146 Metodi di integrazione: sostituzione e per parti

“

Quando un integrale non si può ricondurre immediatamente ai valori già noti, si tenta una opportuna trasformazione: o introducendo una nuova variabile in luogo di quella data, oppure scomponendo l’integranda nel prodotto di due parti, una da differenziare e l’altra da integrare. Questi due artifici — la sostituzione e l’integrazione per parti — esauriscono quasi tutto il calcolo integrale elementare.”

— Leonhard Euler, Institutiones calculi integralis (1768), libro I, traduzione adattata

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146.1 Introduzione motivazionale

Nei capitoli 144 e 145 abbiamo imparato a riconoscere e calcolare integrali immediati e quasi-immediati: rispettivamente quelli direttamente in tabella e quelli che diventano tabellari dopo un riconoscimento di pattern (chain rule rovesciata). Quando questi due strumenti non bastano, entrano in gioco due tecniche più potenti e generali, che generalizzano le idee viste:

Sostituzione e integrazione per parti sono i due “cavalli da tiro” del calcolo integrale elementare: combinandole opportunamente si calcola la stragrande maggioranza degli integrali che si incontrano nelle applicazioni liceali e universitarie. In questo capitolo vedremo formulazione, casi-tipo e strategie di scelta.

146.2 Metodo di integrazione per sostituzione

Teorema 146.1 — Integrazione per sostituzione

Sia \(f\) continua su un intervallo \(J\), e sia \(\varphi : I \to J\) derivabile con \(\varphi '\) continua. Allora

\[ \int f(\varphi (x))\, \varphi '(x)\,\mathrm {d}x = F(\varphi (x)) + c, \]

dove \(F\) è una primitiva di \(f\). Equivalentemente, ponendo \(t = \varphi (x)\) (da cui \(\mathrm {d}t = \varphi '(x)\,\mathrm {d}x\)),

\[ \int f(\varphi (x))\, \varphi '(x)\,\mathrm {d}x = \int f(t)\,\mathrm {d}t. \]

Dimostrazione. Sia \(F\) primitiva di \(f\). Per la chain rule, \(\dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}\bigl [ F(\varphi (x)) \bigr ] = F'(\varphi (x)) \varphi '(x) = f(\varphi (x)) \varphi '(x)\). Dunque \(F(\varphi (x))\) è una primitiva di \(f(\varphi (x)) \varphi '(x)\), da cui la prima uguaglianza. La seconda è la stessa cosa riscritta sostituendo \(t = \varphi (x)\) nella primitiva.

In pratica si distinguono due usi della sostituzione, formalmente equivalenti ma operativamente diversi:

Procedura — Sostituzione diretta

1.: Riconoscere nell’integranda una funzione candidata \(t = \varphi (x)\).
2.: Calcolare \(\mathrm {d}t = \varphi '(x)\,\mathrm {d}x\) e verificare che si possa esprimere tutta l’integranda in funzione di \(t\) e \(\mathrm {d}t\).
3.: Calcolare \(\int f(t)\,\mathrm {d}t\).
4.: Sostituire \(t = \varphi (x)\) nel risultato e aggiungere la costante.

Esempio 146.1 — Sostituzione diretta classica

\(\displaystyle \int x \sqrt {x^2 + 1}\,\mathrm {d}x\). Pongo \(t = x^2 + 1\), \(\mathrm {d}t = 2 x\,\mathrm {d}x\), ovvero \(x\,\mathrm {d}x = \mathrm {d}t/2\). Allora

\[ \int x \sqrt {x^2 + 1}\,\mathrm {d}x = \int \sqrt t \cdot \frac {\mathrm {d}t}{2} = \frac {1}{2} \cdot \frac {2}{3} t^{3/2} + c = \frac {1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + c. \]

Esempio 146.2 — Sostituzione \(t = \ln x\)

\(\displaystyle \int \frac {\ln x}{x}\,\mathrm {d}x\). Pongo \(t = \ln x\), \(\mathrm {d}t = \mathrm {d}x/x\). Allora \(\int t\,\mathrm {d}t = t^2/2 + c = (\ln x)^2/2 + c\).

