149 Teorema fondamentale del calcolo integrale

“

Se la curva descritta da un punto mobile rappresenta lo spazio percorso al variare del tempo, allora la sua tangente dà la velocità istantanea. Se invece consideriamo l’area compresa fra la curva delle velocità e l’asse dei tempi, otteniamo lo spazio percorso fino a quel medesimo istante. Differenziazione e quadratura sono dunque operazioni inverse l’una dell’altra.”

— Isaac Barrow, Lectiones geometricae (1670), Lect. X, formulazione adattata

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149.1 Introduzione motivazionale

Il teorema fondamentale del calcolo integrale (TFC) rivela che questi due concetti non sono solo collegati: sono due facce della stessa medaglia. Lo si esprime in due parti:

Il primo teorema ci dice che integrare (cioè calcolare l’area) e derivare sono operazioni inverse l’una dell’altra. Il secondo teorema trasforma il problema del calcolo di un integrale definito (che per definizione richiederebbe somme di Riemann e un passaggio al limite) in un esercizio puramente algebrico: basta trovare una primitiva.

Storia in poche righe. La connessione fra “area sotto la curva” (problema antico, già di Archimede) e “operazione inversa della derivata” (concetto del Seicento) fu intuita da Evangelista Torricelli (1644, opera postuma) e formalizzata da Isaac Barrow (Lectiones geometricae, 1670), mentore di Newton a Cambridge. Newton (1665–1671) e Leibniz (1675–1684) la inquadrarono nel calcolo differenziale-integrale che diede vita all’analisi moderna. Per questo, in alcuni paesi il TFC è chiamato teorema di Newton–Leibniz; in Italia e Francia, prevale spesso il nome formula di Torricelli–Barrow.

149.2 Teorema fondamentale del calcolo: enunciato

Teorema 149.1 — Primo teorema fondamentale del calcolo

Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R} \) continua. Sia \(F : [a, b] \to \mathbb{R} \) la funzione integrale di \(f\) a partire da \(a\):

\[ F(x) = \int _a^x f(t)\,\mathrm {d}t. \]

Allora \(F\) è derivabile su \([a, b]\) e

\[ F'(x) = f(x) \quad \text {per ogni } x \in [a, b]. \]

In altre parole, \(F\) è una primitiva di \(f\) su \([a, b]\).

Teorema 149.2 — Secondo teorema fondamentale — formula di Torricelli–Barrow

Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R} \) continua, e sia \(G\) una qualsiasi primitiva di \(f\) su \([a, b]\) (cioè \(G'(x) = f(x)\)). Allora

\[ \int _a^b f(x)\,\mathrm {d}x = G(b) - G(a). \]

Conseguenza immediata: ogni funzione continua su un intervallo ammette primitive (sono fornite dalla funzione integrale stessa). Questo risolve la questione di esistenza menzionata in 144.

Notazione. Spesso si scrive

\[ \int _a^b f(x)\,\mathrm {d}x = \bigl [ G(x) \bigr ]_a^b = G(b) - G(a), \]

dove la notazione \([G(x)]_a^b\) significa proprio “valuta \(G\) in \(b\) meno valuta \(G\) in \(a\)”.

149.3 Dimostrazione

Dimostrazione del primo teorema

Sia \(x \in (a, b)\), \(h \ne 0\) piccolo abbastanza perché \(x + h \in [a, b]\). Calcoliamo il rapporto incrementale di \(F\):

Per il teorema della media integrale (148), esiste \(\xi _h\) fra \(x\) e \(x + h\) tale che \(\frac {1}{h}\int _x^{x+h} f = f(\xi _h)\). Quindi

Per \(h \to 0\), \(\xi _h \to x\) (perché \(\xi _h\) è incastrato fra \(x\) e \(x + h\)); per continuità di \(f\), \(f(\xi _h) \to f(x)\). Dunque

Dimostrazione del secondo teorema

Sia \(G\) una primitiva qualunque di \(f\). Sia \(F(x) = \int _a^x f(t)\,\mathrm {d}t\) la funzione integrale; per il primo teorema, \(F\) è anch’essa una primitiva di \(f\). Per la caratterizzazione delle primitive su un intervallo (144), \(G - F = k\) è costante. Dunque

Interpretazione: derivazione e integrazione come operazioni inverse

Sono due affermazioni simmetriche che esprimono la dualità fra calcolo differenziale e calcolo integrale. È difficile sopravvalutare l’importanza concettuale e applicativa di questo risultato.

