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Capitolo 136
Punti di non derivabilità: angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale

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Esistono funzioni continue che non sono derivabili in nessun punto.”

— Karl Weierstrass, comunicazione all’Accademia di Berlino, 18 luglio 1872 (traduzione adattata)

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136.1 Introduzione motivazionale

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Nel 133 abbiamo dimostrato che la derivabilità implica la continuità, ma non viceversa: una funzione può essere continua in \(x_0\) senza essere ivi derivabile. Abbiamo già incontrato due esempi:

In questo capitolo classifichiamo sistematicamente i punti di non derivabilità di una funzione continua, studiando il comportamento delle due derivate laterali \(f'_-(x_0)\) e \(f'_+(x_0)\). Tre situazioni si distinguono in modo netto e hanno nomi propri:

La diagnosi del tipo di non derivabilità è uno degli strumenti diretti dello studio di funzione (141), perché informa sulla forma del grafico nei punti “problematici”.

Una curiosità storica. Il sospetto che ogni funzione “ragionevole” continua dovesse essere derivabile almeno in molti punti era ben radicato nell’analisi del primo Ottocento. Fu Karl Weierstrass, in una comunicazione all’Accademia di Berlino il 18 luglio 1872, a esibire una funzione continua ovunque ma non derivabile in nessun punto:

\[ W(x) = \sum _{n=0}^{\infty } a^n \cos (b^n \pi x), \qquad 0 < a < 1, \quad b \in \mathbb{N} \text { dispari}, \quad ab > 1 + \tfrac {3\pi }{2}. \]

Il grafico di \(W\) è frattale: ingrandendolo, in ogni intorno di ogni punto continua a oscillare con la stessa irregolarità. Funzioni come questa — “mostri” analitici per i contemporanei — diventeranno modello standard per moto browniano, segnali rumorosi e frattali nel Novecento.

136.2 Continuità e derivabilità

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Riprendiamo, per chiarezza, il risultato chiave già visto in 133.

Teorema 136.1 — Derivabilità implica continuità

Se \(f\) è derivabile in \(x_0\), allora \(f\) è continua in \(x_0\). Il viceversa non vale.

Conseguenza pratica. Se in \(x_0\) una funzione \(f\) non è continua, allora certamente non è derivabile (e non ha senso parlare di angolosi/cuspidi/flessi). Lo studio dei punti di non derivabilità si svolge dunque dentro l’insieme dei punti di continuità: si parte da \(f\) continua in \(x_0\), e si guarda se \(f\) è anche derivabile lì.

Strategia di diagnosi. Per studiare la derivabilità di \(f\) in \(x_0\) in cui \(f\) è continua, calcoliamo le derivate laterali

\[ f'_-(x_0) = \lim _{h \to 0^-} \frac {f(x_0+h) - f(x_0)}{h}, \qquad f'_+(x_0) = \lim _{h \to 0^+} \frac {f(x_0+h) - f(x_0)}{h}. \]

A seconda dei loro valori, distinguiamo quattro casi:

Procedura  — Diagnosi del comportamento in un punto di continuità \(x_0\)

1.
Se \(f'_-(x_0)\) e \(f'_+(x_0)\) esistono finite e coincidono: \(f\) è derivabile in \(x_0\). Nessun problema.
2.
Se entrambe esistono finite ma differiscono: \(x_0\) è un punto angoloso.
3.
Se entrambe sono infinite, ma di segno opposto (una \(+\infty \), l’altra \(-\infty \)): \(x_0\) è una cuspide.
4.
Se entrambe sono infinite e dello stesso segno: \(x_0\) è un flesso a tangente verticale.

Restano casi residui (per esempio: una laterale finita, l’altra infinita; oppure una laterale non esiste perché oscilla), che si trattano caso per caso e non hanno nome standard.

136.3 Punti angolosi

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Definizione 136.1 — Punto angoloso

Sia \(f\) continua in \(x_0\). Si dice che \(x_0\) è un punto angoloso per \(f\) se le derivate laterali \(f'_-(x_0)\) e \(f'_+(x_0)\) esistono finite, ma \(f'_-(x_0) \ne f'_+(x_0)\).