Esempio 146.3 — Sostituzione \(t = e^x\)

\(\displaystyle \int \frac {e^x}{e^{2 x} + 1}\,\mathrm {d}x\). Pongo \(t = e^x\), \(\mathrm {d}t = e^x\,\mathrm {d}x\). Allora \(\int \frac {\mathrm {d}t}{t^2 + 1} = \operatorname{arctg} t + c = \operatorname{arctg} (e^x) + c\).

Sostituzioni inverse: radici e trigonometriche

Quando l’integranda contiene radici della forma \(\sqrt {a^2 - x^2}\), \(\sqrt {a^2 + x^2}\), \(\sqrt {x^2 - a^2}\), si usano sostituzioni trigonometriche che le razionalizzano.

Sostituzioni trigonometriche standard

Per \(\sqrt {a^2 - x^2}\): \(\,x = a \operatorname{sen} t\), \(t \in [-\pi /2, \pi /2]\), \(\mathrm {d}x = a \cos t\,\mathrm {d}t\), \(\sqrt {a^2 - x^2} = a \cos t\).
Per \(\sqrt {a^2 + x^2}\): \(\,x = a \operatorname{tg} t\), \(t \in (-\pi /2, \pi /2)\), \(\mathrm {d}x = a/\cos ^2 t\,\mathrm {d}t\), \(\sqrt {a^2 + x^2} = a/\cos t\).
Per \(\sqrt {x^2 - a^2}\): \(\,x = a/\cos t\), \(t \in [0, \pi /2)\), \(\sqrt {x^2 - a^2} = a \operatorname{tg} t\).

Esempio 146.4 — Sostituzione trigonometrica per \(\sqrt {a^2 - x^2}\)

\(\displaystyle \int \sqrt {1 - x^2}\,\mathrm {d}x\). Pongo \(x = \operatorname{sen} t\) con \(t \in [-\pi /2, \pi /2]\). Allora \(\mathrm {d}x = \cos t\,\mathrm {d}t\), \(\sqrt {1 - x^2} = \cos t\). L’integrale diventa

\[ \int \cos ^2 t\,\mathrm {d}t = \int \frac {1 + \cos (2 t)}{2}\,\mathrm {d}t = \frac {t}{2} + \frac {\operatorname{sen} (2 t)}{4} + c = \frac {t}{2} + \frac {\operatorname{sen} t \cos t}{2} + c. \]

Tornando a \(x\): \(\operatorname{sen} t = x\), \(t = \operatorname{arcsen} x\), \(\cos t = \sqrt {1 - x^2}\), quindi

\[ \int \sqrt {1 - x^2}\,\mathrm {d}x = \frac {1}{2} \operatorname{arcsen} x + \frac {x \sqrt {1 - x^2}}{2} + c. \]

Significato geometrico: \(\int _0^1 \sqrt {1 - x^2}\,\mathrm {d}x\) è l’area del quarto di cerchio unitario, cioè \(\pi /4\). Verifica: \(F(1) - F(0) = \pi /4 + 0 - 0 = \pi /4\). \(\checkmark \)

Esempio 146.5 — Sostituzione per radici di polinomio lineare

\(\displaystyle \int \frac {1}{1 + \sqrt x}\,\mathrm {d}x\). Pongo \(t = \sqrt x\), \(x = t^2\), \(\mathrm {d}x = 2 t\,\mathrm {d}t\):

\[ \int \frac {2 t}{1 + t}\,\mathrm {d}t = 2 \int \frac {(1 + t) - 1}{1 + t}\,\mathrm {d}t = 2 \int \left ( 1 - \frac {1}{1 + t} \right )\,\mathrm {d}t = 2 t - 2 \ln |1 + t| + c. \]

Tornando a \(x\): \(= 2 \sqrt x - 2 \ln (1 + \sqrt x) + c\).

146.3 Metodo di integrazione per parti

L’integrazione per parti è l’inversa della regola di derivazione del prodotto (Leibniz). Da \((u v)' = u' v + u v'\), integrando ambo i membri,

Formula di integrazione per parti.

\[ \int u(x)\, v'(x)\,\mathrm {d}x = u(x) v(x) - \int u'(x)\, v(x)\,\mathrm {d}x. \]

In notazione di Leibniz (con \(\mathrm {d}u = u'\,\mathrm {d}x\), \(\mathrm {d}v = v'\,\mathrm {d}x\)):

Idea operativa: scelgo l’integranda come \(u \cdot v'\) (dunque due “parti”), tale che \(u'\) sia più semplice di \(u\) e \(v\) sia altrettanto semplice di \(v'\) (idealmente, calcolabile come primitiva). Il vantaggio è che l’integrale che resta da fare, \(\int u' v\,\mathrm {d}x\), è di solito più semplice di quello di partenza.

