150 Calcolo di aree di regioni piane

“

Mostriamo che il segmento di parabola, tagliato da una corda qualunque, è quattro terzi del triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza. Questa proposizione, ardua a stabilirsi per via puramente geometrica, si dimostra mediante il metodo delle suddivisioni e dei limiti di somme.”

— Archimede di Siracusa, Quadratura della parabola (III sec. a.C.), proposizione 24, traduzione adattata

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150.1 Introduzione motivazionale

Il calcolo di aree di regioni delimitate da curve è il problema applicativo più antico e classico del calcolo integrale. Archimede di Siracusa (III sec. a.C.) ne fece il proprio capolavoro, dimostrando con il metodo di esaustione che l’area di un segmento parabolico è \(\frac {4}{3}\) dell’area del triangolo inscritto. Il calcolo gli costò pagine di geometria; oggi, con il teorema fondamentale del calcolo (149), ci basterà una linea di integrazione.

Vedremo poi alcune varianti (regione scritta come funzione di \(y\), area di un’ellisse, regione delimitata da tre curve).

150.2 Area sottesa da una curva

Area sottesa al grafico di \(f\). Se \(f\) è continua e \(f(x) \ge 0\) su \([a, b]\), l’area del trapezoide

\[ T = \{(x, y) : a \le x \le b, \; 0 \le y \le f(x)\} \]

vale

\[ \mathrm {Area}(T) = \int _a^b f(x)\,\mathrm {d}x. \]

Esempio 150.1 — Area sotto una parabola

Determinare l’area del trapezoide compreso fra \(y = 4 - x^2\) e l’asse \(x\) (la parabola interseca l’asse \(x\) in \(\pm 2\)):

\[ A = \int _{-2}^{2} (4 - x^2)\,\mathrm {d}x = \bigl [ 4 x - x^3/3 \bigr ]_{-2}^{2} = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = \frac {32}{3}. \]

Esempio 150.2 — Area sotto \(\operatorname{sen} x\) su mezzo periodo

\[ A = \int _0^{\pi } \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x = \bigl [-\cos x\bigr ]_0^{\pi } = 1 + 1 = 2. \]

Curioso: l’area sotto un arco di sinusoide vale esattamente \(2\), indipendentemente dal fatto che \(\pi \) sia irrazionale.

Area di un’ellisse: una conferma classica

Esempio 150.3 — Area dell’ellisse \(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\)

La parte superiore dell’ellisse è \(y = b \sqrt {1 - x^2/a^2}\). Area della metà superiore:

\[ \frac {A}{2} = \int _{-a}^{a} b \sqrt {1 - x^2/a^2}\,\mathrm {d}x. \]

Sostituzione \(x = a \operatorname{sen} t\), \(\mathrm {d}x = a \cos t\,\mathrm {d}t\); estremi \(-a \to -\pi /2\), \(a \to \pi /2\):

\[ \frac {A}{2} = a b \int _{-\pi /2}^{\pi /2} \cos ^2 t\,\mathrm {d}t = a b \cdot \frac {\pi }{2}. \]

Quindi \(A = \pi a b\). Per \(a = b = r\) si ritrova \(A = \pi r^2\) (area del cerchio). \(\checkmark \)

150.3 Area tra due curve

Area fra due grafici. Se \(f, g\) sono continue su \([a, b]\) e \(f(x) \le g(x)\) per ogni \(x \in [a, b]\), l’area della regione

\[ R = \{(x, y) : a \le x \le b, \; f(x) \le y \le g(x)\} \]

vale

\[ \mathrm {Area}(R) = \int _a^b \bigl [ g(x) - f(x) \bigr ]\,\mathrm {d}x. \]

Interpretazione: si pensa la regione come il sottografico della funzione “superiore meno inferiore”. Non importa che \(f\) e \(g\) siano positive: l’differenza \(g - f\) è non-negativa per ipotesi, dunque rappresenta correttamente la larghezza verticale della striscia infinitesima.

Procedura — Calcolo dell’area fra due curve

1.: Determinare i punti d’intersezione \(f(x) = g(x)\) per individuare gli estremi \(a, b\) di integrazione.
2.: Stabilire quale delle due funzioni è sopra nell’intervallo (valutarle in un punto interno, oppure tramite studio del segno di \(g - f\)).
3.: Calcolare \(\int _a^b (g - f)\,\mathrm {d}x\).