Geometricamente, il grafico ha in \((x_0, f(x_0))\) due semitangenti ben definite, una a sinistra di pendenza \(f'_-(x_0)\) e una a destra di pendenza \(f'_+(x_0)\), che si raccordano formando un “angolo”.

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Figura 136.1: Punti angolosi. Sinistra: \(f(x) = |x|\) in \(x_0 = 0\), derivate laterali \(-1\) e \(+1\). Destra: funzione a tratti con derivate laterali \(-1\) (a sinistra) e \(+3\) (a destra), angolo asimmetrico.

Esempio 136.1 — Valore assoluto

\(f(x) = |x|\) in \(x_0 = 0\): derivate laterali \(f'_-(0) = -1\), \(f'_+(0) = 1\). Finite, diverse: punto angoloso. (Già visto nel 133.)

Esempio 136.2 — Raccordo di due parabole

Sia \(f(x) = \begin {cases} x^2 & x \le 1 \\ 2 - x & x > 1\end {cases}\). È \(x_0 = 1\) un punto angoloso?

Continuità: \(f(1) = 1\) (dal primo ramo), \(\lim _{x \to 1^+} (2 - x) = 1\): continuità OK.

Derivate laterali: \(f'_-(1) = D(x^2)|_{x=1} = 2\), \(f'_+(1) = D(2 - x)|_{x=1} = -1\). Finite, diverse: \(x_0 = 1\) è un punto angoloso.

Esempio 136.3 — Modulo di un polinomio

\(f(x) = |x^2 - 1|\). La funzione \(|y|\) ha angoli dove \(y = 0\), cioè dove \(x^2 - 1 = 0\): \(x = \pm 1\). Studiamo \(x_0 = 1\):

Derivate laterali \(-2\) e \(+2\): angolo (simmetrico) in \(x = 1\). Analogamente in \(x = -1\).

136.4 Cuspidi

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Definizione 136.2 — Cuspide

Sia \(f\) continua in \(x_0\). Si dice che \(x_0\) è una cuspide per \(f\) se le derivate laterali \(f'_-(x_0)\) e \(f'_+(x_0)\) sono entrambe infinite, di segno opposto: cioè \(\{f'_-(x_0), f'_+(x_0)\} = \{-\infty , +\infty \}\).

Geometricamente, da entrambi i lati il grafico si avvicina a \((x_0, f(x_0))\) con tangente verticale, ma con orientazione opposta: uno dei due rami arriva “da sopra” e l’altro “da sotto”, producendo una punta (cuspide, dal latino cuspis, “punta acuminata”).

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Figura 136.2: Cuspidi. Sinistra: \(f(x) = x^{2/3}\) in \(x_0 = 0\): \(f'_-(0) = -\infty \), \(f'_+(0) = +\infty \), cuspide rivolta verso il basso. Destra: \(f(x) = -\sqrt {|x|}\) in \(x_0 = 0\): \(f'_-(0) = +\infty \), \(f'_+(0) = -\infty \), cuspide rivolta verso l’alto.

Esempio 136.4 — \(f(x) = x^{2/3}\)

\(f(x) = \sqrt [3]{x^2}\) in \(x_0 = 0\). \(f\) è continua in \(0\). Calcoliamo la derivata: \(f'(x) = (2/3) x^{-1/3} = 2/(3 \sqrt [3]{x})\) per \(x \ne 0\). Limiti laterali:

\[ f'_+(0) = \lim _{x \to 0^+} \frac {2}{3 \sqrt [3]{x}} = +\infty , \qquad f'_-(0) = \lim _{x \to 0^-} \frac {2}{3 \sqrt [3]{x}} = -\infty . \]

(Per \(x < 0\), \(\sqrt [3]{x} < 0\).) Infinite di segno opposto: cuspide (rivolta verso il basso, vertice in \((0,0)\)).