Quale fattore scegliere come \(u\)?

La regola mnemonica più diffusa è LIATE (o ILATE, equivalente), che indica l’ordine di priorità con cui scegliere \(u\):

Regola LIATE. Scegli come \(u\) il fattore che compare per primo in questo ordine:

Logaritmiche (\(\ln x\), \(\log _a x\))
Inverse goniometriche (\(\operatorname{arcsen} x\), \(\operatorname{arctg} x\), …)
Algebriche (polinomi)
Trigonometriche (\(\operatorname{sen} x\), \(\cos x\))
Esponenziali (\(e^x\), \(a^x\))

Il fattore rimanente sarà \(\mathrm {d}v\), di cui devo poter calcolare la primitiva.

Logica della regola. Si privilegiano come \(u\) le funzioni che si semplificano derivando (logaritmiche e arcfunzioni vanno via molto presto) e si lasciano come \(\mathrm {d}v\) quelle che si trasformano in se stesse integrando (esponenziali, trigonometriche). I polinomi stanno in mezzo: scendono di grado a ogni derivazione, e si integrano senza problemi.

Procedura — Integrazione per parti

1.: Identificare nell’integranda due fattori; sceglierli come \(u\) e \(v'\) usando LIATE.
2.: Calcolare \(u'\) (derivando) e \(v\) (integrando \(v'\)). Non aggiungere la costante a \(v\): alla fine ne basta una.
3.: Applicare la formula \(\int u v'\,\mathrm {d}x = u v - \int u' v\,\mathrm {d}x\).
4.: Calcolare l’integrale rimanente. Se è ancora difficile, valutare se reiterare il metodo (es. \(x^2 e^x\)).

Esempio 146.6 — Polinomio per esponenziale

\(\displaystyle \int x e^x\,\mathrm {d}x\). Scelta LIATE: \(u = x\) (algebrica), \(v' = e^x\). Allora \(u' = 1\), \(v = e^x\):

\[ \int x e^x\,\mathrm {d}x = x e^x - \int 1 \cdot e^x\,\mathrm {d}x = x e^x - e^x + c = (x - 1) e^x + c. \]

Esempio 146.7 — Polinomio per coseno

\(\displaystyle \int x \cos x\,\mathrm {d}x\). \(u = x\), \(v' = \cos x\). \(u' = 1\), \(v = \operatorname{sen} x\):

\[ \int x \cos x\,\mathrm {d}x = x \operatorname{sen} x - \int \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x = x \operatorname{sen} x + \cos x + c. \]

Esempio 146.8 — Logaritmica da sola: il trucco del fattore \(1\)

\(\displaystyle \int \ln x\,\mathrm {d}x\). Pongo \(u = \ln x\) (priorità L), \(v' = 1\). Allora \(u' = 1/x\), \(v = x\):

\[ \int \ln x\,\mathrm {d}x = x \ln x - \int x \cdot \frac {1}{x}\,\mathrm {d}x = x \ln x - x + c. \]

Trucco: una sola funzione si può comunque trattare per parti scegliendo \(v' = 1\). Questo funziona spesso per logaritmiche e arcfunzioni isolate.

Esempio 146.9 — Arcotangente

\(\displaystyle \int \operatorname{arctg} x\,\mathrm {d}x\). \(u = \operatorname{arctg} x\), \(v' = 1\). \(u' = 1/(1 + x^2)\), \(v = x\):

\[ \int \operatorname{arctg} x\,\mathrm {d}x = x \operatorname{arctg} x - \int \frac {x}{1 + x^2}\,\mathrm {d}x = x \operatorname{arctg} x - \frac {1}{2} \ln (1 + x^2) + c. \]

Per parti iterata e per parti ricorsiva

A volte una sola applicazione non basta: l’integrale rimanente richiede a sua volta per parti. Si itera.

