Per quanto sia difficile definire una funzione con una sola formula generale, è sempre possibile, una volta
data la sua espressione, indagarne il comportamento: dove cresce e dove decresce, dove raggiunge i suoi
massimi e minimi, e disegnarne il grafico nel piano.”
— Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748), libro II, traduzione adattata
Lo studio di funzione è il capitolo culmine di tutta l’analisi liceale: è il punto in cui ogni
strumento acquisito — dominio (44), limiti (127), continuità (130), asintoti (132), derivata (133),
monotonia e estremi (139), concavità e flessi (140) — viene messo al lavoro insieme, con l’obiettivo
unico di tracciare il grafico qualitativo di una funzione assegnata e di interpretarne il
comportamento.
L’esperienza didattica suggerisce che lo studio di funzione si fa seguendo uno schema fisso:
dapprima si raccoglie informazione globale (dominio, simmetrie, segno, intersezioni), poi si analizza
il comportamento “ai bordi” (limiti e asintoti), infine si scava nei dettagli locali (crescenza, estremi,
concavità, flessi) usando le derivate. La conclusione è un grafico qualitativo fedele al comportamento
della funzione, sufficiente a rispondere a tutte le domande tipiche dell’analisi e dei problemi
applicativi (143). Una volta padroneggiata, questa procedura è la più ricca summa di tecnica
matematica che il liceo offra.
Nota storica. La possibilità di studiare una funzione tramite calcolo (e non solo per via
grafica/geometrica) nasce nel Settecento con Eulero, che nell’Introductio del 1748 e nelle
Institutiones calculi differentialis del 1755 fornì la prima trattazione sistematica del concetto
moderno di funzione e dei suoi “invarianti” analitici. Cauchy, nel suo Cours d’analyse (1821),
trasformò questo programma in un metodo rigoroso, che è essenzialmente quello che usiamo ancora
oggi.
Lo studio completo di una funzione \(f\) si articola in punti standardizzati. Lo schema non è
dogmatico — l’ordine può variare a seconda della funzione — ma è una buona guida
operativa.
Procedura — Schema dello studio di funzione
1.
Dominio \(D\) di \(f\).
2.
Eventuali simmetrie: \(f\) pari (\(f(-x) = f(x)\)), dispari (\(f(-x) = -f(x)\)), periodica (\(f(x + T) = f(x)\)). Le simmetrie permettono di
restringere lo studio.
3.
Intersezioni con gli assi: con \(x\) (zeri di \(f\)), con \(y\) (valore \(f(0)\) se \(0 \in D\)).
4.
Segno di \(f\): dove \(f(x) > 0\) e dove \(f(x) < 0\).
5.
Limiti agli estremi del dominio (o dei suoi intervalli di definizione): in particolare ai
punti che separano gli intervalli e a \(\pm \infty \) se rilevante.
Derivata prima \(f'(x)\): dominio di \(f'\), eventuali punti di non derivabilità, zeri di \(f'\) (punti
critici), segno di \(f'\), intervalli di monotonia, massimi e minimi locali (139).
8.
Derivata seconda \(f''(x)\): segno, intervalli di concavità/convessità, punti di flesso e tipi (140).
9.
Tabella riassuntiva con i comportamenti di \(f, f', f''\).
10.
Tracciato qualitativo del grafico nel piano.
Consigli pratici.
Calcola \(f'\) solo dopo aver studiato dominio e segno: spesso il dominio di \(f'\) è un sottoinsieme
di quello di \(f\).
Se le derivate \(f'\), \(f''\) sono complicate, fattorizzale finché puoi: il segno si studia molto più
facilmente sul prodotto.
Non dimenticare le simmetrie: se \(f\) è pari/dispari, studia solo \(x \ge 0\) e riporta per simmetria.
Verifica la coerenza fra i pezzi: se il segno di \(f'\) dice crescente ma il limite a \(+\infty \) è negativo e
quello a \(-\infty \) è positivo, c’è un errore.
Lo studio del segno di \(f\) dice in quali parti del dominio il grafico sta sopra l’asse \(x\) (\(f > 0\)) e in quali
parti sta sotto (\(f < 0\)). Si conducono come disequazioni.
Procedura — Segno per quoziente di polinomi
\(f(x) = P(x)/Q(x)\):
1.
Studiare separatamente i segni di \(P\) e di \(Q\).
2.
Usare la regola dei segni del quoziente.