Esempio 136.5 — \(f(x) = \sqrt {|x|}\)

\(f(x) = \sqrt {|x|}\) in \(x_0 = 0\). Per \(x > 0\), \(f(x) = \sqrt {x}\), \(f'(x) = 1/(2\sqrt {x}) \to +\infty \) per \(x \to 0^+\). Per \(x < 0\), \(f(x) = \sqrt {-x}\), \(f'(x) = -1/(2\sqrt {-x}) \to -\infty \) per \(x \to 0^-\). Infinite di segno opposto: cuspide.

136.5 Flessi a tangente verticale

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Definizione 136.3 — Flesso a tangente verticale

Sia \(f\) continua in \(x_0\). Si dice che \(x_0\) è un flesso a tangente verticale per \(f\) se entrambe le derivate laterali \(f'_-(x_0)\) e \(f'_+(x_0)\) sono infinite e dello stesso segno (entrambe \(+\infty \), oppure entrambe \(-\infty \)).

Geometricamente: il grafico attraversa il punto \((x_0, f(x_0))\) con una sola tangente verticale, senza spigoli; cambia inoltre la curvatura passando da \(x_0\), come avviene in tutti i flessi.

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Figura 136.3: \(f(x) = \sqrt [3]{x}\) in \(x_0 = 0\): \(f'_-(0) = f'_+(0) = +\infty \). Tangente verticale unica (l’asse \(y\)); il grafico attraversa il punto senza spigoli. È un flesso a tangente verticale.

Esempio 136.6 — Radice cubica in zero

\(f(x) = x^{1/3}\) in \(x_0 = 0\). Derivata per \(x \ne 0\): \(f'(x) = (1/3) x^{-2/3} = 1/(3 \sqrt [3]{x^2})\). Poiché \(\sqrt [3]{x^2} = |x|^{2/3} > 0\) per ogni \(x \ne 0\), la derivata è sempre positiva e

\[ f'_+(0) = f'_-(0) = \lim _{x \to 0} \frac {1}{3 \sqrt [3]{x^2}} = +\infty . \]

Entrambe \(+\infty \): flesso a tangente verticale. Si noti che il grafico è simmetrico rispetto all’origine (funzione dispari) e attraversa l’asse \(x\) in \(0\) con tangente verticale.

Esempio 136.7 — Radice quinta traslata

Per \(x \ne 2\), \(f'(x) = (1/5)(x-2)^{-4/5}\). Posto \(u = x - 2\), \(f'(x) = 1/(5 \sqrt [5]{(x-2)^4})\): positiva sempre, e \(\to +\infty \) per \(x \to 2\) da entrambi i lati. Flesso a tangente verticale in \(x_0 = 2\).

Memo tecnico. Le funzioni del tipo \(f(x) = (x - x_0)^\alpha \) con \(0 < \alpha < 1\):

La diagnosi rigorosa passa sempre dal calcolo delle due derivate laterali.

136.6 Esempi svolti

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Esempio 136.8 — Classificazione completa di una funzione a tratti

Sia

\[ f(x) = \begin {cases} x + 2 & x < 0 \\ 2 - x^2 & 0 \le x \le 1 \\ x & x > 1\end {cases}. \]

Studiare continuità e derivabilità nei punti di raccordo \(x = 0\) e \(x = 1\).

In \(x = 0\). \(\lim _{x \to 0^-} (x + 2) = 2\), \(f(0) = 2\), \(\lim _{x \to 0^+} (2 - x^2) = 2\): continua. Derivate laterali: \(f'_-(0) = D(x + 2)|_{x=0} = 1\), \(f'_+(0) = D(2 - x^2)|_{x=0} = 0\). Finite, diverse: punto angoloso.

In \(x = 1\). \(f(1) = 2 - 1 = 1\) (dal ramo centrale, valido per \(0 \le x \le 1\)); \(\lim _{x \to 1^+} x = 1\): continua. Derivate laterali: \(f'_-(1) = D(2 - x^2)|_{x=1} = -2\), \(f'_+(1) = D(x)|_{x=1} = 1\). Finite, diverse: punto angoloso.