Esempio 146.10 — \(x^2 e^x\): per parti due volte

\(u = x^2\), \(v' = e^x\): \(u' = 2 x\), \(v = e^x\):

\[ \int x^2 e^x\,\mathrm {d}x = x^2 e^x - 2 \int x e^x\,\mathrm {d}x. \]

L’integrale rimanente è già stato calcolato sopra (\(= (x-1)e^x + c\)):

\[ = x^2 e^x - 2(x - 1) e^x + c = (x^2 - 2x + 2) e^x + c. \]

In casi speciali, l’iterazione fa ricomparire l’integrale di partenza; si risolve allora algebricamente per esso.

Esempio 146.11 — Esponenziale per coseno (per parti ricorsiva)

\(I = \displaystyle \int e^x \cos x\,\mathrm {d}x\). \(u = e^x\), \(v' = \cos x\) (oppure il contrario — LIATE qui non discrimina, ma serve solo coerenza). \(u' = e^x\), \(v = \operatorname{sen} x\):

\[ I = e^x \operatorname{sen} x - \int e^x \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x. \]

Applico di nuovo per parti al secondo integrale, con la stessa scelta tipologica (\(u = e^x\), \(v' = \operatorname{sen} x\), \(v = -\cos x\)):

\[ \int e^x \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x = -e^x \cos x + \int e^x \cos x\,\mathrm {d}x = -e^x \cos x + I. \]

Sostituendo:

\[ I = e^x \operatorname{sen} x - (-e^x \cos x + I) = e^x \operatorname{sen} x + e^x \cos x - I. \]

Risolvo: \(2 I = e^x (\operatorname{sen} x + \cos x)\), da cui \(I = \dfrac {e^x (\operatorname{sen} x + \cos x)}{2} + c\).

146.4 Strategie di scelta del metodo

Davanti a un integrale “non immediato”, come decidere se procedere per sostituzione o per parti (o entrambi, in successione)? Non c’è una regola universale, ma le seguenti euristiche aiutano nel \(90\%\) dei casi.

Diagnosi rapida.

Compare \(g(f(x)) \cdot f'(x)\) (con \(f'\) riconoscibile come fattore)? \(\to \) sostituzione diretta \(t = f(x)\).
Compare \(\sqrt {a^2 \pm x^2}\) o \(\sqrt {x^2 - a^2}\)? \(\to \) sostituzione trigonometrica.
L’integranda è un prodotto di tipi diversi (\(x \cdot e^x\), \(x \cdot \cos x\), \(\ln x\) da sola, \(\operatorname{arctg} x\) da sola)? \(\to \) per parti con LIATE.
L’integranda è una funzione razionale propria (\(\deg P < \deg Q\) con \(P/Q\))? \(\to \) decomposizione in fratti semplici (147).
L’integranda è una potenza di seno e/o coseno? \(\to \) identità trigonometriche (duplicazione, bisezione) o sostituzione \(t = \operatorname{sen} x\) o \(t = \cos x\), se l’esponente dell’altra è dispari.
Niente di tutto ciò? \(\to \) tentare comunque per parti o sostituzione, talvolta con artifici (aggiungere e togliere lo stesso termine; razionalizzare; ecc.).

Attenzione!

Non tutti gli integrali di funzioni elementari sono esprimibili in forma elementare. Esempi famosi:

\[ \int e^{-x^2}\,\mathrm {d}x, \quad \int \frac {\operatorname{sen} x}{x}\,\mathrm {d}x, \quad \int \frac {\mathrm {d}x}{\ln x}, \quad \int \sqrt {1 - k^2 \operatorname{sen} ^2 x}\,\mathrm {d}x \]

sono tutti integrali non elementari. Le loro primitive esistono (sono funzioni continue), ma non si esprimono come combinazione finita di funzioni elementari: definiscono nuove funzioni speciali (rispettivamente: funzione errore \(\operatorname {erf}\), seno integrale \(\operatorname {Si}\), logaritmo integrale \(\operatorname {li}\), integrali ellittici). Non insistere oltre il ragionevole se un integrale “non vuole uscire”.

