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Capitolo 147
Integrazione di funzioni razionali fratte

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Ogni frazione razionale, comunque complicata, può scomporsi nella somma di frazioni più semplici, ciascuna delle quali ha per denominatore una potenza di fattore lineare o quadratico irriducibile. L’integrazione si riduce così a quella di pochi tipi elementari, e in tal modo il problema dell’integrazione delle funzioni razionali risulta sempre risolubile.”

— Johann Bernoulli, Acta Eruditorum (1702), traduzione adattata

____________________________________________________________________________________

147.1 Introduzione motivazionale

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Una funzione razionale è il quoziente di due polinomi: \(f(x) = P(x)/Q(x)\) con \(P, Q\) polinomi a coefficienti reali e \(Q \not \equiv 0\). Le funzioni razionali sono fra le più comuni nella matematica applicata, e abbiamo già visto vari esempi di studi di funzione razionale (141). In questo capitolo affrontiamo il loro integrale.

La buona notizia, scoperta sistematicamente da Johann Bernoulli nel 1702, è che ogni funzione razionale ammette primitiva elementare, esprimibile come somma di logaritmi e arcotangenti. Il metodo — la decomposizione in fratti semplici — riduce l’integrale di una qualsiasi funzione razionale a una somma finita di integrali tabellari. È una procedura completamente algoritmica: dato \(P/Q\), si arriva alla primitiva in un numero finito di passi meccanici, senza colpi di genio.

Lo schema è il seguente:

1.
Se \(\deg P \ge \deg Q\), si esegue la divisione polinomiale: \(P/Q = S(x) + R(x)/Q(x)\) con \(\deg R < \deg Q\). Si integra \(S\) direttamente (polinomio) e si rinvia al passo successivo per il resto.
2.
Si fattorizza \(Q(x)\) in fattori lineari e quadratici irriducibili.
3.
Si decompone \(R(x)/Q(x)\) in fratti semplici.
4.
Si integra ciascun fratto separatamente, usando le tabelle di 144–145.

Cominciamo dai casi più semplici e saliamo gradualmente.

147.2 Casi semplici: denominatore di primo grado

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Caso primo grado.

\[ \int \frac {1}{a x + b}\,\mathrm {d}x = \frac {1}{a} \ln |a x + b| + c, \qquad a \ne 0. \]

(Caso speciale dell’argomento lineare visto in 145.)

Esempio 147.1 — Denominatore lineare con coefficiente

\[ \int \frac {1}{2 x - 5}\,\mathrm {d}x = \frac {1}{2} \ln |2 x - 5| + c. \]

Se al numeratore c’è un polinomio di grado \(\ge 1\), si effettua prima la divisione polinomiale:

Esempio 147.2 — Divisione preliminare

\(\displaystyle \int \frac {x^2 + 3 x - 1}{x - 2}\,\mathrm {d}x\). Eseguo la divisione: \((x^2 + 3 x - 1) : (x - 2) = x + 5\) con resto \(9\). Dunque \(\dfrac {x^2 + 3 x - 1}{x - 2} = x + 5 + \dfrac {9}{x - 2}\), e

\[ \int \frac {x^2 + 3 x - 1}{x - 2}\,\mathrm {d}x = \frac {x^2}{2} + 5 x + 9 \ln |x - 2| + c. \]

147.3 Casi con denominatore di secondo grado

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Sia \(Q(x) = a x^2 + b x + c\), \(a \ne 0\). Si distinguono tre casi in base al discriminante \(\Delta = b^2 - 4 a c\).

Caso \(\Delta > 0\): due radici reali distinte

\(Q(x) = a (x - x_1)(x - x_2)\). La decomposizione è

\[ \frac {1}{a(x - x_1)(x - x_2)} = \frac {A}{x - x_1} + \frac {B}{x - x_2}, \]

con \(A, B\) da determinare. Una volta trovati, l’integrale è somma di due logaritmi.