Esempio 150.4 — Area racchiusa fra parabola e retta

Calcolare l’area racchiusa fra \(y = x^2\) e \(y = 2 x\).

Intersezioni: \(x^2 = 2 x \iff x(x - 2) = 0\), \(x = 0\) o \(x = 2\). Sopra: in \(x = 1\), \(f = 1 < g = 2\), dunque la retta è sopra. Area:

\[ A = \int _0^2 (2 x - x^2)\,\mathrm {d}x = \bigl [ x^2 - x^3/3 \bigr ]_0^2 = 4 - 8/3 = \frac {4}{3}. \]

Esempio 150.5 — Segmento parabolico di Archimede

Calcolare l’area racchiusa fra \(y = x^2\) e \(y = h\) (retta orizzontale), con \(h > 0\).

Intersezioni: \(x = \pm \sqrt h\). Sopra: la retta. Area:

\[ A = \int _{-\sqrt h}^{\sqrt h} (h - x^2)\,\mathrm {d}x = \bigl [ h x - x^3/3 \bigr ]_{-\sqrt h}^{\sqrt h} = 2(h \sqrt h - h \sqrt h/3) = \frac {4}{3} h \sqrt h. \]

Confronto con Archimede. La corda di estremi \((\pm \sqrt h, h)\) ha lunghezza \(2 \sqrt h\) e dista \(h\) dal vertice della parabola; il triangolo con base \(2\sqrt h\) e altezza \(h\) ha area \(\sqrt h \cdot h = h \sqrt h\). Allora \(A / A_{\triangle } = \frac {4/3 \, h \sqrt h}{h \sqrt h} = \frac {4}{3}\): il segmento parabolico è \(\frac {4}{3}\) del triangolo inscritto. La proposizione 24 della Quadratura della parabola di Archimede, dimostrata con il metodo di esaustione, è qui ottenuta in tre righe grazie al TFC.

Esempio 150.6 — Area fra due parabole

Calcolare l’area racchiusa fra \(y = x^2\) e \(y = 2 x - x^2\).

Intersezioni: \(x^2 = 2 x - x^2 \iff 2 x^2 - 2 x = 0 \iff x = 0, 1\). In \(x = 0.5\): \(f = 0.25\), \(g = 0.75\). La seconda parabola è sopra:

\[ A = \int _0^1 (2 x - x^2 - x^2)\,\mathrm {d}x = \int _0^1 (2 x - 2 x^2)\,\mathrm {d}x = \bigl [ x^2 - 2 x^3/3 \bigr ]_0^1 = 1 - 2/3 = \frac {1}{3}. \]

150.4 Calcolo di aree con cambi di segno

Attenzione!

Integrale e area geometrica non coincidono se la funzione cambia segno! L’integrale \(\int _a^b f\) è una somma con segno: porzioni sotto l’asse \(x\) contribuiscono negativamente. Per calcolare l’area geometrica (= area effettiva, positiva) della regione delimitata dal grafico e dall’asse \(x\) tra \(a\) e \(b\), occorre:

\[ \mathrm {Area} = \int _a^b |f(x)|\,\mathrm {d}x, \]

che si calcola spezzando \([a, b]\) negli zeri di \(f\) e sommando i moduli dei singoli integrali parziali.

Procedura — Area geometrica con cambi di segno

1.: Risolvere \(f(x) = 0\) su \([a, b]\) per individuare gli zeri \(x_1, x_2, \dots \).
2.: Determinare il segno di \(f\) in ciascun sottointervallo.
3.: Calcolare gli integrali parziali \(\int _{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,\mathrm {d}x\).
4.: Sommare i loro moduli.

Esempio 150.7 — Cambio di segno in mezzo all’intervallo

Calcolare \(\displaystyle \int _0^{2\pi } \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x\) e l’area geometrica della regione delimitata da \(y = \operatorname{sen} x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2 \pi \).

Integrale: \(\int _0^{2\pi } \operatorname{sen} x = [-\cos x]_0^{2\pi } = -1 - (-1) = 0\). (La porzione positiva \([0, \pi ]\) si cancella con la negativa \([\pi , 2\pi ]\).)