Esempio 136.9 — Distinguere cuspide e flesso a tangente verticale

Sia \(f(x) = \sqrt [3]{x - 1} \cdot \sqrt [3]{x - 1} = (x - 1)^{2/3}\), cioè \(\sqrt [3]{(x-1)^2}\). È continua su \(\mathbb{R} \). In \(x_0 = 1\): \(f'(x) = (2/3)(x - 1)^{-1/3} = 2/(3 \sqrt [3]{x - 1})\). Per \(x \to 1^+\), \(\sqrt [3]{x-1} \to 0^+\), \(f' \to +\infty \). Per \(x \to 1^-\), \(\sqrt [3]{x-1} \to 0^-\), \(f' \to -\infty \). Cuspide (esponente \(2/3\), con \(2\) pari).

Confronto: \(g(x) = \sqrt [3]{x - 1} = (x - 1)^{1/3}\). \(g'(x) = (1/3)(x - 1)^{-2/3} = 1/(3 \sqrt [3]{(x-1)^2})\). Numeratore positivo, denominatore positivo (è il cubo di un quadrato), \(g'_+(1) = g'_-(1) = +\infty \). Flesso a tangente verticale (esponente \(1/3\), con \(1\) dispari).

Esempio 136.10 — Modulo di una funzione

\(f(x) = |x^2 - 4|\). La funzione \(x^2 - 4\) si annulla in \(x = \pm 2\). Studiamo questi due punti.

In \(x = 2\). Per \(x > 2\), \(x^2 - 4 > 0\), \(f(x) = x^2 - 4\), \(f'_+(2) = 2 \cdot 2 = 4\). Per \(x < 2\) (e vicino a \(2\)), \(x^2 - 4 < 0\), \(f(x) = -(x^2 - 4) = 4 - x^2\), \(f'_-(2) = -2 \cdot 2 = -4\). Punto angoloso.

In \(x = -2\). Analogamente: \(f'_+(-2) = -2 \cdot (-2)\)... attenzione, vicino a \(-2\) con \(x > -2\) ma ancora minore di \(2\), \(x^2 < 4\), \(f(x) = 4 - x^2\), \(f'_+(-2) = -2(-2) = 4\). Per \(x < -2\), \(x^2 > 4\), \(f(x) = x^2 - 4\), \(f'_-(-2) = -4\). Punto angoloso.

Esempio 136.11 — Funzione con esponente non standard

Studiare la derivabilità di \(f(x) = x \sqrt [3]{x}\) in \(x_0 = 0\).

\(f(x) = x \cdot x^{1/3} = x^{4/3}\) per \(x \ge 0\); per \(x < 0\) idem, perché \(\sqrt [3]{x} = -\sqrt [3]{|x|}\), \(x \sqrt [3]{x} = x \cdot (-|x|^{1/3}) \cdot \mathop {\rm sgn}(x) \ldots \) è più semplice scrivere \(f(x) = x^{4/3}\) definita su \(\mathbb{R} \) con \(x^{4/3} = (x^{1/3})^4\).

In \(x = 0\): \(f(0) = 0\), continua. \(f'(x) = (4/3) x^{1/3}\) per \(x \ne 0\). Limiti laterali: \(f'_+(0) = 0\) e \(f'_-(0) = 0\). Entrambi finiti e uguali: \(f\) è derivabile in \(0\) con \(f'(0) = 0\). (La tangente è orizzontale.)

Esempio 136.12 — Funzione composta con valore assoluto

Sia \(f(x) = \sqrt {|x|}\). Già analizzato come cuspide in \(x = 0\): \(f'_+(0) = +\infty \), \(f'_-(0) = -\infty \). Si noti che è una funzione pari (simmetrica rispetto all’asse \(y\)): la cuspide cade nel vertice della curva.

Esempio 136.13 — Diagnosi via grafico

La funzione \(f(x) = \sqrt [5]{x^3}\) in \(x_0 = 0\). Riscriviamo: \(f(x) = x^{3/5}\) con \(x^{3/5} = (\sqrt [5]{x})^3\) definita su tutto \(\mathbb{R} \) (perché la radice quinta è definita per ogni \(x \in \mathbb{R} \)). \(f'(x) = (3/5) x^{-2/5} = 3/(5 \sqrt [5]{x^2})\). Denominatore positivo, derivata positiva. Limiti: \(f'_+(0) = f'_-(0) = +\infty \): flesso a tangente verticale (numeratore \(3\) dispari, regola del memo).