146.5 Esempi svolti

Esempio 146.12 — Sostituzione: \(\int \dfrac {\operatorname{sen} (\sqrt x)}{\sqrt x}\,\mathrm {d}x\)

Pongo \(t = \sqrt x\), \(x = t^2\), \(\mathrm {d}x = 2 t\,\mathrm {d}t\), \(\mathrm {d}x/\sqrt x = 2\,\mathrm {d}t\):

\[ \int \frac {\operatorname{sen} (\sqrt x)}{\sqrt x}\,\mathrm {d}x = 2 \int \operatorname{sen} t\,\mathrm {d}t = -2 \cos t + c = -2 \cos (\sqrt x) + c. \]

Esempio 146.13 — Sostituzione: \(\int \dfrac {\mathrm {d}x}{x(1 + \ln ^2 x)}\)

\(t = \ln x\), \(\mathrm {d}t = \mathrm {d}x/x\):

\[ \int \frac {\mathrm {d}t}{1 + t^2} = \operatorname{arctg} t + c = \operatorname{arctg} (\ln x) + c. \]

Esempio 146.14 — Sostituzione trigonometrica: \(\int \dfrac {\mathrm {d}x}{(1 + x^2)^{3/2}}\)

\(x = \operatorname{tg} t\), \(t \in (-\pi /2, \pi /2)\). \(\mathrm {d}x = \mathrm {d}t/\cos ^2 t\), \(1 + x^2 = 1/\cos ^2 t\), \((1 + x^2)^{3/2} = 1/\cos ^3 t\):

\[ \int \frac {1/\cos ^2 t}{1/\cos ^3 t}\,\mathrm {d}t = \int \cos t\,\mathrm {d}t = \operatorname{sen} t + c. \]

Tornando a \(x\): \(\operatorname{sen} t = x/\sqrt {1 + x^2}\), quindi \(= x/\sqrt {1 + x^2} + c\).

Esempio 146.15 — Per parti: \(\int x \ln x\,\mathrm {d}x\)

LIATE: \(u = \ln x\) (L batte A), \(v' = x\). \(u' = 1/x\), \(v = x^2/2\):

\[ \int x \ln x\,\mathrm {d}x = \frac {x^2}{2} \ln x - \int \frac {x^2}{2} \cdot \frac {1}{x}\,\mathrm {d}x = \frac {x^2 \ln x}{2} - \frac {x^2}{4} + c. \]

Esempio 146.16 — Per parti: \(\int x^2 \cos x\,\mathrm {d}x\) (per parti due volte)

\(u = x^2\), \(v' = \cos x\): \(u' = 2 x\), \(v = \operatorname{sen} x\):

\[ \int x^2 \cos x\,\mathrm {d}x = x^2 \operatorname{sen} x - 2 \int x \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x. \]

Applico per parti al secondo: \(u = x\), \(v' = \operatorname{sen} x\), \(u' = 1\), \(v = -\cos x\):

\[ \int x \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x = -x \cos x + \int \cos x\,\mathrm {d}x = -x \cos x + \operatorname{sen} x + c'. \]

Quindi

\[ \int x^2 \cos x\,\mathrm {d}x = x^2 \operatorname{sen} x - 2(-x \cos x + \operatorname{sen} x) + c = x^2 \operatorname{sen} x + 2 x \cos x - 2 \operatorname{sen} x + c. \]

Esempio 146.17 — Per parti + sostituzione: \(\int \operatorname{arcsen} x\,\mathrm {d}x\)

\(u = \operatorname{arcsen} x\), \(v' = 1\). \(u' = 1/\sqrt {1 - x^2}\), \(v = x\):

\[ \int \operatorname{arcsen} x\,\mathrm {d}x = x \operatorname{arcsen} x - \int \frac {x}{\sqrt {1 - x^2}}\,\mathrm {d}x. \]

L’integrale rimanente si fa per sostituzione \(t = 1 - x^2\), \(\mathrm {d}t = -2 x\,\mathrm {d}x\): \(\int x/\sqrt {1 - x^2}\,\mathrm {d}x = -\sqrt {1 - x^2} + c'\). Quindi

\[ \int \operatorname{arcsen} x\,\mathrm {d}x = x \operatorname{arcsen} x + \sqrt {1 - x^2} + c. \]