149.4 Formula fondamentale di Torricelli–Barrow

La formula di Torricelli–Barrow \(\displaystyle \int _a^b f = G(b) - G(a)\) trasforma il calcolo degli integrali definiti in un esercizio meccanico: bastano due ingredienti, una primitiva di \(f\) e una valutazione agli estremi.

Procedura — Calcolo di un integrale definito

1.: Verificare che \(f\) sia continua su \([a, b]\) (se non lo è, vedere 152 per gli integrali impropri).
2.: Trovare una primitiva \(G\) di \(f\) con le tecniche di 144–147.
3.: Calcolare \(G(b) - G(a)\).

Esempio 149.1 — Verifica esplicita: \(\int _0^1 x\,\mathrm {d}x\)

\(G(x) = x^2/2\). \(\int _0^1 x\,\mathrm {d}x = \bigl [ x^2/2 \bigr ]_0^1 = 1/2 - 0 = 1/2\). (Coincide con il calcolo via somme di Riemann di 148.)

Esempio 149.2 — Polinomio

\(\displaystyle \int _1^2 (3 x^2 - 4 x + 5)\,\mathrm {d}x = \bigl [ x^3 - 2 x^2 + 5 x \bigr ]_1^2 = (8 - 8 + 10) - (1 - 2 + 5) = 10 - 4 = 6\).

Esempio 149.3 — Trigonometrico

\(\displaystyle \int _0^{\pi /2} \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x = \bigl [ -\cos x \bigr ]_0^{\pi /2} = (-\cos (\pi /2)) - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1\).

Esempio 149.4 — Esponenziale

\(\displaystyle \int _0^1 e^x\,\mathrm {d}x = \bigl [ e^x \bigr ]_0^1 = e - 1 \approx 1.718\).

Esempio 149.5 — Logaritmico

\(\displaystyle \int _1^e \dfrac {1}{x}\,\mathrm {d}x = \bigl [ \ln |x| \bigr ]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1\). (Definizione storica del logaritmo naturale: \(\ln e = 1\) è l’area sotto \(1/x\) tra \(1\) e \(e\).)

Sostituzione negli integrali definiti

Quando si usa il metodo di sostituzione (146) negli integrali definiti, occorre ricalcolare gli estremi: se \(t = \varphi (x)\) e gli estremi originali sono \(x = a\) e \(x = b\), i nuovi estremi sono \(t = \varphi (a)\) e \(t = \varphi (b)\).

Sostituzione per integrali definiti. Con \(t = \varphi (x)\), \(\mathrm {d}t = \varphi '(x)\,\mathrm {d}x\), e \(\varphi \) derivabile con continuità su \([a, b]\):

\[ \int _a^b f(\varphi (x))\, \varphi '(x)\,\mathrm {d}x = \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)} f(t)\,\mathrm {d}t. \]

Esempio 149.6 — Sostituzione con cambio degli estremi

\(\displaystyle \int _0^1 x\, e^{x^2}\,\mathrm {d}x\). Pongo \(t = x^2\), \(\mathrm {d}t = 2 x\,\mathrm {d}x\). Estremi: \(x = 0 \to t = 0\), \(x = 1 \to t = 1\). Quindi

\[ \int _0^1 x e^{x^2}\,\mathrm {d}x = \frac {1}{2} \int _0^1 e^t\,\mathrm {d}t = \frac {1}{2}(e - 1) \approx 0.859. \]

Esempio 149.7 — Sostituzione trigonometrica: area del cerchio

Calcoliamo \(\displaystyle \int _{-r}^{r} \sqrt {r^2 - x^2}\,\mathrm {d}x\) (area del semicerchio di raggio \(r\)). Pongo \(x = r \operatorname{sen} t\), \(t \in [-\pi /2, \pi /2]\), \(\mathrm {d}x = r \cos t\,\mathrm {d}t\), \(\sqrt {r^2 - x^2} = r \cos t\). Estremi: \(x = -r \to t = -\pi /2\), \(x = r \to t = \pi /2\).

\[ \int _{-r}^{r} \sqrt {r^2 - x^2}\,\mathrm {d}x = \int _{-\pi /2}^{\pi /2} r^2 \cos ^2 t\,\mathrm {d}t = r^2 \int _{-\pi /2}^{\pi /2} \frac {1 + \cos (2 t)}{2}\,\mathrm {d}t = r^2 \cdot \frac {\pi }{2} = \frac {\pi r^2}{2}. \]

Conferma: l’area di un cerchio è \(\pi r^2\), dunque del semicerchio è \(\pi r^2/2\). \(\checkmark \) Abbiamo ricavato la formula dell’area del cerchio col calcolo integrale.