Esempio 147.3 — \(\Delta > 0\) classico

\(\displaystyle \int \frac {1}{x^2 - 5 x + 6}\,\mathrm {d}x\). Fattorizzo: \(x^2 - 5 x + 6 = (x - 2)(x - 3)\). Decompongo:

\[ \frac {1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac {A}{x - 2} + \frac {B}{x - 3}. \]

Moltiplicando per \((x-2)(x-3)\): \(1 = A(x - 3) + B(x - 2)\). Per \(x = 2\): \(1 = -A \Rightarrow A = -1\). Per \(x = 3\): \(1 = B\). Allora

\[ \int \frac {\mathrm {d}x}{x^2 - 5 x + 6} = -\int \frac {\mathrm {d}x}{x - 2} + \int \frac {\mathrm {d}x}{x - 3} = -\ln |x - 2| + \ln |x - 3| + c = \ln \left | \frac {x - 3}{x - 2} \right | + c. \]

Caso \(\Delta = 0\): radice reale doppia

\(Q(x) = a (x - x_0)^2\). L’integrale di \(1/(x - x_0)^2\) è elementare:

\[ \int \frac {1}{(x - x_0)^2}\,\mathrm {d}x = -\frac {1}{x - x_0} + c. \]

Per numeratore di primo grado, ci si riconduce con sostituzione lineare o con decomposizione \(\dfrac {A x + B}{(x - x_0)^2} = \dfrac {A}{x - x_0} + \dfrac {A x_0 + B}{(x - x_0)^2}\).

Esempio 147.4 — \(\Delta = 0\)

\(\displaystyle \int \frac {x}{(x - 1)^2}\,\mathrm {d}x\). Scrivo \(x = (x - 1) + 1\):

\[ \int \frac {(x - 1) + 1}{(x - 1)^2}\,\mathrm {d}x = \int \frac {1}{x - 1}\,\mathrm {d}x + \int \frac {1}{(x - 1)^2}\,\mathrm {d}x = \ln |x - 1| - \frac {1}{x - 1} + c. \]

Caso \(\Delta < 0\): nessuna radice reale (denominatore irriducibile)

\(Q(x)\) non si fattorizza in \(\mathbb{R} \). Si usa il completamento del quadrato per ricondurre all’arcotangente.

Procedura  — Caso \(\Delta < 0\)

1.
Riscrivere \(a x^2 + b x + c = a \left [ (x + b/(2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a^2) \right ]\), dove \(4ac - b^2 > 0\).
2.
Per il numeratore: se è di primo grado \(A x + B\), separare la parte “derivata del denominatore” (riconduce a logaritmo) dalla costante residua (riconduce ad arcotangente).

Esempio 147.5 — \(\Delta < 0\), numeratore costante

\(\displaystyle \int \frac {1}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm {d}x\). Completo: \(x^2 + 2 x + 5 = (x + 1)^2 + 4\). Pongo \(t = x + 1\), \(\mathrm {d}t = \mathrm {d}x\), e ottengo \(\int \mathrm {d}t/(t^2 + 4) = (1/2) \operatorname{arctg} (t/2) + c\):

\[ \int \frac {\mathrm {d}x}{x^2 + 2 x + 5} = \frac {1}{2} \operatorname{arctg} \frac {x + 1}{2} + c. \]

Esempio 147.6 — \(\Delta < 0\), numeratore lineare

\(\displaystyle \int \frac {2 x + 3}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm {d}x\). La derivata del denominatore è \(2 x + 2\). Scrivo \(2 x + 3 = (2 x + 2) + 1\):

\[ \int \frac {2 x + 2}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm {d}x + \int \frac {1}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm {d}x = \ln (x^2 + 2 x + 5) + \frac {1}{2} \operatorname{arctg} \frac {x + 1}{2} + c. \]

(Il primo addendo è pattern \(f'/f\) logaritmico; il secondo è l’arcotangente generalizzato del passo precedente.)

