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Capitolo 142
Differenziale di una funzione

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Chiamerò differenziale di una grandezza variabile \(x\) una quantità infinitamente piccola, indicata con \(\mathrm {d}x\). Allora il differenziale di una funzione \(y = f(x)\) è \(\mathrm {d}y = f'(x)\,\mathrm {d}x\). Il calcolo dei differenziali è di gran lunga più potente del calcolo per quozienti, e si presta meglio alle applicazioni fisiche.”

— Gottfried Wilhelm Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, Acta Eruditorum (1684), traduzione adattata

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142.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo 133 abbiamo introdotto la derivata \(f'(x_0)\) come limite del rapporto incrementale \(\dfrac {\Delta f}{\Delta x}\). La notazione \(\dfrac {\mathrm {d}f}{\mathrm {d}x}\), dovuta a Leibniz, suggerisce di separare “numeratore” e “denominatore” interpretandoli come oggetti propri: i differenziali \(\mathrm {d}f\) e \(\mathrm {d}x\). Da qui nasce un linguaggio — quello del calcolo differenziale — che si rivela enormemente potente in due direzioni:

Storicamente, il differenziale di Leibniz e il rapporto incrementale di Newton hanno percorsi paralleli e una rivalità feroce; ma la notazione di Leibniz si è imposta perché è più maneggevole nelle applicazioni. Oggi, nell’analisi moderna, \(\mathrm {d}f\) è formalizzato in modo rigoroso (come “forma differenziale”); per i nostri scopi liceali, possiamo trattarlo come una pratica e suggestiva variazione lineare lungo la tangente.

142.2 Definizione di differenziale

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Definizione 142.1 — Differenziale di una funzione

Sia \(f\) derivabile in \(x_0\), e sia \(h \in \mathbb{R} \) (chiamato incremento). Si dice differenziale di \(f\) in \(x_0\) relativo all’incremento \(h\) il numero

\[ \mathrm {d}f(x_0; h) = f'(x_0) \cdot h. \]

Adottando la convenzione \(\mathrm {d}x = h\) (che equivale a dire “il differenziale della variabile indipendente \(x\) coincide con il suo incremento”), si scrive in forma compatta:

\[ \mathrm {d}f = f'(x)\,\mathrm {d}x. \]

Notazione e terminologia.

Esempio 142.1 — Differenziale di funzioni elementari

Esempio 142.2 — Differenziale composto

Se \(y = f(g(x))\) è una composizione, allora per la chain rule (135):

\[ \mathrm {d}y = f'(g(x)) \cdot g'(x)\,\mathrm {d}x = f'(g(x))\,\mathrm {d}g. \]

La notazione di Leibniz rende particolarmente naturale la chain rule: \(\mathrm {d}y = (\mathrm {d}y/\mathrm {d}u)(\mathrm {d}u/\mathrm {d}x)\,\mathrm {d}x\).

142.3 Significato geometrico

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Geometricamente, il differenziale \(\mathrm {d}f\) rappresenta l’incremento subito dall’ordinata della retta tangente al grafico di \(f\) nel passare da \(x_0\) a \(x_0 + \mathrm {d}x\). La grandezza \(\Delta f\), invece, è l’incremento dell’ordinata sul grafico stesso.

[Picture]

Figura 142.1: Significato geometrico del differenziale: \(\mathrm {d}f = f'(x_0)\,\mathrm {d}x\) è l’incremento sulla retta tangente, mentre \(\Delta f = f(x_0 + \mathrm {d}x) - f(x_0)\) è l’incremento sul grafico. La differenza \(\Delta f - \mathrm {d}f\) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a \(\mathrm {d}x\).

In simboli, il rapporto fra l’errore \(\Delta f - \mathrm {d}f\) e l’incremento \(\mathrm {d}x\) tende a zero quando \(\mathrm {d}x \to 0\):

\[ \lim _{\mathrm {d}x \to 0} \frac {\Delta f - \mathrm {d}f}{\mathrm {d}x} = \lim _{h \to 0} \frac {f(x_0 + h) - f(x_0) - f'(x_0) h}{h} = \lim _{h \to 0} \left [ \frac {f(x_0+h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0) \right ] = 0. \]

Questo è il senso preciso in cui “\(\mathrm {d}f\) è la migliore approssimazione lineare di \(\Delta f\)”.

142.4 Approssimazione lineare

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L’idea operativa è semplice: per \(h = \Delta x\) piccolo, ci aspettiamo

\[ f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)\, h, \]

e la qualità dell’approssimazione migliora al diminuire di \(|h|\).

Approssimazione lineare (sviluppo del primo ordine).

\[ f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)\, h, \qquad \text {per } |h| \text { piccolo.} \]

Equivalentemente, \(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) è l’equazione della retta tangente al grafico in \((x_0, f(x_0))\): l’approssimazione lineare sostituisce il grafico con la tangente.

