135 Derivata della funzione composta e della funzione inversa

“

Quando \(y\) è funzione di \(x\), e \(x\) è funzione di \(t\), il differenziale di \(y\) rispetto a \(t\) si trova moltiplicando il coefficiente differenziale di \(y\) rispetto a \(x\) per il coefficiente differenziale di \(x\) rispetto a \(t\).”

— Leonhard Euler, Institutiones calculi differentialis (1755), traduzione adattata

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135.1 Introduzione motivazionale

Nel capitolo precedente (134) abbiamo costruito la tabella delle derivate elementari e le regole di linearità, prodotto e quoziente. Mancano due strumenti fondamentali, senza i quali interi gruppi di funzioni resterebbero fuori portata:

Le due formule sono strettamente collegate: la derivata della funzione inversa si dimostra usando la chain rule.

A queste si affianca una tecnica: la derivata logaritmica, che applica \(\ln \) a entrambi i membri prima di derivare. È indispensabile per funzioni del tipo \(f(x)^{g(x)}\) (base e esponente variabili).

La regola sulla composizione fu formulata sistematicamente da Leonhard Euler (1707–1783) nelle Institutiones calculi differentialis del 1755, dove appare già in una forma che riconosceremmo oggi. La notazione frazionale di Leibniz \(dy/dx\) rende la regola particolarmente intuitiva: i differenziali si moltiplicano come frazioni.

135.2 Derivata della funzione composta (chain rule)

Teorema 135.1 — Chain rule

Siano \(f : I \to \mathbb{R} \) derivabile in \(x_0 \in I\) e \(g : J \to \mathbb{R} \) derivabile in \(y_0 = f(x_0)\), con \(f(I) \subseteq J\). Allora la funzione composta \(h(x) = g(f(x))\) è derivabile in \(x_0\) e

\[ h'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0). \]

Notazione di Leibniz. Se poniamo \(u = f(x)\) e \(y = g(u)\), allora \(y = g(f(x))\) è funzione di \(x\) tramite \(u\), e la formula si scrive:

La regola è suggerita dalla cancellazione formale dei \(du\): comoda mnemonica, anche se non è una vera frazione.

Dimostrazione (idea). Per \(h \ne 0\) vicino a \(0\) tale che \(f(x_0 + h) \ne f(x_0)\), possiamo scrivere

Quando \(h \to 0\): \(f\) è continua in \(x_0\) (perché derivabile), dunque \(f(x_0+h) \to f(x_0) = y_0\); il primo fattore tende a \(g'(y_0)\), il secondo a \(f'(x_0)\). Il prodotto tende dunque a \(g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)\). Il caso \(f(x_0 + h) = f(x_0)\) richiede una trattazione separata che omettiamo.

Esempio 135.1 — \(D(\operatorname{sen} (x^2))\)

\(y = \operatorname{sen} (x^2)\) è composta: \(y = \operatorname{sen} u\) con \(u = x^2\). Allora \(dy/du = \cos u\) e \(du/dx = 2x\), quindi

\[ D(\operatorname{sen} (x^2)) = \cos (x^2) \cdot 2x = 2x \cos (x^2). \]

Esempio 135.2 — \(D(e^{-x^2})\)

\(y = e^u\) con \(u = -x^2\). \(dy/du = e^u\), \(du/dx = -2x\):

\[ D(e^{-x^2}) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x \, e^{-x^2}. \]

(Questa è la derivata della celebre gaussiana, fondamentale in probabilità.)

Esempio 135.3 — \(D((3x+1)^5)\)

\(y = u^5\) con \(u = 3x + 1\). \(dy/du = 5 u^4\), \(du/dx = 3\):

\[ D((3x+1)^5) = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4. \]

Senza chain rule si sarebbe dovuto sviluppare la potenza, derivare termine a termine, semplificare: chain rule è imbattibile.