147.4 Decomposizione in fratti semplici

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Il metodo generale per integrare \(P(x)/Q(x)\) (con \(\deg P < \deg Q\)) si basa sul seguente teorema di algebra:

Teorema 147.1 — Decomposizione in fratti semplici (sui reali)

Sia \(Q(x)\) un polinomio a coefficienti reali, fattorizzato come

\[ Q(x) = a \cdot \prod _i (x - \alpha _i)^{m_i} \cdot \prod _j (x^2 + p_j x + q_j)^{n_j}, \]

con \(\alpha _i\) radici reali (di molteplicità \(m_i\)) e \(x^2 + p_j x + q_j\) fattori quadratici irriducibili (di molteplicità \(n_j\)). Sia \(P(x)\) un polinomio con \(\deg P < \deg Q\). Allora \(P/Q\) si decompone in modo unico come somma di fratti semplici:

\[ \frac {P(x)}{Q(x)} = \sum _i \sum _{k=1}^{m_i} \frac {A_{i,k}}{(x - \alpha _i)^k} + \sum _j \sum _{k=1}^{n_j} \frac {B_{j,k} x + C_{j,k}}{(x^2 + p_j x + q_j)^k}, \]

con \(A_{i,k}, B_{j,k}, C_{j,k} \in \mathbb{R} \) costanti univocamente determinate.

L’integrale di ciascun fratto è elementare:

Determinazione dei coefficienti: due metodi

Procedura  — Principio di identità dei polinomi

1.
Scrivere la decomposizione con i coefficienti \(A, B, \dots \) come incognite.
2.
Moltiplicare per \(Q(x)\), ottenendo un’identità polinomiale.
3.
Imporre l’uguaglianza dei coefficienti termine a termine (oppure: sostituire valori specifici di \(x\), in particolare i valori delle radici di \(Q\), che annullano molti termini).
4.
Risolvere il sistema lineare nelle incognite.

Procedura  — Metodo della copertura (per radici semplici)

Per le radici semplici \(\alpha \) di \(Q\), il coefficiente \(A\) del termine \(A/(x - \alpha )\) si calcola direttamente:

\[ A = \lim _{x \to \alpha } (x - \alpha ) \cdot \frac {P(x)}{Q(x)} = \frac {P(\alpha )}{Q'(\alpha )}. \]

Mnemonica: “copri” il fattore \((x - \alpha )\) in \(Q\) e valuta il resto in \(x = \alpha \).

Esempio 147.7 — Decomposizione con tre radici semplici

\(\displaystyle \int \frac {x^2 + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}\,\mathrm {d}x\). Decomposizione:

\[ \frac {x^2 + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac {A}{x - 1} + \frac {B}{x - 2} + \frac {C}{x - 3}. \]

Metodo della copertura:

Verifica con \(x = 0\): \(\dfrac {1}{(-1)(-2)(-3)} = -\dfrac {1}{6}\); \(\dfrac {A}{-1} + \dfrac {B}{-2} + \dfrac {C}{-3} = -1 + 5/2 - 5/3 = -6/6 + 15/6 - 10/6 = -1/6\). \(\checkmark \)

Integrale:

\[ \int = \ln |x - 1| - 5 \ln |x - 2| + 5 \ln |x - 3| + c = \ln \left | \frac {(x - 1)(x - 3)^5}{(x - 2)^5} \right | + c. \]

Esempio 147.8 — Decomposizione con radice doppia

\(\displaystyle \int \frac {2 x + 1}{x(x - 1)^2}\,\mathrm {d}x\). Decomposizione:

\[ \frac {2 x + 1}{x(x - 1)^2} = \frac {A}{x} + \frac {B}{x - 1} + \frac {C}{(x - 1)^2}. \]

Moltiplicando per \(x(x - 1)^2\): \(2 x + 1 = A(x - 1)^2 + B x (x - 1) + C x\). Per \(x = 0\): \(1 = A \Rightarrow A = 1\). Per \(x = 1\): \(3 = C\). Per \(x = 2\) (o eguagliando i coefficienti di \(x^2\)): coeff. \(x^2\) a sinistra \(= 0\), a destra \(= A + B = 1 + B \Rightarrow B = -1\).

Quindi

\[ \int = \ln |x| - \ln |x - 1| - \frac {3}{x - 1} + c = \ln \left | \frac {x}{x - 1} \right | - \frac {3}{x - 1} + c. \]

Esempio 147.9 — Decomposizione con quadratico irriducibile

\(\displaystyle \int \frac {x^2 + x + 1}{x(x^2 + 1)}\,\mathrm {d}x\). Decomposizione:

\[ \frac {x^2 + x + 1}{x(x^2 + 1)} = \frac {A}{x} + \frac {B x + C}{x^2 + 1}. \]

Moltiplicando: \(x^2 + x + 1 = A(x^2 + 1) + (B x + C) x = (A + B) x^2 + C x + A\). Eguaglianza dei coefficienti:

Quindi \(\int \dfrac {1}{x}\,\mathrm {d}x + \int \dfrac {1}{x^2 + 1}\,\mathrm {d}x = \ln |x| + \operatorname{arctg} x + c\).