Procedura  — Calcolare un’approssimazione lineare

1.
Scegliere un punto \(x_0\) “comodo” vicino al valore \(x\) di interesse, in cui \(f(x_0)\) e \(f'(x_0)\) siano facili da calcolare.
2.
Calcolare \(f(x_0)\) e \(f'(x_0)\).
3.
Approssimare \(f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)\, h\) con \(h = x - x_0\).

Esempio 142.3 — Stima di \(\sqrt {4.1}\)

\(f(x) = \sqrt {x}\), \(x_0 = 4\), \(h = 0.1\). \(f(4) = 2\), \(f'(x) = 1/(2\sqrt {x})\), \(f'(4) = 1/4 = 0.25\). Quindi

\[ \sqrt {4.1} \approx 2 + 0.25 \cdot 0.1 = 2.025. \]

Il valore vero è \(\sqrt {4.1} = 2.0248\ldots \), dunque l’errore è \(\approx 0.0002\): ottima approssimazione con \(h/x_0 = 2.5\%\).

Esempio 142.4 — Stima di \(\operatorname{sen} 0.05\)

\(f(x) = \operatorname{sen} x\), \(x_0 = 0\), \(h = 0.05\). \(f(0) = 0\), \(f'(0) = \cos 0 = 1\). Quindi \(\operatorname{sen} 0.05 \approx 0 + 1 \cdot 0.05 = 0.05\). Valore vero: \(0.04998\). Per piccoli angoli (in radianti), \(\operatorname{sen} x \approx x\): è la versione lineare del limite notevole \(\lim _{x \to 0} \operatorname{sen} x / x = 1\), vista in 129.

Esempio 142.5 — Stima di \(\ln 1.02\)

\(f(x) = \ln x\), \(x_0 = 1\), \(h = 0.02\). \(f(1) = 0\), \(f'(1) = 1\). \(\ln 1.02 \approx 0 + 1 \cdot 0.02 = 0.02\). Valore vero: \(0.0198\). In generale \(\ln (1 + h) \approx h\) per \(h\) piccolo.

Esempio 142.6 — Approssimazioni utili al primo ordine

Conviene memorizzare alcune approssimazioni-tipo per \(h\) piccolo:

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In laboratorio di fisica, ogni grandezza misurata \(x\) è affetta da un’incertezza (errore sperimentale) \(\Delta x\). Se calcoliamo poi una grandezza derivata \(y = f(x)\), l’incertezza si propaga: l’incertezza su \(y\) sarà \(\Delta y\), e il differenziale ci dà subito una buona stima:

Propagazione lineare dell’errore (caso a una variabile).

\[ \Delta y \approx |f'(x)|\, \Delta x, \qquad \frac {\Delta y}{|y|} \approx \left | \frac {x\, f'(x)}{f(x)} \right | \frac {\Delta x}{|x|}. \]

La seconda formula è la propagazione dell’errore relativo: il fattore \(|x f'(x)/f(x)|\) è la cosiddetta elasticità di \(f\) in \(x\). Casi notevoli:

Esempio 142.7 — Errore sull’area di un cerchio

Si misura il raggio di un cerchio \(r = 5.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) con incertezza \(\Delta r = 0.1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Quanto vale l’incertezza sull’area \(A = \pi r^2\)?

\(A'(r) = 2 \pi r\). \(\Delta A \approx 2 \pi r \, \Delta r = 2 \pi \cdot 5.0 \cdot 0.1 \,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} } = \pi \,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} } \approx 3.14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\).

L’area vale \(A = \pi \cdot 25 \,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} } \approx 78.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\), quindi \(A = 78.5 \pm 3.1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\). L’errore relativo: \(\Delta A / A \approx 2 \, \Delta r / r = 4\%\) (il doppio dell’errore relativo sul raggio, come prevede la regola dell’esponente \(n = 2\)).

Esempio 142.8 — Errore sul periodo di un pendolo

Il periodo del pendolo è \(T = 2 \pi \sqrt {L/g}\). Si misura \(L = 1.000\,{\mathrm{m} }\) con incertezza \(\Delta L = 2\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\). Stimare l’errore relativo su \(T\) (assumendo \(g\) noto esattamente).

Trattando \(T(L) = 2\pi \sqrt {L/g}\), \(T \propto \sqrt L\): per la regola della radice quadrata,

\[ \frac {\Delta T}{T} \approx \frac {1}{2}\, \frac {\Delta L}{L} = \frac {1}{2} \cdot \frac {2}{1000} = 0{.}1\%. \]

Numericamente, con \(L = 1.000\,{\mathrm{m} }\) e \(g = 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\), \(T \approx 2.006\,{\mathrm{s} }\), \(\Delta T \approx 0.002\,{\mathrm{s} }\).