Esempio 135.4 — \(D(\ln (\cos x))\)

\(y = \ln u\) con \(u = \cos x\). \(dy/du = 1/u\), \(du/dx = -\operatorname{sen} x\):

\[ D(\ln (\cos x)) = \frac {1}{\cos x} \cdot (-\operatorname{sen} x) = -\operatorname{tg} x. \]

Composizione di tre o più funzioni. La chain rule si itera. Se \(y = f(g(h(x)))\):

Esempio 135.5 — Composizione tripla

\(y = \operatorname{sen} (\sqrt {1 + x^2})\). Funzioni interne: \(h(x) = 1 + x^2\), \(g(u) = \sqrt {u}\), \(f(v) = \operatorname{sen} v\).

\[ y' = \cos \!\left (\sqrt {1 + x^2}\right ) \cdot \frac {1}{2\sqrt {1 + x^2}} \cdot 2x = \frac {x \cos \!\left (\sqrt {1 + x^2}\right )}{\sqrt {1 + x^2}}. \]

135.3 Derivata della funzione inversa

Teorema 135.2 — Derivata della funzione inversa

Sia \(f : I \to \mathbb{R} \) continua e strettamente monotona in un intorno di \(x_0 \in I\), derivabile in \(x_0\) con \(f'(x_0) \ne 0\). Sia \(g = f^{-1}\) la funzione inversa, definita su \(J = f(I)\). Allora \(g\) è derivabile in \(y_0 = f(x_0)\) e

\[ g'(y_0) = \frac {1}{f'(x_0)} = \frac {1}{f'(f^{-1}(y_0))}. \]

In notazione di Leibniz, posto \(y = f(x)\):

\[ \frac {dx}{dy} = \frac {1}{dy/dx}. \]

Dimostrazione. Per definizione di inversa, \(f(g(y)) = y\) per ogni \(y \in J\). Derivando entrambi i membri rispetto a \(y\) con la chain rule (ammettendo per ora che \(g\) sia derivabile):

Interpretazione geometrica. Il grafico di \(f^{-1}\) è il riflesso del grafico di \(f\) rispetto alla bisettrice \(y = x\). Una retta di pendenza \(m\) si riflette in una di pendenza \(1/m\). Quindi la tangente al grafico di \(f^{-1}\) in \((y_0, x_0)\) ha pendenza \(1/m\) se la tangente al grafico di \(f\) in \((x_0, y_0)\) ha pendenza \(m\). Da qui \(g'(y_0) = 1/f'(x_0)\).

Attenzione!

La condizione \(f'(x_0) \ne 0\) è essenziale: se \(f'(x_0) = 0\) allora la tangente al grafico di \(f\) è orizzontale, dunque la tangente al grafico di \(f^{-1}\) è verticale e \(f^{-1}\) non è derivabile in \(y_0\) (anche se può essere continua). Esempio: \(f(x) = x^3\) in \(x_0 = 0\) ha \(f'(0) = 0\), e \(f^{-1}(y) = \sqrt [3]{y}\) ha tangente verticale in \(y_0 = 0\).

Esempio 135.6 — \(D(\ln x)\) dalla derivata di \(e^x\)

Sia \(f(x) = e^x\), \(f^{-1}(y) = \ln y\). \(f'(x) = e^x\) non si annulla mai, dunque \(f^{-1}\) è derivabile su \((0, +\infty )\) e

\[ (\ln y)' = \frac {1}{f'(\ln y)} = \frac {1}{e^{\ln y}} = \frac {1}{y}. \]

Ritroviamo \(D(\ln x) = 1/x\) senza passare dal limite notevole.

Esempio 135.7 — Derivata della radice \(n\)-esima

Sia \(f(x) = x^n\), \(n \in \mathbb{N} \), \(n \ge 1\). La funzione \(f\) è strettamente crescente per \(x > 0\), inversa \(f^{-1}(y) = \sqrt [n]{y} = y^{1/n}\). \(f'(x) = n x^{n-1}\), non nulla per \(x > 0\):

\[ D(\sqrt [n]{y}) = \frac {1}{n \, (\sqrt [n]{y})^{n-1}} = \frac {1}{n} \, y^{(1-n)/n} = \frac {1}{n} y^{1/n - 1}. \]

Confermiamo la formula \(D(y^{1/n}) = (1/n) y^{1/n - 1}\), casi particolari di \(D(y^\alpha ) = \alpha y^{\alpha -1}\).

135.4 Derivate delle funzioni goniometriche inverse

Applichiamo la formula dell’inversa alle restrizioni delle funzioni goniometriche su intervalli in cui sono monotone.