Esempio 146.18 — Per parti ricorsiva: \(\int \sec ^3 x\,\mathrm {d}x = \int \dfrac {\mathrm {d}x}{\cos ^3 x}\)

\(u = 1/\cos x = \sec x\), \(v' = 1/\cos ^2 x\). \(u' = \operatorname{sen} x/\cos ^2 x\), \(v = \operatorname{tg} x\):

\[ I = \frac {\operatorname{tg} x}{\cos x} - \int \frac {\operatorname{sen} x \operatorname{tg} x}{\cos ^2 x}\,\mathrm {d}x = \frac {\operatorname{sen} x}{\cos ^2 x} - \int \frac {\operatorname{sen} ^2 x}{\cos ^3 x}\,\mathrm {d}x. \]

Usando \(\operatorname{sen} ^2 x = 1 - \cos ^2 x\):

\[ \int \frac {\operatorname{sen} ^2 x}{\cos ^3 x}\,\mathrm {d}x = \int \frac {1 - \cos ^2 x}{\cos ^3 x}\,\mathrm {d}x = I - \int \frac {1}{\cos x}\,\mathrm {d}x. \]

Da cui \(I = \dfrac {\operatorname{sen} x}{\cos ^2 x} - I + \int 1/\cos x\,\mathrm {d}x\), ovvero \(2 I = \dfrac {\operatorname{sen} x}{\cos ^2 x} + \int \sec x\,\mathrm {d}x\). È noto (esercizio classico) che \(\int \sec x\,\mathrm {d}x = \ln |\sec x + \operatorname{tg} x| + c\). Quindi

\[ I = \frac {1}{2} \left ( \frac {\operatorname{sen} x}{\cos ^2 x} + \ln |\sec x + \operatorname{tg} x| \right ) + c. \]

Esempio 146.19 — Sostituzione di Weierstrass (cenno)

Per integrali di funzioni razionali in \(\operatorname{sen} x, \cos x\), la sostituzione \(t = \operatorname{tg} (x/2)\) trasforma sistematicamente l’integrale in uno razionale in \(t\):

\[ \operatorname{sen} x = \frac {2 t}{1 + t^2}, \qquad \cos x = \frac {1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \mathrm {d}x = \frac {2}{1 + t^2}\,\mathrm {d}t. \]

Esempio: \(\int \dfrac {\mathrm {d}x}{1 + \cos x}\). Con la sostituzione:

\[ \int \frac {2/(1 + t^2)}{1 + (1 - t^2)/(1 + t^2)}\,\mathrm {d}t = \int \frac {2/(1 + t^2)}{2/(1 + t^2)}\,\mathrm {d}t = \int 1\,\mathrm {d}t = t + c = \operatorname{tg} (x/2) + c. \]

146.6 Esercizi proposti

Esercizio 146.1

1.

Sostituzioni dirette:

(a): \(\int x^2 \sqrt {x^3 + 1}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int \dfrac {\cos (\ln x)}{x}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int \dfrac {x}{(1 + x^2)^3}\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int \operatorname{sen} x\, e^{\cos x}\,\mathrm {d}x\);
(e): \(\int \dfrac {\operatorname{arcsen} x}{\sqrt {1 - x^2}}\,\mathrm {d}x\).

2.

Sostituzioni con radici:

(a): \(\int \dfrac {1}{\sqrt x + \sqrt [3] x}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(t = x^{1/6}\));
(b): \(\int \dfrac {x}{1 + \sqrt {x + 1}}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(t = \sqrt {x + 1}\));
(c): \(\int \sqrt {4 - x^2}\,\mathrm {d}x\) (sostituzione trigonometrica \(x = 2 \operatorname{sen} t\)).

3.

Per parti, polinomio per trascendente:

(a): \(\int x e^{2 x}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int x^2 \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int x^3 \ln x\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int x \operatorname{arctg} x\,\mathrm {d}x\).

4.

Per parti, trascendente da sola (trucco del fattore \(1\)):

(a): \(\int \operatorname{arctg} x\,\mathrm {d}x\) (rifatto: confronto col testo);
(b): \(\int \operatorname{arcsen} x\,\mathrm {d}x\) (rifatto: confronto col testo);
(c): \(\int \ln (1 + x^2)\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(u = \ln (1 + x^2)\), \(v' = 1\); usa \(\dfrac {x^2}{1+x^2} = 1 - \dfrac {1}{1+x^2}\)).