Area geometrica: spezzo in \([0, \pi ]\) (dove \(\operatorname{sen} x \ge 0\)) e \([\pi , 2\pi ]\) (dove \(\operatorname{sen} x \le 0\)):

\[ A = \int _0^\pi \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x + \left | \int _\pi ^{2\pi } \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x \right | = 2 + |{-2}| = 4. \]

Esempio 150.8 — Funzione che cambia segno: \(\int _{-1}^{2} (x^2 - 1)\)

Integrale: \(\int _{-1}^{2} (x^2 - 1) = [x^3/3 - x]_{-1}^{2} = (8/3 - 2) - (-1/3 + 1) = 2/3 - 2/3 = 0\). L’integrale è nullo: la regione sotto l’asse fra \(-1\) e \(1\) è esattamente compensata dalla regione sopra fra \(1\) e \(2\).

Area geometrica: spezzo nello zero \(x = 1\):

\[ A = \left | \int _{-1}^{1} (x^2 - 1)\,\mathrm {d}x \right | + \int _1^2 (x^2 - 1)\,\mathrm {d}x = |{-4/3}| + 4/3 = \frac {8}{3}. \]

150.5 Esempi svolti

Esempio 150.9 — Regione delimitata da cubica e retta

Calcolare l’area racchiusa fra \(y = x^3 - x\) e \(y = 0\) (l’asse \(x\)).

Zeri di \(x^3 - x = x(x-1)(x+1)\): \(x = -1, 0, 1\). Segno: positivo su \((-1, 0)\), negativo su \((0, 1)\), ecc. La regione delimitata dal grafico e dall’asse \(x\) è compresa fra \(x = -1\) e \(x = 1\), e si compone di due “lobi” di segno opposto.

Per simmetria dispari \(x^3 - x\): l’integrale netto su \([-1, 1]\) è \(0\). L’area geometrica è il doppio dell’area di un solo lobo:

\[ A = 2 \int _0^1 |x^3 - x|\,\mathrm {d}x = 2 \int _0^1 (x - x^3)\,\mathrm {d}x = 2 \bigl [ x^2/2 - x^4/4 \bigr ]_0^1 = 2 (1/2 - 1/4) = \frac {1}{2}. \]

Esempio 150.10 — Area in funzione di \(y\): regione orizzontale

Calcolare l’area racchiusa fra le curve \(x = y^2\) e \(x = y + 2\).

Conviene integrare rispetto a \(y\). Intersezioni: \(y^2 = y + 2 \iff y^2 - y - 2 = 0 \iff y = -1, 2\). “Destra-sinistra” per \(y = 0\): \(y^2 = 0\), \(y + 2 = 2\), quindi \(x = y + 2\) è a destra. Area:

\[ A = \int _{-1}^{2} [(y + 2) - y^2]\,\mathrm {d}y = \bigl [ y^2/2 + 2 y - y^3/3 \bigr ]_{-1}^{2} = (2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3) = 10/3 - (-7/6) = \frac {27}{6} = \frac {9}{2}. \]

Esempio 150.11 — Area di una “goccia” tra esponenziale e retta

Calcolare l’area racchiusa fra \(y = e^x\) e \(y = e \cdot x\) nel primo quadrante.

Intersezione: \(e^x = e x\). È evidente \(x = 1\) (si verifica: \(e = e\)). Per \(x = 0\): \(e^0 = 1\), \(e \cdot 0 = 0\); per \(x = 2\): \(e^2 \approx 7.39\), \(2e \approx 5.44\). Quindi per \(x < 1\) l’esponenziale è sopra; per \(x > 1\) è ancora sopra. Aspetto: la retta è tangente all’esponenziale in \(x = 1\) (per la convessità \(e^x \ge 1 + e(x - 1) + \dots \), anzi \(e^x \ge e x\) con uguaglianza solo in \(x = 1\), vedi disuguaglianza convessa).

Dunque le due curve si toccano in \(x = 1\) ma non racchiudono una regione finita su \((0, 1)\) e \((1, +\infty )\) — la “goccia” è degenere. Riformulo: la regione fra \(y = e^x\), \(y = e x\), e l’asse \(y\) (cioè \(x \ge 0\)) è di area finita se prendiamo \(x \in [0, 1]\):

\[ A = \int _0^1 (e^x - e x)\,\mathrm {d}x = \bigl [ e^x - e x^2/2 \bigr ]_0^1 = (e - e/2) - (1 - 0) = \frac {e}{2} - 1 \approx 0.359. \]

Esempio 150.12 — Tre curve, regione triangolata

Calcolare l’area della regione limitata da \(y = x\), \(y = 2 - x\) e \(y = x^2/2\), nel primo quadrante.