Teorema 135.3 — Derivate di \(\operatorname{arcsen} \) e \(\arccos \)

Per ogni \(x \in (-1, 1)\):

\[ D(\operatorname{arcsen} x) = \frac {1}{\sqrt {1 - x^2}}, \qquad D(\arccos x) = -\frac {1}{\sqrt {1 - x^2}}. \]

Dimostrazione (arcseno). \(\operatorname{sen} \) è strettamente crescente su \([-\pi /2, \pi /2]\), con immagine \([-1, 1]\). L’inversa \(\operatorname{arcsen} : [-1, 1] \to [-\pi /2, \pi /2]\). Per \(x \in (-1, 1)\), \(y = \operatorname{arcsen} x\) implica \(x = \operatorname{sen} y\) con \(y \in (-\pi /2, \pi /2)\), dove \(\cos y > 0\). Per la regola dell’inversa:

Dimostrazione (arccoseno). Analoga, su \([0, \pi ]\) dove \(\cos \) è strettamente decrescente. La derivata di \(\arccos \) ha lo stesso modulo ma segno opposto.

Teorema 135.4 — Derivata di \(\operatorname{arctg} \) e \(\operatorname {arccot}\)

Per ogni \(x \in \mathbb{R} \):

\[ D(\operatorname{arctg} x) = \frac {1}{1 + x^2}, \qquad D(\operatorname {arccot} x) = -\frac {1}{1 + x^2}. \]

Dimostrazione (arctan). \(\operatorname{tg} \) è strettamente crescente su \((-\pi /2, \pi /2)\). L’inversa \(\operatorname{arctg} : \mathbb{R} \to (-\pi /2, \pi /2)\). Per \(y = \operatorname{arctg} x\), \(x = \operatorname{tg} y\) e \(D(\operatorname{tg} y) = 1 + \operatorname{tg} ^2 y\):

135.5 Derivata logaritmica

La derivata logaritmica è una tecnica che applica \(\ln \) a entrambi i membri prima di derivare. Si rivela cruciale per due classi di funzioni:

Procedura — Metodo della derivata logaritmica

Per derivare \(y = f(x)^{g(x)}\):

1.: Applicare \(\ln \) (per \(f(x) > 0\)): \(\ln y = g(x) \ln f(x)\).
2.: Derivare entrambi i membri (chain rule a sinistra, prodotto a destra):
\[ \frac {y'}{y} = g'(x) \ln f(x) + g(x) \frac {f'(x)}{f(x)}. \]
3.: Isolare \(y'\) moltiplicando per \(y = f(x)^{g(x)}\).

Esempio 135.8 — Derivata di \(y = x^x\), \(x > 0\)

\(\ln y = x \ln x\). Deriviamo:

\[ \frac {y'}{y} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac {1}{x} = \ln x + 1. \]

Quindi \(y' = x^x (\ln x + 1)\).

Esempio 135.9 — Derivata di \(y = (\operatorname{sen} x)^x\), per \(x \in (0, \pi )\)

\(\ln y = x \ln (\operatorname{sen} x)\). Deriviamo:

\[ \frac {y'}{y} = \ln (\operatorname{sen} x) + x \cdot \frac {\cos x}{\operatorname{sen} x} = \ln (\operatorname{sen} x) + x \operatorname{cotg} x. \]

Quindi \(y' = (\operatorname{sen} x)^x \, [\ln (\operatorname{sen} x) + x \operatorname{cotg} x]\).

Teorema 135.5 — Derivata della potenza a esponente reale

Per ogni \(\alpha \in \mathbb{R} \) e ogni \(x > 0\):

\[ D(x^\alpha ) = \alpha \, x^{\alpha - 1}. \]

Dimostrazione. Scriviamo \(x^\alpha = e^{\alpha \ln x}\) (definizione di potenza a esponente reale). Per chain rule:

La formula è uniforme per \(\alpha \) qualsiasi (naturale, intero, razionale, irrazionale): adesso ne abbiamo una dimostrazione unica.

Teorema 135.6 — Derivata di \(a^x\)

Per ogni \(a > 0\) e ogni \(x \in \mathbb{R} \):

\[ D(a^x) = a^x \ln a. \]

135.6 Esempi svolti

Esempio 135.10 — Funzione razionale composta

\(f(x) = \dfrac {1}{(x^2 + 1)^3}\). Riscriviamo \(f(x) = (x^2 + 1)^{-3}\) e applichiamo chain rule:

\[ f'(x) = -3 (x^2 + 1)^{-4} \cdot 2x = -\frac {6x}{(x^2 + 1)^4}. \]

Esempio 135.11 — Composizione con radice

\(f(x) = \sqrt {1 - x^2}\) per \(x \in (-1, 1)\). Posto \(u = 1 - x^2\), \(f = u^{1/2}\):

\[ f'(x) = \frac {1}{2} u^{-1/2} \cdot (-2x) = \frac {-x}{\sqrt {1 - x^2}}. \]

Interpretazione: il grafico di \(f\) è la semicirconferenza superiore di raggio \(1\). In \(x = 0\) la tangente è orizzontale (\(f'(0) = 0\)), in \(x \to \pm 1\) la pendenza tende a \(\mp \infty \) (tangenti verticali).

