 \approx 3.1416\cdot 70 \approx 220\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } = 2.20\,{\mathrm{m} }\).
(Cioè a ogni giro la ruota percorre circa \(2.2\,{\mathrm{m} }\).)
Esempio 65.2 — Raggio dato la circonferenza
Una pista circolare misura \(400\,{\mathrm{m} }\). Qual è il suo raggio?
Soluzione. Da \(C = 2\pi r\) si ricava
Teorema 65.2 — Area del cerchio
L’area \(A\) di un cerchio di raggio \(r\) vale
Dimostrazione (idea, Archimede). Il cerchio si può immaginare come un poligono regolare con infiniti lati infinitamente piccoli: in tale limite l’apotema diventa il raggio (\(a \to r\)) e il semiperimetro diventa metà circonferenza (\(p \to \pi r\)). Applicando la formula dei poligoni regolari \(A = p\cdot a\) (capitolo 64):
Equivalentemente, ricordando la citazione di Archimede in apertura: il cerchio è equivalente a un triangolo rettangolo di cateti \(r\) e \(C = 2\pi r\):
Nota — Cerchio come limite di poligoni regolari
Si può visualizzare la formula così: si scompone il cerchio in \(n\) “spicchi” (settori circolari) molto sottili e li si riallinea alternati a formare una sorta di parallelogramma. Quando \(n\to \infty \), il “parallelogramma” tende a un rettangolo di base \(\pi r\) (metà circonferenza) e altezza \(r\). Area: \(\pi r \cdot r = \pi r^2\).
Esempio 65.3 — Area di un cerchio
Calcolare l’area di un cerchio di raggio \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Soluzione. \(A = \pi r^2 = \pi \cdot 25 \approx 78.54\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).
Esempio 65.4 — Raggio dato l’area
Un cerchio ha area \(200\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\). Calcolare raggio e circonferenza.
Soluzione. \(r = \sqrt {A/\pi } = \sqrt {200/\pi } \approx 7.98\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
\(C = 2\pi r \approx 2\pi \cdot 7.98 \approx 50.13\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Definizione 65.2 — Settore circolare
Si chiama settore circolare la porzione di cerchio compresa tra due raggi e l’arco di circonferenza che essi sottendono. È individuato dal raggio \(r\) e dall’angolo al centro \(\alpha \) (in gradi o radianti).
Definizione 65.3 — Segmento circolare a una base
Si chiama segmento circolare a una base la porzione di cerchio compresa tra una corda e l’arco che essa sottende. È, equivalentemente, il settore circolare meno il triangolo isoscele formato dalla corda e dai due raggi agli estremi.
Teorema 65.3 — Area del settore circolare
L’area di un settore circolare di raggio \(r\) e angolo al centro \(\alpha \) (in gradi) vale
Se l’angolo è espresso in radianti (vedi capitolo 94),
Dimostrazione. L’area del settore è proporzionale all’angolo al centro: un angolo di \(360°\) corrisponde all’intero cerchio (\(\pi r^2\)), un angolo di \(\alpha \) corrisponde alla frazione \(\alpha /360°\). Da qui la formula.
Teorema 65.4 — Area del segmento circolare
L’area di un segmento circolare è
dove \(A_{\triangle }\) è l’area del triangolo isoscele formato dai due raggi e dalla corda.
(Nel caso particolare di un segmento maggiore di un semicerchio, si somma l’area del triangolo invece di sottrarla.)
Teorema 65.5 — Lunghezza di un arco
La lunghezza \(\ell \) di un arco di circonferenza di raggio \(r\) sotteso da un angolo al centro \(\alpha \) (in gradi) vale
In radianti:
Dimostrazione. Anche la lunghezza dell’arco è proporzionale all’angolo al centro: un angolo di \(360°\) corrisponde a tutta la circonferenza (\(2\pi r\)), un angolo di \(\alpha \) alla frazione \(\alpha /360°\).
Nota — Perché i radianti semplificano le formule
Definendo l’angolo come \(\alpha _{\text {rad}} = \ell /r\) (rapporto arco/raggio, adimensionale), le formule diventano molto compatte: \(\ell = r\alpha \) e \(A_{\text {settore}} = \tfrac {1}{2}r^2\alpha \). Questa è la principale ragione per cui in matematica avanzata si usano sempre i radianti: vedi capitolo 94.
Conversione: \(\pi \) radianti \(= 180°\), quindi \(\alpha _{\text {rad}} = \alpha ° \cdot \pi /180\).
Esempio 65.5 — Relazione tra settore e arco
Da \(\ell = r\alpha \) e \(A_{\text {settore}} = \tfrac {1}{2}r^2\alpha \) si ricava una formula elegante:
Il settore è “come un triangolo” con base l’arco \(\ell \) e altezza il raggio \(r\). È la versione del cerchio della formula \(A = b\cdot h/2\).
Esempio 65.6 — Cerchio noto il raggio
Un cerchio ha raggio \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare circonferenza e area.
Soluzione.
Esempio 65.7 — Confronto cerchio–quadrato di pari perimetro
Un cerchio e un quadrato hanno entrambi perimetro \(40\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Quale ha area maggiore?
Soluzione.
Il cerchio ha area maggiore. (In generale, a parità di perimetro, il cerchio è la figura piana con area massima: “problema isoperimetrico”.)
Esempio 65.8 — Settore di pizza
Una pizza circolare di diametro \(32\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) viene divisa in \(8\) spicchi uguali. Qual è l’area di ciascuno spicchio e qual è la lunghezza dell’arco di crosta?
Soluzione. Raggio \(r = 16\) cm. Ogni spicchio è un settore di angolo \(\alpha = 360°/8 = 45°\).
Area: \(A = \pi r^2\cdot \tfrac {45}{360} = \pi \cdot 256\cdot \tfrac {1}{8} = 32\pi \approx 100.53\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).
Arco: \(\ell = 2\pi r\cdot \tfrac {45}{360} = 32\pi \cdot \tfrac {1}{8} = 4\pi \approx 12.57\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Esempio 65.9 — Lunetta
Un settore circolare di raggio \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e angolo \(60°\). Calcolare l’area del segmento circolare corrispondente (regione tra corda e arco).
Soluzione.
Esempio 65.10 — Corona circolare
La regione tra due cerchi concentrici (corona circolare) di raggi \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Quanto vale la sua area?
Soluzione.
Esempio 65.11 — Ruota che gira
Una ruota di raggio \(30\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) compie \(50\) giri. Quale distanza ha percorso?
Soluzione. Lunghezza percorsa per giro: \(C = 2\pi \cdot 30 = 60\pi \) cm. Per \(50\) giri:
Esercizio 65.1
Riepilogo
Settore circolare di raggio \(r\) e angolo \(\alpha \) (in gradi):
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