Limiti della formula. Quando l’incertezza relativa è grande (diciamo \(> 10\%\)) o \(f\) è molto non-lineare nella zona di interesse, la stima lineare \(\Delta y \approx |f'| \Delta x\) può sottovalutare o sovrastimare; in tal caso conviene calcolare direttamente \(f(x + \Delta x)\) e \(f(x - \Delta x)\) e prendere la massima differenza.

Caso multivariata. Se \(y = f(x_1, \dots , x_n)\), la formula generale è

\[ \Delta y \approx \sum _{i=1}^n \left | \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \right | \Delta x_i, \]

ma per il liceo ci si limita di solito al caso a una variabile. (Il caso multivariata si tratta sistematicamente all’università.)

142.6 Esempi svolti

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Esempio 142.9 — Stima della radice cubica \((8.06)^{1/3}\)

\(f(x) = x^{1/3}\), \(x_0 = 8\), \(h = 0.06\). \(f(8) = 2\), \(f'(x) = \frac {1}{3} x^{-2/3}\), \(f'(8) = \frac {1}{3 \cdot 4} = \frac {1}{12}\). Quindi

\[ \sqrt [3]{8.06} \approx 2 + \frac {0.06}{12} = 2 + 0.005 = 2.005. \]

Valore vero: \(2.00499\). Errore \(< 1\times 10^{-5}\).

Esempio 142.10 — Stima di \(\operatorname{tg} 46^\circ \)

\(f(x) = \operatorname{tg} x\) (radianti). \(x_0 = 45^\circ = \pi /4\), \(h = 1^\circ = \pi /180\). \(f(\pi /4) = 1\), \(f'(x) = 1 + \operatorname{tg} ^2 x\), \(f'(\pi /4) = 2\). Quindi

\[ \operatorname{tg} 46^\circ \approx 1 + 2 \cdot \frac {\pi }{180} \approx 1 + 0.0349 = 1.0349. \]

Valore vero: \(1.0355\). Buona approssimazione con errore \(\approx 0.06\%\).

Esempio 142.11 — Errore sul volume di una sfera

Una sfera ha raggio \(r = 10.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) con incertezza \(\Delta r = 0.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Stimare il volume e la sua incertezza.

\(V(r) = \frac {4}{3} \pi r^3\). \(V(10) \approx 4189\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\). \(V'(r) = 4 \pi r^2\), \(V'(10) = 400\pi \,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} } \approx 1257\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{2} }\). \(\Delta V \approx 1257 \cdot 0.5 \,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} } \approx 628\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\).

Risultato: \(V = 4200 \pm 600\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\) (l’errore relativo è \(15\% = 3 \cdot 5\%\), come prevede la regola \(\Delta V/V = 3\,\Delta r / r\)).

Esempio 142.12 — Differenziale di una funzione composta

Sia \(y = \ln (1 + x^2)\). \(\mathrm {d}y = \dfrac {2 x}{1 + x^2}\,\mathrm {d}x\). Calcolare il differenziale in \(x = 1\) per \(\mathrm {d}x = 0.1\): \(\mathrm {d}y = \dfrac {2}{2} \cdot 0.1 = 0.1\). Stimato così, \(\ln (1 + 1.1^2) = \ln 2.21 \approx \ln 2 + 0.1 = 0.793\). Valore vero: \(0.793\). Coincidono nelle 3 cifre.

Esempio 142.13 — Confronto \(\Delta f\) vs \(\mathrm {d}f\)

\(f(x) = x^2\) in \(x_0 = 3\), \(h = 0.2\). \(\Delta f = f(3.2) - f(3) = 10.24 - 9 = 1.24\). \(\mathrm {d}f = 2 \cdot 3 \cdot 0.2 = 1.2\). Differenza \(\Delta f - \mathrm {d}f = 0.04 = h^2\), esattamente di ordine \(h^2\) (infinitesimo di ordine superiore rispetto a \(h = \mathrm {d}x\)).

Esempio 142.14 — Errore relativo nella legge di Boyle

Nella legge dei gas ideali \(PV = \) cost, fissato il volume vale \(P \propto T\), ma se invece teniamo \(T\) fissa, \(P = k/V\). Misurato \(V = 2.00\,{\mathrm{L} }\) con incertezza \(0.05\,{\mathrm{L} }\) (errore relativo \(2.5\%\)), l’errore relativo su \(P\) è uguale a quello su \(V\) (in modulo), perché \(P = k/V\) ha \(|x f'/f| = 1\).