Esempio 135.12 — \(D(\operatorname{arctg} (\sqrt {x}))\) per \(x > 0\)

Posto \(u = \sqrt {x} = x^{1/2}\):

\[ D(\operatorname{arctg} (\sqrt {x})) = \frac {1}{1 + (\sqrt {x})^2} \cdot \frac {1}{2\sqrt {x}} = \frac {1}{(1 + x) \cdot 2\sqrt {x}} = \frac {1}{2\sqrt {x}(1 + x)}. \]

Esempio 135.13 — Esponenziale di una composizione

\(f(x) = e^{\operatorname{sen} x}\). Posto \(u = \operatorname{sen} x\):

\[ f'(x) = e^{\operatorname{sen} x} \cdot \cos x. \]

Esempio 135.14 — Logaritmo di una somma

\(f(x) = \ln (1 + e^x)\). Posto \(u = 1 + e^x\):

\[ f'(x) = \frac {1}{1 + e^x} \cdot e^x = \frac {e^x}{1 + e^x}. \]

Curiosità: la funzione \(f(x) = \ln (1 + e^x)\) è la cosiddetta softplus, molto usata nelle reti neurali; la sua derivata \(e^x/(1+e^x)\) è la celebre funzione logistica \(\sigma (x) = 1/(1 + e^{-x})\).

Esempio 135.15 — Derivata logaritmica per un prodotto complesso

\(f(x) = \dfrac {(x^2 + 1)^3 \, (2x - 1)^5}{\sqrt {x + 3}}\). Calcolo diretto: si applicherebbero prodotto e quoziente, generando un’espressione mostruosa. Derivata logaritmica:

\[ \ln |f(x)| = 3 \ln (x^2 + 1) + 5 \ln |2x - 1| - \frac {1}{2} \ln |x + 3|. \]

Derivando:

\[ \frac {f'(x)}{f(x)} = 3 \cdot \frac {2x}{x^2 + 1} + 5 \cdot \frac {2}{2x - 1} - \frac {1}{2} \cdot \frac {1}{x + 3} = \frac {6x}{x^2 + 1} + \frac {10}{2x - 1} - \frac {1}{2(x + 3)}. \]

Da cui \(f'(x) = f(x) \cdot [\ldots ]\). La derivata logaritmica trasforma prodotti/quozienti in somme: una semplificazione notevole nei calcoli pesanti.

Esempio 135.16 — Composizione tripla con tre funzioni elementari

\(f(x) = \operatorname{sen} (\ln (x^2 + 1))\). Catena: \(h(x) = x^2 + 1\), \(g(u) = \ln u\), \(\operatorname{sen} \) esterno.

\[ f'(x) = \cos (\ln (x^2 + 1)) \cdot \frac {1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac {2x \cos (\ln (x^2 + 1))}{x^2 + 1}. \]

135.7 Esercizi proposti

Esercizio 135.1

1.

Calcolare la derivata delle seguenti funzioni (chain rule):

(a): \(f(x) = (2x^2 - 5x + 1)^4\);
(b): \(f(x) = \sqrt {3x^2 + 1}\);
(c): \(f(x) = \cos (3x + 1)\);
(d): \(f(x) = e^{-3x}\);
(e): \(f(x) = \ln (2x^2 + 1)\).

2.

Calcolare \(D(f(x))\) per \(f(x) = \operatorname{tg} (x^2)\).

3.

Calcolare \(D(f(x))\) per \(f(x) = \operatorname{arcsen} (2x)\). Indicare il dominio della derivata.

4.

Calcolare \(D(f(x))\) per \(f(x) = \operatorname{arctg} (1/x)\) per \(x \ne 0\). Domanda extra: confrontare con \(\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} (1/x)\) su \((0, +\infty )\) e ricavare un’identità.

5.

Calcolare \(D(f(x))\) per \(f(x) = \sqrt {\operatorname{sen} x}\), indicando il dominio.

6.