Esempio 141.3 — Segno di \(f(x) = \dfrac {x^2 - 1}{x - 2}\)
\(P(x) = x^2 - 1 \ge 0 \iff x \le -1 \lor x \ge 1\). \(Q(x) = x - 2 > 0 \iff x > 2\). Tabella:
Si calcolano i limiti di \(f\) agli estremi degli intervalli del dominio:
a \(\pm \infty \) se il dominio non è limitato: forniscono asintoti orizzontali o obliqui;
ai punti dove \(f\) non è definita (punti esclusi dal dominio): se il limite è \(\pm \infty \), c’è un asintoto
verticale;
agli estremi finiti del dominio che ne fanno parte: per completezza descrittiva.
Per la procedura completa di ricerca degli asintoti, vedi 132.
Esempio 141.4 — Limiti e asintoti di \(f(x) = \dfrac {x^2-1}{x-2}\)
A \(\pm \infty \): grado numeratore = grado denominatore + 1, quindi NO asintoto orizzontale,
possibile asintoto obliquo. Dividiamo \((x^2 - 1) : (x - 2) = x + 2\), resto \(3\). Cioè
\[ f(x) = x + 2 + \frac {3}{x - 2}. \]
Quindi \(f(x) - (x + 2) = 3/(x - 2) \to 0\) a \(\pm \infty \): asintoto obliquo \(y = x + 2\) ad entrambi.
Si calcola \(f'(x)\) e se ne studia il segno. Da qui si ricavano:
gli intervalli di monotonia (crescenza e decrescenza);
i punti critici (zeri di \(f'\)) e i punti di non derivabilità, con la loro classificazione (massimo
locale, minimo locale, flesso a tangente orizzontale, punto angoloso, ecc.) tramite il test
della derivata prima (139);
gli estremi assoluti se il dominio è chiuso e limitato (Weierstrass) o se si discutono i limiti
agli estremi.
Esempio 141.5 — Derivata di \(f(x) = \dfrac {x^2-1}{x-2}\)
Curiosità: il minimo locale è maggiore del massimo locale! Questo accade perché i due
estremi locali si trovano in rami diversi del grafico (separati dall’asintoto verticale \(x = 2\)).
Si calcola \(f''(x)\) e se ne studia il segno, ottenendo gli intervalli di concavità (140) e i punti di flesso
(zeri di \(f''\) dove il segno cambia).
Esempio 141.6 — Concavità di \(f(x) = \dfrac {x^2-1}{x-2}\)
Da \(f'(x) = 1 - 3(x-2)^{-2}\), deriviamo
\[ f''(x) = 6(x-2)^{-3} = \frac {6}{(x-2)^3}. \]
\(f''\) non si annulla mai (no flessi) ed ha il segno di \((x-2)^3\): \(f'' < 0\) per \(x < 2\) (concava, \(\frown \)), \(f'' > 0\) per \(x > 2\) (convessa, \(\smile \)).
Il problema inverso consiste nel ricavare informazioni quantitative o qualitative su \(f\), \(f'\) e \(f''\) dato il
grafico di una di esse (in particolare di \(f\)). È un esercizio molto richiesto, perché verifica che lo
studente abbia compreso il significato di derivata e derivata seconda al di là del puro calcolo
algebrico.
Procedura — Dal grafico di \(f\) alle informazioni su \(f'\) e
\(f''\)
Negli intervalli dove \(f\) è crescente, \(f' > 0\); dove \(f\) è decrescente, \(f' < 0\).
Nei punti di massimo o minimo locale di \(f\), \(f' = 0\) (se \(f\) è derivabile).
Negli intervalli dove \(f\) è convessa (\(\smile \)), \(f'' > 0\); dove è concava (\(\frown \)), \(f'' < 0\).
Nei punti di flesso di \(f\), \(f'' = 0\) (se \(f''\) esiste).
Negli asintoti verticali di \(f\), \(f\) ha limite \(\pm \infty \). Vicino a essi anche \(|f'|\) in genere diverge.
Esempio 141.7 — Dal grafico di \(f\) a quello di
\(f'\)
Sia \(f\) con grafico che assomiglia a una “S allungata” avente:
massimo locale in \(x = 0\) con \(f(0) = 2\);
minimo locale in \(x = 3\) con \(f(3) = -1\);
flesso in \(x \approx 1.5\).