5.

Per parti ricorsiva:

(a): \(\int e^x \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int \cos (\ln x)\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: per parti con \(u = \cos (\ln x)\), \(v' = 1\), oppure sostituzione \(t = \ln x\) seguita da per parti ricorsiva);
(c): \(\int \sec x\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: moltiplicare e dividere per \(\sec x + \operatorname{tg} x\)).

6.

Calcolare \(\int x \cos ^2 x\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(\cos ^2 x = (1 + \cos 2x)/2\), poi per parti dove serve).

7.

Calcolare \(\int (\ln x)^2\,\mathrm {d}x\) (per parti due volte).

8.

Calcolare \(\int e^{\sqrt x}\,\mathrm {d}x\) (sostituzione \(t = \sqrt x\), poi per parti).

9.

Determinare la primitiva di \(f(x) = x e^{-x}\) che passa per il punto \((0, 1)\).

10.

Calcolare \(\int \dfrac {x}{\cos ^2 x}\,\mathrm {d}x\).

11.

Calcolare \(\int x^2 e^{-x}\,\mathrm {d}x\).

12.

Mostrare per induzione che \(\int x^n e^x\,\mathrm {d}x = e^x \left ( x^n - n x^{n-1} + n(n-1) x^{n-2} - \dots + (-1)^n n! \right ) + c\).

13.

Calcolare \(\int \dfrac {1}{\sqrt {x^2 + 4}}\,\mathrm {d}x\) (sostituzione \(x = 2 \operatorname{tg} t\), oppure direttamente da tabella di 145).

14.

Calcolare \(\int \dfrac {\mathrm {d}x}{1 - \operatorname{sen} x}\) (sostituzione di Weierstrass \(t = \operatorname{tg} (x/2)\)).

15.

Sfida. Mostrare che la successione \(I_n = \int \operatorname{sen} ^n x\,\mathrm {d}x\) soddisfa la formula di riduzione

\[ I_n = -\frac {\operatorname{sen} ^{n-1} x \cos x}{n} + \frac {n - 1}{n} I_{n-2}, \qquad n \ge 2, \]

dimostrandola per parti. Usarla per calcolare \(\int \operatorname{sen} ^4 x\,\mathrm {d}x\).

146.7 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Sostituzione. Riscrittura dell’integrale con una nuova variabile \(t\):
\[ \int f(\varphi (x)) \varphi '(x)\,\mathrm {d}x = \int f(t)\,\mathrm {d}t \quad \text {(con } t = \varphi (x), \mathrm {d}t = \varphi '(x)\,\mathrm {d}x\text {)}. \]

Sostituzioni dirette: si riconosce un’“interna” \(\varphi \) insieme alla sua derivata. Sostituzioni trigonometriche: \(x = a \operatorname{sen} t\) per \(\sqrt {a^2 - x^2}\), \(x = a \operatorname{tg} t\) per \(\sqrt {a^2 + x^2}\), \(x = a/\cos t\) per \(\sqrt {x^2 - a^2}\).
Per parti. Formula: \(\int u v'\,\mathrm {d}x = u v - \int u' v\,\mathrm {d}x\). Scelta tipica \(u\) secondo LIATE (Logaritmiche, Inverse goniometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali). Si usano: per integrali prodotto di tipi diversi; per logaritmiche o arcfunzioni isolate (con il trucco \(v' = 1\)); in versioni iterate (per polinomio per trascendente) o ricorsive (es. \(\int e^x \cos x\)).
Strategia generale di scelta: prima provare sostituzione (se c’è la struttura della chain rule rovesciata, o se ci sono radici riducibili), altrimenti per parti (se c’è un prodotto di tipi diversi). Per funzioni razionali, andare in 147.
Limiti del metodo. Esistono integrali di funzioni elementari che non hanno primitiva elementare (\(e^{-x^2}\), \(\operatorname{sen} x/x\), \(1/\ln x\), ellittici); è importante riconoscerli per non perdere tempo.

Capitolo 146 Metodi di integrazione: sostituzione e per parti