Calcolare \(D(f(x))\) per \(f(x) = \dfrac {1}{\sqrt {x^2 - 1}}\) per \(|x| > 1\).

7.

Calcolare \(D(f(x))\) per \(f(x) = \ln \!\left (\dfrac {1 + x}{1 - x}\right )\) per \(|x| < 1\).

8.

Calcolare \(D(f(x))\) per \(f(x) = e^{x^2} \cos (3x)\) usando prodotto + chain rule.

9.

Calcolare \(D(f(x))\) per \(f(x) = x^{1/x}\) con \(x > 0\) tramite derivata logaritmica.

10.

Calcolare \(D(f(x))\) per \(f(x) = (1 + x^2)^{\operatorname{sen} x}\) tramite derivata logaritmica.

11.

Determinare la retta tangente al grafico di \(f(x) = \operatorname{arctg} (x^2)\) nel punto di ascissa \(x_0 = 1\).

12.

Determinare i punti del grafico di \(f(x) = e^{-x^2}\) in cui la tangente è orizzontale. Verifica: dovrebbero risultare i punti di massimo della gaussiana.

13.

Sia \(f(x) = \sqrt [3]{x}\). Mostrare, usando la formula della derivata dell’inversa, che \(f'(x) = 1/(3 \sqrt [3]{x^2})\) per \(x \ne 0\). Studiare il comportamento per \(x \to 0\).

14.

Derivata di \(\operatorname {arccot}\). Dimostrare che \(D(\operatorname {arccot} x) = -1/(1 + x^2)\) partendo dalla definizione di \(\operatorname {arccot}\) come inversa di \(\operatorname{cotg} \) su \((0, \pi )\).

15.

Sfida. Sia \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) derivabile, biiettiva, con \(f(2) = 5\) e \(f'(2) = 3\). Determinare l’equazione della retta tangente al grafico di \(f^{-1}\) nel punto di ascissa \(y = 5\). Suggerimento: usare \((f^{-1})'(5) = 1/f'(f^{-1}(5))\) e \(f^{-1}(5) = 2\).

135.8 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Chain rule. Se \(h(x) = g(f(x))\) con \(f\) derivabile in \(x_0\) e \(g\) derivabile in \(f(x_0)\):
\[ h'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0); \qquad \text {Leibniz: } \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \cdot \frac {du}{dx}. \]

Si itera in modo naturale a composizioni triple, quadruple, ecc.
Derivata della funzione inversa. Se \(f\) è continua e strettamente monotona, derivabile in \(x_0\) con \(f'(x_0) \ne 0\), e \(g = f^{-1}\):
\[ g'(y_0) = \frac {1}{f'(f^{-1}(y_0))}; \qquad \text {Leibniz: } \frac {dx}{dy} = \frac {1}{dy/dx}. \]

Conseguenze geometriche: la tangente al grafico di \(f^{-1}\) è la riflessione, rispetto alla bisettrice \(y=x\), della tangente al grafico di \(f\); le pendenze sono reciproche.
Derivate delle goniometriche inverse:
\[ D(\operatorname{arcsen} x) = \tfrac {1}{\sqrt {1-x^2}}, \quad D(\arccos x) = -\tfrac {1}{\sqrt {1-x^2}}, \quad D(\operatorname{arctg} x) = \tfrac {1}{1+x^2}, \quad D(\operatorname {arccot} x) = -\tfrac {1}{1+x^2}. \]
Derivata logaritmica. Tecnica per derivare \(y = f(x)^{g(x)}\) con base e esponente variabili: si applica \(\ln \) a entrambi i membri, si deriva, si isola \(y'\). Casi particolari: \(D(x^x) = x^x (\ln x + 1)\).
Formule completate grazie a chain rule + logaritmica:
\[ D(x^\alpha ) = \alpha \, x^{\alpha -1} \text { per ogni } \alpha \in \mathbb{R} , \quad x > 0; \qquad D(a^x) = a^x \ln a \text { per ogni } a > 0. \]

Le rispettive dimostrazioni passano da \(x^\alpha = e^{\alpha \ln x}\) e \(a^x = e^{x \ln a}\).
Tabella estesa delle derivate. Sommando i risultati di 134 e di questo capitolo, si dispone ora di una tabella completa di derivate per tutte le funzioni elementari, comprese le loro composizioni e inverse. È lo strumento di lavoro per lo studio di funzione (141) e per il calcolo integrale.

Capitolo 135 Derivata della funzione composta e della funzione inversa