Integrazione per parti negli integrali definiti

Per parti per integrali definiti.

\[ \int _a^b u(x) v'(x)\,\mathrm {d}x = \bigl [ u(x) v(x) \bigr ]_a^b - \int _a^b u'(x) v(x)\,\mathrm {d}x. \]

Esempio 149.8 — Per parti definito

\(\displaystyle \int _0^1 x e^x\,\mathrm {d}x\). \(u = x\), \(v' = e^x\). \(u' = 1\), \(v = e^x\):

\[ \int _0^1 x e^x\,\mathrm {d}x = \bigl [ x e^x \bigr ]_0^1 - \int _0^1 e^x\,\mathrm {d}x = e - (e - 1) = 1. \]

149.5 Calcolo di integrali definiti

Procedura — Strategia operativa

Davanti a \(\int _a^b f\):

1.: Verifica continuità di \(f\) su \([a, b]\). Se \(f\) è discontinua o non definita ad almeno un punto interno, l’integrale è improprio (152).
2.: Cerca una primitiva: tabella (145), sostituzione (146), parti (146), fratti (147).
3.: Valuta \(G(b) - G(a)\), prestando attenzione al segno e alle parentesi.
4.: Verifica del segno: se \(f \ge 0\) su \([a, b]\), ti aspetti \(\int \ge 0\). Se non torna, c’è un errore.

Calcoli classici da memorizzare

Integrali notevoli su \([0, \pi /2]\), \([0, \pi ]\), \([0, 2\pi ]\)

\begin{align*} \int _0^{\pi /2} \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x &= 1, & \int _0^{\pi /2} \cos x\,\mathrm {d}x &= 1, \\ \int _0^{\pi } \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x &= 2, & \int _0^{2 \pi } \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x &= 0, \\ \int _0^{\pi /2} \operatorname{sen} ^2 x\,\mathrm {d}x &= \int _0^{\pi /2} \cos ^2 x\,\mathrm {d}x = \frac {\pi }{4}, & \int _0^{\pi } \operatorname{sen} ^2 x\,\mathrm {d}x &= \frac {\pi }{2}. \end{align*}

Esempio 149.9 — Verifica di un valor medio

\(\int _0^{\pi } \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x = [-\cos x]_0^{\pi } = -\cos \pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2\). Valor medio: \(\dfrac {2}{\pi }\), come anticipato in 148.

149.6 Esempi svolti

Esempio 149.10 — Polinomio fratto, divisione + log

\(\displaystyle \int _1^3 \frac {x^2 + 1}{x}\,\mathrm {d}x = \int _1^3 \left ( x + \frac {1}{x} \right )\,\mathrm {d}x = \left [ \frac {x^2}{2} + \ln |x| \right ]_1^3 = \left ( \frac {9}{2} + \ln 3 \right ) - \left ( \frac {1}{2} + 0 \right ) = 4 + \ln 3\).

Esempio 149.11 — Sostituzione + valutazione

\(\displaystyle \int _0^{\pi /2} \operatorname{sen} ^3 x \cos x\,\mathrm {d}x\). \(t = \operatorname{sen} x\), \(\mathrm {d}t = \cos x\,\mathrm {d}x\). Estremi: \(0 \to 0\), \(\pi /2 \to 1\):

\[ \int _0^1 t^3\,\mathrm {d}t = \left [ \frac {t^4}{4} \right ]_0^1 = \frac {1}{4}. \]

Esempio 149.12 — Per parti definito: \(\int _0^{\pi } x \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x\)

\(u = x\), \(v' = \operatorname{sen} x\). \(u' = 1\), \(v = -\cos x\):

\[ \int _0^{\pi } x \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x = \bigl [ -x \cos x \bigr ]_0^{\pi } + \int _0^{\pi } \cos x\,\mathrm {d}x = -\pi \cos \pi - 0 + [\operatorname{sen} x]_0^{\pi } = \pi + 0 = \pi . \]

Esempio 149.13 — Frazione razionale

\(\displaystyle \int _2^3 \frac {1}{x^2 - 1}\,\mathrm {d}x = \left [ \frac {1}{2} \ln \left | \frac {x - 1}{x + 1} \right | \right ]_2^3 = \frac {1}{2}\left ( \ln \frac {2}{4} - \ln \frac {1}{3} \right ) = \frac {1}{2} \ln \frac {3}{2} = \frac {1}{2} \ln 1.5 \approx 0.203\).