Intersezioni: \(y = x\) con \(y = 2 - x\) in \(x = 1\) (\(y = 1\)); \(y = x\) con \(y = x^2/2\) in \(x = 0\) e \(x = 2\); \(y = 2 - x\) con \(y = x^2/2\) in \(x^2/2 = 2 - x \iff x^2 + 2 x - 4 = 0 \iff x = -1 + \sqrt 5 \approx 1.236\).

Per \(0 \le x \le 1\): il limite superiore è \(y = x\) (sotto \(y = 2 - x\), sopra \(y = x^2/2\)). Spezzo: per \(1 \le x \le -1 + \sqrt 5\): il limite superiore diventa \(y = 2 - x\).

\[ A = \int _0^1 (x - x^2/2)\,\mathrm {d}x + \int _1^{-1+\sqrt 5} (2 - x - x^2/2)\,\mathrm {d}x. \]

Il primo: \([x^2/2 - x^3/6]_0^1 = 1/2 - 1/6 = 1/3\). Il secondo (algebra omessa): si trova \(\approx 0.158\). Totale \(\approx 0.491\). (Lezione: per regioni delimitate da più di due curve, è di solito necessario spezzare il dominio nei sottointervalli dove la curva “superiore” è la stessa.)

Esempio 150.13 — Area legata a funzioni inverse

Calcolare \(\int _0^{1} \operatorname{arcsen} x\,\mathrm {d}x\) e interpretarlo come area.

Per parti, \(u = \operatorname{arcsen} x\), \(v' = 1\): \(\int = [x \operatorname{arcsen} x]_0^1 - \int _0^1 \frac {x}{\sqrt {1 - x^2}}\,\mathrm {d}x = \pi /2 - 1 + 0 = \pi /2 - 1 \approx 0.571\).

Interpretazione geometrica: \(\operatorname{arcsen} \) è la funzione inversa di \(\operatorname{sen} \) sul ramo \([-\pi /2, \pi /2]\); l’integrale su \([0, 1]\) rappresenta l’area sotto il grafico di \(\operatorname{arcsen} \). Per simmetria della funzione inversa, \(\int _0^1 \operatorname{arcsen} x\,\mathrm {d}x + \int _0^{\pi /2} \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x = 1 \cdot \pi /2\) (rettangolo \(1 \times \pi /2\)): verifica \(\pi /2 - 1 + 1 = \pi /2\). \(\checkmark \)

150.6 Esercizi proposti

Esercizio 150.1

1.

Calcolare l’area del trapezoide compreso fra l’asse \(x\) e le seguenti curve, sui domini indicati:

(a): \(y = 3 x^2 + 1\) su \([0, 2]\);
(b): \(y = \cos x\) su \([0, \pi /2]\);
(c): \(y = e^{-x}\) su \([0, 2]\);
(d): \(y = 1/x\) su \([1, e^2]\);
(e): \(y = \sqrt {4 - x^2}\) su \([-2, 2]\) (riconoscere il semicerchio).

2.

Calcolare l’area delle regioni racchiuse fra le coppie di curve:

(a): \(y = x^2\) e \(y = x\);
(b): \(y = x^2\) e \(y = 4 x - x^2\);
(c): \(y = x^3\) e \(y = x\);
(d): \(y = \cos x\) e \(y = \operatorname{sen} x\) su \([0, \pi /4]\);
(e): \(y = e^x\) e \(y = 1\) su \([0, 1]\).

3.

Calcolare l’area geometrica delimitata dall’asse \(x\) e dalla curva \(y = x^3 - 6 x^2 + 11 x - 6\) su \([1, 3]\) (suggerimento: fattorizzare \(= (x-1)(x-2)(x-3)\)).

4.

Per la curva \(y = \operatorname{sen} (2 x)\) su \([0, 2 \pi ]\), calcolare:

(a): l’integrale algebrico \(\int _0^{2\pi } \operatorname{sen} (2 x)\,\mathrm {d}x\);
(b): l’area geometrica delimitata dal grafico e dall’asse \(x\).

5.