Allora \(f'\) avrà: zero in \(x = 0\) (cambio \(+ \to -\)), zero in \(x = 3\) (cambio \(- \to +\)), e minimo in \(x \approx 1.5\) (perché \(f' = \) “pendenza di \(f\)”, che
è minima dove la pendenza scende di più, cioè al flesso da concavo a convesso).
10. Tracciato: la funzione parte da \(-\infty \) a sinistra (crescendo), passa per l’origine, raggiunge
il massimo \((1, 1/e)\), scende attraverso il flesso \((2, 2/e^2)\), e si accosta asintoticamente all’asse \(x\) da
sopra.
Esempio 141.9 — Studio completo di \(f(x) = \ln (x^2 + 1)\)
Derivata prima: \(f'(x) = \dfrac {x}{\sqrt {x^2 - 1}}\). Definita per \(|x| > 1\). In \(x = \pm 1\) la derivata diverge a \(\pm \infty \): tangente verticale (i punti \((\pm 1, 0)\)
hanno tangente verticale; il grafico parte verticalmente). Segno: \(\operatorname{sgn} f' = \operatorname{sgn} x\) sul dominio. \(f\) decresce
su \((-\infty , -1]\), cresce su \([1, +\infty )\). Minimo assoluto \(f(\pm 1) = 0\).
Derivata seconda: dopo qualche calcolo, \(f''(x) = -1/(x^2 - 1)^{3/2} < 0\) sul dominio: sempre concava. Niente flessi.
Osservazione geometrica: \(y = \sqrt {x^2 - 1}\) è il ramo superiore dell’iperbole equilatera \(x^2 - y^2 = 1\) (73). Gli asintoti \(y = \pm x\)
del nostro studio ritrovano i due asintoti dell’iperbole.
Esempio 141.11 — Lettura del grafico: dal grafico di \(f\) a quelli di \(f'\) e
\(f''\)
Si consideri una funzione \(f\) continua su \([-3, 3]\), con grafico crescente su \([-3, 0]\), decrescente su \([0, 2]\), crescente
su \([2, 3]\). Si supponga inoltre che il grafico sia convesso (\(\smile \)) su \([-3, -1]\), concavo (\(\frown \)) su \([-1, 1]\) e convesso (\(\smile \)) su
\([1, 3]\).
Allora:
\(f'\) è positiva su \((-3, 0)\), negativa su \((0, 2)\), positiva su \((2, 3)\), con zeri in \(x = 0\) (max locale) e \(x = 2\) (min locale).
\(f''\) è positiva su \((-3, -1) \cup (1, 3)\), negativa su \((-1, 1)\), con zeri in \(x = \pm 1\) (due punti di flesso di \(f\)).
\(f'\) ha un massimo locale in \(x = -1\) (dove \(f''\) passa da \(+\) a \(-\)) e un minimo locale in \(x = 1\) (dove \(f''\) passa
da \(-\) a \(+\)).
Studiare le seguenti funzioni razionali e tracciarne il grafico qualitativo:
(a)
\(f(x) = \dfrac {x^2}{x - 1}\);
(b)
\(f(x) = \dfrac {x}{x^2 - 1}\);
(c)
\(f(x) = \dfrac {x^2 - 4}{x^2 - 1}\);
(d)
\(f(x) = \dfrac {x^3}{x^2 + 1}\).
2.
Studiare le seguenti funzioni irrazionali:
(a)
\(f(x) = \sqrt {x^2 + 4 x}\);
(b)
\(f(x) = x \sqrt {1 - x^2}\) su \([-1, 1]\);
(c)
\(f(x) = \sqrt [3]{x^3 - 3 x}\).
3.
Studiare le funzioni esponenziali/logaritmiche:
(a)
\(f(x) = x^2 e^{-x}\);
(b)
\(f(x) = \dfrac {\ln x}{x}\);
(c)
\(f(x) = e^{1/x}\);
(d)
\(f(x) = x - \ln (1 + x^2)\).
4.
Studiare la funzione \(f(x) = \dfrac {1}{1 + e^{-x}}\) (la sigmoide logistica) e disegnarne il grafico, evidenziando l’asintoto a
\(\pm \infty \), la simmetria centrale in \((0, 1/2)\), e il flesso in \(x = 0\).
5.
Studiare la funzione \(f(x) = \operatorname{sen} x + \cos x\) su \([0, 2\pi ]\) e determinarne estremi e flessi.
6.
Sia \(f(x) = x + \dfrac {1}{x}\). Mostrare che \(f\) ha simmetria dispari, calcolare massimi, minimi e asintoti, e disegnare il
grafico.