147.5 Casi con grado del numeratore \(\ge \) del denominatore

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Se \(\deg P \ge \deg Q\), prima di applicare la decomposizione in fratti semplici si esegue la divisione polinomiale: \(P(x) = S(x) Q(x) + R(x)\) con \(\deg R < \deg Q\). Allora

\[ \frac {P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac {R(x)}{Q(x)}, \]

e si integra \(S(x)\) (polinomio) e \(R/Q\) (frazione propria) separatamente.

Esempio 147.10 — Divisione preliminare con \(\deg P > \deg Q\)

\(\displaystyle \int \frac {x^3 - 2 x + 1}{x^2 - 1}\,\mathrm {d}x\). Divisione: \(x^3 - 2 x + 1 = (x)(x^2 - 1) + (-x + 1)\). Quindi

\[ \frac {x^3 - 2 x + 1}{x^2 - 1} = x + \frac {-x + 1}{x^2 - 1} = x + \frac {-(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = x - \frac {1}{x + 1}. \]

Integrando: \(\dfrac {x^2}{2} - \ln |x + 1| + c\).

Esempio 147.11 — Stesso grado: \(\deg P = \deg Q\)

\(\displaystyle \int \frac {x^2}{x^2 + 1}\,\mathrm {d}x = \int \frac {(x^2 + 1) - 1}{x^2 + 1}\,\mathrm {d}x = \int \left ( 1 - \frac {1}{x^2 + 1} \right )\,\mathrm {d}x = x - \operatorname{arctg} x + c\).

147.6 Esempi svolti

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Esempio 147.12 — Sintesi: caso completo

\(\displaystyle \int \frac {x^3 + 2 x^2 - x + 3}{x^2 - x - 2}\,\mathrm {d}x\).

Passo 1: divisione. \(x^3 + 2 x^2 - x + 3 = (x + 3)(x^2 - x - 2) + (4 x + 9)\). Verifica: \((x + 3)(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2 x + 3 x^2 - 3 x - 6 = x^3 + 2 x^2 - 5 x - 6\), e \(x^3 + 2 x^2 - x + 3 - (x^3 + 2 x^2 - 5 x - 6) = 4 x + 9\). \(\checkmark \)

Passo 2: fattorizzo \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\).

Passo 3: decompongo \(\dfrac {4 x + 9}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac {A}{x - 2} + \dfrac {B}{x + 1}\).

Per \(x = 2\): \(17 = 3 A \Rightarrow A = 17/3\). Per \(x = -1\): \(5 = -3 B \Rightarrow B = -5/3\).

Passo 4: integro.

\[ \int (x + 3)\,\mathrm {d}x + \frac {17}{3} \int \frac {\mathrm {d}x}{x - 2} - \frac {5}{3} \int \frac {\mathrm {d}x}{x + 1} = \frac {x^2}{2} + 3 x + \frac {17}{3} \ln |x - 2| - \frac {5}{3} \ln |x + 1| + c. \]

Esempio 147.13 — Caso con \(\Delta < 0\) in mezzo

\(\displaystyle \int \frac {3 x + 5}{(x - 1)(x^2 + 4)}\,\mathrm {d}x\). Decomposizione:

\[ \frac {3 x + 5}{(x - 1)(x^2 + 4)} = \frac {A}{x - 1} + \frac {B x + C}{x^2 + 4}. \]

\(3 x + 5 = A(x^2 + 4) + (B x + C)(x - 1) = (A + B) x^2 + (C - B) x + (4 A - C)\). Sistema: \(A + B = 0\), \(C - B = 3\), \(4 A - C = 5\). Dalla prima \(B = -A\); sostituendo nella seconda \(C + A = 3\); sostituendo \(C = 3 - A\) nella terza \(4 A - (3 - A) = 5 \Rightarrow 5 A = 8 \Rightarrow A = 8/5\). Quindi \(B = -8/5\), \(C = 3 - 8/5 = 7/5\).