Determinare l’area racchiusa fra \(y = x^2 - 4 x\) e \(y = x\).

6.

Determinare l’area racchiusa fra \(y = \ln x\) e l’asse \(x\) su \([1, e]\), e confrontarla con quella su \([1/e, 1]\) (suggerimento: usare la simmetria \(\ln (1/x) = -\ln x\)).

7.

Calcolare l’area dell’ellisse \(\dfrac {x^2}{9} + \dfrac {y^2}{4} = 1\).

8.

Calcolare l’area racchiusa fra la curva \(y = 1/(1 + x^2)\) e l’asse \(x\) su \([-1, 1]\).

9.

Determinare l’area limitata da \(y = x^3\), \(y = 8\) e l’asse \(y\), integrando rispetto a \(y\) (suggerimento: la curva inversa è \(x = y^{1/3}\)).

10.

Determinare l’area racchiusa fra \(x = y^2 - 2\) e \(x = y\), integrando rispetto a \(y\).

11.

Sia \(a > 0\). Determinare il valore di \(a\) tale che l’area racchiusa fra \(y = a x\) e \(y = x^2\) valga esattamente \(0.5\).

12.

Calcolare l’area della regione delimitata da \(y = 4 - x^2\) e \(y = x^2 - 4\), e confrontarla con l’area del rettangolo circoscritto.

13.

Determinare l’area racchiusa fra \(y = \operatorname{sen} x\) e \(y = \cos x\) in \([0, 2\pi ]\), spezzando appropriatamente l’intervallo.

14.

Sia \(f\) continua su \([0, 1]\) con \(\int _0^1 f = 5\) e \(\int _0^1 f^2 = 30\). Calcolare \(\int _0^1 (f - 3)^2\).

15.

Calcolare l’area della regione delimitata dalla cardioide \(r = 1 + \cos \theta \) in coordinate polari. (Cenno avanzato: l’area di una regione descritta in polari è \(A = \frac {1}{2} \int _\alpha ^\beta r^2(\theta )\,\mathrm {d}\theta \); per la cardioide, \(A = \frac {1}{2} \int _0^{2\pi } (1 + \cos \theta )^2\,\mathrm {d}\theta = \frac {3\pi }{2}\).)

16.

Sfida (riproduzione del risultato di Archimede). Una corda di una parabola \(y = a x^2 + b x + c\) taglia un segmento parabolico. Mostrare che l’area del segmento è esattamente \(\frac {4}{3}\) dell’area del triangolo che ha la stessa corda come base e il vertice nel punto della parabola alla massima distanza dalla corda. (Suggerimento: il problema generale si riduce, tramite una traslazione+riscalamento, al caso \(y = x^2\), \(y = h\) già trattato.)

150.7 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Area sottesa a \(y = f(x)\) su \([a, b]\), con \(f \ge 0\): \(\mathrm {Area} = \int _a^b f(x)\,\mathrm {d}x\).
Area fra due curve \(y = f(x)\) e \(y = g(x)\) con \(f \le g\) su \([a, b]\): \(\mathrm {Area} = \int _a^b (g - f)\,\mathrm {d}x\). Procedura: 1) intersezioni per gli estremi; 2) chi è sopra; 3) integrale della differenza.
Cambio di segno. L’integrale \(\int _a^b f\) è una somma con segno; l’area geometrica è \(\int _a^b |f|\), che si calcola spezzando agli zeri e sommando i moduli.
Area di un’ellisse: \(\pi a b\). Caso \(a = b = r\): cerchio, \(\pi r^2\).
Segmento parabolico di Archimede: area \(= \frac {4}{3}\) del triangolo inscritto (con la stessa corda come base).
Area in funzione di \(y\). Se la regione è meglio descritta come \(x = h(y)\), \(y \in [c, d]\) (“strisce orizzontali”), si integra rispetto a \(y\): \(\mathrm {Area} = \int _c^d [h_{\mathrm {destra}}(y) - h_{\mathrm {sinistra}}(y)]\,\mathrm {d}y\).
Regioni delimitate da tre o più curve: si spezza il dominio nei sottointervalli dove la curva “superiore” è la stessa, e si somma.
Nel prossimo capitolo (151) si estende il metodo integrale dal calcolo di aree (regioni piane) al calcolo di volumi di solidi di rotazione.

Capitolo 150 Calcolo di aree di regioni piane