136.7 Esercizi proposti

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Esercizio 136.1

1.
Per ognuna delle seguenti funzioni, classificare il punto \(x_0\) come: derivabile, angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale, o altro.
(a)
\(f(x) = |x - 3|\) in \(x_0 = 3\);
(b)
\(f(x) = x^{4/5}\) in \(x_0 = 0\);
(c)
\(f(x) = \sqrt [3]{x - 1}\) in \(x_0 = 1\);
(d)
\(f(x) = \sqrt {x^2}\) in \(x_0 = 0\) (suggerimento: \(\sqrt {x^2} = |x|\));
(e)
\(f(x) = x^{5/3}\) in \(x_0 = 0\).
2.
Studiare la natura del punto \(x_0 = 0\) per \(f(x) = |x|^3\). Risposta attesa: derivabile, perché?
3.
Studiare la natura del punto \(x_0 = 0\) per \(f(x) = x |x|\). Calcolare anche \(f'(0)\) se esiste.
4.
Sia \(f(x) = \begin {cases} x^2 + 1 & x \le 0 \\ 1 - x & x > 0\end {cases}\). Verificare la continuità e classificare \(x = 0\).
5.
Sia \(f(x) = \begin {cases} \operatorname{sen} x & x \le 0 \\ x & x > 0\end {cases}\). Verificare che \(f\) è derivabile in \(x = 0\) e calcolare \(f'(0)\).
6.
Determinare i punti di non derivabilità di \(f(x) = |x^2 - 9|\), classificandoli.
7.
Determinare i punti di non derivabilità di \(f(x) = |\operatorname{sen} x|\) su \([0, 2\pi ]\), classificandoli.
8.
Sia \(f(x) = \sqrt {x^2 - 4}\), definita per \(|x| \ge 2\). Studiare la derivabilità in \(x_0 = \pm 2\). Risposta attesa: tangenti verticali agli estremi del dominio (semitangenti).
9.
Determinare \(a, b \in \mathbb{R} \) in modo che \(f(x) = \begin {cases} ax + b & x \le 1 \\ x^3 & x > 1\end {cases}\) sia derivabile in \(x = 1\) (cioè senza angoli).
10.
Per \(f(x) = |x|^\alpha \) con \(\alpha > 0\), classificare \(x_0 = 0\) al variare di \(\alpha \). Tracce:
  • se \(\alpha > 1\): derivabile, \(f'(0) = 0\);
  • se \(\alpha = 1\): angoloso (\(|x|\));
  • se \(0 < \alpha < 1\): cuspide.

Dimostrare ciascun caso calcolando le derivate laterali.

11.
Studiare i punti di non derivabilità della funzione \(f(x) = x + |x - 1|\). Suggerimento: dividere in due rami in \(x = 1\).
12.
Determinare i punti di non derivabilità di \(f(x) = \sqrt [3]{x^2 - 1}\), classificandoli. Tracce: punti \(x = \pm 1\) dove l’argomento si annulla.
13.
Sia \(f(x) = \begin {cases} x^2 \operatorname{sen} (1/x) & x \ne 0 \\ 0 & x = 0\end {cases}\). Mostrare che \(f\) è derivabile in \(0\) (era la sfida di 133), e che \(f'\) è discontinua in \(0\). Conclusione: una funzione può essere derivabile ovunque pur avendo derivata non continua.
14.
Sfida. Trovare un esempio esplicito di funzione \(f\) continua in \(\mathbb{R} \), derivabile in \(\mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}\), con: punto angoloso in \(0\), cuspide in \(1\), flesso a tangente verticale in \(2\). Suggerimento: si può costruire come somma di tre funzioni-modello, ognuna che produce uno dei tre tipi di non derivabilità nel punto desiderato e resta regolare altrove.

136.8 Riepilogo del capitolo

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