Integrale:

\[ \frac {8}{5} \int \frac {\mathrm {d}x}{x - 1} + \int \frac {-8 x/5 + 7/5}{x^2 + 4}\,\mathrm {d}x = \frac {8}{5} \ln |x - 1| - \frac {4}{5} \ln (x^2 + 4) + \frac {7}{10} \operatorname{arctg} \frac {x}{2} + c. \]

(Nel secondo integrale: \(\int (-8 x/5)/(x^2 + 4) = -(4/5) \ln (x^2 + 4)\) pattern \(f'/f\), e \(\int (7/5)/(x^2 + 4) = (7/5)(1/2) \operatorname{arctg} (x/2) = (7/10) \operatorname{arctg} (x/2)\).)

Esempio 147.14 — Tutte le radici doppie

\(\displaystyle \int \frac {1}{(x^2 - 1)^2}\,\mathrm {d}x = \int \frac {1}{(x - 1)^2 (x + 1)^2}\,\mathrm {d}x\).

Decomposizione: \(\dfrac {1}{(x-1)^2 (x+1)^2} = \dfrac {A}{x-1} + \dfrac {B}{(x-1)^2} + \dfrac {C}{x+1} + \dfrac {D}{(x+1)^2}\).

Moltiplicando per \((x^2-1)^2\): \(1 = A(x-1)(x+1)^2 + B(x+1)^2 + C(x+1)(x-1)^2 + D(x-1)^2\).

\(x = 1\): \(1 = 4 B \Rightarrow B = 1/4\). \(x = -1\): \(1 = 4 D \Rightarrow D = 1/4\). Coeff. \(x^3\) a destra: \(A + C = 0\). Coeff. termine noto: \(-A + B + C + D = 1 \Rightarrow C - A = 1/2\). Combinando con \(A + C = 0\): \(A = -1/4\), \(C = 1/4\).

Integrale:

\[ -\frac {1}{4} \ln |x - 1| - \frac {1}{4(x - 1)} + \frac {1}{4} \ln |x + 1| - \frac {1}{4(x + 1)} + c = \frac {1}{4} \ln \left | \frac {x+1}{x-1} \right | - \frac {x}{2(x^2 - 1)} + c. \]

(L’ultimo passaggio: \(-\frac {1}{4(x-1)} - \frac {1}{4(x+1)} = -\frac {(x+1) + (x-1)}{4(x-1)(x+1)} = -\frac {2x}{4(x^2 - 1)} = -\frac {x}{2(x^2-1)}\).)

Esempio 147.15 — Funzione razionale che si trasforma in razionale dopo sostituzione

\(\displaystyle \int \frac {e^x}{e^{2 x} - 1}\,\mathrm {d}x\). Pongo \(t = e^x\), \(\mathrm {d}t = e^x \mathrm {d}x\):

\[ \int \frac {\mathrm {d}t}{t^2 - 1} = \frac {1}{2} \ln \left | \frac {t - 1}{t + 1} \right | + c = \frac {1}{2} \ln \left | \frac {e^x - 1}{e^x + 1} \right | + c. \]

(Formula di tabella \(\int 1/(x^2 - a^2) = (1/(2 a)) \ln |(x-a)/(x+a)|\) con \(a = 1\).)