Esempio 149.14 — Integrale “simmetrico” che semplifica

\(\displaystyle \int _{-\pi /2}^{\pi /2} \operatorname{sen} ^5 x\,\mathrm {d}x = 0\) per simmetria dispari (l’integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico è zero). Niente calcoli.

Esempio 149.15 — Cinematica: spazio percorso da legge oraria

Un corpo si muove con velocità \(v(t) = 4 - t^2 \,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) per \(t \in [0, 2]\,{\mathrm{s} }\). Spazio percorso:

\[ s = \int _0^2 v(t)\,\mathrm {d}t = \int _0^2 (4 - t^2)\,\mathrm {d}t = \bigl [ 4 t - t^3/3 \bigr ]_0^2 = 8 - 8/3 = 16/3 \,{\mathrm{m} } \approx 5.33\,{\mathrm{m} }. \]

(Nota: a \(t = 2\), \(v = 0\): il corpo si ferma. Per \(t > 2\), \(v < 0\): il corpo torna indietro.)

Esempio 149.16 — Derivata di una funzione integrale (con regola della catena)

Sia \(H(x) = \displaystyle \int _0^{x^2} \cos (t^2)\,\mathrm {d}t\). Calcolare \(H'(x)\).

Pongo \(u(x) = x^2\). Allora \(H(x) = F(u(x))\) con \(F(u) = \int _0^u \cos (t^2)\,\mathrm {d}t\). Per il primo TFC, \(F'(u) = \cos (u^2)\). Per la chain rule:

\[ H'(x) = F'(u(x)) \cdot u'(x) = \cos ((x^2)^2) \cdot 2 x = 2 x \cos (x^4). \]

Generale: \(\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \int _a^{\varphi (x)} f(t)\,\mathrm {d}t = f(\varphi (x)) \cdot \varphi '(x)\).

Esempio 149.17 — Integrale dipendente da parametro

Calcolare \(\displaystyle \int _0^1 \frac {1}{1 + a x^2}\,\mathrm {d}x\) per \(a > 0\).

Pongo \(\sqrt a \cdot x = t\), \(\mathrm {d}t = \sqrt a\,\mathrm {d}x\). Estremi: \(0 \to 0\), \(1 \to \sqrt a\):

\[ = \frac {1}{\sqrt a} \int _0^{\sqrt a} \frac {1}{1 + t^2}\,\mathrm {d}t = \frac {1}{\sqrt a} \operatorname{arctg} (\sqrt a). \]

Verifica \(a = 1\): \(\operatorname{arctg} 1 = \pi /4\), conforme. \(a = 3\): \((1/\sqrt 3) \operatorname{arctg} \sqrt 3 = (1/\sqrt 3)(\pi /3) = \pi /(3 \sqrt 3)\).

149.7 Esercizi proposti

Esercizio 149.1

1.

Calcolare gli integrali definiti seguenti (Torricelli–Barrow diretto):

(a): \(\int _0^2 (x^3 - 3 x + 1)\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int _1^4 \sqrt x\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int _0^{\pi /3} \cos x\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int _1^2 \dfrac {1}{x^2}\,\mathrm {d}x\);
(e): \(\int _0^{\ln 2} e^x\,\mathrm {d}x\).

2.

Calcolare per sostituzione (con cambio degli estremi):

(a): \(\int _0^1 (2 x + 1)^5\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int _0^{\pi /2} \cos x \operatorname{sen} ^4 x\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int _1^e \dfrac {\ln x}{x}\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int _0^1 \dfrac {x}{1 + x^2}\,\mathrm {d}x\);
(e): \(\int _0^1 \dfrac {1}{\sqrt {1 - x^2}}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(x = \operatorname{sen} t\)).

3.

Calcolare per parti:

(a): \(\int _0^1 x e^{-x}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int _1^e \ln x\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int _0^{\pi /2} x \cos x\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int _0^1 \operatorname{arctg} x\,\mathrm {d}x\).

4.

Calcolare con decomposizione in fratti semplici:

(a): \(\int _0^1 \dfrac {1}{x^2 - 4}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int _2^3 \dfrac {x}{(x - 1)(x + 1)}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int _0^1 \dfrac {x^2 + 1}{x + 1}\,\mathrm {d}x\) (divisione preliminare).

5.

Calcolare l’area sotto la curva \(y = e^{-x}\) per \(x \in [0, 1]\).

6.

Verificare che \(\int _{-a}^{a} f\) vale \(2\int _0^a f\) se \(f\) pari, \(0\) se \(f\) dispari, calcolando esplicitamente \(\int _{-1}^1 x^4\,\mathrm {d}x\) e \(\int _{-1}^1 x^5\,\mathrm {d}x\).