142.7 Esercizi proposti

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Esercizio 142.1

1.
Calcolare il differenziale \(\mathrm {d}f\) delle seguenti funzioni:
(a)
\(f(x) = x^3 - 2 x^2 + 7\);
(b)
\(f(x) = \operatorname{sen} (2 x)\);
(c)
\(f(x) = \dfrac {1}{1 + x^2}\);
(d)
\(f(x) = e^{x^2}\);
(e)
\(f(x) = \ln (\operatorname{sen} x)\).
2.
Usando l’approssimazione lineare, stimare:
(a)
\(\sqrt {16.2}\);
(b)
\(\sqrt [3]{27.3}\);
(c)
\(\operatorname{sen} 31^\circ \);
(d)
\(e^{0.1}\);
(e)
\(\ln 0.99\).
3.
Calcolare \(\Delta f\) e \(\mathrm {d}f\) per \(f(x) = x^3\) in \(x_0 = 2\), \(\Delta x = 0.1\), e mostrare che la differenza è di ordine \((\Delta x)^2\).
4.
Una lastra quadrata ha lato \(\ell = 20.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) con incertezza \(0.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcolare area e incertezza sull’area, sia in cifra che in percentuale.
5.
Una vasca cilindrica ha base di raggio \(r = 30.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e altezza \(h = 50.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), entrambi con incertezza \(0.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Stimare l’errore relativo sul volume \(V = \pi r^2 h\) (formula multivariata: \(\Delta V/V \approx 2\Delta r/r + \Delta h/h\)).
6.
Si misura il periodo di oscillazione di un pendolo: \(T = 1.50 +- 0.03\,{\mathrm{s} }\). Sapendo che \(T = 2\pi \sqrt {L/g}\), stimare \(L\) e l’incertezza assoluta su \(L\) (assumere \(g = 9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\) esatto).
7.
Il diametro di una moneta è \(d = 2.10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), lo spessore \(s = 0.20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), entrambi con incertezza \(0.05\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\). Calcolare volume e incertezza sul volume.
8.
In una resistenza elettrica si misurano corrente \(I = 0.50\,{\mathrm{A} }\) (\(\Delta I = 0.02\,{\mathrm{A} }\)) e tensione \(U = 12.0\,{\mathrm{V} }\) (\(\Delta U = 0.5\,{\mathrm{V} }\)). Calcolare la resistenza \(R = U/I\) e l’errore relativo (suggerimento: \(\Delta R / R \approx \Delta U/U + \Delta I / I\)).
9.
Mostrare che, se \(y = A x^a y^b z^c\) è un monomio generalizzato di più variabili, allora l’errore relativo si propaga come \(\dfrac {\Delta y}{y} = |a| \dfrac {\Delta x}{x} + |b| \dfrac {\Delta y}{y} + |c| \dfrac {\Delta z}{z}\) (formula molto usata in laboratorio).
10.
Calcolare l’approssimazione lineare di \(f(x) = \cos x\) in \(x_0 = \pi /3\) e usarla per stimare \(\cos 61^\circ \).
11.
Calcolare \(\operatorname{sen} 32^\circ - \operatorname{sen} 30^\circ \) usando l’approssimazione lineare in \(x_0 = 30^\circ = \pi /6\).
12.
Stimare \(\sqrt {1.04} \cdot \sqrt [3]{0.96}\) usando il fatto che \((1 + h)^\alpha \approx 1 + \alpha h\) per \(h\) piccolo.
13.
Un cubo di lato \(\ell \) subisce una dilatazione termica \(\Delta \ell / \ell = \alpha \Delta T\) con \(\alpha = 1.2\times 10^{-5}\,{/ \mathrm{K} }\) (acciaio). Se \(\ell = 1.000\,{\mathrm{m} }\) e \(\Delta T = 50\,{\mathrm{K} }\), stimare \(\Delta V/V\) e \(\Delta V\) in valore assoluto.
14.
Sia \(f\) derivabile in \(x_0\) con \(f'(x_0) = 0\). Mostrare che il differenziale \(\mathrm {d}f(x_0; h) = 0\) per ogni \(h\), e che \(\Delta f\) è in tal caso un infinitesimo di ordine superiore a \(\mathrm {d}x\). Commentare come questo si lega alla discussione dei massimi e minimi (139).
15.
Sfida. La densità di un materiale è calcolata come \(\rho = m/V\) dove \(m\) è la massa e \(V\) il volume. Si misura \(m = 50.0\,{\mathrm{g} }\) (\(\Delta m = 0.1\,{\mathrm{g} }\)) e \(V = 18.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\) (\(\Delta V = 0.3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\)). Determinare \(\rho \) e \(\Delta \rho \) con la formula della propagazione, e confrontare il risultato con la densità nota del piombo (\(\rho _{\mathrm {Pb}} = 11.34\,{\mathrm{g} / \mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\)). Il campione è di piombo?

142.8 Riepilogo del capitolo

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