147.7 Esercizi proposti

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Esercizio 147.1

1.
Denominatore di primo grado:
(a)
\(\int \dfrac {3}{2 x + 1}\,\mathrm {d}x\);
(b)
\(\int \dfrac {x - 1}{x + 2}\,\mathrm {d}x\) (divisione preliminare);
(c)
\(\int \dfrac {x^2}{x - 1}\,\mathrm {d}x\).
2.
Denominatore di secondo grado, \(\Delta > 0\):
(a)
\(\int \dfrac {1}{x^2 - 4}\,\mathrm {d}x\);
(b)
\(\int \dfrac {1}{x^2 - 3 x + 2}\,\mathrm {d}x\);
(c)
\(\int \dfrac {x}{x^2 - 5 x + 6}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: la derivata del denominatore è \(2x - 5\)).
3.
Denominatore di secondo grado, \(\Delta = 0\):
(a)
\(\int \dfrac {1}{(x - 3)^2}\,\mathrm {d}x\);
(b)
\(\int \dfrac {x}{(x + 1)^2}\,\mathrm {d}x\);
(c)
\(\int \dfrac {x + 4}{x^2 + 4 x + 4}\,\mathrm {d}x\).
4.
Denominatore di secondo grado, \(\Delta < 0\):
(a)
\(\int \dfrac {1}{x^2 + 6 x + 13}\,\mathrm {d}x\);
(b)
\(\int \dfrac {x}{x^2 + 4}\,\mathrm {d}x\);
(c)
\(\int \dfrac {2 x + 1}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm {d}x\);
(d)
\(\int \dfrac {3 x - 1}{x^2 + 9}\,\mathrm {d}x\).
5.
Decomposizione in fratti semplici:
(a)
\(\int \dfrac {x + 1}{x^2 + x - 6}\,\mathrm {d}x\);
(b)
\(\int \dfrac {1}{x(x - 1)(x - 2)}\,\mathrm {d}x\);
(c)
\(\int \dfrac {x^2}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}\,\mathrm {d}x\);
(d)
\(\int \dfrac {1}{x^3 + x}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(x^3 + x = x(x^2 + 1)\));
(e)
\(\int \dfrac {x^2 - 1}{x^3 + 2 x^2 + x}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: fattorizzare \(x(x+1)^2\)).
6.
Grado del numeratore alto:
(a)
\(\int \dfrac {x^3}{x^2 + 1}\,\mathrm {d}x\);
(b)
\(\int \dfrac {x^4 + 1}{x^2}\,\mathrm {d}x\);
(c)
\(\int \dfrac {x^5 + 1}{x + 1}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)\)).
7.
Calcolare \(\int \dfrac {1}{x^4 - 1}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^2 + 1)\)).
8.
Calcolare \(\int \dfrac {1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\,\mathrm {d}x\). (Suggerimento: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\).)
9.
Mostrare che la primitiva di \(f(x) = \dfrac {1}{x^2 + 1}\) vale \(\operatorname{arctg} x + c\); quella di \(g(x) = \dfrac {1}{x^2 - 1}\) vale \(\dfrac {1}{2}\ln |(x-1)/(x+1)| + c\). Confronto: spiegare cosa “rappresenta” geometricamente la differenza fra i due casi (primitivamente uno legato all’iperbole, l’altro al cerchio).
10.
Determinare \(f(x)\) tale che \(f'(x) = \dfrac {2 x + 5}{x^2 + 4 x + 5}\) e \(f(0) = 0\).
11.
Calcolare \(\int \dfrac {\mathrm {d}x}{x(x^2 + 4)^2}\) (più fattori, includendo un quadratico al quadrato).
12.
Calcolare \(\int \dfrac {\mathrm {d}x}{\operatorname{sen} ^2 x + 2 \operatorname{sen} x \cos x + 5 \cos ^2 x}\) (suggerimento: dividere per \(\cos ^2 x\) ottenendo \(\int \mathrm {d}(\operatorname{tg} x)/(\operatorname{tg} ^2 x + 2 \operatorname{tg} x + 5)\), e quindi razionale in \(t = \operatorname{tg} x\)).
13.
Mostrare per induzione che \(\int \dfrac {\mathrm {d}x}{(x^2 + 1)^n} = J_n\) soddisfa la formula di riduzione
\[ J_n = \frac {x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} + \frac {2 n - 3}{2(n-1)} J_{n-1}, \qquad n \ge 2, \]

con \(J_1 = \operatorname{arctg} x + c\).

14.
Sfida. Mostrare che, qualunque sia la funzione razionale \(P(x)/Q(x)\) a coefficienti reali, la sua primitiva è esprimibile come somma di funzioni razionali, logaritmi (di polinomi a coefficienti reali) e arcotangenti (di funzioni lineari di \(x\)). Spiegare perché nessun’altra funzione trascendente è necessaria (suggerimento: questa proprietà è una conseguenza diretta del teorema di decomposizione in fratti semplici sui reali).

147.8 Riepilogo del capitolo

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