7.

Sia \(f\) continua con \(\int _0^x f(t)\,\mathrm {d}t = x^2 - x\). Trovare \(f\).

8.

Calcolare \(H'(x)\) per ciascuna delle seguenti funzioni:

(a): \(H(x) = \int _0^x \operatorname{sen} (t^2)\,\mathrm {d}t\);
(b): \(H(x) = \int _x^{2} e^{-t^2}\,\mathrm {d}t\);
(c): \(H(x) = \int _0^{x^3} \cos t\,\mathrm {d}t\);
(d): \(H(x) = \int _{x^2}^{x^3} t e^{t}\,\mathrm {d}t\) (suggerimento: scomporre \(\int _{x^2}^{0} + \int _0^{x^3}\)).

9.

Un corpo si muove con velocità \(v(t) = 6 t - 2 t^2 \,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) per \(t \in [0, 3]\,{\mathrm{s} }\). Determinare:

(a): lo spazio percorso;
(b): la velocità media nell’intervallo;
(c): l’istante in cui \(v\) è massima.

10.

Calcolare \(\int _0^{\pi } |\operatorname{sen} x - 1/2|\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: spezzare \([0, \pi ]\) nei punti dove \(\operatorname{sen} x = 1/2\)).

11.

Mostrare per induzione che \(\int _0^{\pi /2} \cos ^{2 n} x\,\mathrm {d}x = \dfrac {(2 n - 1)!!}{(2 n)!!} \cdot \dfrac {\pi }{2}\) (formula di Wallis); calcolare in particolare \(n = 0, 1, 2, 3\).

12.

Calcolare \(\int _0^{1} \dfrac {x^3}{\sqrt {1 + x^2}}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(x^3 = x \cdot x^2 = x(1 + x^2) - x\), oppure sostituzione \(t = 1 + x^2\)).

13.

Calcolare il valor medio di \(f(x) = e^{-x^2/2}\) su \([-1, 1]\) in modo numerico, sapendo che \(\int _{-1}^{1} e^{-x^2/2}\,\mathrm {d}x \approx 1.71\). (L’integrale non è elementare.)

14.

Verificare che \(\int _0^{\pi /4} \operatorname{tg} x\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2}\ln 2\).

15.

Sfida. Mostrare che \(\displaystyle \int _0^{\pi /2} \dfrac {\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen} x + \cos x}\,\mathrm {d}x = \dfrac {\pi }{4}\), usando la sostituzione \(x \mapsto \pi /2 - x\) e l’osservazione che la simmetria forza l’integrale a \(\pi /4\). (Stesso integrale di \(\cos x/(\operatorname{sen} x + \cos x)\) per simmetria; somma \(= \int 1 = \pi /2\), quindi ognuno vale \(\pi /4\).)

149.8 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Primo teorema fondamentale. Se \(f\) continua su \([a, b]\), allora \(F(x) = \int _a^x f(t)\,\mathrm {d}t\) è derivabile con \(F'(x) = f(x)\). Corollario: ogni funzione continua ammette primitive.
Secondo teorema fondamentale (Torricelli–Barrow). Se \(f\) è continua e \(G\) una sua primitiva, \(\displaystyle \int _a^b f(x)\,\mathrm {d}x = G(b) - G(a) = \bigl [ G(x) \bigr ]_a^b\).
Sostituzione negli integrali definiti: \(\int _a^b f(\varphi (x))\varphi '(x)\,\mathrm {d}x = \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)} f(t)\,\mathrm {d}t\). Attenzione a ricalcolare gli estremi.
Per parti negli integrali definiti: \(\int _a^b u v'\,\mathrm {d}x = [u v]_a^b - \int _a^b u' v\,\mathrm {d}x\).
Derivazione sotto il segno di integrale a estremi mobili: \(\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \int _{\alpha (x)}^{\beta (x)} f(t)\,\mathrm {d}t = f(\beta (x))\beta '(x) - f(\alpha (x))\alpha '(x)\).
Significato. Integrazione e derivazione sono operazioni inverse. La formula di Torricelli–Barrow trasforma il calcolo degli integrali definiti da impresa difficile (somme di Riemann) a esercizio puramente algebrico.
Nei capitoli successivi: 150 applica gli integrali al calcolo di aree di regioni delimitate da curve; 151 al calcolo di volumi di solidi di rotazione; 152 estende il concetto agli integrali impropri (intervalli illimitati o funzioni non limitate).

Capitolo 149 Teorema fondamentale del calcolo integrale