7.
Sia \(f(x) = \operatorname{arctg} (x^2 - 1)\). Determinare dominio, simmetrie, asintoti, monotonia e concavità.
8.
Sia \(f\) continua su \(\mathbb{R} \) con grafico simmetrico rispetto all’asse \(y\), con massimo assoluto \(f(0) = 4\) e \(\lim _{x \to \pm \infty } f = 0^+\), due
flessi in \(x = \pm 1\). Disegnare un grafico plausibile e descrivere il grafico di \(f'\).
9.
Sia \(f\) derivabile su \(\mathbb{R} \) con \(f' > 0\) ovunque, \(f'' < 0\) ovunque, \(\lim _{x \to -\infty } f = -\infty \), \(\lim _{x \to +\infty } f = 5\). Disegnare un grafico plausibile di \(f\) e
descrivere \(f''\).
10.
Determinare per quali \(a \in \mathbb{R} \) la funzione \(f(x) = x^3 + a x^2 + 3 x + 1\) ha due punti critici. Per tali \(a\), classificare i due
punti.
11.
Problema inverso. Il grafico di \(f'\) è una parabola con vertice in \((2, -1)\) e zeri in \(x = 1\) e \(x = 3\). Sapendo che \(f(1) = 0\),
descrivere il comportamento di \(f\): monotonia, estremi, concavità.
12.
Studiare la famiglia di funzioni \(f_a(x) = e^{-x^2/(2 a^2)}\) (gaussiane di parametro \(a > 0\)): determinare massimo, flessi, e
mostrare come variano con \(a\).
13.
Sia \(f(x) = (1 + 1/x)^x\). Determinare il dominio e calcolare \(\lim _{x \to +\infty } f\) (risposta: \(e\)). Discutere monotonia e disegnare un
grafico qualitativo.
Sfida. Si consideri \(f(x) = \dfrac {x}{\ln x}\) su \((0, 1) \cup (1, +\infty )\). Determinare dominio, asintoti (verticali e obliqui), estremi locali,
concavità. Mostrare in particolare che esiste un minimo locale in \(x = e\), \(f(e) = e\). (Questa funzione
compare nella stima del numero di primi \(\le N\) in teoria dei numeri: il teorema dei numeri primi
dice \(\pi (N) \sim N/\ln N\).)
Schema dello studio di funzione: dominio \(\to \) simmetrie \(\to \) intersezioni con gli assi \(\to \) segno
\(\to \) limiti \(\to \) asintoti \(\to \) \(f'\) (monotonia ed estremi) \(\to \) \(f''\) (concavità e flessi) \(\to \) tabella riassuntiva \(\to \)
grafico.
Dominio: imporre le condizioni di esistenza (denominatori, radicali pari, logaritmi,
funzioni inverse goniometriche).
Limiti agli estremi del dominio: calcolarli ai punti esclusi e a \(\pm \infty \) per individuare asintoti
verticali (limite infinito a un punto finito), orizzontali (limite finito a \(\pm \infty \)), obliqui (limite
infinito a \(\pm \infty \) con \(f(x)/x \to m\) finito non nullo e \(f(x) - m x \to q\) finito).
Studio di \(f'\): zero \(f' = 0 \to \) punti critici, segno \(f' \to \) monotonia, test della derivata prima \(\to \)
classificazione max/min/flesso a tangente orizzontale.
Studio di \(f''\): zeri \(f'' = 0 \to \) candidati flesso, segno \(f'' \to \) concavità (\(\smile \) se \(f'' > 0\), \(\frown \) se \(f'' < 0\)), cambio segno \(\to \) flesso.
Grafico qualitativo: disegnare asintoti, intersezioni, max/min, flessi, e tracciare la
curva rispettando segno, monotonia, concavità.
Problema inverso: dal grafico di \(f\) si ricavano qualitativamente quelli di \(f'\) (positiva dove \(f\)
cresce, ecc.) e di \(f''\) (positiva dove \(f\) è convessa). È una palestra concettuale fondamentale.
Nel prossimo capitolo (142) introduciamo il differenziale \(\mathrm {d}f = f'(x) \mathrm {d}x\) e l’approssimazione lineare,
uno strumento concettualmente collegato (la tangente come prima approssimazione
locale) e di immediato utilizzo per la stima degli errori in fisica. In 143 useremo
l’apparato dello studio di funzione per affrontare problemi di massimo e minimo
applicati.
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